CC BY
14
_ЭЛЕКТРОМЕХАНИКА И ЭНЕРГЕТИКА_
УДК 621.18
ПРАВИЛА ЗАДАНИЯ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ ПРИ СТАТИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ СЛОЖНЫХ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ КОТЕЛЬНЫХ АГРЕГАТОВ
© 2009 г. А.А. Белов
Южно-Российский государственный South-Russian State
технический университет Technical University
(Новочеркасский политехнический институт) (Novocherkassk Polytechnic Institute)
Для гидравлических систем, в которых внешними параметрами служат массовые расходы, давления и энтальпии на входах и выходах, получена зависимость для определения необходимого количества граничных условий при решении любой поверочной вычислительной задачи. Приводится правило непротиворечивости этих условий при произвольном количестве входов и выходов.
Ключевые слова: котёл; гидравлический расчет; многополюсник; двудольный граф; матрица смежности.
For hydraulic systems, in which mass consumption, pressure and enthalpy at inlet and outlet serves as external parameters, the dependence for determination of necessary quantity of boundary conditions by solving of any calibration computational problem is received. Consistency rule of these conditions by arbitrary quantity of inlets and outlet is also given.
Keywords: boiler (generator); hydraulic design; multipole; two-partite graph; adjacency matrix.
В гидравлических расчетах сложных обогреваемых систем, например парового котла, с несколькими входами и выходами, в стационарном режиме возникает проблема корректного задания граничных условий. При моделировании гидравлических систем связь с окружающей средой осуществляется через внешние параметры. В качестве этих параметров удобно использовать следующие величины: G - массовый расход, кг/с; р - давление, Па; h - удельная энтальпия, кДж/кг. Для каждого типа вычислительных задач часть этих внешних параметров, которые будем называть граничными условиями (ГУ), должна быть задана в исходных данных для расчета. Иметь четкие алгоритмы определения необходимого количества ГУ и их непротиворечивости (логическая проверка) очень желательно для любой программы гидравлических расчетов. Особенно это становится актуальным в методах расчета, основанных на декомпозиции сложной системы на отдельные компоненты, каждый из которых, в общем случае, может иметь по несколько входов и выходов. Задание ГУ определяет тип решаемых вычислительных задач, которые для поверочных расчетов условно подразделяют на прямые и обратные. Задача идентификации является конструкторской и в данной работе не рассматривается.
Пусть имеется гидравлическая система (подсистема) произвольной сложности, например парового котла, с любым количеством входов и выходов. Эта система может состоять из сотен и тысяч составных частей, каким угодно образом соединенных друг с другом, но, как «черный ящик», ее можно представить в виде многополюсника [1] (рис. 1 а).
Каждый из m узлов многополюсника характеризуется тремя параметрами О-, pJ■, /г,-, которые являются внешними по отношению к моделируемой системе. Общее количество этих параметров равно 3т. Часть из 3т внешних параметров должна быть задана для решения определенной вычислительной задачи. Заданные параметры, как было указано выше, названы
граничными условиями. Целью данной работы является определение необходимого количества и непротиворечивого сочетания ГУ для любой поверочной вычислительной задачи.
3
2
1
а
Рис. 1. Многополюсник (а) и его полюсный граф (б): т = твх + твых - общее количество входов (твх) и выходов (твых), 0 - базис звездного дерева
С использованием теории графов, многополюсник можно представить в виде звездного дерева с внутренней вершиной (рис. 1б). Этот направленный граф (орграф) состоит из т дуг и (т + 1) вершин. Составим уравнения, отражающие законы сохранения массы, импульса и энергии для элементов звездного дерева.
Уравнение неразрывности для внутренней вершины «0» орграфа имеет вид
твх т
I О = I о. 0)
]=1 ]=твх +1
Уравнения движения, отражающие закон сохранения импульса, запишем для входных и выходных дуг звездного дерева раздельно. В обобщенном виде эти уравнения, завязывающие продольные и поперечные переменные графа, можно представить следующим образом:
р1 - Ро = / , р1, Рс^И, И), 1 =1 твх; (2) Ро - Р] = / (G1 , Ро, Р] , И , Ь1 ) , 1 = твх +1,•••, т , (3)
где р0 - давление во внутренней вершине графа, Па; И* - энтальпия потока на выходе из1-й дуги, направленной к базису, кДж/кг; И" - энтальпия потока на входе
в 1-ю дугу, направленную от базиса графа, кДж/кг.
