CC BY
3Тогда указанный выше алгоритм умножения матриц порядка n = 216 над колъцом Zp ,p = 28 + 1,
имеет битовую сложность менее 33n3 < 1016, а например, алгоритм [7] имеет битовую сложность
больше 716 • m(X(p)) > 1016.
В случае больших p лучше оценка O(n2M(X(p))), полученная в 1993 г. М.И. Гринчуком [14].
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проекты № 19-0Ю0294, 18-0Ю0337.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Warshall S. A theorem on Boolean matrices //J. ACM. 1962. 9, N 1. 11-12.
2. Roy B. Transitive et connexite // C.r. Acad. sci. 1959. 249, N 6. 216-218.
3. Арлазоров В.Л., Диниц Е.А., Кронрод М.А., Фараджев И.А. Об экономном построении транзитивного замыкания графа // Докл. АН СССР. 1970. 194, № 3. 487-488.
4. Фурман М.Е. О применении метода быстрого умножения матриц в задаче нахождения транзитивного замыкания графа // Докл. АН СССР. 1971. 194, № 3. 524.
5. Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. М.: Мир, 1979.
6. Savitch W.J. Relationship between nondeterministic and deterministic tape complexities //J. Comput. and Syst. Sci. 1970. 4, N 2. 177-192.
7. Strassen V. Gaussian elimination is not optimal // Numer. math. 1969. 13, N 4. 554-556.
8. Fisher M.J., Meyer A.R. Boolean matrix multiplication and transitive closure // IEEE 12th Annual Symp. on Switching and Automata Theory. 1971. 129-131.
9. Гринчук М.И. Уточнение верхней оценки глубины сумматора и компаратора // Дискрет, апал. и исследование операций. Сер. 1. 2008. 15, №2. 12-22.
10. Лупанов О.Б. О вентильных и контактно-вентильных схемах // Докл. АН СССР. 1956. 111, № 6. 1171— 1174.
11. Нечипорук Э.И. О синтезе вентильных схем // Проблемы кибернетики. Вып. 11. М.: Наука, 1963. 37-44.
12. Коновальцев И.В. Об одном алгоритме решения линейных уравнений в конечных полях // Проблемы кибернетики. Вып. 19. М.: Наука, 1967. 269-274.
13. Pippenger N. On the evaluation powers and monomials // SIAM J. Comput. 1980. 9, N 2. 230-250.
14. Гринчук М.И. О битовой сложности вычисления систем билинейных форм // Методы и системы технической диагоностики: Межвуз. сб. № 18. Саратов: Изд-во Саратов, ун-та, 1993. 54.
Поступила в редакцию 27 .02.2020
УДК 517.93
СТРОЕНИЕ МНОЖЕСТВ ТОЧЕК ПОЛУНЕПРЕРЫВНОСТИ е-ЕМКОСТИ НЕАВТОНОМНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ, НЕПРЕРЫВНО ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА
А. Н. Ветохин1
Для семейства неавтономных динамических систем, непрерывно зависящих от параметра, получено описание множества точек полунепрерывности снизу и множества точек полунепрерывности сверху е-емкости его систем, рассматриваемой как функция параметра. Для множества точек полунепрерывности сверху данное описание является полным в случае, когда параметр принадлежит полному метрическому сепарабельному нульмерному пространству.
е
фикация функций.
For a family of non-autonomous dynamical systems continuously depending on a parameter, we present descriptions of the set of lower semicontinuity points and the set of upper semicontinuity
1Ветохин Александр Николаевич — доктор физ.-мат. наук, доцент каф. дифференциальных уравнений мех.-мат. ф-та МГУ; проф. каф. ФН-1 "Высшая математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана, e-mail: anveto27Qyandex.ru.
Vetokhin Aleksandr Nikolaevich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Associated Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mathematics and Mechanics, Chair of Differential Equations; Professor, Bauman Moscow State Technical University, Chair of Higher Mathematics.
