О бэровском классе топологической энтропии неавтономных динамических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.938.5

О БЭРОВСКОМ КЛАССЕ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ЭНТРОПИИ НЕАВТОНОМНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

А. А. Астрелина1

Доказывается, что нижняя топологическая энтропия, рассматриваемая как функция на пространстве последовательностей непрерывных отображений компактного метрического пространства, принадлежит второму классу Бэра, а верхняя — четвертому.

Ключевые слова: топологическая энтропия, неавтономная динамическая система, классы Бэра.

We prove that the lower topological entropy considered as a function on the space of sequences of continuous self-maps of a metric compact space belongs to the second Baire class, and the upper one belongs to the fourth Baire class.

Key words: topological entropy, nonautonomous dynamical system, Baire classes.

Пусть (X,d) — компактное метрическое пространство, a C(X,X) — пространство непрерывных отображений из X в X, наделенное топологией равномерной сходимости.

В работе [1] изучается топологическая энтропия динамической системы, задаваемой итерациями отображения / € С(Х,Х), как функция на пространстве С(Х,Х); в частности, установлено, что топологическая энтропия является пределом неубывающей последовательности функций первого класса Бэра (и, следовательно, принадлежит второму классу Бэра).

Целью настоящей работы является изучение с точки зрения бэровской классификации функций топологической энтропии неавтономной динамической системы [2], задаваемой последовательностью (fn)n€N непрерывных отображений fn € С(Х,Х), как функции на пространстве Р(Х) таких последовательностей с топологией произведения.

Перейдем теперь к точным определениям. Зафиксируем последовательность F = (/ra)ragN € Р(Х). Для всякого г € N положим Fl = fi о ... о а кроме того, положим F° = id, где id — тождественное отображение на X. Далее, определим систему (эквивалентных) метрик на X равенствами

dn(x>u) = max d(Fl(x),Fl(y)), х,уеХ, п € N.

О^г^га—1

Через BF(x,e, п) будем обозначать открытый шар с центром в точке х € X и радиусом е > 0 в метрике dF, т.е. множество BF(x,e,n) = {у € X : dF(x,y) < е}. Множество Е С X назовем (F,e,n)-покрытием, если

X = [j BF(x,e,n).

хеЕ

В работе [2] дано следующее

Определение 1. Верхней и нижней топологической энтропией последовательности F назовем соответственно величины

h(F) = lim lim — InSJF,e,n), h(F) = lim lim —InSJF,e,n),

£—>0ri—>00 fl £—>0 il_>.00 fl

где Sd(F, e, n) — минимальное количество элементов (F, e, п)-покрытия.

Замечание 1. Хотя в определении верхней и нижней топологической энтропии участвует метрика d, от ее выбора эти величины не зависят [2].

Верхняя и нижняя топологические энтропии последовательности непрерывных отображений, вообще говоря, различны [2] и являются точками расширенной числовой полупрямой R+ = [0, +oo)U {+оо}, которую мы наделим стандартным порядком и порядковой топологией. Если последовательность F постоянна, то ее верхняя и нижняя топологические энтропии совпадают [3, § 3.16].

1 Астрелина Анна Андреевна — студ. каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kardigan5 5 Qyandex.ru.

Определение 2. Пусть М — метрическое пространство. Классы Бэра, с конечными индексами определяются по индукции следующим образом. Нулевым классом Бэра будем называть множество непрерывных функций М —> R. Пусть классы с номерами, меньшими к € N, уже определены, тогда к-ш класс Бэра есть множество функций М —> R, представимых в виде поточечного предела последовательности функций (к — 1)-го класса.

С использованием идей работы [1] установлена следующая

Теорема. Функция h : Р(Х) R+ есть предел неубывающей последовательности полунепрерывных сверху функций (и, в частности, принадлежит второму классу Бэра), а функция h : Р{Х) —>■ R+ есть предел, неубывающей последовательности функций третьего класса Бэра, (и, в частности, принадлежит четвертому классу Бэра).

Замечание 2. Из результата работы [1] следует, что в случае, когда X — канторово множество, функция h не принадлежит первому классу Бэра. Автору неизвестно, принадлежит ли функция h третьему классу Бэра для произвольного (компактного метрического) пространства X.

Следствие. Пусть М — полное метрическое пространство, a F : М —>■ Р{Х) — непрерывное отображение. Тогда, множество точек полунепрерывности снизу функции, действующей из М в R+ по правилу /л н->■ h(F(jj)), есть плотное множество типа G$.

Для доказательства сформулированных утверждений нам понадобятся ряд обозначений и три леммы.

