CC BY
30
УДК 514.18
О.М. ГУМЕН
Нацюнальний техшчний ушверситет Укра!ни "Кшвський полiтехнiчний шститут"
с.е. лясковська
Нацiональний унiверситет "Льв1вська полiтехнiка"
ев. мартин
Львiвський державний ушверситет безпеки життед1яльносп
БАГАТОВИМ1РНА ГЕОМЕТР1Я У ПРИКЛАДНИХ ЗАДАЧАХ
Розглядаються задач1 науки i техтки, для розв 'язування яких використовуеться тструментарт прикладной багатовимiрноi геометрИ is залученням багатовидiв n-вимiрних ев^дових npo^opie. Представлений метод показано на прикладi створення моделi залежностi п 'яти змiнних. Метод е унiверсальним i може бути поширений на подан числами рiзноi розмiрностi параметрiв обхоплюючi евклiдовi та проективнi простори.
Ключовi слова: багатовимiрнi простори, евклiдовi, проективнi та фазовi простори, багатопараметричнi залежностi, багатовиди.
Е.Н. ГУМЕН
Национальный технический университет Украины "Киевский политехнический институт"
С.Е. ЛЯСКОВСКАЯ
Национальный университет "Львовская политехника"
ЕВ. МАРТЫН
Львовский государственный университет безопасности жизнедеятельности
МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧАХ
Рассматриваются задачи науки и техники, для решения которых применяется инструментарий прикладной многомерной геометрии с привлечением многообразий n-мерных евклидовых пространств. Представленный метод показан на примере создания модели зависимости пяти переменных. Метод является универсальным и может быть распространен на поданные числами разной размерности параметров охватывающие евклидовые и проективные пространства.
Ключевые слова: многомерные пространства, евклидовые, проективные и фазовые пространства, многопараметрические зависимости, многообразия.
О.М. GUMEN
National Technical University of Ukraine "Kyiv Polytechnic Institute"
S.E. LYASKOVSKA
National University "Lviv Polytechnic"
E.V. MARTYN
Lviv State University of Life Safety
MULTIDIMENSIONAL GEOMETRY IN APPLIED PROBLEMS
Addressing the challenge of science and technology, for which the tools of applied multidimensional geometry are used involving manifolds of n-dimensional Euclidean spaces. The method of creating a model shown in the example is based on five variables. The method is generic and can be extended to represented by the numbers of the different dimensions ofparameters covering Euclidean and projective spaces.
Keywords: multidimensional spaces, Euclidean, projective and phase spaces, multivariate dependences, manifolds.
Постановка проблеми
Засоби прикладно! 6агатовим1рно1 геометрИ поадають належне мюце серед шструментарш розв'язування розма!тих задач науки i техшки i3 змшними багатьма параметрами одночасно. Враховуючи обмежеш можливосп для проведения експериментальних дослщжень, все бшьш актуальним е широке використання таких зaсобiв.
У прикладнш бaгaтовимiрнiй геометрп як геометричш моделi багатопараметричних залежностей рiзноl фiзичноl природи використовують багатовиди. Найзручшший споаб конструювання поверхонь передбачае видшення вщповвдно! поверхш (багатовиду) iз амейства таких поверхонь.
Перспективним е поеднання математичних методiв з наступною вiзуалiзацieю моделей, поданих гшерповерхнями та багатовидами обхоплюючих просторiв на основi геометричного iнструментарiю !х вщображення. Створення моделей нових об'ектiв та систем передбачае паралельний аналiз переб^ в них багатопараметричних процесiв.
Так як все затребувашшою на практищ стае вiзуалiзацiя складних багатопараметричних процеав iз залученням апарату багатовимiрно! геометри, то побудова багатовидiв як моделей цих процеав набувае особливо! актуальносп при вирiшеннi практичних задач.
