Интервальные объекты и их грамматические структуры Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004:512

В. М. 1ЛЬМАН, В. В. СКАЛОЗУБ (ДПТ)

1НТЕРВАЛЬН1 ОБ'еКТИ ТА ÏX ГРАМАТИЧН1 СТРУКТУРИ

У статп побудовано структури вiльних штервальних об'екпв i формально! iнтервальноï граматики. Гра-матична структура враховуе умову сумюносп iнтервалiв у ланцюжкових конструкциях породжено! мови.

В статье построены структуры свободных интервальных объектов и формальной интервальной грамматики. Грамматическая структура учитывает условие совместимости интервалов в цепочечных конструкциях порождаемого языка.

In the article the structures of free interval objects and formal interval grammar are constructed. The grammar structure takes into account the condition of interval compatibility in the chain constructions of language generated.

Вступ

Серед множини моделей представлення предметних областей граматичний шдхщ вид> ляеться своею простотою i ушверсальшстю. Нолями граматик е алфавгги, елементи яких -деяю формалiзми предметних областей, пред-ставлеш термiнальними i нетермiнальними символами [1]. Однак, елементами алфавтв мо-жуть бути об'екти бшьш складно! структури. Так, у транспортних, економiчних та iнших системах об' екти предметних областей можуть мати властивосп iнтервальноi природи (далi -штервальш об'екти - 1Об). 1з теорii штерваль-ного аналiзу [2] вщомо, що iнтервали е число-вими об'ектами, визначеними у вщповщнш си-стемi координат, якi задаються двома параметрами: межами штерватв, серединами штерва-лiв та вщхиленням вiд них або iнакше. Тому, носи граматик 1Об повиннi визначатися певни-ми конструктивними структурами у складi вщ-повiдних граматичних структур. Граматична структура задае модель предметно! обласп, яка призначена для проектування i аналiзу шфор-мацiйних потоюв, технологiчних ланцюжкiв, виробничих процесiв тощо. Формально граматична структура (ФГС) визначаеться [3] ношем, сигнатурою i конструктивною аксiоматикою. Складовi ФГС е неоднорщними за змiстом, правилами виконання та iншими показниками.

У робот запропоновано конструктивну ФГС на вшьних 1Об. Вiльнi iнтервали визнача-ються як упорядкованi або неупорядковаш на-бори елементiв пар деякого алфав^у, якi мо-жуть характеризуватися довжиною та iншими характеристиками. Елементи пар символiв, ко-трi визначають iнтервали, не пов'язанi з будь-якою системою координат. Носiй ФГС склада-еться iз конструктивних термшальних i нетер-мiнальних структур iнтервалiв, спецiальних

символiв та множин характеристик, причому нетермiнальнi iнтервали мають нульову характеристику довжини. Сигнатура мютить у собi операцii конкатенацii, постановки, безпосеред-нього виводу, а також iншi операцii та операто-ри. Аксюматика граматичноi структури дозво-ляе будувати вшьну мову на вшьних штервалах i, отже, коректно застосовувати правила постановок. Правила постановок можуть мати детермiнованi або недетермшоваш наванта-ження, обумовленi предметними областями. Деяю нетермiнальнi iнтервали е контекстним супроводом термшальних i також можуть нести певне змютовне навантаження.

Розглянута штервальна ФГС може бути за-стосована для проектування технологiчних процеав на залiзницi при формуваннi по!здв, завантаження приймально-вiдправлюючих ко-лiй станцш тощо. Так, наприклад, 1Об можна застосувати для побудови моделi формування залiзничних поiздiв, якщо кожний тип вагона у граматичнш структурi представити вшьним вiдповiдно навантаженим iнтервалом, причому продукци цiеi структури повиннi враховувати сумюнють вагонiв тощо.