10 ВМУ, математика, механика, № 6
points of the e-capacity of its systems considered as a function of the parameter. For the set of points of upper semicontinuity, this description is complete if the parameter belongs to a complete metric separable zero-dimensional space.
e
В качестве меры "массивности" компактного метрического пространства (X, () А. Н. Колмогоров в статье [1] ввел понятие е-емкости, которая определяется как максимальное число е-различимых элементов в X. Используя это понятие, приведем определение топологической энтропии неавтономной динамической системы [2]. Пусть / = (/1, /2,...) — последовательность непрерывных отображений из X в X. Наряду с исходной метрикой (( определим на X дополнительную систему метрик
(П(х,у) = тах 1 ((/ог(х),Г (у))
(/°г = /г ◦ ... о /1,/°° = 1ёх), х,у е X, п е N.
Для каждых п е N и е > 0 обозначим через N¿(/,6,4) е-емкость пространства П), т.е. макси-
£
мальное количество точек в X, попарные (п-расстояния между которыми больше е. Тогда топологическая энтропия неавтономной динамической системы (X, /) определяется формулой
htop(f) = Um lim -\nNd(f,e,n). (1)
£—U—Ж n
Отметим, что величина (1) не изменится, если в ее определении метрику d заменить на любую другую, задающую на X ту же, что и d, топологию. Для того чтобы получить классическое определение топологической энтропии автономной динамической системы, следует в качестве последовательности f взять стационарную последовательность (f,f,...).
По метрическому пространству M и последовательности непрерывных отображений
f = (fi,f2,...), fi : MxX ^ X, (2)
образуем функцию
ß ^ htop(f (^ •)). (3)
В работе [3] доказано, что при произвольных M, X и для любой последовательности отображений (2) функция (3) принадлежит третьему бэровскому классу. Напомним, что функциями
M
для всякого натурального числа p функциями p-го бэровского класса называются функции, являющиеся поточечными пределами последовательностей функций (p — 1)-го класса. В статье [4] для X = [0, 1] и M — множества иррациональных чисел (с метрикой, индуцированной естественной метрикой вещественной прямой) построена такая последовательность отображений (2), что функция
M
Наряду с топологической энтропией неавтономной динамической системы (1) для произвольного положительного е рассмотрим е-емкость неавтономной динамической системы, которая определяется формулой
hd(f,£)= Ит - In Nd(f,£,n).
и—ж n
Эта величина характеризует скорость экспоненциального роста числа отрезков орбит, различимых е. е
X.
ß ^ hd(f (ß, •),е). (4)
В настоящей работе будем изучать функцию (4) с точки зрения теории Бэра разрывных функций.
(2) (4)
рому бэровскому классу, причем ее множество точек полунепрерывности сверху является множеством типа а множество точек полунепрерывности снизу — множеством типа Fa$.
Доказательство. В работе [3] установлено, что
На(/(р, ■),£)= Иш нти (р, ■),£), Н\(/ (р, ■),£) > Н* (/(р, ■),£) > (5)
где для любого натурального числа т функция р ^ Нт(/(р, '),£) принадлежит первому бэровскому классу на пространстве М, а следовательно, для любого положительного е функция (4) принадлежит второму бэровскому классу.
Обозначим через N1 множество точек, которые не являются точками полунепрерывности сверху для функции (4). Это множество имеет вид
N1 = и ({р е М: Ы/(р, •),е) < П П (М \ Ы{р е М : На(/(р, •),е) < г})) , (6)
тео
Где о — множество рациональных чисел, а Ш 2 — множество внутренних точек множества 2. Действительно, разность {р е М : На(/(р, •),е) < г} \ 1п1{р е М : На(/(р, •),е) < г} при любом г е О не содержит точек полунепрерывности сверху функции (4), с другой стороны, если точка ро принадлежит множеству N1, то найдется такое число го е О для штор ого ро е {р е М : На(/(р, •),е) < го} и р0 е 1^{р е М : На(/(р, •),е) < го}. Следовательно, имеет место равенство
N1 = и ({ре М : На(/(р, •),е) <г}\Ы{ре М: На(/(р, •),е) < г}).
тео
Из равенства
{ре М: На(/(р, •),е) <г}\ Ы{р е М : На(/(р, •),е) < г} = = {ре М: На(/(р, •),е) < г} р| (М \ Ы{р е М : На (/(р, •),е) < г}) получим формулу (6).
В силу (5) для любого г е О множество {р е М : На(/(р, •)) < г} можно представить в виде
и {ре М: нт(/(р, •),е) <г}.