Аналiз останнiх досл1джень i публiкацiй Багатовимiрна геометрiя широко застосовуеться в математищ i фiзицi для наочного представления рiвнянь з к1лькома неввдомими, функцш дек1лькох змiнних i систем з декшькома ступенями свободи. Та, звюно ж, цим не обмежуеться область и застосування у практицi. До безлiчi завдань, що вирiшуються за допомогою багатовимiрно! геометри, ввдносяться завдання про знаходження бiльш випдних варiантiв перевезень, завдання про найвигiднiшi способи розкрою матерiалу, найбiльш ефективнi режими роботи щдприемств, завдання про складання виробничих планiв i т. п. [1]. Той факт, що щ завдання, як i бiльш складш прикладнi технiчнi задачi, вирiшуються геометрично (причому, як правило, в просторах, що мають розмiрнiсть бiльшу трьох) сввдчить про важливiсть i своечасшсть продовження дослвджень у галузi багатовимiрноl геометри в сучасному науковому свт. Необхiднiсть використання n-вимiрних просторiв диктуеться також математичними завданнями фiзики, х1ми, бюлогп та iнших областей знання.
Прикладнi завдання багатовимiрно! геометри стосовно методiв побудови багатовимiрних просторiв i геометричних образiв у цих просторах ефективно вирiшуються за допомогою n-вимiрного моделювання. Розв'язання поставлених задач здшснюеться за унiверсальним алгоритмом, що тдходить для будь-якого числа вимiрiв, причому у виршенш навiть найскладнiших проблем отримуеться наочний результат.
Багато вчених зосереджувались на вивченнi i розвитку багатовимiрно! геометри. Великий вклад у поширення i розроблення положень прикладно! багатовимiрно! геометри зробили нашi вчеш: Гумен М.С., Ковальов С.М., Корчинський В.М., Найдиш В.М., Мартин £.В., Гумен О.М., Лясковська С.£. та iншi [2-12].
Так, професор М.С. Гумен розробив геометричш основи теори багатовидiв и-вимiрного евклiдового простору Еп, запропонувавши системний пiдхiд до !х дослвджень [2, 3, 6]. Результатом створених пiдходiв до конструювання моделей складних багатопараметричних залежностей стали методи геометричного розв'язування технiчних задач, зокрема, багатокритерiальних по к1лькох критер1ях оптимшцд одночасно.
Професором Найдишем В.М. використано засоби ортогонального i аксонометричного зображення геометричних об'ектiв багатовимiрних евклщових просторiв при конструюваннi сiльськогосподарських мехаиiзмiв [10]. Зокрема, запропоновано оригiнальне розв'язання задачi зображення багатовимiрно! характеристики приводного двигуна такого мехаиiзму. Професор Ковальов С.М. розробив засади ново! геометрично! теори формування багатовимiрних дискретних геометричних об'екпв за допомогою геометрично! штерпретацп математичного апарату числових послiдовностей [5,12]. Професором Корчинським В.М. створено геометричш моделi та виконано дослвдження багатопараметричних процеав формування просторових розподiлiв яскравосп видових даних дистанцiйного зондування Землi [11]. Проф. Гумен О.М. показала можливють проекцшвання геометричних образiв багатовимiрного простору у пвдпростори нижчо! розмiрностi при моделюваинi проективних w-просторiв стосовно дослвдження перебiгу нестацiонарних процесiв у багатопараметричних системах вiзуалiзацiею гiперповерхонь фазових просторiв [7,8]. Професор Мартин £.В. придiлив увагу досл1дженню геометрi! комплексного простору стосовно формування областей стшкосл та оптимiзацi! параметрiв регульованих систем [4,6]. К.т.н. Лясковська С.£. дослвдила геометричне моделювання багатопараметричних систем способом епюра и-простору [9].
1х теоретичш напрацювання все ширше знаходять свое практичне застосування у конкретних прикладних задачах, що свiдчить про псний зв'язок науки з практикою. У сучасному баченш науковцiв багатовимiрна геометр1я тiсно взаемодiе з iншими галузями науки. Моделювання перебiгу рiзних процеав, створення моделей явищ i систем дозволяють унаочнити дослiджуванi багатопараметричнi залежносп, встановити певнi закони впливу i механiзми взаемодi! м1ж параметрами. А це необхщна передумова успiшного розв'язання цшого ряду прикладних задач.
