Многовариантная топологическая модель гидравлических систем котельных агрегатов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.18

МНОГОВАРИАНТНАЯ ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ КОТЕЛЬНЫХ АГРЕГАТОВ

© 2010 г. А.А. Белов

Южно-Российский государственный South-Russian State

технический университет Technical University

(Новочеркасский политехнический институт) (Novocherkassk Polytechnic Institute)

Приводятся варианты топологических математических моделей (уравнения энергии, движения, неразрывности), которые основаны на иерархическом подходе к представлению гидравлических систем произвольной сложности. Разработана классификация таких моделей.

Ключевые слова: котёл; гидравлическая система; топологическая математическая модель; граф; матрица инцидентности; поверочный гидравлический расчет.

Variants of topological mathematical models (equations of energy, motion, continuity) which based on hierarchical approach to interpretation of hydraulic systems of optional complexity are given here. The classification of these models is drawn up in this work.

Keywords: boiler (generator); hydraulic system; topological mathematical model; graph; matrix of identity; hydraulic checking calculation.

Современные энергетические котлы имеют сложные гидравлические системы. Если к ним применить метод декомпозиции, то число иерархических уровней в таких системах может достигать четырех-пяти. Разбиение гидравлической системы на иерархические уровни не только увеличивает ее наглядность, но и позволяет строить множество различных вариантов топологических моделей этих систем. Топологическая математическая модель -это система нелинейных алгебраических уравнений, которая отражает структурные свойства системы [1]. В такую систему входят уравнения сохранения импульса для замкнутых контуров (сумма перепадов давления по замкнутому контуру равна нулю) и уравнения сохранения энергии и массы для смешивающих узлов гидравлической схемы.

Ключевым понятием в предлагаемой модели служит составной компонент (СоК), который имеет иерархическую структуру с произвольным числом уровней декомпозиции. При таком подходе вся гидравлическая расчетная схема является составным компонентом нулевого уровня декомпозиции. Далее СоК нулевого уровня разбивается на составные компоненты 1-го уровня СоКп1( п1 = 1..птах1; где птах1-количество составных компонентов 1-го уровня), на сложные компоненты СлК и на простые компоненты ПрК. Простой компонент представляет собой двухполюсник, а СлК - многополюсник [1]. Двухполюсник имеет один вход и один выход, а многополюсник - произвольное количество того и другого. В

свою очередь составной компонент первого уровня разбивается на простые компоненты, сложные компоненты и составные компоненты 2-го иерархического уровня СоКя1я2 (п2 = 1..птах2 (п1) - количество СоК

2-го уровня в п1-м СоК 1-го уровня). Составные компоненты 2-го уровня, в свою очередь, разбиваются на составные части и т.д. Как было сказано выше, число иерархических уровней в СоК не ограничено.

Для математического описания структуры гидравлической системы составные компоненты представляются графами. Каждый СоК и СлК описывается внешним и внутренним графом. Внешний граф представляет собой звездное дерево [1] (для многополюсника) или дугу (для двухполюсника). Внутренний граф СоК представляет собой произвольный граф, который состоит из звездных деревьев, отражающих СоК и СлК более низкого уровня, и дуг, отражающих ПрК. Внутренний граф СлК является произвольным графом с зависимыми дугами, в которых перепад давления определяется не только расходом в данной дуге, но и остальными расходами в СлК. В качестве аналитического описания графов в представляемой модели используются матрицы инцидентности, через которые удобно записывать топологические уравнения сохранения. Таким образом, в соответствии с иерархической структурой расчетная схема представляется множеством матриц инцидентности. Количество элементов в этом множестве равно удвоенному количеству СоК и СлК, так как каждый из них имеет внутренний и внешний граф.

Кроме того, для каждого составного компонента может быть построен генеральный граф и соответствующая ему генеральная матрица инцидентности. Генеральный граф составного компонента - это внутренний граф, в котором составные компоненты более низкого иерархического уровня отсутствуют, т.е. они представлены СлК и ПрК, входящими в их состав.

