CC BY
113. Вьюгин В.В. О минимальных нумерациях вычислимых классов рекурсивно-перечислимых множеств // Докл. АН СССР. 1973. 212, № 2. 273-275.
14. Марченков С.С. О существовании семейств без позитивных нумераций // Матем. заметки. 1973. 13, № 4. 597-604.
15. Бадаев С.А. Минимальные нумерации // Тр. Ин-та математики СО РАН. 1993. 25. 3-34.
16. Friedberg R.M. Three theorems on recursive enumeration. I. Decomposition. II. Maximal set. III. Enumeration without duplication //J. Symb. Log. 1958. 23, N 3. 309-316.
17. Гончаров С.С., Лемпп С., Соломон Д. Фридберговские нумерации семейств n-вычислимо перечислимых множеств // Алгебра и логика. 2002. 41, № 2. 143-154.
18. Гончаров С.С. Семейства с единственной позитивной нумерацией // Вычисл. системы. 1992. 146. 96-104.
19. Ershov Yu.L. Theory of numberings // Handbook of computability theory / Ed. by E.R. Griffor; Stud. Logic Found. Math. Vol. 140. Amsterdam: Elsevier, 1999. 473-503.
20. Бадаев С.А., Гончаров С.С. О полурешетках Роджерса семейств арифметических множеств // Алгебра и логика. 2001. 40, № 5. 507-522.
21. Подзоров С.Ю. О локальном строении полурешеток Роджерса ^-вычислимых нумераций // Алгебра и логика. 2005. 44, № 2. 148-172.
22. Soare R.I. Recursively enumerable sets and degrees. A study of computable functions and computably generated sets. Perspectives in mathematical logic. Berlin; Heidelberg; N.Y., etc.: Springer-Verlag, 1987.
23. Nies A. Computability and Randomness. Oxford: Oxford Logic Guides, 2009.
24. Badaev S.A., Goncharov S.S. On computable minimal enumerations. Algebra // Proc. Third Int. Conf. on Algebra in memory of M.I. Kargopolov. Berlin; N.Y.: Walter de Gruyter, 1995. 21-32.
25. Badaev S.A., Lempp S. A decomposition of the Rogers semilattice of a family of d.c.e. sets //J. Symb. Log. 2009. 74, N 2. 618-640.
26. Гончаров С.С. Вычислимые однозначные нумерации // Алгебра и логика. 1980. 19, № 5. 507-551.
27. Goncharov S.S., Harizanov V., Knight J., McCoy C, Miller R., Solomon R. Enumerations in computable structure theory // Ann. Pure and Appl. Log. 2005. 136, N 3. 219-246.
28. Файзрахманов М.Х. Минимальные обобщенно вычислимые нумерации и высокие степени // Сиб. матем. журн. 2017. 58, № 3. 710-716.
29. Faizrahmanov M.Kh. Extremal numberings and fixed point theorems // Math. Log. Quart. 2022. 68, N 4. 398-408.
Поступила в редакцию 14.11.2022
УДК 517.93
МНОЖЕСТВО ПРЕДЕЛЬНО РЕАЛИЗУЕМЫХ ЗНАЧЕНИЙ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ЭНТРОПИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ МНОЖЕСТВА КАНТОРА
А. Н. Ветохин1
Установлено, что в любой окрестности каждого непрерывного отображения совершенного множества Кантора найдется отображение с заданной топологической энтропией.
Ключевые слова: топологическая энтропия, символическая динамика.
It is established that in any neighborhood of each continuous mapping of a Cantor perfect set there is a mapping with a given topological entropy.
Key words: topological entropy, symbolic dynamics.
DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-64-3-6
В качестве меры "массивности" компактного метрического пространства X А. Н. Колмогоров в статье [1] ввел понятие е-емкости, которая определяется как максимальное число е-различимых
0Ветохин Александр Николаевич — доктор физ.-мат. наук, доцент каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ; проф. каф. ФН-1 "Высшая математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана, e-mail: anveto27@yandex.ru.
Vetokhin Alexander Nikolaevich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mathematics and Mechanics, Chair of Differential Equations; Professor, Bauman Moscow State Technical University, Chair of Higher Mathematics.
18 ВМУ, математика, механика, №3
элементов в X. Используя это понятие, приведем определение топологической энтропии автономной динамической системы [2]. Пусть d — метрика на X, для непрерывного отображения f : X — X определим на X дополнительную систему метрик
dfn (x,y) = max d(fi(x),ft(y)) (f = f = idx), x,yex, пе N.
