Об одном приближенном методе интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2013. №6

43

Краткие сообщения

УДК 519.622

ОБ ОДНОМ ПРИБЛИЖЕННОМ МЕТОДЕ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

О. Б. Арушанян1, Н. И. Волченскова2, С. Ф. Залеткин3

Рассмотрен приближенный аналитический метод решения задачи Коши для нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод основан на приближении решения частичными суммами смещенного ряда Чебышева. Коэффициенты ряда вычисляются с помощью итерационного процесса с использованием квадратурной формулы Маркова.

Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, приближенные аналитические методы, численные методы, ортогональные разложения, смещенные ряды Чебы-шева, квадратурные формулы Маркова.

An approximate analytical method of solving a Cauchy problem for normal systems of ordinary differential equations is considered. The method is based on the approximation of the solution by partial sums of shifted Chebyshev series. The coefficients of the series are determined by an iterative process using Markov quadrature formulas.

Key words: ordinary differential equations, approximate analytical methods, numerical methods, orthogonal expansions, shifted Chebyshev polynomials, Markov quadrature formulas.

Рассматривается приближенный аналитический метод решения задачи Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

у' = f (x,y), y(xо) = yo, xo ^ x ^ xo + X. (1)

Метод основан на разложении решения задачи Коши и его производной в ряды Фурье по смещенным многочленам Чебышева первого рода [1]. Усечение этих рядов и замена интеграла для коэффициентов ряда формулой численного интегрирования приводят к уравнениям для коэффициентов разложения производной от решения, вычислив которые можно построить приближенное решение задачи Коши. Частичная сумма ряда Чебышева функции не только является многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения функции, но и дает хорошее приближение в равномерной норме. Будем предполагать, что правая часть уравнения имеет столько непрерывных частных производных в рассматриваемой области, сколько необходимо для того, чтобы обеспечить верность приводимых ниже оценок и обоснованность используемых преобразований.

1. Разложение задачи Коши в ряд Чебышева. Задается частичный сегмент [xo,xo + h], h ^ X. Из допущения о гладкости правой части уравнения (1) следует равномерная сходимость на [xo, xo + h] рядов по смещенным многочленам Чебышева первого рода T*(a):

о

y(x o + ah) = ^ 'a*[y]T*(a), Ф(а) = ^' а*[Ф]Тг*(а), (2)

i=o i=o

где Ф(а) = F(xo + ah) = f(xo + ah, y(xo + ah)), 0 ^ a ^ 1 и

aM = ~ [ Ф° + ак) Ц(а) da, а*[Ф] = I [ f + ^,у(х0 + ah))

tL J тг J Ja(l - а) гУ J 11 J к J Ml - а) гУ J У J

oo

1 Арушанян Олег Багратович — доктор техн. наук, проф., зав. лаб. Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: [email protected].

2 Волченскова Надежда Ивановна — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: [email protected].

3 Залеткин Сергей Федорович — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: [email protected].

оо

44

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2013. №6

(штрих у знака суммы означает, что слагаемое с индексом 0 берется с дополнительным множителем 1/2). Коэффициенты Чебышева в разложении решения задачи Коши связаны с коэффициентами Чебышева правой части системы (1) следующим образом:

Ъ

а\\у\ = -{аи\ Ф]-а*+1[Ф]), ¿>0; (4)

1 Ъ 1 Ъ 11

2 «оЫ =Уо + ~4 (ДО] - -а\[Ф]) + - (— - —) а*[Ф]. (5)

3=2 7 7

2. Вывод уравнений для приближенных значений коэффициентов Чебышева правой части системы (1) и их погрешность. Ряды (2) могут быть использованы для построения аналитического приближения к решению системы (1). Так, замена рядов к-й и (к + 1)-й частичными суммами и замещение второго интеграла в (3) квадратурной формулой Маркова [2-6] с одним или двумя наперед заданными узлами и к нефиксированными узлами приводят к следующим соотношениям для приближенных значений коэффициентов Чебышева функции Ф(а) (которые мы обозначим через а*], г = 0,1, ... ,к):

4 к

а*[Зк] =1{х0 + а^и{х0 + а^а*0[Зк], ... ,а*к[.1к})^ (6)

3=0

1 (2 ' 1) к+1 где ао = 0, оу = - (1 + 008 4 + 1 )' П(Х° + аз^аоШ, ••• ,а*кШ) = а*[и\т*(аз) и М®) =

+ г=0

к

а*[.к]Т*(а). Коэффициенты а*[и] вычисляются по формулам (4), (5), в которых а*[Ф] следует за-

г=0

менить на а*[.к] при I = 0,1, ... , к, а*[.к] = 0 при I > к, а а*[у] — заменить на а*[и].

Используя оценки для остатков ряда Чебышева и квадратурной формулы Маркова [5], можно построить асимптотическую оценку погрешности ^ = а*[Ф] — а* [.к] приближенных значений коэффициентов Чебышева а*.] правой части системы (1): 5к = 0(Ък+1), ^ = 0(Ък+2), 0 ^ г ^ к — 1. Для дифференциального уравнения у' = /(ж), правая часть которого не зависит от искомой функции, эта погрешность имеет порядок ^ = 0(Ъ2к+1-г), г = 0,1, ... , к.

