ЗАСОБИ ПОБУДОВИ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ОПТИМіЗАЦіЙНИХ ЗАДАЧ РОЗМіЩЕННЯ В іНТЕРВАЛЬНИХ ПРОСТОРАХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.859

Б01: 10.15587/2312-8372.2014.34633

евсеева л. г. ЗАСОБИ ПОБУДОВИ МАТЕМАТИЧНИХ

МОДЕЛЕЙ ОПТИМ1ЗАЦ1ЙНИХ ЗАДАЧ РОЗМ1ЩЕННЯ В 1НТЕРВАЛЬНИХ ПРОСТОРАХ

Статтю присвячено розробщ сучасних конструктивних засобгв побудови математичних моделей геометричних об'ектгв I вгдношень геометричних об'ектгв ттервальних просторгв та гх застосуванню при побудовг ттервальних математичних моделей оптимгзацшних задач геомет-ричного проектування в ттервальному простор1. Отриманг новг науково обгрунтованг розробки в теорп геометричного проектування I ттервальног геометрп забезпечують виршення важливог прикладног проблеми урахування похибок в геометричному проектувант.

Клпчов1 слова: геометричне проектування, ттервальна геометргя, ттервальна математична модель оптимгзацшног задачг розмщення.

1. Вступ

Теорiя дослщження операцш, щформатика, комп'ютер-m науки, штервальний аналiз, менеджмент, математика — HayKOBi шструменти, що мають важливе методолопч-не значення для моделювання реальних технолопчних i економiчних процесiв при створенш технiчних систем, зв'язаних з обробкою складно! геометрично! iнформaцii.

Теорiя геометричного проектування вивчае фундамен-тaльнi та прикладш проблеми, спрямовaнi на реaлiзaцiю iдеi математичного моделювання процесу розмщення реальних об'екпв з урахуванням технолопчних обме-жень та створення ефективних методiв оптимiзaцii цього процесу у вщповщносп до обраного критерiю якостг

2. Анал1з л1тературних даних та постановка проблеми

Цим дослвдженням присвячеш роботи професора Стояна Ю. Г. та його учшв [1-6], а також багатьох шоземних нayковцiв, а саме: Dowsland K., Bennell J., Kendall G., Milenkovic M., Daniels K., Oliverra J., Birgin E., Wascher G., Scheithauer G. [7-11].

Анaлiз проведених на цей час наукових дослщжень щодо методологи математичного моделювання i розв'я-зання задач розмщення та пiдходiв до прийняття рь шень в умовах штервально! невизнaченостi дозволяе зробити висновок, що при моделюванш i розв'язaннi оптимiзaцiйних задач розмiщення, як правило, вико-ристовуеться iдеaлiзовaне подання математичних моделей мaтерiaльних об'ектiв, коли похибки вихвдних даних та пaрaметрiв розмщення не враховуються.

Тому наукову значушдсть набувае проблема створення методологи математичного моделювання оптимiзaцiй-них задач геометричного проектування з урахуванням похибок, що потребуе визначення та розробки сучас-них конструктивних зaсобiв моделювання геометричних об'ектiв, що розмщуються, та взaемодiй на основi використання iнтервaльноi геометрп.

Нинiшнiй час характеризуеться збшьшенням числа галузей застосування методiв iнтервaльного aнaлiзy

для розв'язання прикладних задач. Дослщженням в цш науковiй царинi присвячено роботи таких закордонних aBTopiB, як Moore R., Kaucher E., Марков С. М., Alefeld G., Herzberger J., Ratschek H., Rokne J., Калмиков С. А., Добронець Б. С., Шокш Ю. I., Юлдашев З. Х., Ша-рий С. П. [12-17] та ш.

З метою здшснення единого пiдходу до виршення проблеми урахування похибок при розв'язанш зазначе-ного класу задач в 1992 рощ на основi двох наукових напрямюв, що паралельно розвиваються, — геометричного проектування й штервального аналiзу, Ю. Г. Стояном закладено основи нового наукового напряму — штервально! геометры [18-23].

Таким чином, актуальним е подальший розвиток теорп штервально! геометрп — штервальне математичне моделювання i розробка методiв розв'язання оптимь зацшних задач, розмщення геометричних об'екпв, як невщ'емна частина теорп геометричного проектування з урахуванням похибок потребуе подальшого розвитку.

Створення ефективних методiв розв'язання наукових i практичних оптимiзацiйних задач з урахуванням похибок вихщних даних потребуе розробки загальних принцитв iнтервального математичного моделювання, тобто моделювання на основi використання штервально'! геометрп.

3. Щль та задач1 дослщження

Проведенi дослщження ставили за мету здшсни-ти подальший розвиток теорп штервально! геометрп та теорп геометричного проектування щодо розробки конструктивних засобiв математичного моделювання оптимiзацiйних задач розмщення в штервальних просторах на основi принципово нового тдходу до математичного моделювання i розв'язання оптимiзацiйних задач геометричного проектування.

Для досягнення поставлено! мети виршувалися таю науковi задачi:

— розробити конструктивш засоби математичного моделювання геометричних об'екпв в iнтервальних просторах на основi використання основних поло-жень штервально! геометрп;

— розробити конструктивнi засоби математичного моделювання вiдношень (iнтервального включен-ня, неперетинання, розташування на мшмально та максимально допустимих вiдстанях) штервальних геометричних об'eктiв на основi введення поняття штервального Ф-вiдображення;

— побудувати штервальну математичну модель ос-новно1 оптимiзацiйноi задачi розмiщення штерваль-них геометричних об'екпв, множина реалiзацiй я^ покривае клас оптимiзацiйних задач розмщення з урахуванням похибок.

