Об одном аналитическом методе приближенного решения канонических систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Краткие сообщения

УДК 519.622

ОБ ОДНОМ АНАЛИТИЧЕСКОМ МЕТОДЕ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ КАНОНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

О. Б. Арушанян1, С. Ф. Залеткин2

Описан подход к применению рядов Чебышёва для интегрирования канонических систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, основанный на аппроксимации решения задачи Коши и его первой и второй производных частичными суммами смещенных рядов Чебышёва. Коэффициенты рядов вычисляются с помощью итерационного процесса с использованием квадратурной формулы Маркова. Показано, что данный подход приводит к приближенному аналитическому методу решения задачи Коши. Рассмотрены примеры канонических дифференциальных уравнений второго порядка, для которых получено приближенное аналитическое представление решения в виде частичной суммы смещенного ряда Чебышёва.

Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, канонические системы дифференциальных уравнений второго порядка, приближенные аналитические методы, численные методы, ортогональные разложения, смещенные ряды Чебышёва, квадратурные формулы Маркова.

An approach to using the Chebyshev series to solve the canonical second-order ordinary-differential equations is described. This approach is based on the approximation of the solution to the Cauchy problem and its first and second derivatives by partial sums of shifted Chebyshev series. The coefficients of the series are determined by an iterative process using a Markov-quadrature formula. It is shown that the described approach allows one to propose an approximate analytical method of solving the Cauchy- problem. A number of canonical second-order ordinary- differential equations are considered to represent their approximate analytical solutions in the form of partial sums of shifted Chebyshev series.

Key words: ordinary- differential equations, canonical systems of second-order ordinary-differential equations, approximate analytical methods, numerical methods, orthogonal expansions, shifted Chebyshev series, Markov quadrature formulas.

Рассматривается задача Коши для канонической системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

v"(x) = f (x, y(x),y'(x)), y(xо) = yo, y'(xo) = y'0, xo ^ x ^ xo + X, (1)

при условии, что функция f (x, y, y') имеет в области определения системы достаточное число непрерывных частных производных. Предполагается также, что на отрезке [xo, xo + X] существует единственное решение задачи Коши (1).

В [1-3] предложен приближенный метод решения задачи (1), основанный на разложении правой части системы f (x, y(x), y'(x)) на элементарном сегменте x € [xo, xo + h], h ^ X, в равномерно сходящийся ряд Фурье

те

f(xo + ah,y(xo + ah),y'(xo + ah)) = Ф(а) = ^'а*[Ф]Т*(а), 0 ^ a ^ 1,

i=o

по смещенным многочленам Чебышёва первого рода T*(a) = Ti(2a — 1) 0 ^ a ^ 1. Такой ряд будем называть смещенным рядом Чебышёва, а коэффициенты ряда — коэффициентами Чебышёва. Если коэффициенты а* [Ф] этого разложения известны, то, используя простые соотношения, связывающие

1 Арушанян Олег Багратович — доктор техн. наук, проф., зав. лаб. Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: arushQsrcc. msu .ru.

2 Залеткин Сергей Федорович — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: irazQsrcc.msu.ru.

коэффициенты Чебышёва а* [у] функции у(жо + ah) 0 ^ а ^ 1, а также коэффициенты Чебышёва а* [у'] ее первой производной у'(ж0 + ah) 0 ^ a ^ 1, с коэффициентами Чебышёва а* [у''] = а*[Ф] второй производной этой функции у''(жо + ah) = Ф(а) 0 ^ а ^ 1, решение задачи у(ж) и его первую производную у' (ж) можно легко получить на [жо, xo+h] также в виде равномерно сходящихся смещенных рядов Чебышёва:

те те

у'(жо + ah) = Y^ 4*[y']T*(a), у(жо + ah) = ^ 'а* [y]T*(a)

г=0 г=0

0

лем 1/2). Замена рядов для f (ж,у(ж),у'(ж)) у'(ж) и у(ж) частичными суммами k-, (k + 1) и (k + 2)-го порядков соответственно

k k+1 k+2 $(a) ^'у'(жо + ah) ^'у(жо + ah) ^'(2)

i=0 i=0 г=о

и применение формулы численного интегрирования Маркова [4, 5] для нахождения коэффициен-

