Квазиклассическая модель энергетических потерь в приборах СВЧ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электроника СВЧ

УДК 621.385

А. С. Плахотник

Тихоокеанский военно-морской институт им. С. О. Макарова

Квазиклассическая модель энергетических потерь в приборах СВЧ

Обосновано флюктуационное уравнение движения электрона в вакууме. Разработана квазиклассическая модель энергетических потерь в приборах сверхвысокой частоты. В качестве примера представлен квазиклассический метод расчета магнетронов сантиметрового диапазона. Проведено сравнение теоретических расчетов и параметров промышленных образцов магнетронов.

Флюктуационное уравнение движения электрона, квазиклассическая модель энергетических потерь, принципы неопределенности и соответствия, магнетрон

Проблема обеспечения больших значений коэффициента полезного действия (КПД) приборов сверхвысокой частоты (СВЧ) становится особенно актуальной с увеличением рабочей частоты. Для значительного повышения КПД требуется выявление физических механизмов возрастания энергетических потерь. В конечном итоге необходимо установление зависимости энергетических потерь от электрических и геометрических параметров рабочего пространства взаимодействия, а также от конструктивных характеристик конкретных приборов СВЧ при увеличении рабочей частоты.

В связи с этим особое внимание специалистами уделяется исследованию электронных потоков в приборах СВЧ. Отмечаются нелинейность, неустойчивость и многоскоростной характер электронного потока [1]. К причинам неустойчивости электронных потоков относят как начальные флюктуации, связанные с особенностями работы катодов и в целом электронных пушек, так и ряд других факторов (скольжение электронных потоков, движение отдельных электронов по сложным траекториям с ускорением и случайной начальной фазой, наличие собственных колебаний носителей заряда (типа плазменных) и т. п.). В замкнутом электронном потоке появляется дополнительная неустойчивость, обусловленная механизмом положительной обратной связи. Электронный поток приобретает свойства резонатора, в котором возбуждаются не связанные с внешней электродинамической системой собственные колебания. Причем резонансная область может определяться не только электронной втулкой пространственного заряда (ПЗ), но и электронными "спицами", в которых электроны двигаются по сложным траекториям. Отмечаются особенности формирования электронного потока в плоском магнетроне при наличии многочастотного сигнала, приводящие к распаду "спиц" на два рукава. Обнаружены неоднородности электронной втулки, не зависящие от высокочастотных полей и связанные, предположительно, с замкнутостью электронного потока. Неоднородности втулки являются одной из причин усиления краевого тока магнетронов миллиметрового диапазона (ММД) [2]. © Плахотник А. С., 2007 71

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2007. Вып. 4======================================

Существенное место занимает изучение механизмов увеличения в среднем кинетической энергии электронов в приборах миллиметрового диапазона. О взаимосвязи увеличения в среднем кинетической энергии "отработавших" электронов с ухудшением выходных параметров приборов ММД говорят исследования энергетического спектра электронного пучка после взаимодействия с СВЧ-полем в гиротроне [3]. По мере снижения КПД гиротрона оценка спектра энергии оказывается завышенной. Расхождение объясняется появлением в спектре электронов с энергией, значительно большей, чем энергия электронов, испускаемых катодом. В миниатюрных магнетронах и магнетронах ММД к уменьшению КПД приводят краевые потери [2]. Природа краевого эффекта также связана с увеличением в среднем кинетической энергии орбитального движения электронов. Аналитические трудности описания взаимодействия электронного потока с высокочастотными и электростатическими полями в приборах СВЧ с ростом рабочей частоты привели к выводу, что макроскопическое описание применительно к высокопервеансным миниатюрным структурам может оказаться некорректным уже в сантиметровом диапазоне длин волн, а для более мощных приборов - в миллиметровом диапазоне [4]. Отсюда становится очевидным, что анализ флюктуационных явлений в классических приборах СВЧ с ростом рабочей частоты требует учета как макроскопических, так и микроскопических механизмов их возникновения. Микроскопический механизм энергетических потерь предполагает суммирование флюктуаций параметров движения электронов, связанное с необходимостью учета всех флюктуаций в полосе пропускания прибора СВЧ с точки зрения принципов неопределенности и соответствия. Однако квантово-механическая переменная не может быть выражена численным значением. Она определяется лишь той операцией, которую нужно совершить над волновой функцией, чтобы получить среднее значение. Иными словами, в рамках существующих квантовых уравнений движения прямой учет флюктуации параметров движения электронов невозможен. В то же время, согласно теореме П. Эренфеста средние значения квантово-механических переменных удовлетворяют тем же уравнениям движения, что и соответствующие классические переменные. С другой стороны, по принципу соответствия Бора классическую механику следует считать предельным случаем квантовой механики, если можно пренебречь неопределенностью переменных. Законы квантовой механики должны при больших значениях квантовых чисел переходить в законы классической физики.

