CC BY
79. Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием рядов Чебышёва // Сиб. электрон, матем. изв. 2010. 7. 122-131. 10. Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. О вычислении коэффициентов рядов Чебышёва для решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Сиб. электрон, матем. изв. 2011. 8. 273-283.
Поступила в редакцию 15.11.2018
УДК 517.93
СТРОЕНИЕ МНОЖЕСТВ ТОЧЕК ПОЛУНЕПРЕРЫВНОСТИ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ЭНТРОПИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ, НЕПРЕРЫВНО ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА
А. Н. Ветохин1
Для семейства динамических систем, непрерывно зависящих от параметра, получено описание множества точек полунепрерывности снизу и множества точек полунепрерывности сверху топологической энтропии его систем, рассматриваемой как функция параметра.
Ключевые слова: топологическая энтропия.
A description of the set of lower semi-continuity points and the set of upper semi-continuity points of the topological entropy of its systems considered as a function of some parameter is obtained for a family of dynamical systems continuously dependent on the parameter.
Key words: topological entropy.
Пусть (X, d) — компактное метрическое прострапство, a f : X ^ X — непрерывное отображение. Наряду с исходной метрикой d определим на X дополнительную систему метрик
dfn(x,y) = max d(fi(x),fг(у)), n € N, x,y € X.
О^г^п— 1
Обозначим через Bf (x,e, n) открытый шар {y € X : dn(x,y) < e}. Множество E С X называется (f, e, п)-покрытием, если
X С [J Bf (x, e, n).
xeE
Пусть Sd(f, e, n) обозначает минимальное количество элементов (f, e, п)-покрытия. Топологической
f
чина [1, с. 120]
htoM) = lim lim -ln Sd(f,e,ri).
£—^0 п—те n
По метрическому пространству M и непрерывному отображению
f : M х X ^ X (1)
образуем функцию
^ I-> htop(f •))- (2)
M
жений (1) типично по Бэру свойство полунепрерывности снизу, другими словами, множество точек M
M множество типа
Возникает естественный вопрос: что представляют собой множество точек полунепрерывности снизу и множество точек полунепрерывности сверху функции (2)?
1 Ветохин Александр Николаевич — доктор физ.-мат. наук, доцент каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ, проф. каф. ФН-1 "Высшая математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана, e-mail: anveto27Qyandex.ru.
Используя формулу для топологической энтропии из работы [2], получим следующее утверждение.
Теорема 1. Для произвольного пространства М множество точек полунепрерывности снизу функции (2) является множеством типа а, множество ее точек полунепрерывности сверху — множеством типа
Доказательство. Обозначим через N1 множество точек, которые не являются точками полунепрерывности снизу для функции (2). Это множество имеет вид
N1 = и (> еМ : ^ор (/■)) > г}П (М \ € М : Люр(/•)) > г})) , (3)
теО
где О — множество рациональных чисел, а т^ — множество внутренних точек множества 2. Действительно, разность € М : Л^ор(/■)) > г} \ т^^ € М : Л^ор(/■)) > г}) при любом г € О не содержит точек полунепрерывности снизу функции (2), с другой стороны, если точка ^о принадлежит множеству N1, то найдется такое г0 € О, для которого € {^ € М : Л^ор(/■)) > г0} и € € М : Л^ор(/(и, ■)) > г0}). Следовательно, получаем равенство
N1 = и ({^ € М : Л*ор(/■)) > г} \ т^ € М : Люр(/•)) > г}).
теО
Из равенства
{^ € М : Лор(/■)) > г} \ т^ € М : Лор(/•)) > г} =
= {^ € М : Люр(/■)) > г}р|(М \ т^ € М : Люр(/•)) > г})
получим формулу (3).
В работе [2] установлено, что
Лор(/■))= 111+ Ы/■)), М/■)) < Л2(/(и,■)) < ...,
где для любого натурального числа т функция ^ 1—^ Лт(/■)) принадлежит первому бэровскому М
Для любого г € О множество {^ € М : Л^ор(/■)) > г} можно представить в виде
и ({^ € М : Лт(/■)) >г}).