Означення 2. 1нтервальною псевдоповерхнею назвемо:

Ф(а <Х»+<Б) *<Y)+<С> *<Z> + <D) = 0,

(3)

де <D)=<d, Vd )eIsR, а оператор:

Vd = -a Vx - b Vy - c Vz, a, b, c eR1,

[А<Х), якщо А> 0,

<x»4 ^ , n

Ia ■ <X), якщо А < 0,

(4)

4. Результаты дослщження щодо подальшого розвитку Ытервально! геометрй'

Створення ефективних методiв розв'язання науко-вих i практичних оптимiзацiйних задач з урахуванням похибок вихщних даних потребуе розробки загальних принцитв iнтервального математичного моделювання, тобто моделювання на основi використання теорп штер-вальноi геометрй [18], яка потребуе подальшого розвитку.

4.1. Тривимiрний штервальний простр. Розглянемо трьохвимiрний iнтервальний проспр:

I3R = IsR X Is R XIsR,

де <Щ) = (<Х),<Y),<Z))eI?R, <X) = <xbvis)eIsR, <Y) = = <y%, vw )eIsR, <Zi ) = <Zi, vZi )eIsR, ISR — розширений простiр центрованих iнтервалiв [19]:

ISR = {< x, vx ) | x = -

c + d

d - c ,

Vx , Vc,d eR1}.

< X ) = <x, vx ) = < x, —vx )eIsR — спряження елемента < X ) = = <x, vx )eIsR, 0 = <0,0).

Означення 3. 1нтервальною цилiндричною поверх-нею назвемо множину точок <U) e I3 R, iнтервальнi коор-динати задовольняють рiвняння:

(< X )-<XÖ>)2+(<y )-<YT))2+<0, VZ0 )2-R2=0,

де <U0) = (<X0),<Yo),<0,Vz0 ))eI?R i <R) — центр симетрп основи i вщповщно радiус iнтервального цилiндра, Vz0 — похибка полюса цилiндра вздовж вiсi <O)<Z), квадрат штервального числа:

< X )2 =

<x2 + vx,2 x | ■ Vx), <X)e Isi UU <(x +Vx |)■ x,(x + |Vx |)■ Vx), <X)eI+3,

<(x- Vx |)■ x,(x- Vx |)■Vx),<X')eI-3.

Означення 4. 1нтервальною цилiндричною поверх-нею назвемо множину точок <U) e I3R , координати яких задовольняють рiвняння:

Грунтуючись на ведомостях про IsR, визначено опе-рацп на I3R.

Введемо в I3 (R) евклщову метрику:

p(<Ui), <и2)) = <р,0), (1)

p(<Ul), <U2 )) = ((x2 - x1 )2 + ( Vx2 - Vx1 )2 + (У2 - У1)2 +

+ (Vy2 - Vy1 )2 + (Z2 - 21)2 + ( VZ2 - VZ1 )2 )^2 ,

яка дозволяе використовувати особливi властивостi ш-тервального метричного простору при реалiзацii мате-матичних моделей оптимiзацiйних задач розмiщення.

Для аналогичного опису iнтервальноi межi штер-вального об'екта використовуемо побудоваш орiентованi штервальш рiвняння iнтервальних квазиповерхонь, якi беруть участь у ii формуваннi.

4.2. Побудоваш орiEнтованi iнтервальнi piBHHHHH ш-тервальних квазиповерхонь. Означення 1. 1нтервальною квазилiнiйною гiперповерхнею в просторi I3R назвемо множину точок <U ) = (< X), <Y), < Z)) eI3 R, iнтервальнi координати задовольняють рiвняння:

< A)*<X )+<B)*<Y) + <C)*<Z)+<D) = 0, (2)

де <A), <Б), <C)gIs3R одночасно.

(< X) -<X0 ))2 + (< Y) -< Y, ))2 + <0, vzo )2 -<R)2 = 0,

де <U0)= (<Xo),<Yo),<0,vZo))eI3R i <R) — iнтервальний центр симетрп основи i радiус штервального цилшдра вiдповiдно, Vz0 — похибка полюса цилшдра вздовж вкл <O)<Z) , квадрат iнтервального числа.

Означення 5. 1нтервальною тороiдальною поверхнею назвемо поверхню, яка задаеться штервальним р1внянням:

(f (<u ))-<A))2+< z )2-R2=0,

V(f (<u )) -A)2+<z )2-<R)=0, f (<u ))=V< x )2+<y )2,

де <X) = <x, vx ) = <x,-Vx )eIsR — елемент, спряжений до елемента < X )eIsR.

Означення 6. 1нтервальна ламана описуеться системою р1внянь:

< X ЬХ) = A1 *<T),

• <Y )-<Y°) = A2 *<T),

< z )-{z°)=A3 *<t ),

де <T)eIsR назвемо штервальним параметром штер-вальноi ламаноi, * — символ операцп iнтервального

множення, Ai eIsR, i е J3 = {1,2,3} — штервальш коор-динати iнтервальноi направлено! множини:

— вектора A(A1,A2,A3) = (A1,A2,A3),

^ p

— псевдовектора Ap(A1,A2,A3) = (A1,A2,A3)p,

— iнтервальноi направлено! cím'í множин: Ab (Al, A2, A 3) = (Al, A2, A3)j .

Означення 7. 1нтервальна пряма як частинний ви-падок штервально! ламано'! задаеться рiвняннями:

4.3. Багатовимрний штервальний прос^р. 1нтерваль-hí поверхнг Викладення багатьох питань, пов'язаних Í3 моделюванням оптимiзацiйних задач геометричного проектування в багатовимiрних iнтервальних просторах привело до необхвдносп визначення штервальних направлених множин в n-вимiрному iнтервальному просторi, iнтервальних поверхонь. Дослвджуються ix властивостi.

Введено поняття штервально! квазшшшно'! поверxнi П с IJR, що реалiзуеться таким квазшшшним штер-вальним рiвнянням:

< X >-<X0 > = Ф (m ■ <Г >), <Y >-<Y°> = ф(п-<Г >), <Z >-^=Ф (p- <Г >),

де s = (m, n, p) — напрямний вектор штервально! прямо!, <Г > е IsR — iнтервальний параметр прямо!.