г
Для каждых n e N и е > 0 обозначим через Nd(f,e,n) е-емкость пространства (X,dn), т.е. мак-
f
симальное количество точек в X, попарные
dn -расстояния между которыми больше, чем е. Тогда топологическая энтропия динамической системы (X, f) определяется формулой
htop(f) = Hm lim -\nNd{f,e,n). (1)
£—п—ж n
Отметим, что величина (1) не изменится, если в ее определении метрику d заменить на любую другую, задающую на X ту же, что и d, топологию.
Напомним еще одну формулу для вычисления топологической энтропии [2]. Для всяких е > 0
f
и n e N обозначим через Bf (x,e,n) открытый шар {y e X : dn(x,y) < е}. Множество A с X называется (f, е, ^-покрытием пространства X, если
X С [J Bf (x^,n). xeA
Пусть Sd(f, е, n) обозначает минимальное количество элементов (f, е, п)-покрытия, тогда топологическая энтропия может быть вычислена по формуле
htop(f) = Hm Hm -InSd(f,e,n). £—0 п—ж n
Обозначим через C (X, X) множество непрерывных отображений из X в X с метрикой
p(f,g) = max d(f (x),g(x)).
Рассмотрим функцию
f -- htop (f). (2)
В работе [3] для X = [0; 1] установлено, что функция (2) является всюду полунепрерывной снизу. В работе [4] доказано, что функция (2) принадлежит второму бэровскому классу на пространстве C(X,X) и множество точек пространства C(X,X), в которых функция (2) полунепрерывна снизу, содержит плотное в пространстве C(X,X) множество типа Gs, а в [5] установлено, что само множество точек полунепрерывности снизу является всюду плотным в C (X, X) множеством типа Gs. Если X — канторово совершенное множество на отрезке [0, 1] с метрикой, индуцированной естественной метрикой вещественной прямой, то функция (2) всюду разрывна и полунепрерывна снизу только в точках, в которых топологическая энтропия равна нулю [5], а в [6] установлено, что функция (2) не принадлежит первому классу Бэра даже на подпространстве гомеоморфизмов, удовлетворяющих условию Липшица. В работе [7] в пространстве C (X, X) построено совершенное замкнутое множество K, такое, что множество точек полунепрерывности сверху функции htop \к пусто.
Обозначим через Eh(f) множество предельно реализуемых значений топологической энтропии, т.е. тех, которые получаются при сколь угодно малых равномерных возмущениях отображения f:
ВД)= ^{htop{g) ■■ p{f,g) <\}-
п&Ч
На множестве последовательностей x = (x\,x2,...), xk e {0, 1}, k e N, введем метрику
/0, если x = y;
n21 ) У) — S 1 если x Ф у.
К minjt: Xi=yi}> ' y
Полученное компактное метрическое пространство обозначим через О 2• Отметим, что пространство О 2 гомеоморфно совершенному множеству Кантора на отрезке [0, 1] с метрикой, индуцированной естественной метрикой вещественной прямой.
Напомним некоторые свойства топологической энтропии, которые будут использованы в дальнейшем.
Предложение 1. Если X и У — компактные метрические пространства, то
1) для любого непрерывного отображения и : X — X и любого п € N выполнено равенство ^оМп) = п^сри) [8, е. 123];
2) для любого непрерывного отображения и : X — X и любого гомеоморфизма ф из У на X выполнено равенство Нор (ф-1 о и о ф) = (и) [8, е. 123];
3) для любых непрерывных отображений и : X — X и д : У — У выполнено равенство Нор (и X д) = Нор (и) + Нор (д) [8, е. 123];
4) для отображения а : О2 — О2, определяемого формулой а(х1,х2,х3,...) = (х2,х3,х4,...), выполнено равенство Нср (а) = 1п2 [8, е. 132].
Основным результатом настоящей работы является следующая теорема.
Теорема. Для каждого непрерывного отображения ад : О2 — О2 выполнено равенство Е^(ад) = [0;+то].
Доказательство. Для натурального числа п рассмотрим множество О2(п) конечных последовательностей вида
х = (х1,х2,.. .,хп), хк € {0, 1}, к = 1,...,п.