Соотношения (6) представляют собой систему уравнений относительно коэффициентов а* [.к] специального вида а* = ^¿(а*,а1, ... , а*). Обозначим 1-ю компоненту вектор-функции ф через фц, а п-ю компоненту вектора а^^к] через апт. Частные производные ^1г являются малыми величинами при /г —> 0,

дапт

а именно ——— = О (К). Поэтому, выбрав достаточно малый размер к частичного сегмента [жо,Жо + Щ,

дапт

можно обеспечить выполнение достаточного условия сходимости метода простых итераций [7].

3. Аналитическое приближение к решению задачи Коши. По найденным значениям коэффициентов Чебышева а* [у(жо + аЪ)] = а* [и] в частичной сумме ряда

к+1

и (ж) = и (жо + аЪ) = ^' а* [у]Т*(а)

г=0

получаем аналитическое приближение к решению у(ж) ~ и (ж) в любой точке ж = жо + аЪ, 0 ^ а ^ 1.

к+1

В частности, у (ж + Ъ) ~ ^^ а* [у]. При этом погрешность приближенного значения решения и (жо + Ъ)

=0

имеет порядок 0(Ък+2).

4. Примеры. 1) Интегрируется обыкновенное дифференциальное уравнение

П

у' = А(у(ж) — <£>(ж)) + <р'(х), (р(х) = Бтх, Л = —100, 0 ^ ж ^ ж/, ж/= — . (7)

Решение этого уравнения имеет вид у (ж) = еЛх + ф(ж). В рассматриваемой области выделяются два участка с существенно различным поведением решения, причем протяженность первого участка (пограничного слоя) т ~ 0,05 существенно меньше второго. На первом участке сильно меняющаяся компонента

решения быстро затухает и становится пренебрежимо малой. Здесь производная решения большая по модулю. На втором участке при х > т производная решения значительно меньше по модулю и решение практически совпадает с медленно меняющейся функцией ^>(х). Задача (7) интегрировалась с помощью рядов Чебышева. При этом задавалось разбиение промежутка интегрирования [0,х/] на ряд частичных сегментов длиной Н и на каждом сегменте решение представлялось в виде (к + 1)-й частичной суммы ряда. Вычисления проводились с 16 значащими цифрами. При к = 10 в узлах пограничного слоя х^ = ]Н, Н = 0,01, погрешность приближенного решения либо равняется нулю с машинной точностью, либо имеет порядок 10-16-10-17. Такая же точность достигается на всем промежутке интегрирования. Таким образом, для вычисления решения с указанной точностью потребовалось 5 шагов Н = 0,01 на пограничном слое [0, 0,05] и 157 шагов той же длины на промежутке [0,х/].

При интегрировании уравнения (7) жестко устойчивым методом Гира переменного порядка и с переменным шагом [8] наилучшая фактически достигнутая точность приближенного решения в тех же узлах пограничного слоя имеет порядок 10-14—10-15, а погрешность в точке Xf равняется нулю. При этом для достижения такой точности потребовалось 1168 шагов на погранслое [0, 0,05] и 1404 шага на промежутке [0,х/].

Резкое сокращение числа шагов на пограничном слое в методе рядов приводит к меньшему числу вычислений правой части при определении решения на погранслое, чем в методе Гира (976 обращений к правой части в методе рядов против 2370 обращений в методе Гира).

Если же необходимо знать решение только вне погранслоя (т.е. там, где решение определяется гладкой компонентой), то высокую точность в методе рядов можно достичь, используя более крупное разбиение области интегрирования. Например, при к = 5 достаточно выполнить 32 шага Н = 0,05 или 23 шага Н = 0,07, чтобы в конце интервала х/ иметь нулевую погрешность. При Н = 0,02 и к = 5 потребовалось 79 шагов и 2771 обращение к правой части, чтобы получить нулевую погрешность в х/.В методе Гира нулевая погрешность достигается за 1404 шага и 2929 вычислений правой части.

2) Интегрируется система обыкновенных дифференциальных уравнений

у1 = -1000У1 + 999У2, у2 = У1 — 2У2, ш(0) = 2, У2(0) = 1. (8)

Решение этой системы имеет вид у1 = 0,999е-1001х + 1,001е-х, у2 = —0,001е-1001х + 1,001е-х. Внутри пограничного слоя, протяженность которого т ~ 0,005, сильно изменяющаяся составляющая решения быстро затухает, а компонента у1 имеет большую производную по модулю. После прохождения пограничного слоя при х > т производные вектора решения невелики и определяются экспонентой е-х. Задача решалась методом рядов Чебышева на промежутке [0,х/], х/ = 0,4, при этом задавалось разбиение интервала на ряд частичных сегментов длиной Н и на каждом сегменте решение представлялось в виде (к + 1)-й частичной суммы ряда Чебышева. Вычисления проводились с 16 значащими цифрами. При к = 10 в узлах погранслоя х^ = ]Н, Н = 0,0005, погрешность приближенного решения либо равняется нулю, либо имеет порядок 10- 15 . Такая же точность достигается на всем промежутке интегрирования. Таким образом, для вычисления решения с указанной точностью потребовалось 10 шагов Н = 0,0005 на погранслое [0, 0,005] и 800 шагов на промежутке [0,х/].