К уравнениям неразрывности и движения следует добавить уравнения энергии для потока среды, записанные раздельно для входных и выходных дуг:
^ (И1к - И1 ) = 01, 1 = ^ твх; (4)
Gl (Иу -Щ ) = 01 , 1 = твх +1,..., т , (5)
где 01 - тепловой поток (тепловосприятие) 1-й дуги, кДж/с.
Заметим, что приводимые рассуждения справедливы как для обогреваемых элементов (0,- > 0), так и для необогреваемых (01 = 0) и охлаждаемых (01 < 0).
Входные и выходные энтальпии связаны между собой уравнением энергии для внутренней вершины (базиса) графа
твх т
Е = е GjИH • (6)
1 =1 1=твх+1
Проведя анализ основных уравнений сохранения (1) - (6), в итоге получим, что количество ГУ ЫГУ, т.е. задаваемых внешних параметров, определяется по следующей зависимости:
Жгу = 3т-(т + твых) = т + твх . (7)
Однако знание зависимости (7) недостаточно для корректного задания ГУ, так как не все внешние параметры входят в каждое из уравнений (1) - (5) и, следовательно, эти параметры не являются равнозначными для решения задачи. Иначе говоря, некоторые сочетания ГУ оказываются недопустимыми, так как приводят к нарушению законов сохранения. Рассмотрим эту проблему на примере простейшего случая моделируемой системы при одном входе и одном выходе.
По аналогии с общей ситуацией (рис. 1) гидравлическая система в этом случае изображена на рис. 2.
/ • ) »—• 2 1 •—»—-• 2
а б
Рис. 2. Частный случай многополюсника (а) и его графа (б) при одном входе и выходе
Применив формулу (7), получим, что для системы из рис. 2 ЖГУ = 3. Для анализа непротиворечивости ГУ используем двудольный граф [1], который отражает
законы сохранения массы (М), импульса (Д) и энергии (Э) и соответствующие внешние параметры, в них входящие (рис. 3).
Рис. 3. Двудольный граф для системы с одним входом и одним выходом
На графе рис. 3 показано одно уравнение движения (Д) и одно уравнение энергии (Э), так как именно такое их количество получается после исключения внутренних параметров из рассмотренной выше системы. Наличие связей на двудольном графе между вершинами - уравнениями и вершинами - параметрами определяется зависимостями (1) - (5). Заметим, что вхождение энтальпий И1 и И2 в уравнение движения обусловлено наличием в нем плотностей среды, которые через уравнение состояния зависят от соответствующих энтальпий.
Двудольный граф удобно представить матрицей смежности [1], строки и столбцы которой соответствуют вершинам графа. Матрица смежности неориентированного графа (рис. 3) всегда симметрична относительно главной диагонали. Часть матрицы смежности (первые три строки без трех столбцов), которая несет всю информацию о двудольном графе из рис. 3, показана в табл. 1.
Таблица 1
Фрагмент матрицы смежности двудольного графа
для системы с одним входом и выходом
Уравнения Внешние параметры
сохранения Gi g2 P1 Р2 h1 h2
М 1 1 0 0 0 0
Д 1 1 1 1 1 1
Э 1 1 0 0 1 1
Опираясь на понятия двудольного графа и матрицы смежности, можно дать следующее определение правила непротиворечивости ГУ: параметры, входящие в данное уравнение сохранения, не могут быть все заданы в качестве ГУ и как однозначные решения других уравнений сохранения. Входит или не входит данный параметр в уравнение сохранения, определяется наличием или отсутствием в графе ребра, соединяющего соответствующие вершины, а в матрице смежности соответственно единицей или нулем. Математическую модель правила непротиворечивости ГУ можно представить в виде векторного соотношения. Для этого обозначим строки матрицы смежности векторами [а^ ^ , [а^ ^ , [а^ ] (табл. 1), а вектор
ГУ - [с^ ] . Вектор ] имеет также, как и векторы [а^ ] шесть элементов. Тогда правило непротиворечивости примет вид
[а]с] ] г ] г, '' = ^,3, (8)
где [с- ].=[с;- ]+[г;- ] ., [г- ] . - вектор параметров,
полученных в результате решения других уравнений сохранения. Вектор [г- ] показывает, какие параметры были получены, как однозначное решение уравнений 1, 2, ..., i - 1, i + 1, ....