Завдання для моделювання 1Об i ФГС

Метою до^джень е розробка граматичноi модел^ призначеноi для побудови формальноi мови абстрактноi предметноi областi на штер-вальних об' ектах як основи створення автома-тизованоi системи проектування технологiй виробництв iз iнтервальними властивостями. Для досягнення поставленоi мети необхiдно вирiшити декшька задач:

- розробити структуру породження вшьних штерватв;

- визначити операци над вiльними штерва-лами i задати правила !х виконання;

© 1льман В. М., Скалозуб В. В., 2009

- побудувати конструктивну граматичну структуру на структурах вшьних iнтервалiв, яка б породжувала формальну мову. Лан-цюжки мови або можуть при виконанш операцiй конкатенацiй задовольняти умовi сумюност за деяким змiстом для сумiжних iнтервалiв, або вони не шдпорядковаш будь-яким умовам.

Отже, моделювання 1Об i процешв абстрак-тними ланцюжками потребуе штегрованого пiдходу, аналогiчного граматикам структурного проектування [5].

Структура вiльних iнтервалiв

Введемо поняття вiльного iнтервалу - 1Об, iнтервального алфавiту та його структури.

Алфав^и носив формальних граматик скла-даються з вiльних (нечислових) елеменпв у тому розумiннi, що 1х можливо вставляти (пере-ставляти) у конструкщю ланцюжка в будь-яке мюце, обумовлене правилами граматики. Тому будемо вважати, що:

- будь-який алфав^ А ношя формально! граматики вшьний;

- конструктивний алфавiт В, елементи котро-го побудоваш на алфавiтi А, - вшьний;

- вироджеш об'екти алфав^у В ототожню-ються з елементами алфавггу А, отже, А с В.

Наведемо деяю неформальш приклади конструювання вiльних алфавтв.

Нехай задано вiльний термiнальний алфавгг А = {ai }г"=0 такий, що а0 = в - порожнш символ i пiдмножину дiйсних чисел , для яко! 0 е . 1з набору елеменпв ai . алфавiту А по-

будуемо конструкцiю si:

, = (агг , агк ). (1)

Конструкцiя (1) е вшьною, И елементи не упорядковаш за мiсцем i можуть бути однако-вими. Якщо елементи конструкци упорядкова-нi, тодi конструкцiя (1) задаеться списком [6]

Ъ = [аг,' ак].

Визначення 1. Пару (а^, аг ) = si назвемо е1-

льним простим 1Об, побудованим на алфав> т А.

Пiд простим штервалом у лiтературi [7] ро-зумдать iнтервал без «тша».

Множина вшьних простих iнтервалiв {яг} утворюе вiльний алфавiт В,,, у якому е виро-

джеш 1Об, тобто , = (а. , аг ) = а^ , тому маемо

включення А с В,.

На алфавт В, також можна побудувати k-вимiрш, за числом об'екпв, конструкци 1Об.

Визначення 2. к-вим1рною выьною простою конструкщею 1Об назвемо набiр простих штер-

валiв ((аг1 , а^, — , (%, агк+1 )) = % .

Вiльнi k-вимiрнi iнтервaльнi конструкци е аналогом паралелотошв [2]. Рiзномaнiття ш-тервальних конструкцiй % утворюе конструктивний алфав^ В,к такий, що В, с Вк, якщо % = (Ц, а2 ),(в, в)—,(в, в)) = ,.

З конструкщями % зв'яжемо нaбiр скшче-них чисел {г. }к=1 с Я+ таких, що кожнiй штер-вaльнiй пaрi (аг., аг. 1) ^ г..

Визначення 3. Трiйку (аг , г.) назвемо

навантаженим (посттним) вшьним 1Об.

Визначення 4. Навантаженою к-вим1рною выьною ттервальною конструкцгею називаеть-ся вираз iз набору навантажених 1Об

((аг1 , аг2 , rl), (аг2 , аг3 , Г2 X'" ", (агк-1 , , Гк )) .

Вочевидь, сукупнiсть навантажених штер-вальних конструкцiй також утворюють конс-труктивш aлфaвiти. Якщо конструкци у визна-ченнях 1 - 4 упорядковаш, тодi вони задають списковi вшьш iнтервaльнi конструкци.