Тут i надалi <A>, <B>, <C>eIsR, <ß>eIsR — вщповвд-но штервальш коефщенти i iнтервальна константа, що беруть участь у формуванш штервальних рiвнянь, <U > е I3 R — iнтервальна змшна.

Конкретний вигляд iнтервальниx рiвнянь штервальних квазиповерхонь визначаеться вщповщно до розбиття простору I3R виду:

I3R = {J Qk, Qk = Jai U Ja2 U Ja3, (5)

k=i

де

Jai е {Isi,Is2,I+3,I-3}, ai е J3,i е J3,

N = 43 = 64, Is3 = I+3 иI-3,

Isi = int I si = {< x, v * > е IsR x -1 v* I > 0},

Is2 = int Is2 = {<x, vx > е IsR x -1v* I < 0},

Is3 = cl Is3 = {<x,vx> е IsR | (x-1vxI <0)л(x +1vxI >0)},

I+3 = {<x, vx >е Is31 vx > 0}, I-3 = {<x, vx >е Is31 vx < 0},

IsR = Isi U Is2 U Is3.

Вважаемо, що <A>, <B>, <C>е^ U Is2 U {0}.

Означення 8. Орiентованим iнтервальним рiвнян-ням iнтервальноi поверxнi ic I3R назвемо рiвняння V(<U>) = 0, <U>еI3R, якщо iнтервальне вiдображення ^: I3R ^ IsR е неперервним, визначеним усюди в I3R, i, окрiм того, виконуеться умова ^(<Ui>)*y(<U2>)<0, V<Ui >еГi, V<U2 >еГ 2.

Таким чином, рiвняння будь-яко'! iнтервальноi гшер-площини П с I3R е орiентованим штервальним рiв-нянням, тому що автором здшснена перевiрка аксiом евклiдовоi геометрп у тривимiрному iнтервальному просторi. Одна з аксюм порядку формулюеться таким чином: штервальна гiперплощина П с I3R розбивае ш-тервальний трьохвшшрний простiр I3R на двi части-ни (напiвпростори) так, що якщо Ui i U2 — двi точки одного штервального натвпростору, то iнтервальний вiдрiзок [Ui,U2] не перетинаеться з штервальною гшер-площиною П, якщо ж точки Ui i U2 належать рiзним напiвпросторам, то [Ui,U2] перетинаеться з штервальною гшерплощиною П.

¿< A, >*<Xj >+<C > = 0,

(6)

де <U> = (<Xi>,...,<Xn>)еIJR, <X,> = <x,,vx,>еIsR, <A,> = = <a¡,va,>еIsR, Jn = {i,2,...,n}, <C>еIsR, операцп штервального множення <A> * <X> елемента <X^IsR на штервальне число <A^IsR, на основi якого визначет поняття багатовшшрних iнтервальниx квазiлiнiйниx поверхонь.

Конкретний вид штервального рiвняння (6) визна-чаеться розбитям виду:

N

InR ^ U Qk , Qk = Ji X J2 X ... х Jn , k=i

де Ji е {Isi, Is2, I+, I-3}, i е JN, N = 4n, iнтервальнi множини Isi, i = i, 2,3, аналопчним до розбиття (5), i тим, як значен-ня приймають iнтервальнi коефiцiенти <Ai > е IsR, i е Jn.

1нтервальна пряма L с InR подаеться як перетин n -1 iнтервальниx гiперплощин, i описуеться системою:

£ ф(аг, -<Xj>)+<Ci> = 0, iе Jn-i, j=i

(7)

де <и>еДО, ац eR1, IеJя-l, ]eJn, <С> = <С,V,,>еЩ, X = ((Х1 >,...,(Хя>)eInR, вигляд оператора ф(Х<Х>) визначаеться сшввщношенням (4).

Якщо iнтервальна пряма L проходить через точку (и0> = «X0>,...,<X0>)eInR, !! можна подати рiвнянням у параметричнш формi:

<Xi > = <Х° > + <Л >*<Т>, {е Jя-1,

де <и>= (<Х1 >,...,<Хя>)еЩ, а <T>еIsR — штервальний параметр.

Напрямок на Ь с 1ЯR вiдповiдае неперервнiй змш iнтервального параметра <Т>еIsR в (6), тобто якщо точщ <и0 >еЬ поставимо у вiдповiднiсть значення штервального параметра <Т0 > = <0, vt0 > е , то для будь-яких <Т1 >,<Т2>еIsR, що задовольняють умовi <Т1 ><<Т0><<Т2>, знайдуться вiдповiднi точки <и1 >еЬ, i = 1,2 такi, що <и><Ь <ио><Ь <и2> або <и2><Ь <ио>< <и1>.

Доведено, що через двi точки <и1 > = (<х\,vxi >,..., <хЯ,V ; >)еInR, i = 1,2, можна провести:

хя

— iнтервальну пряму Ь с InR, якщо V,! = V 2, Vi е Jя;

i i

— iнтервальну псевдопряму Ьр с InR, якщо шнуе

така iндексна пiдмножина J = {а1,..., а к} с Jя, к е Jя-1,

що Vx\ Vi еJ, i Vxi = V хо, Vi еJя / J:

г г

— направлену штервальну тдмножину Lb с IJR,

якщо Vx1 Ф V 2, Vi eJn.

i i

Таким чином, маемо:

Ab = {<U)eLb| <U) —Lb <U)<Lb U)},

A = <U1XU2)={<U)eL| <U1 )<l <U)<L <U2)},

A p = U1XU2) = {<U) e Lp | <U1)< Lp <U) — Lp <U2)}.

4.4. Багатовимiрнi метричнi штервальний простори.