теш
Так как функции р ^ Нт(/(р, -),е) принадлежат первому бэровскому классу, то для любого т е N множество {р е М : Нт(/(р, •),е) < г} является множеством типа Га [5, с. 231], а следовательно, множество точек N1 — множество типа Га. Таким образом, множество точек полунепрерывности сверху функции (4) является множеством типа
Обозначим через N2 множество точек, которые не являются точками полунепрерывности снизу функции (4). Это множество можно записать в виде
N2 = и ({ре М: На(/(р, •),е) > г}р| (М \ Ы{р е М : Нл(/(р, •),е) > г})
тео
Для любого г е О множество {р е М : На(/(р, •),е) > г} можно представить следующим образом:
и Г\{ц€М:Н?и01,.),е)>г + ±}.
кеш теш
Так как функции р ^ Нт(/(р, -),е) принадлежат первому бэровскому классу, то для любых к, т е N множество {¡л, £ М4 : •), е) ^ г + является множеством типа а следовательно,
множество точек N2 — множество типа С$а- Таким образом, множество точек полунепрерывности снизу функции (2) является множеством типа Теорема 1 доказана.
Естественно возникает вопрос об уменьшении номера бэровского класса в теореме 1. Рассмотрим множество 0,2 двусторонних последовательностей
X = (... ,Х-2,Х-1,Хо,Х1,Х2, ...), Хг е {0, 1}, 11 ВМУ, математика, механика, №6
xi — t г.
0 в остальных случаях.
с метрикой
, . j 0, если x = y;
d(x, y) = | 2- min{|i|: Xi=yt}, если x = y _
На пространстве O2 введем отображение сдвига влево на один элемент oq2(xk)kez = (xk+i)kez.
Лемма. Пусть каждый член последовательности отображений f = (f\,f2,...) совпадает с idn2 или с oq2 , тогда топологическая энтропия, неавтономной динамической системы, порожденной этой последовательностью, удовлетворяет неравенству htop(f) ^ ln2.
Доказательство. Для любых p, n G N рассмотрим множество Qp, и элементов x G O2, таких,
0 ми 1, если i = —p, ...,n+ p;
Множество шаров с центрами из множества Qp, и и радиусом 2-p в пространстве (O2, dU) покрывает все пространство (O2,dU). Величина Nd(f, 2-p+i,n) не превышает количества точек в множестве Qp,n, так как в противном случае две точки, расстояние между которыми больше 2-p+i, находились бы в одном шаре радиуса 2-p. Мощность множества Qp,и равна 2n+2p+i, следовательно, получаем
_ 1 in 1 О rt 4- 1
hoAf) = lim lim -lnNd(f,2~p+1,n) < lim lim ^ In2 = ln2.
p—ж n—ж n р—ж n—ж n
Лемма доказана.
Теорема 2. Пусть M = X = O2, тогда существует такая последовательность отображений (2), что для любого е £ (0; функция (4) не принадлежит первому бэровскому классу на M
Доказательство. Определим последовательность отображений (2) следующим образом:
fk ((..., ß-i, ßo, ßi,...), (... ,x-i,xo ,xi, ...)) = (.. .,x-i+ßk ,xo+ßk ,xi+ßk,...), k G N, ß G 0.2, x G O2.
В силу определения отображение fk является непрерывным на пространстве O2 х O2 для каждого kGN
В пространстве O2 зададимся множествами A и B. Отнесем к множеству A все элементы из O2, в записи которых начиная с некоторого номера стоят только единицы, а к множеству B — все O2,
A B O2
Установим, что hd(f (ß, 0,е) = ln2 при ß G Ah hd(f (ß, 0,е) = 0 при ß G B. Пусть p — наибольшее натуральное число, удовлетворяющее условию 2-р > е. Пусть ß G A, тогда найдется такое число ko G N чт0 Для всех k > ko выполнено равенство ßk = 1. Для любого k > ko рассмотрим множество Qk0,p,k элементов x G O2, таких, что
¡■c,knr \ г s f 0 или 1, если i = 0,1,...,k + p — ko — 1;
fok0 (x) = (yi)iez = < n 0
Так как отображение foko является гомеоморфизмом, то мощность множества Qk0,p,k равна 2k+p-ko. Пусть a,b G Qko,p,k а = b, ш f ok° (а) = (...,0, co, ci,...), foko (b) = (...,0, do,di,...), тогда найдется наименьшее i G {0,1,. ..,k + p — ko — 1}, такое, что co = do,..., ci-i = di-i,ci = di. Пусть i G {0,1,...,p}, тогда
dü+Uaab > d%+i(a,b) > 2-p > е, если же i G{p + 1,...,k + p — ko — 1}, то
dlitt:)+i(a,b) > d(f o(i-p+k°\ß, a), fo(i-p+k°\ß, b)) > 2-p > e.