За допомогою елементарно! структури Сг дамо формальне визначення вшьних iнтервaлiв:

С, ={Иг, ^, Лг) , (2)

де = (А,и,У1,У2,... V,П); А - вшьний ал-фaвiт, визначений вище, и - обмежена шд-множина множини Я+ така, що 0 е и; У. -

характеристичш скiнченнi множини, взaгaлi, рiзноl природи, для яких ве У.;

П = {(,),,, -,,, } - множина необхщних спецi-альних символiв; Ег- = {/122, й132, ——— } - сигнатура вщображень та приписування i Лг - конструктивна aксiомaтикa породження aлфaвiтiв вiльних iнтервaлiв, котра може складатися з окремих або комбшацш наступних aксiомaтик:

^ Лг1 - аксюматика вiльних простих iн-тервaлiв i конструктивного aлфaвiту:

Уаг, а}. е А, Л (аг, а}) = (аг, а}); (аг, а,) = (а.., аг) =

5 - выъний простий 1Об:

s = (а,, а,) = а,, 5 = (в, а,) = а, ;

В5 = К ^ 50 = ^ т = П'

А с Б„

п!

2(п - 2)!

Уа,,а, е А, /2(аг,а,) = (аг,а,) = 5;

(а,, а,) * (а,, аг);

выъний простий ор1ентований ттер-

вал:

5 = (а,,а,) = а,, 5 = (в,а,) = а,;

Б = К ^ 50 = ^ т1 = П +

А с В„;

п!

(п - 2)!

Крiм того, aксiомaтики Л,3 i Лi4 повиннi бути доповненi aксiомaми:

Уа,, а . е А & г е С/ :

1 У

| 5

В5 - конструктивний алфавт выъних про-стих ттервал1в;

У л, 2 - аксюматика вiльних орiентовaних штерватв i конструктивного aлфaвiту:

В5 - конструктивний алфавт выъних про-стих ор1ентованих Штервал1в;

У Л,3 - аксюматика вшьних навантаже-них iнтервaлiв i конструктивного aлфaвiту:

(гр еи & % е Гч, w = [гр, %, у й,..., % ]; -характеристичний список;

У а,, а, е А & гр еи & ущ еУд,

К (а,, а,, w) = (а,,а,, w);

(а,,а,,w) = (а,,а,, w) = 5^);

5(w) - выъний навантажений ттервал;

{5к И}^ = В5 (w) - конструктивний алфавт выъних навантажених Штервал1в;

У Л,4 - аксюматика вшьних навантажених орiентовaних штерватв i конструктивного aлфaвiту:

|У а,, а, е А & гр еи & ущ еУд, [ Н2 (а,, а,, w) = (5, w) = 5

- выъний навантажений ор1ентова-ний /нтервал;

{5к И}*, = В5 (w) - конструктивний алфавт выъних навантажених 1нтервал1в.

w = (0, в, в,..., в) ^ а, (w) = а,;

А с Б, Б с Б (w) & Б с Б (w);

Зу, е w - ймовгршсний елемент,

к,

% = р, ^ X р,=1 ,=1

Структура (2) узагальнюе структури класи-чних алфавтв з елементарними символами i дозволяе розповсюдити !! на aлфaвiти з шшою структурою. Зокрема, якщо алфав^ носiя М числовий, тодi отримаемо звичайну структуру iнтервaлiв у певнш системi координат. Якщо ж алфавгг носiя нетермiнaльний, визначаючий деякий контекст або змют, тодi конструктивнi елементи у структурi (2) можна визначити як вшьш iнтервaли нульово! довжини зi змютов-ними детермiновaними характеристиками списку w.