Розглянемо метричний штервальний проспр (InR,p). Пропонуються iнтервальнi ввдображення, як задоволь-няють умовам метрики штервальних просторКв: 1) евклiдова метрика:

P(<U ), <U2 )) = ^ р2 (<X] ), <X2 )) e R1,

де

р(<A),<Б)) = ^(b- a)2 + (Vb -Va)2 e R1, < A) = <a, Va)eIsR, <B) = <b, Vb )eIsR, <Ui ) = (<Xf),..., <ХП)) eInR, < Xj ) = <xij, vx;), j eJn, i = 1,2.

2) штервальне вiдображення ц: Q^IsR виду:

Ц (<U1), <U2)) = Хц2(< X1), < Xj2)),

де

j=1

<Ui ) = (<Xf),..., <Xn)) eß, < Xj ) = <xj, vxj), Vj eJn, i = 1,2,

Vw = 2 '

X (xj + Vxj )2 -. X (xj -Vx; )

j=1

j=1

(8)

(9)

при виконанш умови: (X/) е 1^, V/ е /„.

4.5. Побудова штервальних геометричних об'скпв як математичних моделей геометричних об'скпв евклщова простору з урахуванням похибок. Математичне моделю-вання в геометричному проектуванш з урахуванням похибок вихщних даних (метричних характеристик та параметрiв розмiщення) на основi використання штер-вально! геометрii назвемо iнтервальним математичним моделюванням, а вiдповiдну математичну модель геомет-ричного об'екту — штервальним геометричним об'ектом.

Виходячи з гомеоморфiзму просторiв R2 i та вста-новленою на цiй основi бieкцii виду: (а, ) ^ (а, )е мiж вихiдними даними оптимiзацiйно'i задачi i елемента-ми виконане математичне моделювання геометричного об'екта з урахуванням похибок вихщних даних, а саме: за математичну модель геометричного об'екту Т с Rn з метричними характеристиками виду i параметрами розмщення, метричш характеристики i параметри розмь щення геометричних об'ектiв яких задано з похибками, приймаемо штервальний геометричний об'ект:

T с ДО, IpR = Цх... х Щ,

р

який визначаеться кортежем штервально! iнформацii:

gт = (Т, m,((U), (0))), m = ((А),..., (Ак )),

(А/ ) = (а/, va; )е1Д, (и) = ((Х1),..., (Хп )),

(0) = ((01),..., (0к )), (0 / ) = (0 /, ve; )е1Д,

(и ) = (ио>4(и ) = ((( Х1),..., (Хп )),((01),..., (0к))) еI2nR,

(Xi) = (xi,Vxi )е!Д, I, / еJn.

ц: IsR ^ IsR — iнтервальна метрика на IsR: <A) -<Б) , якщо va - Vß > 0,

Ц(< A), < Б)) =

<А)-<Б), якщо va - Vß < 0,

або

ц(<A), <Б)) = <|a - b|, | Va - Vb |), <A) = <a, Va )e ISR, < Б) = <Ь, Vb )eIs R.

Шсля перетворень маемо:

ц(<и1), <U 2)) = <W ) = < w, Vw ) = 1

= 2 ■(Jdi+Vü + yj d-Vd ,V d + Vd-yl d-Vd),

nn

d = X((xj)2 + (Vx; )2), Vd = 2Xxj ■ Vxj,

j=1

w = 2

j=1

X(xj+vxj)2 + X(xj-V xj у

ij=1

j=1

Нехай при розмщенш об'екта T використовуеться його транслящя на iнтервальну направлену множину <U )einR i поворот навколо свого штервального полюса на штервальний кут <0; )eIsR. Позначимо ш-тервальний об'ект T, заданий у власнш штервальнш системК координат i трансльований на штервальну направлену множину <U; ) = (<Xj), <Yj), <Zi)) eI3R, через Ti (<Ui)) = {X e 13 R|X = <Ui)+Y, Y e T}.

Означення 9. 1нтервальним об'ектом T(<U)) с (IJR, р) назвемо точкову штервальну множину, яку можна подати у виглядк

T(<U)) = frT U (In R \cl T),

де intT, clT — тополопчш внутршшсть та зами-кання ввдповвдно, frT(<U)) — штервальна межа, <U) = = (< Х1),..., < Xn )) eIJR — параметри розмщення.

Замикання T* доповнення T до штервального простору IJR можна подати як T* = int(IJR \ T1) U frT1.

Для аналиичного опису iнтервальноi меж1 штер-вального об'екта використовуемо побудоваш орКентоваш штервальш рКвняння штервальних квазшоверхонь, як беруть участь у ii формуванш.

Тодi кортеж геометрично! шформацп, що iндукуe однозначно iнтервальний об'ект T с IJR, можна подати як gT = (Г,M,((U>,(0»), де Г,M,((U>,(0» — про-сторова форма, метричш характеристики i параметри розмщення T.

Приклад 1. 1нтервальне вiдображення f: IfR — ISR виду:

f((U >) = max fk((Uo >), i £{0} U Jn,

k=1,2.....6

fi((Ui >) = ((x >-( X >)-(A>,

f2«^ » = -(< X >-<Xo» -< A),

f3«^ >) = (<Y >-<Yo >)-<B>,

f4(<U >) = -(<Y >-<Yo >)-< B>, fs(<U >) = (< Z >-< Z0 >) -<Ö,

J < X '> = < X > * cos<0> - <Y >* sin<0>+<X0 >, 1<Y '> = < X > * sin<0>+<Y > * cos<0> + <Yo >,

полягае тiльки в трансляцп на iнтервaльнy направле-ну множину <Uo> = (<Xo>,<Yo>), а саме <X'>=<X>-<Xo>, <Y'>=<Y >-YT, <0, v0> = 0.

Означення 13. 1нтервальне вiдобрaження Ф: If "R ^ ^ IsR називаеться штервальним Ф-вiдобрaженням об'ек-тiв Tj(<Ui>) с If R i = 1,2, якщо воно задовольняе умовам:

Ф(<U1>,<U2>) > 0, якщо T1(<U1 >)П T2(<U2>) =0,

Ф (<Ui>, <U2 >) = 0, якщо

int Tt(<U1 >) П int T2(<U2 >) = 0, frT1(<U1 >) П frT2(<U2 >) *0,

(11)

f6(<Ui >)=-(< г >-<го >)-<с >,

надае можливiсть моделювати iнтервальний паралеле-пiпед P с IяR.

