CC BY
76. Bolsinov А. V., Fomenko А. Т., Oshemkov A.A. Topological methods in the theory of integrable hamiltonian. Cambridge: Cambridge Sci. Publ., 2006.
7. Кудрявцева E.A., Никонов И.М., Фоменко А. Т. Максимально симметричные клеточные разбиения поверхностей и их накрытия // Матем. сб. 2008. 199, № 9. 3-96.
8. Кудрявцева Е.А., Никонов И.М., Фоменко А. Т. Симметричные и неприводимые абстрактные многогранники // Современные проблемы математики и механики. Т. 3. Математика. Вып. 2. Геометрия и топология. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2009. 58-97.
9. Кудрявцева Е.А., Фоменко А.Т. Группы симметрии правильных функций Морса на поверхностях // Докл. РАН. Сер. матем. 2012. 446, № 6. 615-617.
10. Кудрявцева Е.А., Фоменко А. Т. Любая конечная группа является группой симметрий некоторой карты (атома-бифуркации) // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 3. 21-29.
11. Фок/ичева В.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые бильярды моделируют важные интегрируемые случаи динамики твёрдого тела // Докл. РАН. Сер. матем. 2015. 465, № 2. 150-153.
12. Fokicheva V., Fomenko Т. Billiard systems as the models for the rigid body dynamics // Studies in Systems, Decision and Control. Advances in Dynamical Systems and Control. Vol. 69/ Ed. by V. Sadovnichiy, M. Zgurovsky. Springer; Int. Publ. Switzerland, 2016. 13-32.
13. Ведюшкина В.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые топологические бильярды и эквивалентные динамические системы // Изв. РАН. Сер. матем. 2017. 81, № 4. 20-67.
14. Кудрявцева Е.А. Аналог теоремы Лиувилля для интегрируемых гамильтоновых систем с неполными потоками // Докл. РАН. 2012. 445, № 4. 383-385.
15. Kudryavtseva Е. An analogue of the Liouville theorem for integrable Hamiltonian systems with incomplete flows // Doklady Math. 2012. 86, N 1. 527-529, arXiv: math.DG/1203.5455.
Поступила в редакцию 27.10.2017
УДК 519.622
ОБОСНОВАНИЕ ОДНОГО ПОДХОДА К ПРИМЕНЕНИЮ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ КАНОНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
О. Б. Арушанян1, С. Ф. Залеткин2
Доказана теорема о разрешимости системы нелинейных уравнений относительно приближенных значений коэффициентов Фурье—Чебышёва. Теорема является теоретическим обоснованием метода интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с использованием рядов Чебышёва и квадратурных формул Маркова.
Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, приближенные аналитические методы, численные методы, ортогональные разложения, смещенные ряды Чебышёва, квадратурные формулы Маркова.
A solvability theorem for a nonlinear system of equations with respect to approximate values of Fourier-Chebyshev coefficients is proved. This theorem is a theoretical substantiation for the numerical solution of second order ordinary differential equations using Chebyshev series and Markov quadrature formulas.
Key words: ordinary differential equations, approximate analytical methods, numerical methods, orthogonal expansions, shifted Chebyshev series, Markov quadrature formulas.
Рассматривается задача Коши для канонической системы M обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
y''(x) = f{x,y(x),y'(x)), y(xо) = yo, y'(xо) = y'0, xo < x < xo + X, (1)
1 Арушанян Олег Багратович — доктор техн. наук, проф., зав. лаб. Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: arush® srcc. msu .ru.
2 Залеткин Сергей Федорович — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: irazQsrcc.msu.ru.
15 ВМУ, математика, механика, № 3
при условии, что функция /(ж, у, у') непрерывна в области О определения системы вместе с частными производными до некоторого порядка. Предполагается также, что на отрезке [жо, жо + X] задача Коши (1) имеет единственное решение.