Виходячи з рiзномaнiття aлфaвiтiв носiя структури (2), можливо створити рiзнi структури штерватв. Нехай на алфавгах Бк носiiв Мк визнaченi штервальш структури типу (2) С,(Бк) = (Мк,Iк,Лк) , тодi на словнику

т т

Б = и Бк , ^ Бк = 0 маемо можливють побу-

к=1 к=1

дувати конструктивну штервальну структуру

т

Сг (Б) = (М, I, Л, для яко! М = и Мк ,

к=1

тт

1 = и 1к та Л = и Лк .

к=1 к=1

Введена штервальна структура С, (Б) за до-помогою доповнених оперaцiй дае можливють будувати штервальш конструкци титв, зада-них визначеннями 3, 4 та ш. Позначимо конструктивний алфавгг, породжений структурою С, (Б), як Б i вiдповiдно його елементи - .

Навантажеш елементи алфавпу Б роблять його несюнченим. Позбутися нескiнченостi конструктивного алфавпу можна також за допомо-гою вiдповiдноi оперaцii. Тому розглянемо де-якi оперaцii над вшьними iнтервaлaми.

5

Операцп над вшьними 1Об

Представимо аксюматично формaлiзм правил виконання операцш над вiльними штерва-лами. Нехай ® - лiнiйнa оперaцiя конкатенаци, тодi aксiомaтику Л(®) визначимо наступним чином:

Гу^ ^2 , е Вк , ® = ^2 = ^

® ?2 Ф 52 ® ,1, ,1 ® в = в ® ,1 = ,1 = I;

Г^ ® ® 5э = (,1 ® ) ® 5э = ® (?2 ® ?э) = ?1?2?э = 1;

Г^^-^ч,е Вк = Вк, ^1 =1 = ^ [ Вк = вь ^ I =1 = ^2;

Г, = , () & ,2 = ,2 () ^

® ,2 = 1 = 1 w2).

Операщя лшшно! конкатенаци двох штер-вaлiв ?1, ,2 може бути модифшована обертан-ням на деякий кут у штервалу ?2 вiдносно ш-тервалу , [8]. Отримаемо iншi модифшаци конкатенаци: лiво! ®1, право! ® та обох меж iнтервaлiв :

= 61А2) & ?2 = (Ь21,Ь22);

¿11,¿12,¿21,¿22 е В ^

®г?2 = I = (¿, ¿12) V (Ь, ¿22 ), Ь = ¿11 I ¿21;

1)

^ ^ е Вк ,| W1| =1 W2

>1™ р

^ = I = (¿1^ ¿ ) Л (¿2l, ¿ ), ¿ = ¿12 1 ¿22;

ця умова завжди досягаеться, якщо доповнити характеристичний список до потрiбно! довжи-ни порожнiми символами в ;

2)

3)

4)

^ ^ е Вк , W1 = [г1 р , % ,, . , ], W2 = [Г2р , ^^ ^^ . ,],

2§/-

, ^ я.

■-У- ■

и хУ1 хУ2 х ... хУ1 - упорядковано;

'и1,и2 с и & Уг1,У2 с У ^ <П :(и1 х1=1 У^1,и2 х1=1 У2) ^ _П0(и х и2) х!=1 пУ хУ2),

де компонента пг вiдобрaження п е оперaцi!, оператори, алгоритми або структури залежно вiд природи множин У, причому для деяких компонент вiдобрaження на множинах Уг iснуе одиниця 0; зокрема, для компоненти п0 = +, 00 -0.

Рiзновидом оперaцi! ®п е оперaцiя з погли-

нанням меж iнтервaлiв. Аксiомaтикою цiе! опе-рaцi! е:

= ¿12 ) = ,1( W1)& = (¿21. ¿22) = ?2( W2);

¿11, ¿12, ¿21, ¿22 W =П(Wl, W2).

В-

,2 = (¿11, ¿22) = ?эМ

®я = I = ((¿ll = ¿21ХА2 = ¿22 )), ^ Ф W2 .