2 i1 $(a)

тов Чебышёва а*[Ф] = — — = Т^ (a)da приводят к системе конечных уравнений для при-

п J0 Va(1 - a)

ближенных значений коэффициентов Чебышёва правой части f(ж,у(ж),у'(ж)), которая решается методом последовательных приближений. Вместе с решением этой системы определяются также приближенные коэффициенты Чебышёва а*[у], а*[у'] функций у(ж) и у'(ж). Вопросам, относящимся к обоснованию этого метода, его тестированию и сравнению с традиционными численными методами интегрирования задачи (1), посвящены работы [1-10].

Цель настоящей статьи заключается в том, чтобы сфокусировать внимание на таком важном и примечательном свойстве описываемого метода, как возможность с его помощью находить приближенное решение задачи Коши для канонических уравнений второго порядка (1) в аналитической форме, а именно в виде частичной суммы смещенного ряда Чебышёва. Это качество метода наглядно иллюстрируется результатами, полученными путем его применения к интегрированию дифференциальных уравнений второго порядка, решения которых имеют известные разложения в смещенные ряды Чебышёва. Эти ряды позволяют оценить абсолютные погрешности приближенных коэффициентов Чебышёва а* [у], вычисленных с помощью описанного аналитического метода. Приводимый в статье круг примеров включает уравнения с решениями в виде степенной, тригонометрической, показательной, логарифмической и рациональной функций. Во всех задачах приближенное решение строится в форме частичной суммы (2) на заданном промежутке интегрирования. Вычисления проводились с 15-16 значащими цифрами.

Пример 1. Интегрируется дифференциальное уравнение второго порядка

У"{х) = (Т*(х))" + 2~У + {Х + 1){У' ~ + + 1, у(0) = 0, у'(0) = 98, 0 < ж < 1, (3)

где T* (ж) — смещенный многочлен Чебышёва первого рода n-го порядка, п = 7. На заданном отрезке решение и его производные представляются в виде частичных сумм (2) при k = 8. Вычисленные коэффициенты решения 1/2а0[у] и а* [у] равняются соответственно 0,9999999999999962 х 10о и 1. Остальные коэффициенты а* [у], ... , а* [у], а* [у], а* [у], а*о [у] имеют десятичные порядки от 10-14 до 10-17. Таким образом, с точностью до ошибок округления найденное методом рядов решение задачи (3) имеет вид у (ж) = 1 + (ж). Все коэффициенты Чебышёва для п роизводной у ' (ж) решения, кроме нулевого, второго, четвертого и шестого, имеют десятичные порядки 10-13, 10-14, 10-16. Нулевой коэффициент 1/2а*[у'] = 14 второй а*[у'] = 28, четвертый а4[у'] = 0, 2799999999999999 х 102, шестой а* [у'] = 28. Таким образом, вычисленная методом рядов производная решения (с точностью до ошибок округления) представляется в виде

у' (ж) = 14T0* (ж) + 28T2* (ж) + 28T4* (ж) + 28Т6*(ж).

Последнее равенство совпадает с выражением производной смещенных многочленов Чебышёва пер-

n=7

[(n— 1) /2]

(Тп*(ж))' = 4п £ T*—1—2j (ж).

j=0

Здесь [■] означает целую часть, а в сумме слагаемое, содержащее многочлен T0*(x), делится пополам. Заметим, что решение y(x) задачи (3) имеет на отрезке [0, 1] колебательный характер и большую по модулю производную.