В [1-3] предложен приближенный метод решения задачи (1), основанный на разложении правой части системы
у''(ж) = /(ж,у(ж),у'(ж)) = /(жо + аЪ, у(жо + аЪ),у'(жо + аЪ)) = Ф(а), 0 ^ а ^ 1, Ъ ^ X,
на элементарном сегменте [жо, жо + Ъ] в ряд по смещенным многочленам Чебышёва первого рода те 1 *
Ф(а) = £Ч*[ВД>), а№ = ~ [^}=Щ<1а, Т*(а) = Тг(2а -1). (2)
^ тгУ у/а(1 - а)
0
жителем 1/2, Т(£) — многочлен Чебышёва первого рода на отрезке [-1, 1]. Если коэффициенты этого разложения (коэффициенты Чебышёва) известны, то решение у(жо + аЪ) задачи (1) и его производную у'(жо + аЪ) можно легко получить в виде смещенных рядов Чебышёва на [жо, жо + Ъ]:
те те
у'(жо + аЪ) = £'а*[у']Т*(а), у(жо + аЪ) = ^'а*[у]Т*(а), 0 < а < 1. (3)
г=о г=о
Коэффициенты Чебышёва производной у'(жо + аЪ), рассматриваемой как функция пвременной а, связаны с коэффициентами Чебышёва функции Ф(а) с помощью соотношений
а* [у'(ж0 + аК)] = ^ (а*_![Ф] - а*+1[Ф]), г > 0; (4)
\ а*0 [у'{хо + аЛ)] =У'о + \ №] - \ а*И) + \ ¿(-1У (у^у - у^у) аДО. (5)
3=2 ^ + 7 '
Подобным образом выражаются коэффициенты Чебышёва решения у(жо + аЪ):
х М1 Ь2 (г + 1)а*_2[Ф] ~ 2га*[Ф] + (г - 1)<+2[Ф] ... а* [у(Жо + аК)] = —- _ 1-±-, г > 2; (6)
а2 + а^)] = ^ (За5[Ф] - 4а^[Ф] + а*4[Ф]); (7)
Ъ
а1 [у(жо + ск/г)] = -
|/о + у ДО] " | а?[Ф] + 1 а5[Ф]) + \ £(-1У (-^у 1
ч, +1 7 - 1 3=2 7
а* [Ф]
(8)
1 Ъ Ъ2
-а*[у(ж0 + «/г)] = уо + ^ Уо + ^ (За*[Ф] - 2а^[Ф] + а^[Ф]) +
8 Н Ь + 1 1-1)' и' + 2 ■?/ ./ + 1
Из допущения о гладкости правой части в (1) следует равномерная сходимость рядов (2), (3) на отрезке [жо, жо + Ъ]. Замена рядов для Ф(а), у'(жо + аЪ) и у(жо + аЪ) их частичными суммами к-го, (к + 1)-го и (к + 2)-го порядков, применение формулы численного интегрирования Маркова [4] с (1) (1) 1 ( (27 — 1)п Л 1
узлами а0 = 0, а) =-11+ сое ——--— , ] = 1,..., к, и весовой функцией — =
•/2\ 2к + 1 / " уа(1 — а)
вычисления интеграла а*[Ф] в (2) приводят к следующей системе уравнений для приближенных
значений коэффициентов Чебышёва а*[Рк]
~ а*[Ф], 2 — 0, 1, ... , к, правой части системы (1):
к
а*[Л] = '/(ж51),и(ж51); ао[рРк], ••• ,ак[Рк]), и'З а5[Р^к], ••• X[Рк]))ТТ^), (10)
з=о
для
где х^ = Хо + В = —-. Используя квадратурную формулу Маркова [51 с узлами а= 0,
j j 2k +1 " " " "" LJ- 0
(2) 1 ( jn \ (2)
'} I 1 + cos т- )) 3 = 1) • • • j ak+1 = 1> соответствующую систему уравнений представим
2 \ k + 1 у
а
в виде
fc+1
= ^Е'' /(х<2),и(х<2); а*0[Рк], ... , а*к [Д]), и'(х(2); а0[Рк], ... , 0) Т*(а(2)). (11) з=о
Здесь х^ = жо + -С = --; два штриха у знака суммы означают, что слагаемые с индексами
7 7 к + 1 0 и к + 1 берутся с дополнительным множителем 1/2;
к+2 к+1 и(х; а*0[Рк], ... ,ак[рк0 = Е'а*[и]Т*(а), и'(х; а0[Рк], ... ,ак[Рк0 = £'а* [и']Т*(а).