Для орiентованого iнтервального об'екта T маемо gт = (Г, М ,(<и >, <0, ve>)).

Так, кортеж геометрично! шформацп штервального паралелепiпеда P с I3R мае вигляд:

gp = {Р,(< А>, <В>, <С >),(<Х0 >, <70 >, ^ >)}, iнтервального т-кутника K с :

gк = {К,(М >,..., <Ут >),((<Х0 >, <70 >), <е0 >)},

де <Vi > = (<X >) — його i -та вершина у власнiй ш-тервальнiй системi координат, <е0 > = (<00, Ve0 >) е!^ — iнтервальний кут повороту навколо власного полюса.

Для аналогичного опису штервально! межi frT ви-користовуемо орiентованi рiвняння iнтервальних повер-хонь, якi беруть участь у !! формуваннi.

Означення 10. 1нтервальний рух штервально-го об'екта Т с I2R полягае в тому, що кожнiй точ-щ <и> = (<X>, <7>) еТ ставиться у вщповвдшсть точка <и '> = (< X '>, <7 '>) е1;? R як результат елементарного штер-вального вщображення:

(Ю)

де <и0 > = «X, >, <70 >) еЩ, <е> = <0, v0>еIsR — штерваль-ний кут, 0е R1, v0 е R+.

Означення 11. 1нтервальне обертання штервального об'екту Т с I2R навколо свого полюса на штервальний кут <е> = <0, v0>еIsR в I2R полягае в тому, що кож-нiй точцi <и> = (<X>,<7>)еТ ставиться у ввдповщшсть деяка точка <и "> = (< X"), <7 ">) еТ с I2R як результат елементарного iнтервального ввдображення (11) при < Xо > = <70 > = 0 = <0,0>.

Означення 12. Якщо в кортежi геометрично! ш-формацп про об'ект Т с I2R параметр <е>=<0, v0>еIsR е iнтервальною константою, Т назвемо штервально орiентованим iнтервальним об'ектом. Теда рух об'екта Т

Ф(<Ui>,<U2>)<0, якщо intT1(<U1 >)ПintT2(<U2>)*0,

де <Uj > = (<X1 >,..., <X" >) eI?R, <Xj >=<xj, vxi >eIsR, j eJk, i = 1,2. j

Отже, умову взаемного iнтервaльного неперетинання об'ектiв T1(<U1>) с I"R i T2(<U2>) с I?R можна подати у виглядi iнтервaльноi нерiвностi Ф(<и1 >, <U2 >) > 0, ш-тервального дотикання — Ф (<U1>, <U 2 >) = 0. Умова штер-вaльноi нaлежностi T2 с T1, зпдно введеного поняття iнтервaльноi належност елементiв, може бути подана як е^валентна !й умова неперетинання штервальних об'ектiв T1 i T2, та моделюеться iнтервaльною не-рiвнiстю Ф(<U1 >,<U2>) > 0, де Ф — штервальне об'ек-тiв T*(<U1 >) i T2(<U2>).

Нехай р — метрика iнтервaльного простору I"R. 1нтервальна вiдстaнь мiж штервальними геометричними об'ектами Ti (<Ui >) с I"R, i = 1,2, визначаеться:

р (T1,T2) = >mjn >T р (<V1 >,<V>),

<V >ET1,<V2 >eT2

де мiнiмум розумiемо у ввдповщносп до вiдношення порядку в просторi ISR (при умовi, що вони не пере-тинаються).

Означення 14. Нормалiзованим iнтервальним Ф -вь дображенням об'ектiв Tj((Ui))с IJR, i = 1,2, при умовп

int T1«U1)) П int T2«U2 )) = 0,

назвемо таке штервальне Ф-вщображення Ф, яке в точ-щ «Ui),<U2)) = ({X}),...,(X2))el2"R набувае значення P(T1«U1)), T2(<U2 ))).

Зауважимо, в евкшдовому просторi означення 13 та 14 ствпадають з означеннями Ф-функцп та нормалiзо-вано! Ф-функцп, започаткованими Стояном Ю. Г. [19].

Приклад 2. Для штервального об'екта S*((U1)) с I3R та штервального тора T2((U2)) с I3R, метричнi характеристики яких m1 = (<R1)), m2 = (<A),<R2)) вiдповiдно, при умовах <A)><R2) i <A)+<R2 )<<R1) маемо норма-лiзоване iнтервальне Ф-вiдображення виду:

Ф (<U1), <и2))=х (<U2 )-<U1))=Х (<U)),

X (<U >) = <R (f (<U >) -<A>)2 + <Z >2, f(<U>)= V<X>2 +<Y>2, <U> = <U2>-<U1 >.

Поняття нормалiзованого iнтервального Ф -вщобра-ження об'eктiв надае можлившть моделювати розта-шування iнтервальних об'екпв Т((Ui))с , I = 1,2, на певнш вiдстанi, зокрема, на мшмальному (р-) та максимальному (р+ ) допустимих iнтервальних вiдстанях моделюеться iнтервальною нерiвнiстю:

р-<Ф «и1), и2 )) <р+ .

Таким чином, поняття штервального Ф-вщображен-ня е фундаментальною основою штервального матема-тичного моделювання в геометричному проектуванш, а побудованi iнтервальнi Ф-ввдображення базових штер-вальних об'ектiв дають можливiсть подати iнтервальну математичну модель оптимiзащйноi задачi розмiщення як математичну модель задачi математичного програ-мування в штервальних просторах.

4.6. Побудова штервально! математично! модел1 оп-тигазащйно! задач1 розмщення геометричних об'схпв.

Введенi поняття дозволяють сформулювати основну оптимiзацiйну iнтервальну задачу геометричного про-ектування у такш постановцi.