Следовательно, величина Nd(f (ß, -),e, k) не меньше, чем мощность множества Qi0, p, i, откуда получаем
hd(f(»,-),£) = Jto UnNd(f(ß,.),e,k) > lim (Нр"/о)'п2 = ln2.
С другой стороны, из леммы имеем hd(f (ß, ■),e) ^ htop(f) ^ ln2.
Пусть ¡i £ B, тогда найдется такое наименьшее натуральное число ко, что для любого k ^ ко выполнено равенство ¡k = 0. Таким образом, для любых к ^ ко и ¡ £ M имеет место равенство fok(i, ■) = fok°(i, ■), следовательно, выполнено равенство Nd(f (i, ),е,к) = Nd(f (i, ■),e,k0), a значит, е-емкость последовательности отображений f (¡, ■) равна нулю.
В силу всюду плотности множеств A и B каждая точка пространства О2 является точкой разрыва функции i ^ hd(f (i, ■),£), поэтому по теореме Бэра о функциях первого класса [5, с. 242] она не принадлежит первому классу Бэра. Теорема 2 доказана.
В случае полноты пространства M справедлива следующая
Теорема 3. Если пространство M является полным, то множество точек полунепрерывности сверху функции (4) являет,ся всюду плотмым, множеством типа G¿.
Доказательство. Воспользуемся представлением (5). Так как для любого натурального числа m функция i ^ hm(f (i, ■ ),е) принадлежит первому бэровскому классу на пространстве M, то в силу теоремы Бэра [5, с. 242] множество Gm точек непрерывности каждой функции ¡ ^ hm(f (i, 0,е) является всюду плотным множеством типа G¡. Пересечение всех Gm снова является всюду плотным множеством типа G¡, каждая точка которого является точкой непрерывности всех функций hmm(f (¡, •),£). Пусть ¡о £ П Gm и 5 > 0, тогда при достаточно большом m будем иметь
mEN
hf(f (¡0, ■), е) ^ hd(f (¡0, ■),£) + 5. Зафиксировав так m, найдем окрести ость O(¡0) точки ¡0, такую, что hm(f (i, ■),£) ^ hm(f (¡0, ■),£) + 5 для всякого i £ O(¡0). Так как последовательность (hm (f (i, ■),£))m=i является невозрастающей, то hm(f (i, ),е) ^ hd(f (i, ),е), поэтому для i £ O(i0) будем иметь hd(f (i, ■),£) ^ hd(f (i0, ■),£) + 25. Следовательно, в каждой точке множества Р| Gm
mEN
функция (4) полунепрерывна сверху.
Если функция (4) принимает значение то предыдущие рассуждения проводим для функции ц, н->■ .) , у которой множество точек полунепрерывности сверху совпадает с множеством точек полунепрерывности сверху функции (4). Теорема 3 доказана.
Возникает естественный вопрос: всякое ли всюду плотное множество типа G¡ в пространстве M может быть множеством точек полунепрерывности сверху функции (4)? Далее в работе будет получено полное описание множества точек полунепрерывности сверху функции (4) для любого полного метрического сепарабельного нульмерного пространства M. По определению [6, с. 286] метрическое пространство имеет размерность нуль, если любая его точка имеет сколь угодно малую окрестность, являющуюся одновременно замкнутой и открытой, что равносильно пустоте границы этой окрестности. Одним из примеров такого пространства служит совершенное множество Кантора K на отрезке [0, 1] (множество бесконечных троичных дробей x = 0, а\й2аз ..., где ai £ {0, 2}) с метрикой, индуцированной естественной метрикой вещественной прямой. Так как дополнение к множеству K всюду плотно на отрезке [0, 1], то каждую точку множества K можно заключить в сколь угодно малый интервал с концами из [0, 1] \K, который имеет пустую границу в множестве K, значит, это пространство является нульмерным метрическим пространством. Полнота пространства K следует из его замкнутости на отрезке [0, 1], а сепарабельность — из всюду плотности в K множества троичных дробей с конечным числом ненулевых троичных знаков после запятой.