Обозначим через кх номер первой единицы в последовательности х. Зададим отображение 5п : О2(п) — О2(п) равенством
{(1,..., 1) при х1 = ... = хп = 0;
(1,..., 1, 0, хкх+1, ...,хп)в остальных случаях. кх-1
Лемма 1. Для любого п € N последовательность итераций (§Пявляется периодической с наименьшим периодом 2п.
Доказательство. Каждому элементу х € О2(п) поставим в соответствие натуральное число
п
М(х) = £ хк2к-1. В силу определения отображения 6п имеем к=1
М (5п (х))
Г 2п - 1 при х = 0; М(х) — 1 в остальных случаях.
Таким образом, для любого х € О2(п) последовательность (§п(х))^=1 является периодической с наименьшим периодом 2п. Лемма 1 доказана.
Используя отображение 5п, определим отображение ап : О2 — О2 равенством
// I (5п (х1,...,хп ),хп+2 ,хп+з,...) при х1 = ... = хп = 0;
ап((х1 ,х2, ...)) = < ,х , л л
1 (оп (х1,...,хп ),хп+1 ,хп+2,...) в остальных случаях.
Лемма 2. Для любого натурального числа п выполнено равенство 2пНюр(ап) = 1п2. Доказательство. В силу леммы 1 для любой последовательности (х1,х2,...) € О2 имеем
ап (x1, х2,...) — (x1, . .., xn, хп+2, хп+3,...),
т.е. отображение а^ совпадает со сдвигом на один элемент влево последовательности х € О2 начиная с элемента с номером п + 1, а в силу предложения 1 получаем цепочку равенств 1п2 = Н^ор (а^) = 2пНср (ап). Лемма 2 доказана.
Лемма 3. Для любого а € [0, +го] найдется непрерывное отображение иа : О2 — О2, такое, что Нор (иа) = а.
Доказательство. Для а = 0 положим иа = 1ёп2. Так как топологическая энтропия тождественного отображения равна нулю, то Нор (иа) = а.
Рассмотрим пространство 0? бесконечных матриц вида
(ац а\2 ■ ■ Л
А =
а21 а22 ■■■
V
)
где а^ € {0, 1}, с метрикой
10, если А = В; 4?(Д5)= - 1 если Аф В.
Рассмотрим отображение ф : 02 — 02?, определяемое равенством
/ х1 х2 х9 ■ ■ \
ф((Ж1,Ж2,Хз,Х4,Х5, Хб,Х7, Х8,Хд, ■■■)) =
Х4 Х3 Х8 ■■■ Х5 Х6 Х7 ■ ■■
V :
В силу определения отображение ф является гомеоморфизмом из 02 на 0?, следовательно, для любого отображения д : 0,2 — ^2 выполнено равенство Л^ор (ф—10д◦ ф) = htop (д), поэтому в дальнейшем будем строить отображения из 02 в 02 ■
Для а = рассмотрим отображение да : 02? — 02?, определяемое равенством
да
( ( ац а12 а1з ■ ■ ■ \ \ а21 а22 а2з ■ ■ ■ аз1 аз2 азз
V
'7
(а11+1 а12+1 а13+1 ■ ■ ■ \ а21+2 а22+2 а23+2 ■ ■ ■ а31+3 а32+3 а33+3 ■ ■ ■
V • • • •••/
Для фиксированных г, п € N рассмотрим множество Qrn матриц из 0?, коэффициенты которых удовлетворяют условиям
0 или 1, если г = г, ] = 1, 2, ■ ■ ■ , гп; 0 в остальных случаях.
Отметим, что мощность множества Qrn равна 2гп. Пусть А, В € Qrn и А = В, тогда
шах лйША)МВ))>--
о^г^п—1 Г
Если е < то величина е, п) не менее мощности множества С^гп, а следовательно, Л^ор(да) ^
г 1п2 ■ В силу произвольности г получаем равенство Л^ор (да) = из которого для отображения ¡а = ф-1 о да о ф следует равенство Л^ор (¡а) = а■
Далее, для а € (0,1п2) имеем а/ 1п2 = ^ Шк2—к, Шк € {0, 1} (здесь будем предполагать, что
к=1
двоично-рациональные числа представляются в виде конечных сумм), положим
да
а11 а12 а13 а21а22а23 а31 а32 а33
V •
(а^11 (ац,а12,а13, ■ ■ ■ )\ а™2 (а21 ,а22,а23, ■ ■ ■) аТ3 (а31 ,a32, азз, ■ ■ ■ )
V
/
Пусть а/ 1п2 — двоично-рациональное число, тогда существует к € N для которого выполнены соотношения Шк = 1 и 0 = Шк+1 = Шк+2 = ■ ■ ■ , а следовательно, имеет место равенство
да = ат *■ ■ ■Х а™ х
П
г=к+1
из которого в силу предложения 1 для отображения fa = р 1 о ga о р имеем
к
htop (fa) = htop(g«) = ^ mi2-l In 2 = а. i=1
Пусть а/ 1п2 — двоично-иррациональное число, тогда существует последовательность (кг)г°=1, для которой выполнено равенство Шк1 = 1, I € N и имеет место представление
да = 1ЙП2 х ... х 1ёП2 хак! х х ... х хак2 х ... .
