Модель экзоцитоза медиатора в синапс Текст научной статьи по специальности «Математика»

БІОФІЗИКА СКЛАДНИХ СИСТЕМ

BIOPHYSICS OF COMPLEX SYSTEMS

Фізика живого, Т. 18, N02, 2010. С.47-52. © Васильев А.Н., Кисляк С.В.

УДК 538.931/53.01

МОДЕЛЬ ЭКЗОЦИТОЗА МЕДИАТОРА В СИНАПС

1,2Васильев А.Н., 2Кисляк С.В.

1 Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, физический факультет, кафедра теоретической физики, ул. Владимирская 64, Киев МСП 01601, Украина 2 Национальный технический университет Украины «Киевский Политехнический Институт», медикоинженерный факультет, ул. Янгеля 16/2, Киев, 03056, Украина

Поступила в редакцию 05.03.2010

В статье рассматривается модель, описывающая экзоцитоз медиатора в синаптическую щель при передаче нервного импульса. В основу модели положены современные представления о природе экзоцитоза медиатора как о случайном процессе. Модель учитывает то обстоятельство, что везикулы пресинаптической мембраны, содержащие медиатор, группируются по нескольким пулам и имеют разные свойства в разных пулах. Основное внимание при анализе результатов модели уделяется устойчивости системы. В частности, показано, что такая система (в рамках рассмотренной модели) имеет четко выраженный пороговый тип поведения и устойчива с точки зрения вариации входных параметров модели.

Ключевые слова: синапс, постсинаптическая мембрана, пресинаптическая мембрана, везикула, медиатор,

ацетилхолин, нервный импульс.

ВВЕДЕНИЕ

Передача нервного импульса через химический синапс состоит из нескольких ключевых этапов, каждый из которых не является тривиальным (см., например, [1,2]). Обычно рассматривают экзоцитоз в синаптическую щель медиатора из везикул пресинаптической мембраны при подходе нервного импульса, непосредственно перемещение медиатора к постсинаптической мембране, и взаимодействие медиатора с постсинаптической мембраной (ее активация) с последующим генерированием импульса. Каждый из этих процессов может быть темой отдельного исследования (см., например, [3-10]).

На сегодня общепризнанной является точка зрения, согласно которой экзоцитоз в синаптическую щель медиатора является случайным процессом. Можно было бы ожидать, что такая биофизическая система является существенно стохастической, чего, собственно, не наблюдается на практике. Учитывая сложную межпуловую организацию медиаторсодержащих везикул (см., например, обзор [11]), данный факт требует если не объяснения, то, по крайней мере, общего анализа. Именно такой анализ является предметом статьи. В частности, предлагается достаточно простая модель, которая описывает процесс секреции медиатора из везикул пресинаптической мембраны в синаптическую щель при передаче нервного импульса. Модель учитывает наличие нескольких пулов (точнее, предложенная модель является двухпуловой), равно как

и процесс восстановления везикул между передачей импульсов. В процессе анализа результатов модели основное внимание уделяется не столько количественным оценкам, сколько устойчивости рассматриваемой биофизической системы к изменению ее собственных параметров и характеристик.

Перед непосредственно рассмотрением модели сделаем несколько замечаний относительно базовых положений, которые принимались в расчет при ее составлении. В частности, известно, что медиатор (например, ацетилхолин) содержится в везикулах, размещенных на разном расстоянии от пресинаптической мембраны. Обычно, в зависимости от расстояния до пресинаптической мембраны и готовности везикул к экзоцитозу, выделяют три области каптирования везикул, или три пула [11]. Везикулы в первом пуле, прилегающем к пресинаптической мембране, наиболее мобильны и готовы к секреции в синаптическую щель во время прихода нервного импульса. Пополнение везикул первого пула осуществляется за счет везикул второго пула. Обычно это процесс достаточно медленный (во всяком случае, по сравнению со скоростью впрыскивания медиатора из везикул первого пула в синаптическую щель). Кроме того, если первый пул истощен, то при приходе импульса существенно увеличивается вероятность того, что везикулы из второго пула переместятся к пресинаптической мембране с последующей секрецией медиатора, содержащегося в этих везикулах, в сипаптическую щель. Третий пул обычно служит для

пополнения второго пула. Что касается содержания везикул в разных пулах, то оценки разнятся для синапсов разных типов [11], причем на порядки величин, однако общая тенденция такова, что во втором пуле везикул на несколько порядков больше, чем в первом, а в третьем пуле везикул больше на несколько порядков, чем во втором пуле. С точки зрения дальнейшего анализа интерес представляют такие обстоятельства.