тем
Так как функции ц -—> Лт(/■)) принадлежат первому бэровскому классу, то для любого т € N множество {^ € М : Лт(/■)) > г} является множеством типа а следовательно, множество точек N1 является множеством типа ¥а. Таким образом, множество точек полунепрерывности снизу функции (2) является множеством типа
Обозначим через N2 множество точек, которые не являются точками полунепрерывности сверху функции (2). Это множество имеет вид
N2 = и (> € М : ^ор(/■)) < г} р|(М \ т^ € М : Люр(/•)) < г})) .
теО
Для любого г € О множество {^ € М : Л^ор(/■)) < г} можно представить следующим образом:
кем те^
Так как функции ^ -—> Лт(/■)) принадлежат первому бэровскому классу, то для любых к, т € N множество {/х € .М : (/(//, •)) ^ г — является множеством типа а следовательно, множество точек N2 является множеством типа С$а- Таким образом, множество точек полунепрерывности сверху функции (2) является множеством типа Теорема 1 доказана. Из результата работы [2] получаем следующее утверждение.
Теорема 2. В случае полноты пространства М множество точек полунепрерывности снизу функции (2) является всюду плотным множеством типа О$.
На множестве последовательностей (ж = (ж1,ж2,...) : € {0, 1}} введем метрику
( )_ Г 0, если ж = у;
а(ж) у) _ | 2- тт{&: хк=ук}, если ж _ у_
Полученное компактное метрическое пространство обозначим через В. В работе [2] доказано, что точка в С (В, В) — пространстве непрерывных отображений, действующих из В в В, с равномерной топологией — является точкой полунепрерывности снизу топологической энтропии тогда и только тогда, когда в этой точке топологическая энтропия равна нулю. Отсюда и из теоремы 2 получаем
Следствие. Множество нулей функции Л^ор : С (В, В) ^ [0;является всюду плотным множеством типа О$.
Отметим, что, согласно [3], для семейства линейных дифференциальных систем, непрерывно зависящих от параметра, принадлежащего полному метрическому пространству, множество точек полунепрерывности сверху каждого из показателей Ляпунова его систем, рассматриваемого как функция параметра, является всюду плотным множеством типа
Построим пример отображения (1), такого, что множество точек полунепрерывности снизу функции (2) является всюду плотным множеством типа О$ и не является множеством типа Еа, в частности не является открытым множеством.
Теорема 3. Пусть М _ X _ В, тогда для отображения
/ ), (ж1 )) _ (ж1+М1 ,ж2+да , ••• )
выполнено равенство
1п 2, если последовательность ц содержит конечное число нулей;
^ор(/(ц, ■)) _ 1 п 0
Доказательство. В силу определения отображение / : Мх X ^ X является непрерывным по совокупности переменных.
Если последовательность ц содержит конечное число нулей, то отображение /(ц, •), является сдвигом последовательности ж на один элемент влево начиная с некоторого номера, следовательно,
1п 2
Если последовательность ц содержит бесконечное число нулей, то для каждого т € N найдется нуль с номером 1(т) > т. Для любого г ^ 1(т) и для любой последовательности ж первые т членов последовательностей / 1(т)(ц, ж) и /г(ц, ж) совпадают, а следовательно, величина (ц, ■), 2-т, г) не зависит от г начиная с г _ 1(т). Таким образом, топологическая энтропия отображения /(ц, ■) равна нулю. Теорема доказана.
Отметим, что множество точек, в которых функция ц I—> Л^ор(/(ц, ■)) полунепрерывна снизу (т.е. множество ее нулей), не является множеством типа так как в противном случае полное В
плотных множеств типа С другой стороны, пересечение двух всюду плотных множеств типа О $ само является всюду плотным а следовательно, множество точек полунепрерывности снизу рассматриваемой функции не является множеством типа ¥а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999.
2. Ветохин А.Н. Типичное свойство топологической энтропии непрерывных отображений компактов // Диф-ференц. уравнения. 2017. 53, № 4. 448-453.
3. Карпук М.В. Строение множества точек полунепрерывности показателей Ляпунова линейных дифференциальных систем, непрерывно зависящих от параметра // Дифференц. уравнения. 2015. 51, № 9. 1404-1408.
Поступила в редакцию 28.09.2018