Формулювання цiлi дослiдження Використання методiв геометричного моделювання, особливо наочно! вiзуалiзацi!, стае необхвдним для практично! роботи. Тому цшлю дано! статтi е розгляд таких задач науки i техшки, для розв'язування яких застосовуеться шструментарш прикладно! багатовимiрно! геометрi!.
Виклад основного матерiалу досл1дження Досл1дження багатопараметричних техшчних систем супроводжуються геометричними уявленнями багатовидiв w-вимiрних евклiдових просторiв, поширеними на утвореш числами вищо! розмiрностi евклiдовi та проективнi простори. Геометричнi штерпретацп особливо ефективш, якщо при проведенш досл1джень враховувати постiйнiсть одного з параметрiв, що дозволяе трактувати його значення як сл1д гiперплощини ввдповщного фазового простору.
Аналiзуемо 3-вимiрний багатовид 5-простору (п = 5; к = 3). Визначаеться системою iз двох (п - к =2) сво!х проекцш на координатних 2-, 3- або 4-вимiрних шдпросторах. Розмiрнiсть координатних пiдпросторiв при цьому визначаеться кiлькiстю змiнних, мiж якими накладаеться зв'язок. К1льк1сть проекцiй завжди
дорiвнюe кшькосл (п - К) зв'язшв, що накладаються мiж змiнними. У даному випадку повиннi бути задан два так1 зв'язки (два рiвняння) мiж двома, трьома, чотирма (в одному з можливих сполучень) або змшано: двома i трьома, двома i чотирма, трьома i чотирма змшними. Нехай цей зв'язок заданий, наприклад, мiж двома парами змшних у вигляд1:
Тодi цi рiвняння визначають у 5-вимiрному просторi пару проектуючих гiперцилiндрiв, взаемний перетин яких дае 3-вимiрний багатовид.
Аналогiчно визначаеться 3-багатовид перетином вщповщних пар гiперцилiндрiв при зв'язках мiж змiнними в iнших можливих сполученнях подiбно розглянутому прикладу з чотирма змшними. На практищ частiше доводиться розв'язувати обернет задачi - для деякого 3-вимiрного багатовиду знаходять систему описуючих його рiвнянь або одержують графiчне його зображення на епюрг Для розв'язання ще! задачi скористаемося ириведеиими вище положениями. Вщносимо 3-багатовид до деяко! натурально! системи координат (Л.т.т^- 5-вим1рного простору (рис. 1).
Рис. 1. Схема утворення 3-просторових каркасних .лит 3-вим1рного багатовидуП3 5-вишрного простору
Видшимо каркас багатовиду у гшерплощинах р1вня Х4 Л."?, Елементами цього каркасу
являються 2-вим1рш багатовиди Щ,П№ знайдеш в ачних гшерплощинах р1вня. Для кожного з
одержаних 2-багатовидiв у утримуючих 1х 4-вимiрних гiперплощинах видшяються каркаси в 3-вимiрних
падпросторах р1вня л:;, Елементами каркас ¡в 2-багатовщцв е лшп 12, /„,,' //,, II2, //„,,'
ТПщ, т 112, м 1т'> вццювщно, для 2-багатовщцв П~7,П~п, ...,1Тш1.. Отже, лшп належать 3-ви\прним
падпросторам р1вня, паралельиим Ох;х1х3.
Спроектуемо всi лшп каркасу разом iз тими пiдпросторами рiвня, що !х мiстять, на координатш площиии. При цьому на гпдпроспр Ох-хрС; крив1 проектуються без змш. Для однозначного задавания 3-просторово! криво! достатиьо мати дв1 и проекцп на двовим1рш координатш площиии (дв1 п трьох площин
и простору). Приймемо за таю площиии, наприклад, Охх, \ 0х-х3. Кр1м цих двох площин для визначеносп кресленика, тобто для забезпечення однозначностi завдання 3-багатовиду на епюр^ необхiдно додати ще двi координатш площиии, наприклад, площиии ОХ^Х-, { Ох^х-.
Для 3-багатовиду можна також будувати перетин пiдпросторами рiвня i згущувати каркас, якщо цього вимагае конкретна прикладна задача.