Основной вклад в секрецию ацетилхолина в синаптическую щель вносят везикулы первого пула. Вероятность раскрытия везикулы существенна при приходе импульса.

Первый пул пополняется везикулами из достаточно большого резервуара. При отсутствии импульса это основной механизм пополнения первого пула.

При поступлении импульса и значительном истощении первого пула, возможна также секреция непосредственно из резервного пула, которая, однако, происходит намного медленнее, чем из первого, основного.

Именно из этой последовательности взаимодействий будем исходить при анализе процесса секреции медиатора в синаптическую щель.

БАЗОВАЯ МОДЕЛЬ

Основу модели, используемой в данной статье для анализа процессов экзоцитоза медиатора в синаптическую щель, составляет, как уже отмечалось выше, предположение, что сам факт раскрытия везикулы с медиатором и впрыскивание его в щель являются случайным процессом. В рамках модели возможны два механизма впрыскивания медиатора в синапс из везикул. Первый, основной, состоит в том, что при подходе импульса раскрываются везикулы первого пула. Если пресинаптическая мембрана не возбуждена импульсом, вероятность такого события (в рамках модели) равняется нулю. Поступление на постсинаптическую мембрану нервного импульса приводит к тому, что вероятность раскрытия везикулы становится отличной от нуля. Для простоты полагаем, что все везикулы одинаковы, содержат одинаковое количество медиатора и при наличии нервного импульса

для каждой из них вероятность раскрытия равняется Рі.

Дополнительный механизм состоит во впрыскивании медиатора в синаптическую щель из везикул резервного пула (в рамках модели второй и третий пулы неразличимы). Дополнительный механизм активируется, только если первый пул не заполнен полностью. В этом случае при подходе импульса везикула из второго пула может секретировать медиатор вместо "вакантной" везикулы первого пула с

вероятностью Р2.

Полагаем, что в первом пуле стандартное (максимальное) количество везикул равняется N (емкость пула). В резервном пуле количество везикул

считаем достаточно большим для того, чтобы не учитывать изменение этого количества при пополнении первого пула и прямой секреции ацетилхолина в синаптическую щель из везикул резервного пула.

Поскольку процесс генерирования импульса является пороговым, считаем, что импульс проходит через синапс только если в синаптическую щель впрыснуто медиатора не менее чем из п везикул. Что касается количества порций медиатора, впрыснутых в синаптическую щель (количество раскрытых везикул), то в рамках рассматриваемой модели это случайная

величина, которую обозначим как Хі. Таким образом,

величина ^ имеет распределение Бернулли с

вероятностью успеха Р1 .

Если интервал между импульсами достаточно большой, чтобы первый пул успел полностью восстановиться, то статистические характеристики биофизической системы определяются

характеристиками величины ^ Поскольку в общем случае первый пул до прихода очередного импульса может и не восстановиться, то в экзоцитозе принимают участие и везикулы резервного пула. Поэтому введем еще ряд обозначений: для количества везикул в первом пуле после передачи к -го импульса (к = 1,2,3,...) вводим обозначение %, а через гк обозначим количество везикул в первом пуле перед приходом к -го импульса. Через обозначим случайную величину, равную количеству раскрывшихся везикул при передаче к -го импульса.

Для количественного анализа процесса передачи импульсов необходимо определить формальные характеристики для механизма пополнения первого пула при отсутствии импульса. Данный процесс, для удобства, рассматриваем как детерминированный. В частности, полагаем, что на восстановление одной

везикулы первого пула необходимо время ґ0

(феноменологический параметр модели).

В рамках представленной модели исследуем вопрос о вероятности передачи отдельного импульса и вероятности передачи нескольких последовательных импульсов в зависимости от интервала времени между приходами импульсов.