Зададим метрику р на пространстве С (X, X) равенством

p(f,g) = sup d(f(x),g(x)), f,g € C(X,X),

x&X

а метрику p на пространстве P(X) — равенством

oo

p(F,G) = ^21-fcmin{p(/fc,£fc),l}, F = (fn)n&h G = (gn)n&h F,G € P(X).

k= 1

Лемма 1. Для всякого n £ N отображение из Р{Х) в С(Х х X, R), действующее по правилу F I—> dp,n, непрерывно (простра нет во С(Х х X, R) наделяется равномерной топологией).

Доказательство. 1. Зафиксируем последовательность F = (fk)keN € Р{Х). Так как пространство X компактно, то каждая из функций Д, k € N, равномерно непрерывна. Следовательно, для любого е > 0 существует 5к(е) € (0,е/2), такое, что для всяких х, у € X, удовлетворяющих условию d{x,y) < 5к(е), выполняется неравенство d(fk(x), fk{y)) < £/2.

2. При помощи индукции по п докажем следующее вспомогательное утверждение: для всяких п > 2 и е G (0,1) из неравенства

p(F,G)<±62(63...(6n(s))) (1)

вытекают неравенства p(F, G) < е ■ 2~п и p(F%, G%) < е для всякого г = 1,..., п.

(а) Пусть для п = 2 выполнено неравенство (1). Тогда

p(fi,gi)^p(F,G)<^52(e)<^,

откуда получаем цепочку

в в

p(/2°/i,02°0i) ^p(f2°fi,f2°gi) + p(f2°gi,g2°gi) < ^+p{h,g2) < - + 2p(F,G) <e.

Утверждение для n = 2 доказано.

(б) Предположим, что доказываемое утверждение верно для п = к—1. Пусть для п = к выполнено неравенство (1). По предположению индукции и в силу выбора 5к имеем p(F, G) < 5к(е) < е ■ 2~к и p(Fl, G%) < Sk(e) < е для всех г = 1,..., к — 1, откуда получаем

p(Fk,Gk) < р( fk о Fk~\ fk о Gk~l) + p(fk о Gk~l,gk о Gk~l) < | + p(fk, gk) <\+ 2k~lp(F, G) < e.

На этом индуктивный переход, а с ним и доказательство вспомогательного утверждения закончены.

3. Для всяких f,g € С(Х, X) справедлива цепочка

d(g(x),g(y)) ^ d(g(x), f(x)) + d(f(x), f(y)) + d(f(y),g(y)) ^ d(f(x), f(y)) + 2p(f, g), x,y € X, откуда в силу симметрии получаем

d(f(x),f(y)) - 2p(f,g) < d(g(x),g(y)) < d(f(x),f(y))+2p(f,g), x,y € X.

4. Заметим, что для всякой последовательности G € Р(Х) выполнено равенство

dF,i(x,y) = dG,i(x,y) = d(x, у), х,у е X.

Пусть теперь заданы n ^ 2 и е 6 (0,1). Тогда для всякой последовательности G € Р(Х), удовлетворяющей условию (1), по доказанному выше при любом г = 1,..., п имеем

d(F\x),F\y)) -2е< d(G\x), G\y)) < d(F\x), F\y)) + 2e, x,y e X. Следовательно,

dF,n{x, y) -2e < dG,n(x, y) < dF,n{x, y) + 2e, x, y € X.

Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть заданы, F € Р{Х), п € N и е > 0. Тогда, если Е С X является (F,e,n)-покрытием, то существует m € N, такое, что Е является (F,e( 1 — 2~т),п)-покрытием. Доказательство. По условию

X=\jBF(x,e,n)=\J (J BF(x,e(l-2~m),n) = |J |J BF(x,e(l - 2~m), n).

x£E xeEme N m€ NxeE

Для всякого x € X функция из X в R, действующая по правилу у > dF(x, у), непрерывна. Следовательно, для всяких x € X и г > 0 множество BF(x, г, п) открыто как прообраз открытого интервала (—оо, г) при непрерывном отображении. Множества Ет = Lbee PF(X, е(1 — 2~т),п), m € N, образуют открытое покрытие компактного пространства X, причем Ет С Ет+ \ для всякого m € N. Следовательно, для некоторого m € N выполнено равенство X = Ет. Лемма доказана.

Лемма 3. Для всяких п € N и е > 0 функция, действующая из Р{Х) в N по правилу F > Sd(F,e,n), полунепрерывна сверху.