Якщо операщя ® виконуеться над наванта-женими штервалами, тодi !! aксiомaтику необ-хiдно доповнити списковим вiдобрaженням п, тобто отримаемо складну операщю ®п, для яко!:

Г, = , (w1) & ,2 = ?2 (w2) ^ ®1 ?2 = 1 (w), W =п(Wl, W2).

Введення правила застосування операци п потребуе деяких обмежень на характеристичний список w.

Нехай | w | - довжина характеристичного списку деякого вшьного iнтервaлу ?, тодi припустимо, що:

Операщя конкатенаци з поглинанням меж iнтервaлiв допускае модифiкaцiю поглинання однойменних меж iнтервaлiв , (w1) i ,2 (w2),

тобто коли ¿12 = ¿21. Множину рiзновидiв конкатенаци позначимо символом О.

Визначення 5. Два вшьних iнтервaли , (w1) i ?2(w2) назвемо однотиповими, якщо !х харак-теристичш списки w1 та w2 можуть в^^зняти-ся тiльки першими елементами гч i г2 .

Визначення 6. Характеристичний список w0 = [г,в,в,.,в] множини Ж = и х'1=1 У назива-еться скалярним.

Операщя множення (о) скалярного списку

на вшьнш штервал ?(w), w = [гч,у2, . ,] визначаеться правилом:

Гw0 о ?(w) = ,(w) о w0 = ?

[Wl = [г * гх, в® Vl, в® У2, ... , в® V, ],

де символом * позначено операщю множення дшсних чисел.

За визначенням 5, до класу однотипових в> льних iнтервaлiв належить iнтервaл ^ ([1,у^,у2... ,у,8; ]), котрий е утворюючим

цього класу по операцп множення на скалярний характеристичний список.

Визначення 7. Алфав^ А з елементами

назвемо нормалъним конструктивним алфав> том вшьних навантажених iнтервaлiв.

ФГС на вшьних 1Об

За звичаем формaльнi граматики будуються як безумовш, тобто породжеш прaвильнi лан-цюжки видiляються з вшьно! мови за певними правилами без всяких умов. Але, виходячи з потреб багатьох предметних областей, вiдбiр ланцюжюв iз вiльноi мови необхщно виконува-ти за умови сумюносп характеристик сумiжних 1Об.

Умови для вщбору лaнцюжкiв вiльноi мови зручно задавати в грaмaтичнiй структура Деякi пiдходи до реaлiзaцii умов вщбору ланцюжюв за граматичними правилами наведеш в робот [9].

Нехай рашше визначений термiнaльний ал-фaвiт А та N = Н и Т - нетермшальний алфа-

вiт, який складаеться з основного Н = {а, }р=1 i

характеристичного Т = Т1 х Т2 х — х Тт алфав>

тiв, причому Т = {т,},=0, т,0 = в . Припустимо,

що на aлфaвiтaх А i N визнaченi конструкти-вш структури 1Об типу (2). Вважаемо, що нете-рмiнaльнi 1Об навантажеш, тодi !х представ-лення за структурою (2) задамо як: (а,,а,) = а, ^), де вага ^ е Т 1Об визначаеться характеристичним списком довжини т . Якщо характеристичний список ^ = [в,в,.,в], тодi

а (() = а,.

За представлення штервально! граматично! структури виберемо класичну ФГС [4]:

^ цей елемент вилучено). Сигнатуру та аксю-матику граматично! структури задамо як:

С, = {М; , 11 , Л,) .

(3)

Носш граматично! структури (3) визначимо на конструктивних структурах iнтервaлiв i не-термiнaльному aлфaвiтi, тобто маемо М1 = (А), С5 (Н), ^ . Вважаемо, що наван-тажений конструктивний алфавщ породжений структурою С5(А), - нормальний i навантаже-ний нетермiнaльний конструктивний aлфaвiт -мае нульову характеристику довжини (у списку

I; =Ои {^ , П ^ , ^ , Г , X },

Ле = (Лр, Лк, Л7, Лр, Лу, Л С, ЛН, Лр).