Пример 2. Интегрируется система нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка

у'/ = -2qy2 - (yi + 2q(y2 - 1))2, yi(0) = cos q + 1, y1(0) = 2q sin q, (4)

2

У2=2ЯУ1-\ -zm-J> 2/2(0) =-Sing+ 1, ^

\ - ei-V2-y'1 /(2q) Y x + 1

y2(0) = 2q cos q, 0 ^ x ^ 1,

q

y(x) = (yi(x),y2(x)) : yi(x) = 1 + cos q(2x — 1), y2(x) = 1 + sinq(2x — 1). Функции yi(x) y2(x) разлагаются на [0, 1] в смещенные ряды Чебышёва, коэффициенты которых выражаются через цилиндрические функции:

yi(x) = 1 + cos q(2x — 1) = 1 + Jo(q) + 2 ¿(- 1)гJ2%(q)T*(x),

i=i

те

y2(x) = 1 + sin q(2x - 1) = 1 + 2 £(-1^ J2i+i(q)T2i+i (x).

i=0

Здесь Jm(q) — функция Бесселя первого рода порядка m. Первая компонента решения раскладывается в ряд по смещенным многочленам Чебышёва с четными номерами. Вторая компонента решения раскладывается в ряд по смещенным многочленам Чебышёва с нечетными номерами. На заданном интервале приближенное решение и его производные представляются в виде частичных сумм (2) при k = 11 для q = 1/2. Для первой компоненты решения коэффициент ai [yi] суммы в (2) имеет десятичный порядок 10-i6, остальные коэффициенты с нечетными номерами a3[yi], ... , a^yi] — порядки 10-iS ми 10-i9. Абсолютные погрешности коэффициентов ag[yi], a2[yi] равны нулю; абсолютные погрешности остальных коэффициентов с четными номерами a4[yi], ••• , a^[yi] имеют десятичные порядки 10-iS ми 10-i9.

Для второй компоненты решения коэффициент a^ [y2] имеет десятичный порядок 10-i7, остальные коэффициенты с четными номерами a4[y2], ... , a^[y2] — порядки 10-i^ 10-i9, 10-20. Абсолютные погрешности коэффициентов a0[y2], a^[y2] равны нулю. Абсолютные погрешности коэффициентов с нечетными номерами a3 [y2], ... , a^[y2] имеют десятичные порядки 10-iS, 10-i9, 10-20.

Пример 3. Интегрируется нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка

= = 0<х<1, (6)

q

функция y(x) = eq(i+x). Она разлагается на [0, 1] в смещенный ряд Чебышёва, коэффициенты которого выражаются через специальные функции следующим образом:

те

i=0

Здесь — модифицированная функция Бесселя первого рода порядка г, или функция Инфельда. На заданном интервале приближенное решение и его производные представляются в виде частичных сумм (2) при к = 24 для q = 5. Коэффициенты а^ [у], ... , а| [у] в этой сумме имеют десятичные порядки от 105 до 101, а их абсолютные погрешности — порядки 10-11, 10-12, 10-13. Абсолютные погрешности остальных коэффициентов а|[у], ... ,а26[у] в (2) имеют порядки 10-13, 10-14, 10-15. Заметим, что у функции у(ж) задачи (6) на [0, 1] большая производная.

Пример 4. Интегрируется нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка

у" = -е~2у, у{ 0) = 1п8, у'{ 0) = ^, (7)

Точным решением задачи (7) является логарифмическая функция у (ж) = 1п(ж + 8). Она разлагается на [0, 1] в смещенный ряд Чебышёва:

i=l

На заданном отрезке приближенное решение и его производные представляются в виде частичных сумм (2) при к = 11. У нулевого коэффициента 1/2 а0[у] все верные значащие цифры. Абсолютная погрешность коэффициента аЦ[у] имеет десятичный порядок 10-15 (а сам коэффициент — пятнадцать верных десятичных знаков). Абсолютные погрешности остальных коэффициентов аЦ[у], ..., ^13[у] имеют десятичные порядки от 10-17 до 10-21 (т.е. у самих коэффициентов от 17 до 21 верных цифр после десятичной запятой).

Пример 5. Интегрируется нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка

у" = 32р2у3, 2/(0)= у/(0) = (ГТ^]4' |Р|<1' 0 ^ ж ^ 1. (8)

Точным решением задачи (8) является рациональная функция у (ж) = ---. Она разлага-

(1 + р)2 — 4рж

ется на [0, 1] в смещенный ряд Чебышёва:

1 2 /

У (ж) = -— = --? V 'ргТ*{х).

