CC BY
193
УДК 631.371 В.А. Кожухов, Я.А. Кунгс, А.Ф. Семенов
ПРИНЦИПЫ ТЕПЛООБРАЗОВАНИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА
В статье рассматриваются вопросы теплообразования под действием электрического тока на основе классической электронной теории. Показаны физические основы появления тепла Джоуля-Ленца, Пельтье и Томсона.
Ключевые слова: тепловые процессы, электрический ток, физические основы, электронная теория.
V.A. Kozhukhov, Ya.A. Kungs, A.F. Semenov
PRINCIPLES OF THERMOGENESIS UNDER THE INFLUENCE OF THE ELECTRIC CURRENT
Issues of thermogenesis under the influence of the electric current on the basis of the classical electronic theory are considered in the article. Physical bases of heat emergence of Joule-Lenz, Peltye and Thomson are shown.
Key words: thermal processes, electric current, physical bases, electronic theory.
Создание отопительных приборов, использующих электрическую энергию в качестве энергоносителя, ставит задачу физической интерпретации расчетных формул, являющихся основой проектирования обогревателей.
Тепловые процессы в проводниках связаны с наличием в них свободных электронов, их движением и энергией. В основу объяснения законов теплообразования в металлах положена классическая электронная теория, согласно которой движение электронов подчиняется законам классической механики Ньютона. При этом пренебрегают взаимодействием электронов между собой, а взаимодействие электронов с положительными ионами кристаллической решетки сводят только к соударениям. Электроны проводимости рассматривают как электронный газ, подобный идеальному атомарному газу молекулярной физики. Такой электронный газ должен подчиняться всем законам идеального газа и, в частности, закону равномерного распределения энергии по степеням свободы, согласно которому средняя кинетическая энергия теплового движения электронов, приходящаяся на каждую степень свободы, равна (1/2) кТ(к - постоянная Больцмана, равная 1,38 10-23 Дж/К, а Т - термодинамическая температура газа) [1]. Несмотря на эти допущения, классическая электронная теория качественно объясняет законы электрического тока.
Эффекты теплообразования: джоулево тепло
Под воздействием электрического поля любой электрон, совершающий беспорядочное тепловое движение, ускоренно движется в направлении, противоположном напряженности приложенного поля. Предполагается, что при соударении с кристаллической решеткой электрон полностью передает накопленную энергию и поэтому после соударения начинает движение без начальной скорости. Принято, что время свободного пробега между двумя последовательными соударениями одинаково для всех электронов. В результате получается поступательное движение электронов, которое накладывается на существующее их беспорядочное тепловое движение в направлении, противоположном вектору напряженности приложенного поля Е . Полная скорость электрона у6 складывается из беспорядочной скорости V и дрейфовой г7, связанной с дейст-
вием электрического поля:
V =v6+u . (1)
Движение электрона в классической механике описывается уравнением Ньютона [2]
где ¥ - регулярная сила, действующая на электрон со стороны внешнего силового электрического поля Е ; ¥ш - сила торможения среды, которую электроны испытывают при столкновениях с ионами кристаллической решетки или другими электронами. Данная сила связана при отсутствии электрического тока с температурой тела и может быть выражена через дрейфовую скорость электронов
¥см = -т —
т, (3)
где т - масса электрона; й - дрейфовая скорость электрона; т - постоянная, имеющая размерность времени и называется инерциальным временем электрона в металле или временем релаксации, являющимся средним временем, за которое электронный поток теряет скорость своего упорядоченного движения. Подставляя формулу (3) в уравнение (2) для стационарного режима dv/dt =0, получаем среднюю дрейфовую скорость электронов в виде [1]:
ет —
и = —Е , (4)
2т
где е - заряд электрона, равный 1,6-10-19 Кл.
При отсутствии внешних сил электрического поля дрейфовое движение электронов затухает по экспоненциальному закону
й = й0е~11т. (5)
Время релаксации т составляет порядка 10-14с, поэтому ток проводимости представляет медленный систематический дрейф электронов, наложенный на их более быстрое хаотическое движение. Скорость электронов, переносящих теплоту, определяется их кинетической энергией вблизи границы Ферми, тогда как классическая теория считала, что эта скорость порядка классической средней скорости теплового движения
л/кТ/т . Тем самым скорость электронов, переносящих теплоту, сильно занижалась.