В штервальному просторi R дано ам'ю штерваль-них геометричних об'ектiв Т с , I е Jn, i область Ос1^, такi, що:

gTi = (Т, mi ,«Ui), <0))), gn= (О, то,«ио ), <0о ))),

тi = «А1),<А2),...,<4 )),

<А ) = Ц, vвi )е ) еJkt, I е {0} и Jn,

<Ui ) = <иоЖ ) = (< XI),..., < хп)) е InR,

< X) ) = <х], Vxi )е1Д,

) еJkt, I еJn. (14)

<0i ) = <0оТк ) = (<©? ),...,<®П )) е 1П R,

<0* )=<), ve) )е1Д, ) еJkl, {еJn.

Нехай при розмщенш об'екта Ti використовуеть-ся його трансляцiя на штервальну направлену сiм'ю <Ui) е 1ПR i обертання навколо власного полюса на ш-тервальний кут <0i)е1Д. Тодi вектор параметрiв розмiщення мае вигляд (<Ui), <0i )) е 1П. Позначимо Ti(<Ui)) с 13R, I еJn, О(<Ц,)) с I?R.

Необхiдно упакувати штервальш геометричнi об'ек-ти ^, I е Jn, в штервальну область О, тобто знайти штервальну направлену множину параметрiв розмщен-ня (<и), <0)) = (<и ),...,<Un), <01),..., <0п )) С 12™^, таку, щоб усi Ti належали област О (у вiдповiдностi до поняття iнтервальноi належностi елементiв iнтервальних про-сторiв) без взаемних перетинiв, i при цьому штерваль-ний критерш якостi к*(<и), <0)) розмщення приймав найкраще значення, яке розумiемо у вiдповiдностi до вiдношення порядку, введеного в просторi (1Д,р).

Виходячи з основних положень теорп геометричного проектування, iнтервальноi геометрii та сформульованих задач дослщження, одержали iнтервальну математичну модель основноi iнтервальноi оптимiзацiйноi задачi розмiщення:

^ F(<U)), (12)

<и ^сГ^

(<и ),<0), < Н)) =

= (и ),..., <ип ), <0!),..., <0п ), < Н)) е D с 1?п+%

де F: ^ IД — iнтервальне вщображення (штер-

вальний критерiй якостi розмщення), D — iнтервальна область допустимих значень, яка описуеться системою виду:

Ф0i(<ио),<и)) >ро, I еJn,

• Ф) (<Ui), <и}))-Р) > 0, (13)

-Ф^Й) + Р+ > 0,1,) еJn, I < ),

VI е {о}и Jn, V) е Jn, Jn = {1,...,п}, 0 = <о,о)е1Д, I3n+1R — iнтервальний простiр з метрикою р, <и) = (<Х^),<.), <Zi)) еЩ, I еJn, р- , р+, р-i, р+ — мiнiмальнi i мак-симальш допустимi iнтервальнi вiдстанi мiж об'ектами, що розмшуються, об'ектами i областю розмщення вщ-повiдно, де Фк (<ио ), <и )) i Ф) (<Ui), <Ц))) е нормалiзо-ванi iнтервальнi Ф -вiдображення iнтервальних об'еклв i областi розмiщення та пар штервальних об'екпв, х — штервальний критерiй якостi розмiщення.

В iдеалiзованому випадку iнтервальна математична модель (12)-(13) спiвпадае з математичною моделлю оптимiзацiйноi задачi розмiщення геометричних об'ектiв в евклвдових просторах.

5. Обговорення результат1в дослщження конструктивных засоб1в математичного моделювання

Результати дослщження е подальшим розвитком теорп iнтервальноi геометрii та створення на цш основi загального тдходу до математичного моделювання та розв'язання задач розмщення в штервальних просторах.

Розроблено новi конструктивш засоби моделювання основноi iнтервальноi оптимiзацiйноi задачi розмiщення, що е теоретичною основою методологи розв'язання на-укових та прикладних задач розмщення з урахуванням похибок метричних характеристик i параметри розмь щення, в тому числк

Розроблено конструктивнг засоби математичного моделювання поверхонь евкл1дових просторгв з урахуванням похибок в ттервальних просторах як подальший розвиток гнтервальног геометрп:

— вперше визначено основш квазиповерхш в ш-

тервальних метричних просторах;

— побудовано новi штервальш метричш простори,

доведено ввдповвдш твердження.

Розроблено конструктивнг засоби математичного моделювання геометричних об'ектгв евкл1дових просторгв, метричнг характеристики г параметри розмщення яких задано з похибками, у виглядг ттервальних геометричних об'ектгв. Ц засоби на вгдмгну вгд гснуючих дозволяють в аналтичному виглядг подати геометричний об'ект з похибками як множину штервального простору.

Розроблено конструктивнг засоби математичного моделювання вгдношень ттервальних геометричних об'ектгв як подальший розвиток методу Ф -функцгй Стояна, в тому числг:

— вперше введено поняття iнтервального ф -вщобра-ження i нормалiзованого iнтервального Ф-вщображен-ня як ефективний зааб математичного моделювання вщношень iнтервального вкладення, iнтервального неперетинання, розташування на мiнiмально та максимально допустимих штервальних вiдстанях штер-вальних об'еклв;

— вперше побудовано повш класи iнтервальних Ф-вiдображень базових штервальних геометричних об'еклв;

— вперше побудовано повш класи нормалiзованих iнтервальних Ф-вщображень для базових штерваль-них геометричних об'екпв.

На базi розроблених в даному дослщженш засобiв математичного моделювання в штервальних просторах побудовано штервальш математичш моделi та розв'язано таю науковi та прикладнi штервальш оптимiзацiйнi задачi розмiщення:

— штервальних паралелепiпедiв у iнтервальному паралелепiпедi (в тому числ^ комбiнаторна задача розмщення штервальних паралелепiпедiв, задача кольорового упакування штервальних паралелет-педiв iз зонами заборони) [24];

— штервальних крупв у штервальнш смузi [25];

— штервальних многокутниюв з поворотами у ш-тервальну смугу [26];

— штервальних цилiндрiв в iнтервальнiй призмi [27];

— iнтервальних куль в штервальну цилiндричну область (мiнiмiзацii висоти) [28];

— штервальних куль в штервальну цилшдричну область [29];

— опуклих штервальних многогранниюв в штервальний паралелетпед [30].