Пропонований шдхщ до дослщження багатовидiв дозволяе вiзуально представити дослщжувану залежнiсть у виглядi вiдповiдного геометричного об'екта та дае можливють порiвняння його з еталонною
моделлю, розглядае з найб№ш загальних позицш ïxhî властивостi, дозволяе аналiзувати зв'язки м1ж змiнними.
Висновки
У розглянутому прикладi дослiджувалася залежнiсть п'яти змшних. Аналогiчно у прикладнiй багатовимiрнiй геометри працюе алгоритм розв'язку задач з моделюванням залежностей будь-якого числа змшних рiзноï фiзичноï природи. Таким чином, використання багатовидiв як геометричних моделей дослвджуваних залежностей е унiверсальним i дозволяе глибше уявити складний мехашзм взаемозв'язк1в та наочно представити переб^ процесiв у системi n змшних.
Дослвдженням створених геометричних моделей при розв'язуванш багатопараметричних задач науки i техшки передуе розроблення та вибiр належного геометричного iнструментарiю. За сучасного динамiчного технiчного розвитку iснуе великий запит на продовження дослвджень у цьому напрямку. Тому подальший розвиток прикладноï багатовимiрноï геометри буде скеровано саме на пошук та розроблення новггшх засобiв, зокрема геометричних, моделювання об'екпв та систем.
Список використано'1 лiтератури
1. Сиденко Л. Компьютерная графика и геометрическое моделирование / Л. Сиденко. - М.: Питер, 2009. - С.27-39.
2. Гумен Н.С. Геометрические основы теории многообразий евклидового n-пространства применительно к геометрическому моделированию многопараметрических систем: автореф. дис. ... докт. техн. наук: 05.01.01 / Гумен Н.С. - К, 1992. - 53 с.
3. Гумен М.С. Геометрична iнтерпретацiя моделi комплексного простору / М.С. Гумен, £.В. Мартин // Сучасш проблеми геометричного моделювання. Ч.1. - Харшв: Х1ПБ, 1998. - С.139-143.
4. Мартин £.В. Геометрiя комплексного простору стосовно формування областей стшкосл та оптимшци параметрiв регульованих систем: дис. ... докт. техн. наук: 05.01.01 / £.В. Мартин. - К., 2000. - 284 с.
5. Прикладна геометрiя та iнженерна графжа. Спецiальнi роздiли. Випуск 1. / Ковальов С.М., Гумен М.С., Пустюльга С.1., Михайленко В.£., Бурчак 1.Н. - Луцьк: Редакцiйно-видавничий вiддiл ЛДТУ, 2006. - 256 с.
6. Гумен Н.С. Применение многомерной геометрии при решении некоторых технических задач / Н.С. Гумен // Технология и автоматизация машиностроения. - К.: Техника, 1970. - В.6. - С. 18-25.
7. Гумен О.М. Моделювання проективних n -просторiв багатопараметричних техшчних систем: автореф. дис. ... докт. техн. наук: 05.01.01 / О.М. Гумен. - Мелггополь: ТДАТУ, 2011. - 36 с.
8. Ванш В.В. Рацюнальш багатовиди як неевклiдовi проективш простори / В.В. Ванш, М.С. Гумен, О.М. Гумен // Нау^ вюп НТУУ "КШ". - Вип.2. - К.: НТУУ "КП1", 2006. - С.139-143.
9. Лясковська С.£. Геометричне моделювання багатопараметричних систем способом епюра n -простору: дис. ... канд. техн. наук: 05.01.01 / С.£. Лясковська. - К., 2011. - 284 с.
10. Найдыш В.М. Методы и алгоритмы формирования поверхностей и обводов по заданным дифференциально-геометрическим условиям: автореф. дис. ... докт. техн. наук: 05.01.01 / В.М. Найдыш. - М., 1983. - 33 с.
11. Корчинський В.М. Iнварiантнi геометричш моделi вдентифшаци та аналiзу проекцшних зображень: автореф. дис. ... докт. техн. наук: 05.01.01 / В.М. Корчинський. - К., 1999. - 32 с.
12. Ковальов С.М. Параметризащя симплекав у бaгaтовимiрних просторах / С.М. Ковальов // Прикладна геометрiя та шженерна графжа. - К.: КНУБА, 2005. - Вип. 75. - С. 16-18.