1=0 1=0
Коэффициенты а* [и] приближенного решения и(х) в (10) и (11) вычисляются с помощью соотношений (6)-(9), в левых частях которых следует у заменить на и, а в правых частях необходимо а*[Ф] поменять на а*[Рк] при ц ^ к и на 0 при ц > к. Коэффициенты а*[и'] производной и'(х) в (10) и (11) вычисляются аналогично с помощью соотношений (4), (5). Обе системы (10) и (11) могут быть записаны в виде
а*[Рк ] = фг {а0[Рк ],а1 [Рк ],...,а% [Рк ]), г = 0,1,...,к, (12)
где фг — правая часть в (10) или (11). При этом для вектор-функции фг справедливо следующее утверждение: частная производная 1-й компоненты функции фг по и-й компоненте коэффициента
ат\Рк\ имеет порядок относительно к, равный —- = О(к), к —> 0. Если правая часть диффе-
дапт
ренциального уравнения (1) не зависит от у', т.е. уравнение (1) имеет вид у''(х) = /(х,у(х)), то дф
——— = 0(к2), к —у 0. Отсюда следует, что если значение к выбрать достаточно малым, то какая-
дапт
нибудь норма матрицы, составленной из максимальных (в области изменения переменных) значений
дфи
модулей частных производных —- , станет меньше единицы.
дапт
Согласно работам [1, 5], невязка рг, которая получается при подстановке в уравнение (12) точных значений коэффициентов Чебышёва правой части Ф(а) системы (1) вместо а*[Рк], имеет порядок относительно к, равный
Рг = а*[Ф] - фг (а* [Ф], ...,ак [Ф]) = 0(Нк+), к ^ 0, (13)
где в = 1и в = 2 в зависимости от используемой квадратурной формулы Маркова, а именно: 8 = 1 для системы (10) ив = 2 для системы (11), при этом предпол агается, что / (х,у,у') имеет
х у у 2к + в
В [3] описаны два способа построения двух приближений а*(0) [Рк], г = 0, ... , к, к коэффициентам а0[Ф], ... , ак [Ф], одно из которых имеет погрешность
а*[Ф] - а*(0) [Рк ] = 0(к2), г = 0,1, ...,к, при к ^ 0, (14)
а другое — погрешность
а*[Ф] - а*(0) [Рк ] = 0(кг+1), г = 0,1,...,к, при к ^ 0. (15)
Будем рассматривать совокупность первых к + 1 коэффициентов Чебышёва а*[Ф], ... ,ак[Ф] функции Ф(а) как точку 20 в М(к + 1)-мерном арифметическом пространстве Ям(к+1):
го = (а*[Ф], ... ,ак[Ф]) = (а*о[Ф], ... ,аМо[Ф], ... [Ф], ... ,аМк[Ф]), 2о ^ еМ(к+1).