4-V-' 4-V-'
кх —1 к2-кх —1
Для фиксированного I рассмотрим множество Qkl матриц из коэффициенты которых удовлетворяют условиям а^ = 0, г ^ кг + 1, ] = 1,2,... . Отметим, что множество Qkl инвариантно относительно отображения да, следовательно, используя предложение 1, получаем
1п 2 ^ тг 1п 2
1ЧоР(да) ^ гц,0р{да\дк1) = ^ = —^—'
г=1 г=1
Переходя в последнем неравенстве к пределу при I — заключаем, что
т 1п 2
Нор (да) > V = а. (3)
г=1
Так как для любых двух матриц А, В € , удовлетворяющих условию а^ = Ь^, г ^ кг, ] = 1, 2,..., выполнены неравенства
¿пп = 0,1,2,...,
то любое (да, 1/к\,п)-покрытие инвариантного множества Qkl является (да, 1/к\,п)-покрытием всего пространства Следовательно, получаем неравенство
Sd(ga, l/ki,n) ^ Sd(ga\q4 ,1/ki ,n),
из которого имеем
^l^Sd(ga,l/khn) ^ htop(ga\Qki) = =
l=1 i=1
Переходя в последнем неравенстве к пределу при l ^ заключаем, что
, . Шг In 2
Нор (да) < i = а. (4)
г=1
ж
В силу оценок (3) и (4) получаем равенство htop(ga) = mi2"2 = а, из которого для отображения
г=1
fa = р-1 о ga о р следует равенство Hop (fa) = а.
Для любого ß > 0 найдем те N, такое, что ^ е (0, In 2). Построим отображение fß_, тогда в
т
силу предложения 1 будем иметь Нор(/^) = ^Hop(/j.) = ß- Лемма 3 доказана.
т т
Завершим доказательство теоремы. Для произвольных а е [0; и непрерывного отображения w(x1,x2,...) = (y1,y2,...) зададим последовательность отображений
fn'a(X1 ,Х2,...) = (y1,...,yn,fa((Xn+1,Xx+2,...)), П е N,
где fa — отображение, построенное в лемме 3. Так как для последовательности (fn' )^=1 выполнены равенства
lim p(fW,a,w) = 0, htop(fW,a) = htop(fa) = a,
п^ж
то получаем требуемое равенство Eh(w) = [0;+го]. Теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Колмогоров А.Н. Асимптотические характеристики вполне ограниченных метрических пространств // Докл. АН СССР. 1956. 179, № 3. 585-589.
2. Динабург Е.И. Связь между различными энтропийными характеристиками динамических систем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1971. 35, № 2. 324-366.
3. Misiurewicz M. Horseshoes for mappings of the interval // Bull. Acad. pol. sci. Ser. sci. math., astron. et phys. 1979. 27. 167-169.
4. Ветохин А.Н. Типичное свойство топологической энтропии непрерывных отображений компактов // Диф-ференц. уравнения. 2017. 53, № 4. 448-453.
5. Ветохин А.Н. Строение множеств точек полунепрерывности топологической энтропии динамических систем, непрерывно зависящих от параметра // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2019. № 4. 69-72.
6. Ветохин А.Н. Непринадлежность первому классу Бэра топологической энтропии на пространстве гомеоморфизмов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2018. № 5. 64-67.
7. Ветохин А.Н. Пустота множества точек полунепрерывности сверху топологической энтропии одного семейства динамических систем // Дифференц. уравнения. 2019. 55, № 8. 1152-1153.
8. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М., 1999.
Поступила в редакцию 07.02.2020