Например, если заданы величины О1, р1, /1, то
[с, ] = (1, 0, 1, 0, 1, 0), [г, ] = (0, 0, 0, 0, 0, 0), [г- ] 2 = (0, 1, 0, 0, 0, 1), [г,- ] з = (0, 1, 0, 0, 0, 0),
[с-] 1 =[с-Но] 1 = (и а и а и
[с- ] 2 =[с- № ] 2 = (1 1 1, 0, 1, 1), [с- ] з =[с- № ] 3 = (^ 1, 1, 0, 1, 0>
Легко видеть, что для каждого уравнения сохранения условие (8) выполнено.
Для системы с одним входом и одним выходом нетрудно проанализировать все возможные варианты задания ГУ. Число таких вариантов равно количеству сочетаний из 3т внешних параметров, содержащих Ару граничных условий. В данном случае т = 2, Ару = 3, и число сочетаний определяется формулой [2]:
3т! 6!
Nвар = --3т--= — = 20 . (9)
вар (3т - N ГУ)! АГУ! 3!3!
Эти 20 вариантов ГУ показаны в табл. 2.
Таблица 2
Варианты ГУ для системы с одним входом и одним выходом
Номер варианта ГУ Вектор ГУ cj ] Корректность вычислительной задачи
Gi g2 P1 Р2 hl h2
1 1 1 1 0 0 0 нет
2 1 1 0 1 0 0 нет
3 1 1 0 0 1 0 нет
4 1 1 0 0 0 1 нет
5 1 0 1 1 0 0 да
6 1 0 1 0 1 0 да
7 1 0 1 0 0 1 да
8 1 0 0 1 1 0 да
9 1 0 0 1 0 1 да
10 1 0 0 0 1 1 нет
11 0 1 1 1 0 0 да
12 0 1 1 0 1 0 да
13 0 1 1 0 0 1 да
14 0 1 0 1 1 0 да
15 0 1 0 1 0 1 да
16 0 1 0 0 1 1 нет
17 0 0 1 1 1 0 да
18 0 0 1 1 0 1 да
19 0 0 1 0 1 1 да
20 0 0 0 1 1 1 да
Графа «Корректность вычислительной задачи» в табл. 2 заполнена исходя из опыта гидравлических расчетов, что в этой самой простой ситуации (по одному входу и выходу) не представляет больших затруднений. Проверим работоспособность правила непротиворечивости (8) для данных табл. 2. Заметим, что пример использования формулы (8), приведенный выше, соответствует шестому варианту в табл. 2. Для первых четырех вариантов очевидно не выполняется первое условие из правила (8), при этом [г- ] = (0, 0,
0, 0, 0, 0). А для вариантов 10 и 16 не выполняется третье условие из (8). Действительно, для варианта 10 [г; ] = (0, 1, 0, 0, 0, 0), а для варианта 16 [г; ] = (1, 0,
0, 0, 0, 0). И в обоих вариантах с использованием (8) имеем: [с,]3=[с,] + [г-] = (1, 1, 0, 0, 1, 1),
[а^ ]з = (1, 1, 0, 0, 1, 1) = [а- ] , что и требовалось
показать. Как легко проверить, что было сделано для варианта 6, другие векторы ГУ [с- ] удовлетворяют
всем трем условиям правила (8).
Рассмотрим более сложный вариант многополюсника (см. рис. 1) с двумя входами (номера 1, 2) и двумя выходами (номера 3, 4). Определим, сколько уравнений движения и энергии должно входить в двудольный граф, предназначенный для установления непротиворечивости ГУ.
Уравнение неразрывности (М) всегда одно при любом количестве входов и выходов. Алгоритм преобразования системы из т уравнений движения (2), (3) предлагается следующий: исключаем из этой системы давление р0 с помощью первого уравнения, получим (т - 1) зависимостей; исключаем из системы давление р0 с помощью второго уравнения, получим (т - 2) соотношений, не совпадающих с (т - 1) уравнениями, полученными на первом шаге; затем для исключения р0 используем третье уравнение и т.д. В итоге получим, что количество уравнений движения (Д) в
двудольном графе Ад рассчитывается по зависимости
т-1
Ад = 1(т - i). (10)
г=1
Для рассматриваемого случая с двумя входами и выходами т = 4, и из соотношения (10) получим Ад = 6. Проверим зависимость (10) для случая с одним входом и одним выходом, тогда т = 2 и Ад = 1, что и показано на рис. 2.