Тепловая скорость электрона при комнатной температуре, найденная согласно квантовой теории
Ферми, составляет около 106м/с, в то время как по классической кинетической теории газов она на порядок
ниже [2].
Плотность возникающего тока равна
j = пей, (6)
где п - концентрация свободных электронов.
Таким образом, плотность тока с учетом действия сторонней силы внешнего электрического поля выразится [2]:
Р _1/т
./-Г- + Л* • (7)
е
При t » т получим закон Ома в дифференциальной форме:
] = /— + ] 0Ё- (8)
е
Электрическую проводимость, согласно формул (4), (6) и (8), можно выразить в виде:
7 ~'
пе2т 2т
(9)
Концентрация свободных электронов в металлах определяется числом атомов, поскольку каждый атом отдает хотя бы один свободный электрон. Для меди п = 8,51 028 1/м3, заряд электрона е = 1,6-10-19 Кл, масса электрона т=9'10-28 г.
Таким образом, проводимость проводника определяется временем релаксации, и создание теории проводимости сводится к созданию теории для т.
Измеренная экспериментально, проводимость меди составляет Y = 5,88-107 1/0мт Тогда время релаксации для меди согласно (9) составит [2]:
Т = 2,5-1(Г14с.
пе
(10)
Вместо времени релаксации можно ввести другие параметры, связанные с этим временем. Часто используют подвижность носителей. Под подвижностью носителей Ь понимают дрейфовую скорость, приобретенную частицей под действием постоянного электрического поля Е, равного единице. Согласно (4) имеем
и -ЪЕ.
(11)
В металлах подвижность электронов имеет порядок Ь ~ 10-4 - 10-3 м2 (В'с).
Скорость дрейфа электронов в меди согласно формулы (4) при напряженности внешнего электрического поля Е = 0,2 В/м и плотности тока Y = 10 А/мм2 составляет около 0,7 мм/с. Таким образом, скорость дрейфа электронов в металлах очень мала по сравнению с обычными скоростями микрочастиц, поэтому большая удельная проводимость металлов обусловлена главным образом большой концентрацией носителей заряда, а не их подвижностью. Закон Ома справедлив при условии, что концентрация свободных электронов и инерциальное время постоянны и не зависят от напряженности электрического поля. Закон Ома нарушается в сильных полях (нелинейные эффекты), когда на протяжении среднего свободного пробега носитель тока приобретает скорость, сравнимую со скоростью беспорядочного движения. Закон Ома не соблюдается в ионизированных газах, так как при низких давлениях кинетическая энергия, приобретенная электроном за время свободного пробега, становится сравнимой с энергией теплового движения кТ.
Противоречия классической теории выражаются в прозрачности ионной решетки для электронов, ведь при тепловой скорости электрона 106 м/с, времени релаксации порядка 10-14с электрон проходит без столкновений порядка 30 А - более десяти постоянных решетки, хотя ионы в компактной решетке почти прикасаются друг к другу.
Такая прозрачность компактной ионной решетки для электронов объясняется с позиций квантовой механики. Для решения данного вопроса движение электрона рассматривается с учетом его взаимодействия с кристаллической решеткой. Согласно квантовой механике, движение электрона аналогично распространению волны в пространстве. В идеально прозрачной и однородной среде световая волна распространяется без всякого ослабления и рассеяния в стороны. Также вела бы себя «электронная волна», если бы кристаллическая решетка, в которой она распространяется, была бы идеально правильной. В этом случае металл не оказывал бы электрическому току никакого сопротивления. На самом деле в реальной решетке всегда есть примеси и возникают тепловые флуктуации, нарушающие ее идеальную структуру. Благодаря этому, электронная волна проходит через кристаллическую решетку не только в прямом направлении, но и рассеивается в сторону, как рассеивается световой луч при распространении в мутной воде [2].
Над электроном в металле при действии электрического тока ежесекундно совершается работа:
= (и +vб)F.
