CC BY
35
УДК 519.876.5
УДОСКОНАЛЕННЯ АЛГОРИТМУ ВИЗНАЧЕННЯ "НАСИЧЕНОГО
БЛОКУ" У ЗАДАЧ1 ПАРАМЕТРИЧНО1 1ДЕНТИФ1КАЦН 1НТЕРВАЛЬНО1 СИСТЕМИ Л1Н1ЙНИХ АЛГЕБРИЧНИХ Р1ВНЯНЬ
1.С. Олшник1'2
Розв'язано задачу верифшаци методу параметрично! щентифшаци штервально! сис-теми лшшних алгебричних рiвнянь (1СЛАР) для рiзних початкових умов, зокрема, за-лежно вiд структури та кшькосп невiдомих параметров моделi; проаналiзовано метод обчислення оценки розв'язкiв штервально! системи лшшних алгебричних рiвнянь, шляхом замши ума системи "насиченим блоком", сформованим iз й iнтервальних ршнянь; удосконалено алгоритм визначення "насиченого блоку" у задачi параметрично! щенти-фжаци штервально! системи лiиiйних алгебричних рiвнянь шляхом нормування похиб-ки вишрювання та показано ефективнiсть такого вдосконалення для ряду тестових прикладiв.
Ключовi слова: штервальна система лiнiйних алгебричних рiвнянь (1СЛАР), редук-ця, елшсо'л'дна оцiнка, "насичений блок", "зашумлений" штервал, абсолютна похибка, вiдиосна похибка
Вступ. Для побудови математичних моделей статичних систем застосову-ють iнтервальний та стохастичний пiдходи. У рамках штервального пiдходу ви-рiзняють розв'язування задач з точними та неточними (штервальними) даними. Для того, щоб розв'язати задачу з неточними даними, потрiбно на основi штер-вального аналiзу побудувати рiвняння, сформувати iз них штервальну систему лiнiйних алгебричних рiвнянь (1СЛАР) та знайти 11 розв'язки [1]. Вщомо [2], що розв'язки 1СЛАР отримують у виглядi деяко1 множини, оцiнивши яку, можна побудувати штервальну модель. Серед способов ощнювання множини розв'яз-кiв 1СЛАР е, наприклад, метод локалiзацií областi розв'язюв багатовимiрним елiпсоíдом [3]. Необидною початковою умовою для роботи цього методу е сформований набiр штервальних ршнянь, кшьккть яких дорiвнюе кiлькостi не-вiдомих параметр1в моделi. Такий блок рiвнянь прийнято називати "насиченим блоком" [1]. Як правило, 1СЛАР мктить бiльше рiвнянь, нiж кiлькiсть парамет-рiв моделi, тому для знаходження "насиченого блоку" використовують метод редукцц, алгоритм якого наведено у пращ [4]. Результатами дослвджень, опуб-лiкованих у працi [4] доведено, що проблемною тращею методу редукцп е ви-бiр початкового набору штервальних ршнянь у такий споаб, щоб забезпечити мшшальш розмiри обласп локалiзацií множини розв'язкiв усiеí 1СЛАР. Для ви-рiшення цiеí проблеми автори [4] запропонували метод формування субоптимального " насиченого блоку" та його застосування для задачi прогнозування ге-неровано!' електроенергií малою пдроелектростанщею. Однак актуальною зали-шаеться задача верифiкацií цього методу для рiзних початкових умов, зокрема, залежно вiд структури та кiлькостi невщомих параметр1в моделi, що i е метою цього дослщження.
Постановка задач! Залежшсть мiж "виходом" та "входами" для статично1 системи описують у виглядi алгебричного рiвняння [2]
1 асшр. 1.С. Олшник - Тернопщьський надiональний економiчний унiверситет;
2 наук. кергвник: проф. М.П. Дивак, д-р техн. наук - Тернопщьський нацюнальний економiчний ун1верситет.
У0 = Ь-р(Х) + ... + ЬтРт(х), (1)
де: у0 - ктинне невiдоме значения "виходу" системи; Х е Ят - вектор вхiдних змшних; Ь = (Д,...,Дя)Т - вектор неввдомих параметра, Рр(х) = (р(х),...Рт(х))т -вектор вщомих базисних функцiй.
Результати експерименту представляють матрицею значень вхiдних змш-них X та вектором iнтервальних значень вихвдно! змiнноí [Г].