В работе [7] для всякого всюду плотного подмножества типа G¡ в полном метрическом сепара-бельном нульмерном пространстве M построена такая стационарная последовательность непрерывных на Mx 0,2 функций, что множество точек полунепрерывности снизу топологической энтропии, рассматриваемой как функция параметра, совпадает с данным подмножеством. Для е-емкости семейства неавтономных динамических систем справедлива следующая
Теорема 4. Пусть M — полное метрическое сепарабельное нульмерное пространство и X = 02. Тогда, для, каждого открытого всюду плотного подмножества G прост,ранет,ва, M существует такая последовательность отображений (2), что для любых /л £ М., е £ (0; и к £ N отображение x ^ fk(i,x) является гомеоморфизмом и множество точек полунепрерывности сверху функции (4) совпадает с множеством G.
Доказательство. Для множества G, совпадающего со всем пространством M, рассмотрим стационарную последовательность отображений fk (i, ■) = idn2, к £ N. Так как е-емкость тождествен-
G
сверху функции i ^ hd(f (i, ■),е).
Пусть задано открытое множество G, те совпадающее со всем пространством M. Из сепарабельности и нульмерности пространства M получаем, что открытое множество G можно представить в
12 ВМУ, математика, механика, № 6
виде счетного объединения открыто-замкнутых множеств [6, с. 286]:
G = U Gk, (7)
keN
kGN
Gk С Gk+i. Отметим, что в правую часть формулы (7) должно входить счетное число различных множеств, так как в противном случае, поскольку множества Gk замкнуты, множество G являлось
M
странством M, что по предположению не так. Через Xk обозначим характеристическую функцию множества Gk. Рассмотрим последовательность отображений fk : Mx O2 ^ O2, определяемую формулами
fkß (ai)iez) = (ai+xk(ß)Ъе^ k G N, ß G O2.
Gk Xk M, fk
на Mx O2.
Пусть ß G M \ G, тогда для любого k G N выполнено включение ß G M \ Gk, а значит, справедливо равенство Xk(ß) = 0, откуда получаем fk(ß, ■) = idn2, следовательно,
hd(f (ß, ■),е)=0. (8)
Пусть ß G G, тогда найдется такое наименьшее натуральное число k(ß), что для любого k ^ k(ß) выполнено включение ß G Gk. Таким образом, справедливы равенства
Xi(ß) =0,...,Xk(ß)-i(ß) = 0,Xk(ß)(ß) = 1,Xk(ß)+i(ß) = h....
Обозначим через p наибольшее натуральное число, удовлетворяющее условию 2-p > е. Для любого k G N, такого, что k > k(ß), рассмотрим множество Q^,p, k элементов x из O2, которые удовлетворяют условию
гоЫи)/ \ / \ f 0 или 1, если i = 0,1,...,k + p — k(ß) — 1;
f okW(ß,x) = (ai )iez, ai = ^n
0
Мощность множества Qß,p, k равнa 2(n+p-k(^. Пусть a,b G Qß,p,k и a = b, тогда найдется число io g{0, 1,... ,k+ p — k(ß) — 1}, такое, что ai = bi для i = 0,...,io — 1 и ai0 = bi0. Пусть io g{0, 1,... ,p}, тогда
d üß''\a, b) ^ d(a,b) ^ 2-p > е; если же io G{p + 1,. ..,k + p — k(ß) — 1}, то
dfk M(a,b) ^ d(f o(i0-p+k(ri) (ß, a), fo(i0 -p+(ß,b)) ^ 2-p > е.