(12)
При суммировании по всем электронам члены с уЕ дают нуль. Остается только работа, связанная с действием регулярных (сторонних) сил, создающих дрейфовое движение электронов. Работа, совершаемая над электронами в единице объема металла, равная
пиР = ]—, (13)
е
идет на приращение внутренней (тепловой) энергии, поскольку прохождение электрического тока не сопровождается изменениями внутренней структуры металла. Таким образом, получаем закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме:
б=-(Ж)=4^2=^2. (14)
е е
поскольку ¥ -еЕ.
Закон Джоуля-Ленца носит общий характер, т.е. не зависит от природы сил, возбуждающих электрический ток. Металлы - хорошие проводники не только электрического тока, но и тепла. Это связано с тем, что переносчиками электричества и тепла в металлах являются одни и те же частицы - свободные электроны. Применяя к электронной теплопроводности металла кинетическую теорию газов, можно записать [3]:
X = — пус1 . 3 (15)
где А - теплопроводность металла; V - средняя скорость беспорядочного движения электронов; ^ -
теплоемкость электронного газа при постоянном объеме, приходящаяся на один электрон; 1 - средняя длина свободного пробега электрона. Проводимость металла выражается как
пе 1 У = ■ 2 ту (16)
Отношение теплопроводности металла к его проводимости выражается как
Я 2 ту2 у 3 е2 У (17)
Данная формула сохраняется и в квантовой теории. В классической теории, использующей статистику Больцмана, получаем формулу Друде (4):
- = 3(—)2Т. у е (18)
Учтя максвелловское распределение тепловых электронов по скоростям, получим такую же формулу,
X
но с числовым коэффициентом 2 вместо 3. Важен не коэффициент, а то, что отношение — пропорционально термодинамической температуре Т для всех металлов (закон Видемана-Франца). Таким образом, — = ЬТ, где /_ — число Лоренца.
Ь =
л
= 2,45 • 1СГ
Вт ■ Ом
К2 ’
(19)
2
8
3
где К - постоянная Больцмана. Формула получена на базе квантовой статистики.
Отклонение закона Видемана-Франца связано с неупругостью столкновений электронов проводимости с колебаниями кристаллической решетки.
Тепло Пельтье
Опыт показывает, что кроме тепла Джоуля-Ленца, выделяемого током в проводнике, наблюдаются тепловые явления в контакте различных проводников, даже если эти проводники первоначально находятся при одинаковой температуре. В контакте, через который проходит ток, происходит в зависимости от направления тока выделение пли поглощение тепла и контакт либо нагревается, либо охлаждается. Это явление получило название эффекта Пельтье [5].
Тепло Пельтье Qn, выделенное или поглощенное в спае двух проводников, пропорционально полному заряду q, прошедшему через спай за время t
(дп-п^ = п-и. (20)
Чтобы учесть (20), направление тока обозначают там, где требуется коэффициент Пельтье, через П12; если ток течет от проводника 1 к проводнику 2 и П21; если ток имеет противоположное направление. Так как в обоих случаях количество тепла Пельтье одинаково, но только изменяется его знак, то П12 = -П21.
Между явлением Пельтье и выделением тепла Джоуля-Ленца имеются существенные различия. Тепло Джоуля-Ленца пропорционально квадрату силы тока и не зависит от его направления. Тепло Пельтье пропорционально первой степени силы тока, изменяет знак при перемене направления тока. Опыт показывает, что для большинства различных пар металлов коэффициент Пельтье имеет величины порядка 10-2-10-3 В. Для полупроводников коэффициент Пельтье на несколько порядков больше. В обычных условиях тепло Пельтье мало по сравнению с теплом Джоуля-Ленца. Поэтому, чтобы последнее не затушевывало тепло Пельтье, нужно по возможности уменьшить тепло Джоуля-Ленца. Для этого следует применять проводники большого поперечного сечения, обладающие малым сопротивлением.
Поскольку электронный газ в проводниках не вырожденный и распределение импульсов энергии
электронов зависит только от температуры и выражается законом Максвелла, то оно одинаково в обоих
проводниках. Расчет показывает, что Жк1 = Жк2, следовательно,
П12=(<р1-<р2). (21)
Таким образом, коэффициент Пельтье есть просто контактный скачок потенциала, тепло Пельтье равно работе, совершаемой током вследствие перепала напряжения на контакте.