В связи с изложенными соображениями для прямого учета флюктуаций параметров движения электронов необходимо введение флюктуационного уравнения движения. Такое уравнение можно получить дальнейшим развитием хорошо разработанной в физике идеи прямого описания электрофизических процессов и явлений с помощью скалярных и векторных потенциалов.

Для получения флюктуационного уравнения движения используются скалярные и векторные потенциалы с применением идеи де Бройля о волновом характере движения частицы. Скалярный и векторный потенциалы Льенара и Вихерта представляются с учетом известных соотношений между импульсом p, энергией W и частотой ю (или длиной волны X = 2п/ k) электрона: 72

ю = W/ h; Х = 2nh/p; p = hk,

(1)

где Ь - постоянная Планка; к - волновой вектор; р = |р| .

На основании соотношений (1) скалярный ф- и векторный А- потенциалы электрона приобретут вид

Ф = -ф exp

(i/h) (Wt - pr0 ) = -ф exp (iy); A = (v/c2 ) ф ,

(2)

где ф = е (1 -V21с2); / - мнимая единица; I - время; г0, V - радиус-вектор и вектор скорости движения электрона соответственно; у = 2пп, п = 0, 1, 2, ... - фазовый угол; с - скорость света; е - элементарный электрический заряд; во - электрическая постоянная; г = г (х, у, г, I) - расстояние, на котором вычисляется скалярный потенциал; V = IV .

Искомое уравнение можно получить с помощью потенциалов (2). Однако заметим, что для положительного элементарного заряда модифицированный скалярный потенциал имеет вид

Ф = <р exp

- (i/h) (Wt - pr0) = ф exp (-iy ).

(3)

Закон изменения потенциала (3) в случае ф = const соответствует закону изменения полной волновой функции Т в квантовой механике, поскольку экспоненциальные множители рассматриваемых параметров тождественны. Именно поэтому удобнее производить вычисления с помощью потенциала (3). Для упрощения расчетов рассмотрим движение заряда параллельно оси х. В этом случае радиус и фазовый угол равны

r =

( х - vxt )2/ (l - v2x/ c2 ) + y

-2) + y2 + Г2

12

; у = rot -kx = 2nn,

где vx, п = 0, 1, 2, ... - скорость движения микрочастицы вдоль оси х.

Продифференцировав скалярный потенциал (3) по времени находим выражение для

энергии заряда в релятивистском виде:

W + = ih {[exp (¿у )/ф] (аф + /dt) - (Vx/r2 )[(х - Vxt)/(l - V2Jc2 )_

(4)

Продифференцировав потенциал (3) по координате х дважды, находим импульс за-

ряда в релятивистском виде:

Рх+ =

ih х - vxt

'~2~Л 2/2

r 1 -vxl c

i2h2 '

х - vxt

2

v 1 - v?/ c2 ,

- h2

2 л 2 2 r 1 - vx/c

х - vxt

2

1 - vi/c2,

2~ +

+

exp (iy ) д ф

Ф

дхг

(5)

В нерелятивистском случае vx « с и для одномерного движения заряда вдоль оси х (у = 2 = 0) на основании выражений (4) и (5) получим следующие соотношения для энергии и квадрата импульса микрочастицы:

1

1

3

4

4

r

r

(рх+ )2 = -й

= т

2~ +

ехр (/'у) д ф

ехр (/'у) Эф+

Ф дt ¡Й

х - УуХ

- 2

Ф

дх2

х -

Й2

2~ +

ехр (/'у) д ф

( х - Vxt)

Ф

дх2

(6) (7)

Подставив значения энергии (6) и квадрата импульса (7) в уравнение Ж = р2/( 2те)

(те - масса элементарного заряда), получим:

гь дф

гь

дt

х - vxt

vx -

те

ех

2~ +

р (¡V) ^ Ф

(х - V)

ф

дх2

( ) ь Э2Ф+

Фехр (-щ) = ----—. (8)

2те дх2

Проведя в уравнении (8) замену ф+ = ф ехр (-¡у) ^ ¥, получим флюктуационное уравнение движения [5]:

гП (дW/дt) = -[Н2/(2те ) где V2 - оператор Лапласа.

у2^ + (¡й/г) V- (й/тег-2 -уч/^

Т.