Первый вариант топологической модели основан на построении генеральной матрицы инцидентности С для составного компонента нулевого уровня декомпозиции, т.е. для всей гидравлической расчетной схемы. Такую процедуру не очень сложно осуществить, зная структуры (внутренние графы) всех составных компонентов. В этом случае уравнения сохранения массы, импульса и энергии можно записать в следующей векторной форме, в которой квадратными скобками в соответствии с [2] обозначены матрицы-столбцы (векторы) соответствующих величин:

Со [Gk ] + [Gr ]= [0],

B к ] = [°],

(1)

(2)

С - ] + С+ [ГО ] + [^ ] = [^ Gf ] , (3)

где С0 - сокращенная генеральная матрица инцидентности; Gk - массовый расход в й дуге генерального

графа, кг/с; Gг - расходы среды на входе (отрицательные) и на выходе (положительные) составного компонента нулевого уровня декомпозиции, кг/с; Б - матрица независимых контуров, построенная по известной генеральной матрице С; ЬР]^ -перепад давления в ]-й дуге, Па; С = С+ + С~,

[вк] = [е+]+[Ск-], [егг] = [ег]+[ег] - разложения соответствующих матрицы и векторов на положительную и отрицательную части; [й^ ] , [йк ] -векторы энтальпий в начале и конце ]-й дуги графа, кДж/кг; Й - граничная энтальпия на входе в гидравлическую схему через i-ю вершину, кДж/кг; [СгЕ] -

суммарные расходы среды, входящие в i-ю вершину (отрицательные), кг/с; hi - среднерасходная энтальпия в узле, кДж/кг.

Следует подчеркнуть, что начало и конец дуги графа совпадают с входом и выходом соответственно только при положительном расходе. При отрицательном расходе вход находится в конце дуги, а выход - в начале, что хорошо видно из уравнения (3).

В уравнениях (1) - (3) массовые расходы могут быть как положительными, так и отрицательными. Возможность моделирования отрицательных расходов удобна, например, при расчёте сложных схем с перемычками, при исследовании гидродинамики в различ-

ных режимах с возможностями опрокидывания потока, при расчете рециркуляционных труб и т.п.

Для моделирования неравенства энтальпий на выходе из ьго узла к уравнению (3) добавляются уравнения сохранения энергии для потоков, выходящих из узла [3], которые, также как и зависимость (3), являются топологическими уравнениями вершин.

Топологическая модель, основанная на использовании генерального графа системы, в настоящее время реализована в виде программного продукта [4].

Во втором варианте топологической модели, также как и в первом, решается система нелинейных уравнений для всей гидравлической схемы, т.е. для компонента СоК0, однако генеральная матрица инцидентности не строится, а для формирования уравнений используются непосредственно матрицы инцидентности внутренних графов составных компонентов. Уравнения сохранения массы и импульса в этом случае можно записать следующим образом:

[Fm+k (Х )] :

A [G¡ ] + G Г1 = 0;

B

]

(4)

= 0,

где x - вектор-аргумент системы нелинейных алгебраических уравнений [Fm+k (x)J ; z = {nb n2, ..., nH},

zi = {nj, n2, ..., nl-2} - упорядоченные множества номеров, идентифицирующие соответствующие составные компоненты СоКz, СоК ; A0 - сокращенная

матрица инцидентности внутреннего графа для СоК z; s - номер дуги звездного дерева (внешнего графа) СоК z во внутреннем графе составного компонента меньшего номера уровня декомпозиции СоК (т.е.

номер дуги подкомпонента в графе компонента).

Связь вектора-аргумента x с неизвестными расходами Gk описывается следующими зависимостями:

Xm+k = Gk , 1 = i-lmax , n0 = 0, ni = nmaxi ,

n2 = i.. nmax2 (ni) , n3 = i.. nmax3 (ni, n2 ) , ...

i

k = i, ..., kmax (z) ; m = ^ mj ,

j=i

10, l = 1

г maxi

где m , m2 = 2 kmax (i),

[kmax(0), l > 1 ¿=1

I П — 1, l = 2 nmax1 i max2

/maxj =

I nmax,, l > 2

= 2 2 kmax(n1,i).