Практичне значения результатгв дослгдження. Створено програмш продукти, що реалiзують розроблеш засоби математичного моделювання та розраховат на розв'язання двовшшрних та трьохвимiрних задач упакування в рiзних галузях науки та техшки:

— «Packing of Interval Parallelepipeds» [31],

— «Packing of Interval Polygons» [32],

— «1мггацшне моделювання властивостей сплава» [33]. Практичне значення результапв тдтверджуеться !х

впровадженням. Результати дисертацшно! роботи були використаш на Полтавському державному тдприем-ствi «Виробниче об'еднання «Знамено», на державному науково-виробничому пiдприeмствi «Демиекс» (м. Полтава) при виршент проблеми упакування виготовлено! продукцii.

6. Висновки

Математичне моделювання в геометричному про-ектуванш з урахуванням похибок вихщних даних (ме-тричних характеристик та параметрiв розмiщення) на основi використання iнтервальноi геометрп назвемо ш-тервальним математичним моделюванням, а вщповщну математичну модель оптимiзацiйноi задачi геометричного проектування — штервальною математичною моделлю задачi оптимiзацii.

Вирiшенi такi науковi задачi:

— розроблено конструктивнi засоби математичного моделювання геометричних об'екпв в штервальних просторах на основi використання основних положень штервально'! геометрп, а саме: побудовано метричш

штервальш простори, штервальш квазшшшт поверх-ш трьохвшшрного та багатовимiрного iнтервальних просторiв;

— розроблено конструктивш засоби математичного моделювання ввдношень iнтервальних геометричних об'eктiв на основi введення поняття iнтервального Ф-вiдображення та нормалiзованого iнтервального Ф-вiдображення;

— наведено приклади рiвнянь iнтервальних повер-хонь, iнтервальних Ф-вщображень, якi Грунтуються на проведених теоретичних дослвдженнях i вико-ристаш при побудовi iнтервальних математичних моделей задач розмщення [24-29].

Литература

1. Стоян, Ю. Г. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования [Текст] / Ю. Г. Стоян, С. В. Яковлев. — Киев: Наукова думка, 1986. — 268 с.

2. Стоян, Ю. Г. Полный класс ф-функций для базовых двумерных ф-объектов [Текст] / Ю. Г. Стоян, Т. Е. Романова, Н. И. Чернов, А. В. Панкратов // Доповда НАН Украши. Сер. A. — 2010. — № 12. — C. 25-30.

3. Stoyan, Yu. G. Local Optimization Method in Placement Problems of Polygons [Text] / Yu. G. Stoyan, A. V. Pankratov // Доповда НАН Украши. Сер. A. — 2001. — № 9. — C. 98-103.

4. Stoyan, Y. Construction of a ф-function for two convex polytopes [Text] / Y. Stoyan, J. Terno, M. Gil, T. Romanova, G. Scheithauer // Applicationes Mathematicae. — 2002. — Vol. 29, № 2. — P. 199-218. doi:10.4064/am29-2-6

5. Stoyan, Y. A mathematical model and a solution method for the problem of placing various-sized circles into a strip [Text] / Y. Stoyan, G. Yas'kov // European Journal of Operational Research. — 2004. — Vol. 156, № 3. — P. 590-600. doi:10.1016/ s0377-2217(03)00137-1

6. Stoyan, Y. Mathematical model and solution method of optimization problem of placement of rectangles and circles taking into account special constraints [Text] / Y. Stoyan, G. Yaskov // International Transactions in Operational Research. — 1998. — Vol. 5, № 1. — P. 45-57. doi:10.1016/ s0969-6016(98)00003-3

7. Milenkovic, V. Two approximate Minkowski sum algorithms [Text] / V. Milenkovic, E. Sacks // International Journal of Computational Geometry & Applications. — 2010. — Vol. 20, № 04. — P. 485-509. doi:10.1142/s0218195910003402

8. Bennell, J. A. The geometry of nesting problems: A tutorial [Text] / J. A. Bennell, J. F. Oliveira // European Journal of Operational Research. — 2008. — Vol. 184, № 2. — P. 397-415. doi:10.1016/j.ejor.2006.11.038

9. Birgin, E. G. Optimizing the packing of cylinders into a rectangular container: A nonlinear approach [Text] / E. G. Birgin, J. M. Martinez, D. P. Ronconi // European Journal of Operational Research. — 2005. — Vol. 160, № 1. — P. 19-33. doi:10.1016/ j.ejor.2003.06.018

10. Milenkovic, V. J. Translational polygon containment and minimal enclosure using mathematical programming [Text] / V. J. Milenkovic, K. Daniels // International Transactions in Operational Research. — 1999. — Vol. 6, № 5. — P. 525-554. doi:10.1111/j.1475-3995.1999.tb00171.x

11. Bennell, J. Tools of mathematical modeling of arbitrary object packing problems [Text] / J. Bennell, G. Scheithauer, Y. Stoyan, T. Romanova // Annals of Operations Research. — 2008. — Vol. 179, № 1. — P. 343-368. doi:10.1007/s10479-008-0456-5

12. Moore, R. E. Interval analysis [Text] / R. E. Moore. — N.Y.: Prentice-Hall, 1966. — 400 p.

13. Kaucher, E. Interval Analysis in the Extended Interval Space IR [Text] / E. Kaucher // Fundamentals of Numerical Computation (Computer-Oriented Numerical Analysis). Computing Supplementum. — 1980. — Vol. 2. — P. 33-49. doi:10.1007/978-3-7091-8577-3_3

14. Калмыков, С. А. Методы интервального анализа [Текст] / С. А. Калмыков, Ю. И. Шокин, З. Х. Юлдашев. — Новосибирск: Наука, 1986. — 224 с.