(9)

2 I —2

Решение уравнения (9) зависит от выполнения условий V ^Р/Т > г либо 2 -2

V Т/Т < г . При выполнении первого из них подкоренное выражение в круглых скобках в правой части уравнения (9) примет вид

г-2 -У2т/т = Ш/г,

а второго

■у/г-2 -У2р/т = Ы/г

(10)

(11)

где N - некоторое положительное число.

Если полные волновые функции Т в выражениях (10), (11) выразить через волновые функции у без временного множителя, то из них можно получить укороченные флуктуационные уравнения:

У2у-[( N2 +1)/ г 2 = 0;

'г-]\|/ = 0;

У2у + [(Ы2 -0/г2]у = 0. (12)

Можно показать, что при N > 1 дифференциальное уравнение (12) тождественно уравнению Шредингера для свободной частицы. В случае N »1 движение частицы будет квазиклассическим.

Покажем, что в классических приборах СВЧ с ростом рабочей частоты необходимо учитывать проявление классически недоступных процессов, приводящих к увеличению в среднем кинетической энергии электронов.

Рассмотрим, при каких значениях числа N для вещественного значения подкоренного выражения (11), а значит, и (12), выполняется количественное условие квазиклассично-

х

1

1

сти [6] |dX/dx\ << 1, где X = Х/2п, X (x) = 2пh/p (x) - де-бройлевская длина волны частицы, выраженная как функция координаты x с помощью классической функции p (x) - импульса частицы. Положим X = r/N. Тогда условие квазиклассичности для соотношения (11) и уравнения (12) запишется в виде |dr/(Ndx)| «1. Поскольку в одномерном случае r = x - vxt

и рассматриваются стационарные состояния, то из этого условия следует N »1. Следовательно, реализуется принцип соответствия Бора, когда законы квантовой механики при больших значениях квантовых чисел (N »1) переходят в законы классической физики.

С учетом (11) выражение в круглых скобках в правой части уравнения (9) можно переписать в виде v - (hN/mer) = v , где v - среднее значение скорости электрона. Из этого выражения следует, что скорость движения микрочастицы в квазиклассическом приближении

v = v ±[Ш/(mer)] = v ± Av, (13)

где Av = hNj(mer) - суммарная флюктуация скорости, а N имеет смысл квантового числа, причем N»1, что совпадает с принципом соответствия Бора. Под величиной г/N можно понимать характерный размер, тождественный грубой мере неопределенности координаты микрочастицы. В этом случае величина Av - грубая мера неопределенности скорости микрочастицы.

Полагая, что флюктуирующее движение электрона в квазиклассическом приближении подчиняется биноминальному закону распределения [7], можно записать выражение для кинетической энергии электрона с суммированием флюктуации скорости его движения (13) в виде En = (mev2 /2) ± h (v/r ) (2n - N) + h2/(2mer2 ) (2n - N)2, где N - число

испытаний (флюктуаций); а n - число флюктуаций одного знака. Среднее значение кинетической энергии электрона

En = (mevV2) + [h2N2/(2mero2)] , (14)

где ro - среднее значение радиуса траектории движения электрона.

Положим, что число флюктуаций (испытаний) в единицу времени ограничено полосой пропускания прибора Af таким образом, что N = Aat/2п = Aft = afot, где а - относительная нестабильность частоты, f - рабочая частота, t = 1 с. В результате выражение (14) примет вид [8]:

En = (mev2/2 ) + [й2/(2mero2 )]а 2^2. (15)

Выражение (15) дает качественную картину флюктуационнного механизма энергетических потерь, позволяет определить границы применимости классического описания для конкретного прибора СВЧ.

Выведенные соотношения расширяют арсенал методов решения электрофизических задач в квазиклассическом приближении. Покажем это на примере расчета конструктивных характеристик магнетрона [9].

С учетом выражения (15) электронный КПД магнетрона

4 (Р/2)2 Й2а2г2

ц =

Ж - = 1 - Ча

Ж

В

т

2е ( га - гк )

- + -

2ет (Г + гк )

( Р 2 )2

(га - гк )2

(16)

где Ж = |е|Ча - потенциальная энергия электрона; Ча - напряжение анода магнетрона; В -магнитная индукция; га и гк - радиусы анода и катода соответственно, Р - число резонаторов.

На основании выражения (16) рассчитаны конструктивные характеристики магнетронов сантиметрового диапазона (см. таблицу). Полученные результаты соответствуют основным закономерностям теории и практики разработки магнетронов.