ОДИНОЧНЫЙ ИМПУЛЬС

Что касается первого импульса (импульса, который поступает на пресинаптическую мембрану при условии, что первый пул полностью заполнен везикулами), то анализ выполняется в рамках схемы Бернулли. В частности, математическое ожидание ‘^^1 для количества раскрывшихся везикул (первого пула -везикулы второго пула в секреции не участвуют) определяется как

-^£1 = №р-у^ ^

а дисперсия для этой случайной величины

вычисляется как

МОДЕЛЬ ЭКЗОЦИТОЗА МЕДИАТОРА В СИНАПС

1)^1 =^(1-^). (2)

Математическое ожидание и дисперсия для

количества везикул П1, которые останутся в первом пуле, в этом случае равняются соответственно

Мщ = Ж\ - рг )5 (3)

=що (4)

Соотношения (3) и (4) являются следствием

очевидного равенства Ч,1 (оно справедливо

только для первого импульса).

Как отмечалось выше, для прохождения импульса необходимо, чтобы в синаптическую щель выделилось содержимое не менее п везикул. Поэтому событие

А = {£, > 7?} .

— ■' фактически состоит в том, что импульс

передается через щель. Вероятность этого события

р(Л) = сЗДо - рх )л'-

к=п

где

через сN =

N !

(5)

обозначены

k !(N - k)! биномиальные коэффициенты.

Вероятность, определяемая соотношением (5), существенно зависит от значений входящих в него параметров: вероятности раскрытия везикулы первого

пула Рl, количества везикул в первом пуле N и

минимального количества везикул п , которые должны раскрыться для того, чтобы произошла передача импульса через синапс. В принципе, это свойства распределения Бернулли, которые общеизвестны и на которых нет особого смысла останавливаться. Выделим только некоторые, наиболее показательные с точки зрения биофизики исследуемого процесса. При этом

п

о = —

удобнее перейти от параметра п к показателю N. то есть положить п = а Л', где 0 < а- < 1 (с учетом целочисленности параметра п ). На рис. 1 приведены графики для зависимости вероятности передачи

импульса от параметров Рl и а для нескольких

характерных значений параметра N (емкость первого пула).

Представленные графики являются, по сути,

фазовыми диаграммами в координатах параметров Р1 и

a , определяющими пропускную способность синапса (на уровне выделения медиатора в синаптическую щель) для одиночного нервного импульса. Темные области на графиках соответствуют существенно близкой к нулю вероятности передачи сигнала, а светлые - вероятности, близкой к единице. Граница этих областей определяется

линией Рl = a с некоторой долей размытости, которая

уменьшается по мере увеличения емкости первого пула.

Рис. 1. Вероятность прохождения сигнала через синапс в

зависимости от значений параметров р1 и й при разной

емкости первого пула: а) N =10, б) N = 50, в) N = 500, г) N = 2000

Графики приведены для значений N = 10, N =50, N = 500 и N = 2000. Начиная с нескольких сотен везикул в пуле, общая картина

меняется слабо. Что касается соотношения Р1 = а для

линии раздела областей, то оно является очевидным и объясняется просто. Дело в том, что математическое ожидание для количества раскрывающихся везикул,

согласно (1), равняется Npl, и это значение близко к

наиболее вероятному количеству раскрывающихся

везикул. Поэтому оценкой числа может быть

значение ЛЛ С другой стороны, импульс проходит,

если М ' п ~ Другими словами, если

минимальное количество везикул для передачи импульса не превышает математического ожидания для числа раскрывающихся везикул, вероятность передачи импульса высока. Если нет - то близка к нулю. Эта градация тем сильнее, чем больше число N .

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ИМПУЛЬСОВ

Далее рассмотрим ситуацию, когда вслед за первым сигналом приходит второй. В этом случае важным показателем является временная задержка ґ между сигналами. Понятно, что если интервал времени между сигналами достаточно большой, и первый пул успевает восстановиться до прихода второго сигнала, то сигналы можно считать независимыми в том смысле, что наличие первого сигнала не влияет на прохождение сигнала второго. В общем случае это не так. Действительно, если при прохождении первого сигнала в синаптическую щель выделилось содержимое ч везикул, то к приходу второго импульса первый пул

к, = тіп(ЛГ, N 4- г — £.) будет содержать - 1 везикул, где

введено обозначение

(квадратные скобки

означают выделение целой части). Эти везикулы раскрываются с вероятностью рх. Еще ^ 1 2 везикул

второго пула раскрываются с вероятностью Р2. Закон

распределения случайной величины «2 (как функции параметра 7^ ) определяется соотношением

Р&2 = к) =

0,

к < т

С%-Тр?+Т~к( 1 - т<к < ЛГ

лг

£ - р,)*, к = N

і к=х-т

На рис. 2 графически проиллюстрирован соответствующий закон распределения для нескольких

значений параметра ґ при значениях Р1 = 0.8 и

N = 100.