Оперaцii конкатенацп множини О i (о, п,*), визнaченi в попередньому пунктi, змют та правила застосування шших оперaцiй сигнатури будуть нaведенi в аксюматищ. Склaдовi аксю-матики Л1 задамо конструктивними aксiомa-ми.

> Лр - аксюматика выъно!мови:

У51,52,?3 еБ5 иН3 &У.еО^

51 • 52 = 5152 = 1 ; Уа, ре N ^а®р = ар = 1;

спискове вщображення п застосовуеться тшь-ки на штервальному aлфaвiтi Б5:

' у , е Б АН А Б, и Н, & I = | ^

I • I = I;

Уа, ре N & I = а | р^ I ® I = 1;

{О = р(Б5)|р(Н5)|р(Бх иН5), {/} = Р (^); Р (•) - вглъна мова.

> Лк - аксиоматика контекстного су-проводу:

У$ е & У5}.(О е , г * [в,в,.,в] ^ ^ ® ^ = ^ = а}. (г) = Т', 15 - ланцюжок гз контекстом;

[{Г5} = Р5 с Р(Б!1 иН!1), Р5 -выъна мова I з контекстним супроводом.

У Лу - аксюматика продукций тдстано-вок та в1дношення безпосереднъого виводу:

р, : Гк, , 1к е Р(Н ^РБ и Нх),

0 < <к1, 0 < 1к| <к2;

ур, :1] 1к &УЛ :1 &, * г ^

$ *= I;

{рг }Г=1 = Р - продукцтна схема;

2

(1 = . ) е (А,, и Н,) & 3 (рг : ^ 1к ) е Р

<

„„„ Рг „„„ ^ 111]12 ^ /1/k/2 ,

р. - допустима продукщя до ланцюжка I .

> ЛР - аксиоматика програмних продукцт, в1дношення вибору 7 безпосереднього виво-

ду: „

Ург. е Р, 3д;. : (pi,К. ,Щ ) - програмна про-дукцгя;

qi Ф д., г Ф {д;. }П=1 = Q - множина позна-

чок продукцт;

К. с Q - множина вдач i Щ с Q - мно-жина невдач продукцт р.

'дг е Q, дг : (,К,,Щ)&

„ „ р. „

Г р. допустима до I, I ^ I.; ^

„ „ р, „

3 д. е К{, р. допустима до I, I ^ I.;

qi - допустима продукщя до ланцюжка I на множит вдач К.;

дг е Q, дг : (р.,К,,Щ)& Г р. недопустима до I;

„ „ р „

^ 3 д. е Ж., р. допустима до I; I ^ I.;

qi - допустима продукщя до ланцюжка I на множит невдач Ж..

> ЛУ - аксюма оператора вибору продукцт для безпосереднього виводу:

Гу% е Q, дг: (рг,К,,Щ) & е Р(В, и Н);

[Л(1, д.) - оператор вибору продукцт;

1Г =>1 & 1Г е Г ^

Г -

д.. /(1д )=д.

Л (I, д,) = д. е К. | 1 ^ 1п;

1Г & 1Г е ^ ^

Л (I, д)=д.

Л(1, д,) = д. е ^ 1п.

> ЛС - аксиоматика сум^сност! кон-текстних характеристик ланцюжюв:

У/?,// е ^, /Л = .а,, (^),

< = К,Л, Тг2, Я, . ,"•, Ч, .к ]&

т; =т. ^ ,- сум^сш за индексом г;

|Уг, I/, - сум1сн1 за тдексом г ^ и/, ^ - суммт;

У1 = /^Д, /1,/~2 е ^(АА, иН,); Г за аксиоматиками ЛК, Л7 ^

", ррк „

^. ^^г,.[т;1,л ,т;2,.2 а;,.Я,]гхк,.к];

для фшсованих значень iндексiв гг та ]г пере-вiряеться збiг характеристик т. та т. за цими шдексами по схемi (aксiомaтики ЛР, ЛУ ):