16 ВМУ, математика, механика, № 3
Обозначим через G окрестность точки zo радиуса r, т.е. множество всех точек данного пространства z = (ao, ах, ... ,afc) = (аю, ... ,амо, • • • ,aifc, • • • , aMk), z € RM(k+1), для которых p(z,zo) = ||z -zo^ r, где r — некоторое число, от h не зависящее. Пусть z — произвольная точка области G : z € G. Обозначим через a*[U](а0,ах, ... ,ак) коэффициенты Чебышёва функции U(ж) = U(жо + ah), 0 ^ a ^ 1, на [жо, жо + h], вычисляемые через величины ao, ai, ... , ak по описанному выше правилу, т.е. по формулам (6)-(9), в левых частях которых следует y заменить на U, в правых частях а* [Ф] поменять на aq при 0 ^ q ^ k, а все тотальные а*[Ф], q > k, заменить нулями. Обозначим также через a*[U'](ao ,ах, ... , ak) коэффициенты Чебышёва функции U'(x) = U'(xo + ah) 0 ^ a ^ 1, на [жо, жо + h], вычисляемые анадогично через величины ao, ax, ... , ak по формулам (4), (5).
Сформулируем следующее предложение, содержащее условия, при которых система уравнений (12), которую мы запишем в виде
ai = 0¿(ao,ab ... ,ak), i = 0,1, ...,k, (16)
будет иметь единственное решение.
Теорема. Пусть выполняются следующие условия.
1) Для всех точек z € G(p(z, zo) ^ r) и для, всex h, меньших некоторого значения hx: 0 < h ^ hx, hi ^ X, линейные комбинации вида
k+2 k+1 U(xo + ah) = Y^'a*[U](ao, ... ,ak)T*(a), U'(xo + ah) = ^'a*[U'](ao, ... ,ak)T*(a), 0 < a < 1, i=o i=o
входящие в качестве второго и третьего аргументов функции f (ж,y,y') в (10) и (11), принимают, на, отрезке [жо,жо + h] значения, принадлежащие области D определения функции f (ж, y, y').
2) При всех h, меньших некоторого значения, h2 : 0 < h ^ h2, норм,a K = ||Q||^ матрицы, Q, составленной из максимальных (в области изменения переменных) значений модулей частных
производных ^1г , где I, п = 1, ... , М; г, т = 0, ... ,к, меньше единицы.
danm
3) При всех h, меньших некоторого значения h3 : 0 < h ^ h3, мажорантная оценка, O(hk+s) невязки pi в (13) настолько мала, что выполняется неравенство
||0(zo) - zo||^ < (1 - K)r, 0(zo) = (0o(zo), • • • ,0k(zo)) •
4) Лрм всеж h, меньших некоторого значения h4 : 0 < h ^ h4, мажорантная оценка, (14) шш (15) погрешности начального приближения, a*(o)[PkЬ i = 0, ... ,k, настолько мала, что выполняется неравенство
p(zo,z(o)) < r, z(o) = (ao(o) [pPk ], ••• ,ak(o)[Pk ]), p(zo ,z(o)) = max (тах^Ф] - a^Vk ]|) •
Тогда, существует такое значение ho > 0, а имен но ho = min{h1, h2, h3, h4}, что при всех h : 0 < h ^ ho для задачи Коши (1), рассматриваемой на част,ичном отрезке [жо, жо + h], система уравнений (16) относительно приближенных значений коэффициентов Чебышёва функции Ф^) имеет в области G{p(z,zo) ^ r} единственное ре шение z = (a*[Pk ], ••• , ak [Pk ])j которое можно получить методом простых итераций как предел, последовательности
a*(v+1) [Pk] = ) [Pk], • • • ,ak(v)[Pk]), i = 0,1, ... ,k; v = 0,1, ... ,
исходя из начального приближения, ao(o)[Pk], • • • , ak(o) [Pk]•
Доказательство. Так как h € (0, ho], то все четыре условия теоремы выполняются одновре-
h
женных значений коэффициентов Чебышёва функции Ф^) можно применить уточненный принёип сжатых отображений [6]. Действительно, в области G{p(z,zo) ^ r}, где zo = ^[Ф], ... , a* [Ф]) — фиксированная точка пространства RM(k+1), система функций ф(ao, • • • , ak), i = 0, ... ,k, опреде-
K<1
zo
p(0(zo),zo) < (1 - K) r, p(0(zo),zo) = ||0(zo) - zo|U
(в силу третьего условия). Начальное приближение г(0) принадлежит области О (в силу четвертого условия). Теперь заключение теоремы непосредственно следует из уточненного принципа сжатых отображений [6], применяемого как для исследования сходимости итерационных методов, так и для доказательства существования корня уравнения.