(6)

Рис. 2. Закон распределения для количества v2 везикул в первом пуле перед приходом второго импульса. При

расчетах использовались значения N = 100 , рх = 0.8 .

Распределения показаны для интервалов времени: а) t = 1, б) t = 50, в) t = 75 иг) t = 85. По горизонтальной оси откладывается количество везикул в пуле (в % к емкости пула), а по вертикальной -вероятность реализации такого значения

Хотя закон распределения для количества везикул в первом пуле существенно зависит, кроме времени прихода между импульсами, от емкости пула и вероятности раскрытия везикул, существуют некоторые общие закономерности. Во-первых, характерным значением для интервала времени (безразмерного t ) между приходами импульсов является математическое

ожидание — доя количества

высвобождающихся при передаче первого импульса

везикул. Если t > Npl, то до прихода второго

импульса первый пул с большой вероятностью успевает практически полностью восстановиться. В противном

случае (т.е. при t < Npl) количество везикул в первом

пуле существенно ниже того количества, которое было перед приходом первого импульса. Для малых интервалов t фактически имеет место стандартное

распределение Бернулли с эффективной вероятностью успеха #1=1- Р1 и максимумом в диапазоне от Nq1 + t до ^ + 1)#1 + t . Таким образом, при

t = 0 (два импульса друг за другом - то есть

фактически один импульс "двойной" длины) максимум распределения расположен для значения количества

везикул в первом пуле от N (1 - Р1) до

^ + 1)(1 - Р1). С увеличением интервала между импульсами этот пик смещается вправо (рис. 2 а и рис. 2 б), пока при значениях t , сравнимых с Npl, не

начинает "деформироваться" - наибольшей вероятность

становится для 100%-го заполнения пула.

Закон распределения случайной величины 'у2 для количества раскрывшихся везикул при передаче второго импульса дается выражением

' Щ2 = к) =

£ едирм х

т,г,^: i+j=k,0<i<m,Q<j<N—m

(і -Ріг

Р(і'2 = т)

41 - р2 Р(1'2 = т)

, (7)

где вероятности ^ вычисляются согласно

соотношению (6). На рис. 3 проиллюстрирован закон

распределения для случайной величины ^2. Фактически, с увеличением интервала между

импульсами профиль распределения смещается вправо, в идеале трансформируясь при больших значениях t , в распределение для количества раскрывающихся везикул при передаче первого импульса.

10 20 30 40 50

Рис. 3. Закон распределения для количества раскрывающихся везикул при передаче второго импульса для нескольких интервалов между импульсами: t = 1 а), t = 50 б), t = 75 в) и t = 85 г) при значениях

вероятностей Р1 = 0.8 и Р2 = 0.2 и емкости первого

пула N = 100. По горизонтальной оси откладывается количество раскрывающихся везикул (в % к емкости пула), а по вертикальной - вероятность реализации такого значения.

Что касается вероятности ^>| ?2 — п 1 прохождения второго импульса, то она существенно зависит от таких

параметров: вероятностей р1 и р2, параметра а,

МОДЕЛЬ ЭКЗОЦИТОЗА МЕДИАТОРА В СИНАПС

определяющего нижний относительный порог раскрываемых везикул для передачи импульса, а также интервала t между первым и вторым импульсами.

Понятно, что если интервал между импульсами велик (достаточен для восстановления первого пула), то

от вероятности Р2 мало что зависит и качественно ситуация такая же, как при передаче первого импульса. Поэтому имеет смысл остановиться на случае, когда

интервал между импульсами невелик, то есть t < Р1. При этом имеет значение, как соотносятся параметры Р1, Р2 и а . Как отмечалось выше, для надежной передачи первого импульса необходимо, чтобы а < Р1.