дк:(а;Т;г ^ Т;га, ,{дк+1},{0}); дк+1:(а.т 1г .Т;г ,{дк+2},{0}); дк+2:(а; ^в,{дк+э},{0}); дк+э:(а. {дк+4},{0});

дк+2 :

> ЛН - аксиоматика тструктивних правил:

и с Н, - множина початкових iнтервaль-них конструкцш;

¿0 е и & 3д, : (р; : /0 ^ Ь, ^)е Q ^ д; - aксi-

ома початку;

[Гк е ^(вВ,) | ^ & 3дг : (р, : ^ 1к,К,,Щ) е Q, Ж. =0 | ((; =0 & Щ = 0) => д;*;

д;* - заключна аксюма;

> Л £ - аксюматика виводу правильних ланцюжтв 7 формальног мови:

(3((ql,q2,••• дт)сQ; д. = дк| д. фдк)&

/0 еи & /и е ^(А, ;

'Г „ дЛ „ д.2 д)ш „ ^

/0 ^/1 ^ 1т ^

V /

1т -правильний ланцюжок;

„ „ «1 „ «2 я'т „ „

% (1т) = (10 ^ 11 ^ • • - ^ 1т) - вив/д ланцюжка 1т ; {1т} = Ь(Са) - формалъна мова, породжена ттервалъною граматичною структурою.

Отже, побудована конструктивна ФГС на вшьних 1Об, за якою породжуеться певна сема-нтично узгоджена мова.

Висновки

У робот розглянуто вiльнi штервальш конс-трукцii, введено поняття вшьного штервально-го об'екту та розроблено формальну конструк-тивну структуру, яка породжуе цi конструкцii. Запропоновано операци на вiльних штерваль-них об'ектах i встановлено !х влaстивостi. На вшьних штервалах розроблено формальну гра-матичну структуру, яка може враховувати умо-ву сумюносп iнтервaльних об'ектiв у ланцюж-ковiй конструкцii.

Побудована штервальна граматична структура узагальнюе звичайш структури граматик [1, 3, 4] i при нaклaдaннi певних обмежень на правила постановок, !х навантаження та iн. дозволяе отримати граматичш класи Хомського й iнших тишв.

Зaпропоновaнi розробки iнтервaльних структур дають можливють моделювати технолоп-чш процеси на трaнспортi.

Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК

1. Гладкий, А. В. Формальные грамматики и языки [Текст] / А. В. Гладкий. - М.: Наука, 1973. -368 с.

2. Жолен, Л. Прикладной интервальный анализ [Текст] / Л. Жолен. - М.-Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2007. - 468 с.

3. 1льман, В. М. Структурний пвдхщ до проблеми вщтворення граматик [Текст] / В. М. 1льман, В. I. Шинкаренко // Проблеми програмування. -2007. - № 1. - С. 5-16.

4. Шинкаренко, В. И. Структурные модели алгоритмов в задачах прикладного программирования. I. Формальные алгоритмические структур-ры [Текст] / В. И. Шинкаренко, В. М. Ильман, В. В. Скалозуб // Кибернетика и системный анализ. - 2009. - № 3. - С. 3-14.

5. Алгебро-алгоритмические модели и методы параллельного программирования [Текст] / Ф. И. Андон и др. - К.: Академпериодика, 2007. - 634 с.

6. Босов, А. А. Функции множества и их применение [Текст] / А. А. Босов. - Днепродзержинск: Изд. дом «Андрш», 2007. - 182 с.

7. Математическая энциклопедия [Текст]. -Т. 4. - М.: СЭ, 1984. - 1216 с.

8. Роджерс, Д. Математические основы машинной графики [Текст] / Д. Роджерс, Дж. Адамс. - М.: Мир, 2001. - 604 с.

9. Братчиков, И. Л. Синтаксис языков программирования [Текст] / И. Л. Братчиков. - М.: Наука, 1975. - 232 с.

Надшшла до редколегп 28.08.2009.

Прийнята до друку 09.09.2009.