Следовательно, величина Nd(f (ß, -),е, k) не меньше, чем мощность множества Qß,p,k. Таким образом, получаем
hd(f(ß,-),e)= Ito UnNd(f(ß,-),e,k)> lim + P ~ W)ln2 = ln2- (9)
k—ж k k—ж k
С другой стороны, по лемме имеем hd(f (ß, ■),е) ^ htop(f (ß, ■)) ^ ln2. Таким образом, каждая точка ß G G является точкой полунепрерывности сверху функции ß ^ hd(f (ß, ■),е). Поскольку множество G всюду плотно в пространстве M, в любой окрестности каждой точки ß G M \ G есть точка из
G, ß
сверху функции ß ^ hd(f (ß, ■),е).
Пусть множество G является множеством типа Gs и не является открытым в пространстве M, а следовательно, представимо в виде счетного пересечения открытых множеств:
G = р| Gk,
keN
где Gk D Gk+1, к £ N. Отметим, что в правую часть равенства (10) должно входить счетное число различных открытых множеств, не являющихся замкнутыми в пространстве M, так как в противном случае множество G либо множество M\G являлось бы открытым, что противоречит всюду
G. Gk
Gk
замкнутых множеств: Gk = U Gki, причем без ограничения общности можно считать, что для
i е n
любого l £ N выполнено включение Gki С Gki+1. Пусть \ki — характеристическая функция множества Gki. Для любых к £ N и ц £ M обозначим через lk (ц) наименьшее натуральное число, такое, чт0 Xkik(ß) (ц) = 1; если такого числа не существует, то считаем lk(ц) = 1.
По последовательности {lk(ц)}Ж=1 построим возрастающую последовательность {mk(ц)}Ж=0, где
(1 при к = 0;
2k(lk(ц) + к— т*(ц)) + 1при к > 0.
i=0
k
Положим sk(ц) = mi(ц). Пусть n £ {sk-\(ß) + 1,...,Sk(ц)}, к £ N. Определим отображение i=0
fn : MxQ2 — 02 следующим образом:
fп(ц, (ai)iеz) = (ai+Xkn-sk-lMM)i
Зафиксируем ц0 £ M. Поскольку множества Gqr, q = 1,...,к, r = 1,..., mr (ц0), являются открыто-замкнутыми в пространстве M, то характеристические функции этих множеств постоянны в некоторой окрестности О(ц0) С M точки ц0, а следовательно, при каждом ц £ О(ц0) отображение fn(ц, •) является или тождественным отображением на пространстве 0,2, или отображением сдвига влево на один элемент на пространстве 02. Таким образом, отображение fn является непрерывным в любой точке пространства Mx О2.
Пусть ц £ M\ G, тогда найдется такое наименьшее натуральное число к(ц), что для любого p £ N имеет место включение ц £ M\ Gk(ß)p, а следовательно, выполнено равенство Xk(n)p(ц) = 0. Для любого n > Sk(ß)-\(ц) справедливо тождество fn(ц, •) = idn2, из которого получаем
hd(f (ц, •),£)= 0. (11)
Пусть ц £ G, тогда для любых к £ N и n £ {Sk-1(ц) + lk(ц),...,Sk(ц)} выполнено равенство Xkn-sk_ 1(ц) (ц) = 1. Обозначим через p наибольшее натуральное число, удовлетворяющее условию 2-p > е. Рассмотрим множество Q^, k,p элементов x £ О2, таких, что
f °(sk-iM+ik M-i) (ц x) = (y.) y. = ¡0 шли1, если i = ° 1,...,mk (ц) + p — lk (ц) —
i ' i \ 0 в остальных случаях.
Так как отображение f °(sk-l(v)+ik(м)-1)(ц, •) является гомеоморфизмом, то мощность множества Qß,k,p равна 2mk(^+P-ikМ. Пусть a,b £ Qß,k,p, a = b, и f°(sk-i(^+ik(ß)-1)(ц,а) = (...,0,c0,ci,...), f °(sk-i(p)+ik (p)-1) (ц,Ь) = (...,0,d0 ,d1,...), тогда найдется наименьшее i £ {0,1,...,mk (ц) + p — lk (ц) — 1}, такое, что c0 = d0,..., ci-1 = di-1,ci = di. Пусть i £ {0,1,... ,p}, тогда
> ^+ikM(a,b) > 2-P >е;
если же i £ {p + 1,..., mk(ц) + p — lk(ц) — 1}, то
d&) (a,b) > d(f °(sk-l(^+ik (M)+i-p) (ц, a), f°(sk-1 (f)+ik (p)+i-p) (ц,ь)) ^ 2-p > е.