Алгоритм преобразования уравнений энергии аналогичен и в итоге дает, что количество этих уравнений АЭ в двудольном графе рассчитывается по зависимости
твых —1
АЭ = 1 + I (твых — i). (11)
г=1
Для случая с двумя входами и двумя выходами при использовании формулы (11) получаем, что АЭ = 2.
Суммируя полученные количества уравнений сохранения найдем, что их общее число в двудольном графе для определения непротиворечивости ГУ равно девяти. Этот граф отобразим с помощью матрицы смежности, которая приведена в табл. 3, аналогичной табл. 1 для случая с одним входом и выходом.
Таблица 3
Фрагмент матрицы смежности двудольного графа для системы с двумя входами и двумя выходами
Номер Уравнение Внешние параметры (проекции векторов at )
строки i сохранения 01 Ü2 G3 G4 Р1 Р2 Р3 P4 h1 h2 h3 h4
1 М 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
2 Д1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
3 Д2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
4 Д3 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1
5 Д4 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
6 Д5 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
7 Дб 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
8 Э1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
9 Э2 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1
Правило непротиворечивости (8) в общем случае можно записать в виде
1 ] г ] г, i = ^ ^ (12)
где [с]г =[с;]+Ь]г, Жур = 2 +Е(т-/)+ Е Кк -1)
i=1 i=1
- суммарное количество уравнений сохранения в двудольном графе при произвольном количестве входов и выходов.
При двух входах и выходах т = твх + твых = 4. В этом случае число всех возможных вариантов задания ГУ, в соответствии с зависимостью (9), получается равным 924. Проанализировать здесь все варианты ГУ, как это было сделано для системы с одним входом и одним выходом, не представляется возможным. Поэтому рассмотрим применение правила непротиворечивости (12) для таких систем на основе двух примеров. Количество ГУ в данной ситуации находим по зависимости (7): ЖГУ = т + твх = 6. Пусть в первом примере заданы следующие внешние параметры: G1, 02, 03, р1, И1, И2. Тогда вектор ГУ в соответствии с
матрицей смежности табл. 3 примет вид [с^ ] = (1, 1,
1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0). Из табл. 3 следует, что при
данных ГУ [С ] в уравнении сохранения массы
М (/' = 1) одно неизвестное 04, которое и находится из
этой зависимости. То есть вектор параметров [г/ ] из
(12) будет равен (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0), i = 2,..., 9 и [г^ ] = 0. Применяя зависимость (12) для
всех строк табл. 3, легко видеть, что правило непротиворечивости при данных ГУ выполняется.
Поступила в редакцию
Теперь пусть будут заданны аналогичные ГУ, но с энтальпией не на входе, как в первом примере, а на
выходе: G2, 03, р1, И3, И4, т.е. [с^ ] = (1, 1, 1, 0, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 1, 1). Вектор параметров, полученных в результате решения уравнения неразрывности, останется таким же: [г ] = 0 и [г^] = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0), i = 2,..., 9. Определим вектор [С ] из
зависимости (12) [с^] = 1^ ]+[г;1 ] = (1, 1, 1, 1, 1,
0. 0, 0, 0, 0, 1, 1). Используя полученный вектор [С ] и вектор [а] из табл. 3, получим, что
[а]с] ] = (0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1) = \а] ] , т.е.
условие непротиворечивости (12) не выполнено и такие внешние параметры (ГУ) задавать нельзя!
Выводы
1. Получена зависимость для определения количества граничных условий (внешних параметров) необходимого для стационарных поверочных гидравлических расчетов систем с произвольным количеством входов и выходов.
2. Разработано правило непротиворечивости задаваемых граничных условий.
Литература
1. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера : 2-е изд., стереотип. Киев, 1977. 768 с.
2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) М., 1973. 832 с.
25 декабря 2008 г.
Белов Александр Алексеевич - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Парогенераторостроение», Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Тел. (863-52) 55-6-44. E-mail: warme@nri-tu.ru44
Belov Aleksandr Alekseevich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Steam-generaiting building», South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute).Ph. (863-52) 55-6-44. E-mail: warme@nri-tu.ru44