П1 =1 i=1

m

3

/max2 = -

I n2 -1, l = 3

^nmax2 (ni ), l > 3

nmaxi nmax2(n)imax3

m4 = Z Z Z ^max(ni, П2, i),

ni =1 П2 =1 i=1

I n3 -1, l = 4

nmax3 (n1, n2 ), l > 4

nmax1 imax j-1

mj = Z ... Z ^max (n1,..., i),

n1 =1 ' =1

imax j.-1 =

nj -1 -1, l = j

nmax.-1 (n1,...,n.-2), l > j.

Уравнения сохранения энергии для входящих потоков (уравнения вершин) в соответствующих составных компонентах, аналогично зависимости (3), примут вид

[/№] + [н?&к-] + [и?] = .(5)

Смысл индексов в уравнении (5) такой же, как и в зависимостях (3) и (4).

В третьем варианте модели синтезируется генеральный граф, но не полный, а частичный. В этом случае не все внешние графы компонентов более низких уровней заменяются внутренними графами. В данном варианте частично используются зависимости (1) - (3) и (4), (5).

В вариантах 1 - 3 решается одна система уравнений для всей системы. Однако иерархическое построение компонентов позволяет формировать и самостоятельно решать системы уравнений для СоК более низкого уровня декомпозиции (подкомпонентов) на каждой итерации для компонента или системы в целом. Запись системы уравнений для подкомпонента аналогична зависимостям (1) - (3) и не вызывает трудностей.

Выше были описаны топологические модели для всей гидравлической схемы, однако, как было показано ранее, сама расчетная схема представляет собой составной компонент, следовательно, для любого составного компонента, с количеством уровней декомпозиции более одного, могут быть построены представленные здесь модели (рисунок).

Во всех вариантах моделей (рисунок) для любых графов последовательно соединенные дуги можно объединять в одну дугу. В итоге мы получим гомео-морфный граф [1], что может привести к значительному сокращению размерности решаемой системы уравнений.

3

Рис. 1. Классификация топологических математических моделей составных компонентов (СоК) с количеством уровней декомпозиции более одного

Как показывает опыт расчетов, удается уменьшить размер системы в 5 и более раз, например, для прямоточного котла (часть гидравлической системы до полнопроходного сепаратора) со скользящим давлением мощностью 600 МВт, размерность системы в результате построения гомеоморфного графа уменьшилась с 130 до 32.

Каждый из пяти вариантов представленных топологических моделей (рисунок) имеет свои преимущества и недостатки и, в итоге, оценивается временем счета, оперативной памятью и надежностью решения поставленной задачи. Все эти показатели должны быть исследованы в вычислительных экспериментах. В настоящее время реализована первая версия программы без уровней декомпозиции с возможностью построения гомеоморфных графов [4]. В следующих версиях программы гидравлического расчета прямоточных и барабанных котлов будут реализованы все варианты топологических математических моделей.

Поступила в редакцию

Литература

1. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера : 2-е изд., стереот. Киев, 1977. 768 с.

2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М., 1973. 832 с.

3. Белов А.А, Баранников А.Б. Математическая модель гидравлической схемы котельного агрегата с учетом неравенства входной энтальпии в потоках, исходящих из одного узла // Кибернетика электрических систем : материалы XXIII сессии семинара «Энергоснабжение промышленных предприятий», Новочеркасск, 25-28 сент. 2001 г. / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т; ред. журн. «Изв. вузов. Электромеханика», Новочеркасск, 2002. С. 86 - 88.

4. Баранников А.Б. Белов А.А. , Федоров В.С. Программа поверочного гидравлического расчета «Гидравлика» : Свидетельство об отраслевой регистрации разработки № 5251 / Федер. агентство по образованию; Гос. коорд. центр информ. технол.; Отрасл. фонд алгоритмов и программ. Зарег. 04.10.2005.

3 августа 2009 г.

Белов Александр Алексеевич - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Парогенераторостроение». Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Тел. (8635)255-644. E-mail: warme@npi-tu.ru

Belov Aleksandr Alekseevich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Steam-generating buildings» South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. (8635)255-644. E-mail: warme@npi-tu.ru