При интегрировании системы (8) жестко устойчивым методом Гира переменного порядка и с переменным шагом [8] погрешность решения, соответствующая наилучшей фактически достигнутой точности приближенного решения, в тех же узлах пограничного слоя либо равняется нулю (в трех узлах и только для У2), либо имеет порядок 10-14-10-15, а в точке х/ она имеет порядок 10-14. При этом для достижения такой точности потребовалось 1162 шага на погранслое [0, 0,005] и 1530 шагов на промежутке [0,х/].

Резкое сокращение числа шагов на пограничном слое в методе рядов приводит к меньшему числу вычислений правой части системы (8) при определении решения на погранслое, чем в методе Гира (1320 обращений к правой части в методе рядов против 2371 обращения в методе Гира).

Если же необходимо знать решение только вне пограничного слоя (т.е. там, где решение определяется гладкой компонентой), то высокую точность в методе рядов можно достичь, используя более крупное разбиение области интегрирования. Например, при к = 10 достаточно выполнить 67 шагов Н = 0,006, чтобы иметь порядок погрешности 10-15 в точке х/. При к = 4 и Н = 0,004 потребовалось 100 шагов и 3300 обращений к правой части, чтобы получить в х/ погрешность порядка 10-15. В методе Гира погрешность порядка 10-14 достигается за 1530 шагов и 3364 обращения к правой части.

Из приведенных результатов можно сделать следующий вывод. Представление решения обыкновенных дифференциальных уравнений в виде частичных сумм смещенного ряда Чебышева позволяет интегрировать эти уравнения с высокой точностью. При этом возможны такие вычислительные варианты, для

которых решение определяется с меньшим числом шагов и даже с меньшим числом вычислений правой части уравнений, чем в жестко устойчивом методе Гира.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 13-01-00096а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. О применении ортогональных разложений для приближенного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2010. № 4. 40-43.

2. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.

3. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. СПб.: Изд-во С.-Петербург. ун-та, 1998.

4. Ильин В.П., Кузнецов Ю.И. Алгебраические основы численного анализа. Новосибирск: Наука, 1986.

5. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. О применении формулы численного интегрирования Маркова в ортогональных разложениях // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 6. 18-22.

6. Залеткин С.Ф. Формула численного интегрирования Маркова с двумя фиксированными узлами и ее применение в ортогональных разложениях // Вычислительные методы и программирование. 2005. 6, № 1. 141-157.

7. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: БИНОМ, 2007.

8. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. М.: Изд-во МГУ, 1990.

Поступила в редакцию 10.02.2013

УДК 511

БАЗИСНЫЕ КОДЫ РИДА-МАЛЛЕРА И ИХ СВЯЗЬ СО СТЕПЕНЯМИ РАДИКАЛА ГРУППОВОЙ АЛГЕБРЫ НАД НЕПРОСТЫМ ПОЛЕМ

И. Н. Тумайкин1

В статье доказывается отсутствие совпадений между базисными кодами Рида-Маллера и степенями радикала соответствующей групповой алгебры в случае непростого поля.

Ключевые слова: коды Рида-Маллера, базисные коды Рида-Маллера, степени радикала, групповая алгебра.

We show that there are no equalities between basic Reed-Muller codes and radical powers of a corresponding group algebra over non-prime field.

Key words: Reed-Muller codes, basic Reed-Muller codes, radical powers, group algebra.

Хорошо известно, что над простым полем F = Fp коды Рида-Маллера — это степени радикала соответствующей модулярной групповой алгебры FH, где H — конечная абелева р-группа [1]. В случае обобщенных кодов Рида-Маллера над непростым полем удобна конструкция, рассмотренная в [2]: обобщенные коды получаются применением функции следа к базисным кодам Рида-Маллера, которые являются идеалами некоторой фиксированной объемлющей групповой алгебры. Оказывается, что базисные коды Рида-Маллера в случае простого поля также совпадают со степенями радикала, но уже своей алгебры [2]. Цель настоящей работы — показать, что в случае непростого поля таких совпадений, кроме рассмотренных ниже тривиальных случаев, нет.

Пусть p — простое число и q = p1 — его некоторая степень. Рассмотрим поле Q = Fq характеристики p и порядка q. Пусть группа (H, ■) изоморфна аддитивной группе поля (Q, +) и ф : (H, ■) ^ (Q, +) — указанный изоморфизм. Пусть теперь q = пт, где m > 1, l = Xm, п = px, X ^ 1. Построим модулярную групповую алгебру S = QH. Как известно, ее радикал имеет вид

Rad(QH) = Rs = \ Y, (Xhh G QH I ^ ah = 0 l = {a e QH | ap = 0} .

IheH heH )

1 Тумайкин Илья Николаевич — студ. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].