(1 + р)2 — 4рж 1 — р2 i

На заданном промежутке приближенное решение и его производные представляются в виде частичных сумм (2) при к = 15 для р = 0,1. Нулевой коэффициент 1/2 аЦ [у] и коэффициент аЦ[у] имеют все верные значащие цифры, абсолютные погрешности остальных коэффициентов а2 [у], ..., а^у] — десятичные порядки от 10-16 до 10-21.

Заключение. Описанные результаты наглядно показывают, что применение изложенного в статье метода интегрирования для решения канонических дифференциальных уравнений второго порядка способствует вычислению с высокой точностью коэффициентов Чебышёва функций, являющихся решением этих уравнений. Таким образом, данный метод можно рассматривать как приближенный аналитический метод интегрирования канонических обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, позволяющий получать решения таких уравнений непосредственно в ВИде частичных сумм смещенного ряда Чебышёва.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Залеткин С.Ф. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием ортогональных разложений // Матем. моделир. 2010. 22, № 1. 69-85.

2. Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. О применении ортогональных разложений для приближенного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2010. № 4. 40-43.

3. Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. Вычисление коэффициентов разложения решения задачи Коши в ряд по многочленам Чебышёва // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 5. 24-30.

4. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. О применении формулы численного интегрирования Маркова в ортогональных разложениях // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 6. 18-22.

5. Залеткин С.Ф. Формула численного интегрирования Маркова с двумя фиксированными узлами и ее применение в ортогональных разложениях // Вычисл. методы и программир. 2005. 6. 1-17.

6. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Обоснование одного подхода к применению ортогональных разложений для приближенного интегрирования канонических систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2018. № 3. 29-33.

7. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. К теории вычисления ортогонального разложения решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Вычисл. методы и программир. 2018. 19. 178-184.

8. Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. Приближенное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений на основе ортогональных разложений / / Дифференц. уравнения и процессы управления. 2009. 14, № 4. 59-68.

9. Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием рядов Чебышёва // Сиб. электрон, матем. изв. 2010. 7. 122-131. 10. Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. О вычислении коэффициентов рядов Чебышёва для решений обыкновенных дифференциальных уравнений // Сиб. электрон, матем. изв. 2011. 8. 273-283.

Поступила в редакцию 15.11.2018

УДК 517.93

СТРОЕНИЕ МНОЖЕСТВ ТОЧЕК ПОЛУНЕПРЕРЫВНОСТИ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ЭНТРОПИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ, НЕПРЕРЫВНО ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА

А. Н. Ветохин1

Для семейства динамических систем, непрерывно зависящих от параметра, получено описание множества точек полунепрерывности снизу и множества точек полунепрерывности сверху топологической энтропии его систем, рассматриваемой как функция параметра.

Ключевые слова: топологическая энтропия.

A description of the set of lower semi-continuity points and the set of upper semi-continuity points of the topological entropy of its systems considered as a function of some parameter is obtained for a family of dynamical systems continuously dependent on the parameter.

Key words: topological entropy.

Пусть (X, d) — компактное метрическое пространство, a f : X ^ X — непрерывное отображение. Наряду с исходной метрикой d определим на X дополнительную систему метрик

d{(x,y) = max d(f*(x),fг(у)), n € N, x,y € X.

О^г^га—1

Обозначим через Bf (x,e, n) открытый шар {y € X : d;((x,y) < e}. Множество E С X называется (f, e, п)-покрытием, если

X С [J Bf (x,e,n).

xeE

Пусть Sd(f, e, n) обозначает минимальное количество элементов (f, e, п)-покрытия. Топологической

f

чина [1, с. 120]

htoM) = lim lim -ln Sd(f,e,ri). £—^0 га^те n

По метрическому пространству M и непрерывному отображению

f : M х X ^ X (1)

образуем функцию

^ |—> htop(f •))• (2)

M

жений (1) типично по Бэру свойство полунепрерывности снизу, другими словами, множество точек M

M множество типа

Возникает естественный вопрос: что представляют собой множество точек полунепрерывности снизу и множество точек полунепрерывности сверху функции (2)?

1 Ветохин Александр Николаевич — доктор физ.-мат. наук, доцент каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ, проф. каф. ФН-1 "Высшая математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана, e-mail: anveto27Qyandex.ru.