Результаты сопоставления зависимости 5 = / (гк ^ Да, Р), полученной на основе расчетных данных таблицы, с эмпирическими зависимостями [10] 5э1 = гк/га =

га, мм Р корг мм Р корг мм Р корг мм Р корг мм

1 0.33 0.33 0.33 0.33

1.5 0.5 0.5 0.5 0.5

2 0.66 0.66 0.66 0.67

2.5 0.82 0.82 0.83 0.83

3 0.96 0.98 0.99 0.99

4 1.2 1.2 1.3 1.3

5 12 1.3 14 1.4 16 1.4 18 1.6

6 1.2 1.5 1.7 1.8

7 1.0 1.4 1.7 1.9

8 0.7 1.2 1.6 1.9

9 0.3 0.9 1.4 1.8

10 - 0.6 1.2 1.7

11 - - 0.8 0.6

12 - - 0.4 0.2

= (Р-4)/(Р + 4); 5Э2 = гк/га = ехр(-8/Р) и

некоторыми промышленными разработками магнетронных генераторов сантиметрового диапазона длин волн представлены на рисунке. Соотношение 5 = гк/га для магнетронов МИ-126 и МЫ503 ближе к установленным в настоящей статье зависимостям 5 = / (гк ^ Да, Р), что указывает на удовлетворительную точность предложенных модели

и метода расчета магнетронов. То же соотношение для магнетрона МИ-189Б ближе к эмпирическим зависимостям (16).

Таким образом, теоретически доказано и подтверждено совпадением расчетов с промышленными образцами магнетронов влияние микроскопических флюктуаций электронов пространственного заряда на увеличение энергетических потерь приборов СВЧ с ростом

рабочей частоты. Обосновано флуктуацион-

8, 8э МИ-189Б, Р = 12

0.6

0.5

0.4

0.3 0.2

НМИ-126, Р = 18 *Ч|МЬ1503, Р = 12 8

Р = 18 ное уравнение движения электрона в вакуу-

- ме. Рассмотрено суммирование флюктуации >8э1,§ э2 р = 12 кинетической энергии электронов простран-

ственного заряда с точки зрения принципов неопределенности и соответствия. Показано, что этот эффект может лежать в основе механизма увеличения в среднем кинетиче-га, мм ской энергии "отработавших" электронов.

Р = 18

1

3

Библиографический список

1. Побочные колебания в электронных приборах СВЧ / О. В. Бецкий, К. И. Палатов, М. Б. Цейтлин и др. М.: Радио и связь, 1984. 152 с.

2. Анализ состояния электронного облака в магнетронах миллиметрового и сантиметрового диапазонов с помощью численной многопериодной модели / В. Б. Байбурин, А. А. Терентьев, С. Б. Пластун, В. П. Еремин // Изв. вузов России. Радиоэлектроника, 1998. Вып. 1. С. 86-89.

3. Венедиктов Н. П., Глявин М. Ю., Гольденберг А. Л. Исследование энергетического спектра электронного пучка после взаимодействия с ВЧ полем в гиротроне // ЖТФ. 2000. Т. 70, № 12. С. 63-75.

4. Бобровский Ю. Л., Солнцев В. А. О применимости макроскопического описания процессов в высо-копервеансных электронных потоках // Радиотехника и электроника, 1982. Т. 27, № 7. С. 1388-1396.

5. Плахотник А. С. Квазиклассический статистический метод исследования нулевых колебаний в приборах миллиметрового диапазона // Проблемы и методы разработки и эксплуатации вооружения и военной техники ВМФ: Сб. ст. Владивосток: ТОВМИ им. С. О. Макарова, 2003. С. 151-155. (Вып. № 43).

6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Т. 3. М.: Наука, 1974. 199 с.

7. Рытов С. М. Введение в статистическую радиофизику. М.: Наука, 1966. 14 с.

8. Плахотник А. С. Оптимизация конструктивных характеристик магнетронов миллиметрового диапазона // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2004. Вып. № 4. С. 66-70.

9. Плахотник А. С. Механизм увеличения в среднем кинетической энергии электронов в приборах миллиметрового диапазона // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2005. Вып. № 4. С. 73-77.

10. Лебедев И. В. Техника и приборы СВЧ. Т. 2. Электровакуумные приборы СВЧ. М.: Высш. шк., 1972. 364 с.

A. S. Plakhotnik

Pacific Ocean navy institute named after S. O. Makarov

Semi-classical model of power losses in microwave devices

The fluctuation equation of motion of electron in vacuum has been graund. Semi-classical model of power losses in microwave devices has been made. As an example the semi-classical method calculation of are magnetrons centimeter region are present. Comparison the theoretical calculations and industrial model of are magnetrons has been made.

Fluctuation equation of electron movement, semi-classical model of power losses, uncertainty and conformity principles, magnetron

Статья поступила в редакцию 21 июля 2006 г.