Эту теорему можно распространить на произвольный частичный сегмент из интервала [х0, х0 + X] существования решения задачи Коши (1) заменой х0 на хп, а х0 + к на хп + к, т.е. заменой сегмента [х0, х1] на сегмент [хп, хп+1].
Пример. Интегрируется система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений
2/1 = —+
1 у2 у1 у22
У2 = -— + "?-у1 у2У2
2/1(0) = 1, 2/2 (0) = ±, У1(0) = 2/2(0) = 0, 0 ж ж/, Ж/ = зУ2.
к к ¿2 ЛГ,
43 0,1 10 0,68 х Ю-13 -0,71 х Ю-13 6933
22 0,2 15 -0,47 х Ю-12 0,57 х Ю-12 3982
15 0,3 15 -0,24 х Ю-13 0,31 х Ю-13 2595
И 0,4 15 -0,93 х Ю-13 0,15 х Ю-12 3971
9 0,5 15 -0,38 х Ю-14 -0,39 х Ю-12 4749
8 0,55 20 -0,10 х 10"11 0,29 х 10"11 5628
(17) у1 (х)
собой быстрорастущую функцию 2/1 (ж) = еж2, вторая компонента решения 2/2(ж) = ■
Для системы (17) задавалось разбиение промежутка интегрирования [0, Xf ] на несколько частичных сегментов длиной к ^ Xf и на каждом таком сегменте решение представлялось в виде (к + 2)-й частичной суммы смещенного ряда Чебышёва. Вычисления проводились с 15-16 значащими цифрами. Число частичных сегментов длиной ¡г, на которые разбивался отрезок интегрирования (число шагов Ж^), значения к и к, относительные погрешности ¿1 и §2 приближенных значений yl(xf) и y2(xf), вычисленных в конце промежутка интегрирования Xf, а также количество вычислений Nf правой части системы (13) приведены в таблице.
кк
ности приближенного решения.
При интегрировании данной задачи многошаговым методом Штермера пятого порядка точности типа предиктор-корректор с автоматическим выбором шага интегрирования наилучшая относительная точность приближенного решения, достигнутая в конце интервала интегрирования, составляет §1 = —0,19 х 10-10, §2 = 0, 51 х 10-10. При этом потребовалось 28428 шагов и 76038 обращений к правой части системы (17). Как следует из сказанного, приближенное решение задачи (17) в точке Xf методом рядов Чебышёва получено с большей точностью (на три-четыре порядка точнее) за значительно меньшее число шагов и существенно меньшее количество обращений к правой части системы, чем методом Штермера.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Залеткин С.Ф. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием ортогональных разложений // Матем. моделир. 2010. 22, № 1. 69-85.
2. Арушанян О.Б., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. О применении ортогональных разложений для приближенного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2010. № 4. 40-43.
3. Арушанян О.В., Волченскова Н.И., Залеткин С.Ф. Вычисление коэффициентов разложения решения задачи Коши в ряд по многочленам Чебышёва // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 5. 24-30.
4. Арушанян О.В., Залеткин С.Ф. О применении формулы численного интегрирования Маркова в ортогональных разложениях // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 6. 18-22.
5. Залеткин С.Ф. Формула численного интегрирования Маркова с двумя фиксированными узлами и ее применение в ортогональных разложениях // Вычисл. методы и програм. 2005. 6. 141-157.
6. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 2. М.: Физматгиз, 1962.
Поступила в редакцию 19.12.2017
17 ВМУ, математика, механика, №3