Если при этом а < Р2 или близко к значению Р2 , то

вероятность передачи второго импульса практически мало отлична от единицы - только для очень малых интервалов между импульсами. В качестве иллюстрации на рис. 4 приведена зависимость вероятности передачи сигнала от интервала между первым и вторым

импульсами для значений Р1 = 0.8 , Р2 = 0.2 ,

а = 0.3 и N = 50.

Рис. 4. Вероятность

Р&_ > п)

передачи второго импульса как функция от времени между приходами первого и второго импульсов на пресинаптическую мембрану. При расчетах использованы следующие значения параметров

модели: р1 = 0.8 , р2 = 0.2, а = 0.3 и N =50

Ситуация качественно меняется, если параметр а существенно превышает значение Р2 и близко к

значению Р1 . Иллюстрация представлена на рис. 5.

Рис. 5. Вероятность -^Л — 7: ■ передачи второго импульса

как функция от времени между приходами первого и второго импульсов на пресинаптическую мембрану. При расчетах использованы следующие значения параметров

модели: р1 = 0.8 , р2 = 0.2, а = 0.7 и N =50

В этом случае имеется существенная область по параметру 7 , для которой передача второго импульса маловероятна.

”к+1 = Г)к + Т

Пк = ^(1 - Рг)

ОЦЕНОЧНЫЕ РАСЧЕТЫ

Ситуация со следующими импульсами еще сложнее, поскольку имеет значение не только количество выделившихся в синапс везикул, но и то, из какого пула они выделялись. Для того чтобы оценить параметры процессов, происходящих при передаче

последовательности импульсов, воспользуемся

упрощенной схемой экзоцитоза, в которой будем предполагать, что каждый раз при приходе импульса в каждом из пулов раскрывается количество везикул, совпадающее с математическим ожиданием соответствующей величины. В этом случае для небольших интервалов I между импульсами

(значительно меньших величины р^ ) можем записать

следующие рекуррентные соотношения:

= Р^'к ~ 1'к), (8)

(9)

(10) ^ ^ _ Ту

с начальным значением 1 ж . В результате для количества раскрывающихся при передаче импульса

везикул имеем соотношение

&+1 = (1 - ра)4 + (р1 -р2)т + рхр2я (11)

Данное рекуррентное соотношение позволяет записать оценку для количества раскрывающихся везикул для

произвольного импульса, если известно количество раскрывшихся везикул при передаче т -го импульса:

4 = +

(1 - (1 - рл)к~т)(р^М - т(1 - р2/р,)). (12)

В частности, поскольку для первого импульса в рамках

„ £ = 1\Тр, сделанных упрощении имеем оценку 1 1, то для

к -го импульса количество раскрывшихся везикул

определяется соотношением

5, =(1-л1)*-'р,Л- +

(1 - (1 - р,)*_1)(р2^ + г(1 - р2/г>,)) (13)

Самым интересным свойством полученного соотношения является, пожалуй, то, что с увеличением

к значение

индекса

для

количества

раскрывающихся везикул стремится к величине

^2^ 1 ^ Р-/ ^1 • ' і . Таким образом, если

имеет место достаточно длинная серия импульсов

высокой частоты (параметр 7 количество

раскрывающихся при приходе очередного импульса везикул стремится к указанному значению. Фактически, значение вероятности рі определяет начальное значение для количества раскрываемых при приходе первого импульса везикул и темпы выхода на стационарное значение. Система тем быстрее выходит на

стационарный режим, чем больше вероятность Р1 .

ВЫВОДЫ

Предложенная в статье и проанализированная модель экзоцитоза медиатора в синаптическую щель при передаче нервного импульса позволяет сделать несколько выводов качественного характера. В первую очередь, несмотря на стохастический характер происходящих при экзоцитозе медиатора процессов, система обладает очевидной устойчивостью с точки зрения управляющих параметров. В частности, существует область значения основных характеристик модели, для которой импульс передается с высокой вероятностью, близкой к единице. На практике это означает достаточно высокий уровень

детерминированности процесса передачи нервного импульса.

Во-вторых, при передаче последовательности высокочастотных импульсов система в конечном итоге переходит в устойчивый стационарный режим функционирования, при котором количество

впрыскиваемого в синаптическую щель медиатора определяется основными параметрами модели.