Доказательство. Пусть заданы и £ N, £ > 0 и F е Р(Х). Пусть, далее, Е (Z X (F,e,n)-покрытие, содержащее минимальное количество элементов. По лемме 2 существует такое m € N,

Х= \jBF{x,e{l-2-m),n). (2)

х£Е

Пользуясь леммой 1, выберем 5 > 0, такое, что для всякой последовательности G € Р(Х), удовлетворяющей условию p(F, G) < 5, выполнено неравенство

dc,n{x, у) < dF,n{x, у) + е2~т, x, у € X.

Тогда для всякого x € X получаем включение BF(x, е(1 — 2~т),п) С BG(x, е, п), откуда с учетом (2) имеем

X = (J BG(x,e,n).

хеЕ

Следовательно, Е является (G, е, п)-покрытием и, значит, Sd(G,e,n) ^ Sd(F,e,n). Лемма доказана.

Доказательство теоремы. 1. В силу леммы 3 для всяких k,n € N функция ик,п '■ Р(Х) —> М, определяемая равенством

oktn{F) = -\nSd{F,\,n), F € Р(Х), ïl к

полунепрерывна сверху. Следовательно [4, §38.1], для всяких к,1 € N функция '■ Р(Х) —> М, определяемая равенством

&ktl(F) = inf aktn+l(F), F € P(X),

ne N

также обладает этим свойством.

Используя определение нижнего предела, для всякого к G N получаем

Дт <Tk,n(F) = SUP inf ak,n(F) = SUP °k,i{F), F € P{X).

ri—>oo N n>l leN

Для любых выполнено включение BF(x, l/(k + 1), п) С BF(x, 1/к, п), поэтому для

всяких F € Р(Х) и п € N последовательность не убывает. Следовательно,

¿(F) = lim lim <Tfc;il(F) = sup sup (^(F) = lim max ak,i(F), F € P{X).

oo ' fceN ' q-too k+Hq

Каждая из функций tpq : P(X) —>■ R, q € N, задаваемых равенством

<pq(F) = max äM(F), F € P(X), q € N,

fc+i^g

полунепрерывна сверху [4, § 38.1, § 37.2], а последовательность (<pg)g&j не убывает. Далее, каждая из функций <pq, q € N, принадлежит первому классу Бэра [4, §38.1], поэтому функция h принадлежит второму классу Бэра. Утверждение теоремы для функции h доказано.

2. Используя определение верхнего предела, для всякого к G N получаем

^fc(F) = lim ak,n(F) = lim sup<7fc,n(F) = lim lim maxak>n+i(F), F € P(X).

11-}OO l^tOO I—)-oo r—)-oo n^r

Функции, стоящие под знаком предела при г —>■ оо, полунепрерывны [4, §38.1, 37.2] и, следовательно, принадлежат первому классу Бэра [4, §38.1], поэтому функции к € N, принадлежат третьему классу Бэра. Таким образом,

h(F) = lim ПЕ öfc n(F) = lim ^fc(F), F € P(X),

fc->OOH^OO fc—> OO

причем последовательность функций (ipk)keN не убывает, поскольку тем же свойством обладает для каждого п € N последовательность функций (<Jk,n)k&J- Утверждение теоремы для функции h доказано. Теорема доказана.

Доказательство следствия. В силу теоремы существует неубывающая последовательность полунепрерывных сверху функций <рк : Р(Х) —>■ R, к € N, такая, что

£№)) = Hm МН»)),

к—too

Поскольку функция F непрерывна, функции ipk о F : М —> R, к € N, полунепрерывны сверху. Тогда из теоремы работы [5] получаем, что множество S точек полунепрерывности снизу функции ß н-> h(F(pi)) содержит плотное в М множество типа Функция /л > —h(F(ß)) принадлежит классу (*,Gs) [4, §39], поэтому в силу [6, лемма 2] множество S ее точек полунепрерывности сверху является (^¿-множеством. Следствие доказано.

Автор выражает признательность научному руководителю В. В. Быкову за постановку задачи и внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ветохин А.Н. Типичное свойство топологической энтропии непрерывных отображений компактов // Диф-ференц. уравнения. 2017. 53, № 4. 448-453.

2. Kolyada S., Snoha L. Topological entropy of nonautonomous dynamical systems // Random and Comput. Dynamics. 1996. N 4. 205-233.

3. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999.

4. Хаусдорф Ф. Теория множеств. М.: ОНТИ, 1937.

5. Аринъш Е.Г. Об одном обобщении теоремы Бэра // Успехи матем. наук. 1953. 8, вып. 3(55). 105-108.

6. Карпук М.В. Строение множеств точек полунепрерывности показателей Ляпунова линейных дифференциальных систем, непрерывно зависящих от параметра // Дифференц. уравнения. 2015. 51, № 10. 1404-1408.

Поступила в редакцию 25.10.2017