Следовательно, величина Nd(f (ц, •),e,Sk(ц)) не меньше, чем мощность множества Qß,k,p, отсюда получаем
hd(f(ß,-),e) > Ш -^-lnNd(f(p,-),e,sk(ß)) > lim
k^ж Sk(ц) k^ж Sk-^ц) + mk(ц)
13 ВМУ, математика, механика, № 6
С другой стороны, по лемме имеем hd(f (у, •),£) ^ htop(f (у, ■)) ^ ln2. Таким образом, каждая точка у е G является точкой полунепрерывности сверху функции у ^ hd(f (у, ■),£). Поскольку множество G всюду плотно в пространстве M, в любой окрестности каждой точки у е M\ G есть точка из множества G, а следовательно, в силу (11) и (12) точка у не является точкой полунепрерывности сверху функции у ^ hd(f (у, ■),£). Теорема 4 доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Колмогоров А.Н. Асимптотические характеристики вполне ограниченных метрических пространств // Докл. АН СССР. 1956. 179, № 3. 585-589.
2. Kolyada S., Snoha L. Topological entropy of nonautonomous dynamical systems // Random & Computational Dynamics. 1996. 4, N 2-3. 205-233.
3. Ветохин А.Н. Точный бэровский класс топологической энтропии неавтономных динамических систем // Матем. заметки. 2019. 106, № 3. 341-348.
4. Ветохин А.Н. О непринадлежности второму бэровскому классу топологической энтропии одного семейства гладких неавтономных динамических систем на отрезке, непрерывно зависящих от параметра // Дифференц. уравнения. 2020. 56, № 1. 133-136.
5. Хаусдорф Ф. Теория множеств. М.: ОНТИ, 1937.
6. Куратовский К. Топология. Т. 1. М.: Мир, 1966.
7. Ветохин А.Н. О некоторых свойствах топологической энтропии и топологического давления семейств динамических систем, непрерывно зависящих от параметра // Дифференц. уравнения. 2019. 55, № 10. 1319-1327.
Поступила в редакцию 07.02.2020
УДК 515.124, 515.126.4, 512.562
О ТОЧКАХ СОВПАДЕНИЯ ДЛЯ ПАРЫ МНОГОЗНАЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ТИПА ЗАМФИРЕСКУ
Ю. Н. Захарян1, Т.Н. Фоменко2
Введено понятие пары многозначных отображений типа Замфиреску из одного метрического пространства в другое. Доказана теорема о существовании точек совпадения для таких пар отображений. Показано, что полученный результат является обобщением основной теоремы недавней совместной работы К. Няммани и А. Кевхао (Kritsana Neammanee, Annop Kaevkhao), где введено понятие многозначного отображения Замфиреску метрического пространства в себя и получены теоремы о существовании и аппроксимации неподвижной точки у таких отображений. Кроме того, показано, что все эти результаты являются частными случаями принципа поиска пулей специальных (1, X)-поисковых функционалов, предложенного ранее Т. Н. Фоменко.
Ключевые слова: пара отображений типа Замфиреску, точка совпадения, неподвижная точка, поисковый функционал, принцип поиска нулей.
A concept of a pair of multi-valued Zamfirescu type mappings between metric spaces is introduced. A coincidence existence theorem is proved for such pairs of mappings. It is shown that the obtained result is a generalization of the main result of the recent joint work by the authors Kritsana Neammanee and Annop Kaevkhao, in which the concept of a multi-valued
1 Захарян Юрий Норикович — асп. каф. общей топологии и геометрии мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: yuri.zakharyanQgmail.com.
2 Фоменко Татьяна Николаевна — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. общей математики ф-та ВМК МГУ, e-mail: tn-fomenkoQyandex.ru.
Zakharyan Yuriy Norikovich — Postgraduate, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of General Topology and Geometry.
Fomenko Tatiana Nikolaema — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, Chair of General Mathematics.