Последнее немаловажно, поскольку открывает

достаточно широкие перспективы для

экспериментального определения вышеупомянутых характеристик.

Литература

1. Зефиров А.Л., Черанов СЮ., Гиниатуллин Р.А., Ситдикова Г.Ф., Гришин С.Н. Медиаторы и синапсы. Казань: КГМУ, 2003. - 65 с.

2. Сидоров А.В. Физиология межклеточной коммуникации. Минск: БГУ, 2008. - 215 с.

3. Quastel DMJ. The Binomial Model in Fluctuation Analysis of Quantal Neurotransmitter Release // Biophysical Journal. - 1997. -Vol. 72. - P. 728-753.

4. Weis S., Schneggenburger R., Neher E. Properties of a Model of Ca-Dependent Vesicle Pool Dynamics and Short Term Synaptic Depression // Biophysical Journal.- 1999.-Vol.77.- P. 2418-2429.

5. Trommershauser J., Schneggenburger R., Zippelius A., Neher E. Heterogeneous Presynaptic Release Probabilities: Functional Relevance for Short-Term Plasticity // Biophysical Journal.-2003.

- Vol. 84. - P. 1563-1579.

6. Shtrahman M., Yeung C., Nauen D. W., Bi G., Wu X. Probing Vesicle Dynamics in Single Hippocampal Synapses // Biophysical Journal. -2005. -Vol. 89. - P. 3615-3627.

7. Khanin R., Pamas H., Segel L. Diffusion Cannot Govern the Discharge of Neurotransmitter in Fast Synapses // Biophysical Journal. - 1994. - Vol. 67. - P. 966-972.

8. Kruk P.J., Korn H., Faber D.S. The Effects of Geometrical Parameters on Synaptic Transmission: A Monte Carlo Simulation Study // Biophysical Journal. - 1997. - Vol. 73. - P. 2874-2890.

9. Chalyi A.V. , Chernenko LM. Phase transition in finite-size systems and synaptic transmission // Dynamical Phenomena at Interfaces, Surfaces and Membranes / D.Beysens, N.Boccara, G.Forgacs. New York: Nowa Science Publishers, 1993.

- P. 457-464.

10. Vasilev A.N., Chalyi A.V. Cooperative Operation Mode of a Synaptic Channel // Ukrainian Journal of Physics. - 2009. -Vol. 54. ,N. 12. - P. 1183-1188.

11. Rizzoli S.O., Betz W.J. Synaptic Vesicle Pools // Nature Reviews. Neuroscience. - 2005. - Vol. 6. - P. 57-69.

МОДЕЛЬ ЕКЗОЦИТОЗУ МЕДІАТОРА У СИНАПС Васильєв О.М., Кисляк С.В.

В статті розглядається модель, що описує екзоцитоз медіатору в синаптичну щілину при передачі нервового імпульсу. В основу моделі лягли сучасні уявлення про природу екзоцитозу медіатору як про випадковий процес. Модель враховує ту обставину, що везикули пресинаптичної мембрани, які містять медіатор, групуються по декільком пулам і мають різні властивості в різних пулах. Основна увага при аналізі результатів моделі приділяється стійкості системи. Зокрема, показано, що така система (в рамках дослідженої моделі) має чітко виражений поріговий тип поведінки і стійка з точки зору варіації вхідних параметрів моделі.

Ключові слова: синапс, постсинаптична мембрана, пресинаптична мембрана, везикула, медіатор, ацетилхолін, нервовий імпульс.

THE MODEL OF MEDIATOR EXOCYTOSIS INTO SYNAPSE Vasilev A.N., Kislyak S.V.

In this paper we consider model that describes mediator exocytosis in synaptic cleft while nerve impulse spreads. The model is based on modern imaginations about the nature of exocytosis to be a stochastic process. In the model we account that vesicles of presynaptic membrane that holds mediator are arranged by several pools and their properties depend on which pool holds the vesicle. In our analysis main attention is focused on problem of system stability. In particular we show that such a system (under assumptions of our model) demonstrates threshold-like behavior and are stable for variation of initial parameters of the model.

Key words: synapse, postsynaptic membrane, presynaptic membrane, vesicle, mediator, acetylcholine, nerve impulse