Интегральная форма эффекта теплоты Пельтье выражается как
а, = ПТ, (22)
где П - коэффициент Пельтье; П = ТЛа, где Т - абсолютная температура; Ла - разность термоэлектрических коэффициентов проводников.
Эффект Пельтье объясняется тем, что средняя энергия электронов зависит от их энергетического спектра, концентрации и механизмов их рассеяния в различных проводниках. Она различна в различных проводниках. При переходе из одного проводника в другой электроны либо передают избыточную энергию атомам, осуществляя нагрев металла, либо пополняют недостаток энергии за их счет, вызывая охлаждение его. Эффект зависит от сторонних ЭДС, определяемых химической природой проводников, их температурой и т.д.
Тепло Томсона
Исследуя термоэлектрические явления, В. Томсон пришел к заключению, что даже в однородном проводнике, нагретом неравномерно, при наличии тока происходит выделение или поглощение тепла, которое либо добавляется к теплу Джоуля-Ленца либо вычитается из него. Это явление получило название эффект Томсона, тепло выделяемое при этом эффекте - тепло Томсона. Эффект Томсона связан с изменением свойств проводника при его нагревании. При неравномерном нагревании однородный проводник становится неоднородным и поэтому явление Томсона представляет собой в сущности своеобразное явление Пельтье с той только разницей, что в данном случае неоднородность в распределении электронов вызвана не различием химического состава проводника, а различием температур. Эффект Томсона, как и эффект Пельтье, возникает потому, что в проводнике с током существует поток энергии, пропорциональный плотности тока [ выражаемый формулой (6). При наличии градиента температуры в проводнике имеется еще и поток энергии, обусловленный теплопроводностью, который можно не учитывать, поскольку он не зависит от тока.
В единице объема проводника с учетом формулы (22) изменение энергии в направлении движения потока электронов выразится [4]:
ся функцией температуры и изменяется в пространстве, потому что изменяется температура. Поэтому можно написать
dWk
dx
dWk dT dT dx
(24)
Следовательно, имеем
-IW^dT w e dl dx
(25)
В данной формуле второе слагаемое ]Е есть тепло Джоуля-Ленца, рассчитанное на единицу объема и единицу времени. Первое слагаемое показывает, что выделяется еще и дополнительная энергия, пропор-
■ ¿т о
циональная \—. Это и есть тепло Томсона. dx
Интегральная форма записи тепла Томсона выразится [5]:
^(Г^П, (26)
где Б - коэффициент Томсона - характеристика проводника; I - сила тока; 1 - время; (Т1-Т2) - перепад температур.
Если направление тока (движение электронов) идет от горячего конца к холодному, то выделяется дополнительное тепло Томсона, так как электроны тормозятся и передают избыточную энергию окружающим атомам.
При движении от холодного участка в более горячий электроны ускоряются электрическим полем термо - ЭДС и пополняют свою энергию за счет энергии окружающих атомов (теплота поглощается).
Все металлы являются не только хорошими проводниками электричества, но и хорошими проводниками тепла. С точки зрения электронной теории это совпадение объясняется не простой случайностью, а является следствием одной общей причины - присутствия в металлах свободных электронов. Приобретая в нагретом участке добавочную энергию движения, легкоподвижные электроны сравнительно быстро переносят ее в своем движении в смежные участки и тем самым значительно ускоряют процесс теплопроводности.
Литература
1. Тамм И.Е. Основы теории электричества. - М.: Гостехиздат, 1956. - 620 с.
2. Сивухин Д.В. Общий курс физики: учеб. пособие. Т 3. Электричество. - 4-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ,
2002. - 656 с.
3. ПарселлЭ. Электричество и магнетизм. Берклеевский курс физики. - М.: Наука, 1971. - 447 с.
4. Физика. Большой энциклопедический словарь / под ред. А.М. Прохорова. - 4-е изд. - М.: Большая Рос.
энцикл., 1999. - 994 с.
5. Калашников С.Г. Электричество: учеб. пособие. - 6-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 624 с.