15. Алефельд, Г. Введение в интервальные вычисления [Текст] / Г. Алефельд, Ю. Херцбергер. — М.: Мир, 1987. — 356 с.

16. Markov, S. M. Extended interval arithmetic involving infinite intervals [Text] / S. M. Markov // Mathematica Balkanika. — 1992. — № 6. — P. 269-304.

17. Shary, S. P. Solving the tolerance problem for interval linear equations [Text] / S. P. Shary // Interval Computations. — 1994. — № 2. — P. 6-26.

18. Стоян, Ю. Г. Введення в штервальну геометрш [Текст]: навч. noci6. / Ю. Г. Стоян. — Х.: ХНУРЕ, 2006. — 98 с.

19. Стоян, Ю. Г. Метрическое пространство центрированных интервалов [Текст] / Ю. Г. Стоян // Доклады НАН Украины. Сер. A. — 1996. — № 7. — С. 23-25.

20. Стоян, Ю. Г. Интервальные отображения [Текст] / Ю. Г. Стоян // Доповда НАН Украши. — 1996. — № 10. — С. 57-63.

21. Стоян, Ю. Г. Account of errors in optimization placement problem [Text] / Ю. Г. Стоян, Т. Е. Романова // Проблемы машиностроения. — 1998. — Т. 1, № 2. — С. 31-41.

22. Романова, Т. Е. Интервальное пространство IJR [Текст] / Т. Е. Романова // Доклады НАН Украины. — 2000. — № 9. — С. 36-41.

23. Stoyan, Y. Ф-function for complex 2D objects [Text] / Y. Stoyan, M. Gil, J. Terno, G. Scheithauer // 4OR Quarterly JoUrnal of the Belgian, French and Italian Operations Research Societies. — 2004. — Т. 2, № 1. — Р. 69-84.

24. Евсеева, Л. Г. Математическая модель и метод решения задачи упаковки интервальных параллелепипедов [Текст] / Л. Г. Евсеева // Доклады НАН Украины. — 2008. — № 2. — С. 48-53.

25. Евсеева, Л. Г. Задача упаковки интервальных кругов [Текст] / Л. Г. Евсеева, Г. Н. Яськов // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. — 2008. — № 1/4(31). — С. 25-29.

26. Евсеева, Л. Г. Задача упаковки интервальных многоугольников [Текст]: тези доповщей XI мiжнародноi науково-практично! конференцп «Математичне та програмне забез-печення штелектуальних систем», Украша, Дншропетровськ, 2013 р. / Л. Г. Евсеева, Ю. Ю. Глушко. — Дншропетровськ: Дншропетровський нащональний ушверситет iм. Олеся Гончара, 2013. — С. 274-275.

27. Евсеева, Л. Г. Задача упаковки интервальных цилиндров в интервальную призму [Текст] / Л. Г. Евсеева, А. Н. Чу-гай // Системи управлшня, навшацп та зв'язку. — Ки!в, 2007. — С. 121-128.

2S. Евсеева, Л. Г. Задача упаковки большого числа интервальных шаров в интервальную цилиндрическую область [Текст] / Л. Г. Евсеева, Г. Н. Яськов // Прикладная геометрия и инженерная графика. — К.: КНУБА, 2010. — Вып. 85. — С. 306-312.

29. Евсеева, Л. Г. Применение интервального моделирования в порошковой металлургии [Текст] / Л. Г. Евсеева, Г. Н. Ясь-

ков // Радюелектронш i комп'ютерш системи. — 2010. — № 7(48). — С. 95-98.

30. 1нтервальне математичне моделювання оптшшзацшно! задачi пакування многограннигав [Текст]: матерiали Третьо! мiжнар. науково-техшчно! конференцп «Комп'ютерна математика в шженери, наущ та освш», (CMSEE-2009), Украша, Полтава, 2009 р. — Полтава: Полтавський нащональнш техшчний ушверситет iм. Ю.Кондратюка, 2009. — С. 40-41.

31. А. с. № 24827 Украша. Комп'ютерна програма «Packing of Interval Parallelepipeds» / Стоян Ю. Г., Панкратов О. В., бвсеева Л. Г. — заявл. 01.04.08; опубл. 25.06.08.

32. А с. № 25506 Украша. Комп'ютерна програма «Packing of Interval Polygons» / Панкратов О. В., бвсеева Л. Г. — за-явл. 12.07.08; опубл. 28.08.08.

33. А. с. № 27362 Украша. Комп'ютерна програма «Имитационное моделирование свойств сплава» / Стоян Ю. Г., бвсеева Л. Г., Яськов Г. Н. — заявл. 30.12.08; опубл. 23.01.09.

СРЕДСТВА ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ РАЗМЕЩЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ В ИНТЕРВАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Статья посвящена разработке современных конструктивных средств построения математических моделей геометрических объектов и отношений геометрических объектов интервальных пространств и их применению при построении интервальных математических моделей оптимизационных задач геометрического проектирования в интервальном пространстве. Полученные новые научно обоснованные разработки в теории геометрического проектирования и интервальной геометрии обеспечивают решение важной прикладной проблемы учета погрешностей в геометрическом проектировании.

Ключевые слова: геометрическое проектирование, интервальная геометрия, интервальная математическая модель оптимизационной задачи размещения.

Свсеева Людмила rputopieHa, кандидат фiзико-математич-них наук, доцент, Полтавське вище мiжрегiональне професшне училище, Украта, e-mail: lg.yevseeva@gmail.com.

Евсеева Людмила Григорьевна, кандидат физико-математических наук, доцент, Полтавское высшее межрегиональное профессиональное училище, Украина.

Yevseeva Lyudmila, Poltava interregional higher vocational school, Ukraine, e-mail: lg.yevseeva@gmail.com