Гт +1Л
X =
( V V Л х11" х1п
хи"' хп
^ ХМ" ХЫп
[ГГ ]=
[ уь у+ ] [ у-; у+]
[ уы; ум ]
(2)
Щоб оцiнити вектор невiдомих параметрiв Ь, потрiбно забезпечити умову
у- £ у а £ у+. (3)
Звiдси формують штервальну систему лiнiйних алгебричних рiвнянь [2]:
у- £Ъ1Р(Х\) +... + ЪтРт(Х\)£у+
у- £ Ьр(Хг) + ... + ЬтРт(Хг) £ у+
(4)
УМ £ ЬР(Хы) + ■■■ + ЬтРт(Хы) £ Уы Розв'язки 1СЛАР (4) отримують у виглядi множини О [2]
О = {Ь е Ят|г-£ F - Ь £ Г+} , (5)
де: F = [ф/Х,),г = 1,...,М,} = 1,..т} - вщома матриця значень базисних функцш; Г- = {у-,г = 1,...,ы} та Г + = {у+,г = 1,...,ы} - вектори, сформованi з верхнiх та
нижшх меж iнтервалiв [у-, у+].
Видшену iз 1СЛАР (4) 1СЛАР iз кiлькiстю iнтервальних рiвнянь, що збь гаеться iз кшькктю невiдомих параметра, називають "насиченим блоком" [1]. Матрицю значень базисних функцш для " насиченого блоку" позначають Fm, а область розв'язюв тако! системи - От [1].
Алгоритм редукцп 1СЛАР на основi 11 "насиченого блоку", описаний у правд [4], передбачае, зокрема:
1. Вибiр iз 1СЛАР (4) т рiвнянь, що утворюють сумiсну систему, тобто форму-вання матриц Fm. Розв'язком ще! системи е область От, яка геометрично мае вигляд паралелотопа, вершини якого обчислюють за такою формулою:
Ь = Fml -Г (6)
де Гц - вектор, складений з межових значень iнтервалiв [у-уг+],у = 1,...,Ы.
У ведомому MeTOAi задача формування матрицi Fm е задачею планування ID -оптимального експерименту [5]:
m 2 ^ -1
П(У+-У-) I• det(Fm• FZ) ——®mm, (7)
де: Fm = {jT(x1), i = 1,..., m}; xi e X - стовпчик матрицi X.
2. Обчислення характеристик Ls(k) (L's(k)) для ycix вершин паралелотопа на шд-CTaBi формул:
Ls(k) = y-+i -jT (xk+i) • bs (k), (8)
L's(k) = jT (xk+i) • bs(k) - y++ = -Ls(k) - Ak+i, (9)
де: xk+i - вектор вхвдних значень у k +1 спостереженнi, що визначае k +1 рш-няння у системi (4); у-+1, y++1 - нижня та верхня межi жервалш "виходу" у k +1 спостереженнц Ak+1 = y++1 - y-+1.
3. Обчислення d-(k +1) та d+(k +1), вщповвдно, за формулами: min,, {Ls (k) / fT (x+1) • f}, якщо (L, (k) > 0, s = 1...., 2m-1) а (f (хы) • f Ф 0)
r=1,...,2m 1 I I
a($L, (k) < 0,, = 1,...,2m) ; (io)
d (k +1) =
0, якщо L, (k) < 0
' min {L[(k) / f (xk+1) • f }, якщо (L'(k) > 0, s = 1...., 2m-1) a (fT (xk+1) • f * 0)
d (k + 1) =
A(3L,'(k) < 0, s = 1, ...,2m)
. (11)
0, якщо L[(k) < 0
4. Обчислення меж штервалу \yf(k +1); yi+(k +1)] за формулою
y-(k +1) = y-(k) + d-(k +1), y+(k +1) = y+(k)-d+(k +1), i = 1,...,m . (12)
5. Якщо k < N - m , то перехвд на крок 2. У протилежному випадку завершення процедури.
Як бачимо iз наведеного алгоритму, фактично метод здайснюе редукцiю ш-тервальних ршнянь 1СЛАР, залишаючи тшьки модифiкованi за формулою (12) штервальш рiвняння " насиченого блоку".
Розглянутий вище метод локалiзацií розв'язюв 1СЛАР мае низку переваг поршняно з iснуючими. Зокрема, дае змогу отримати в явному вигляд гаранто-вану елiпсоíдну оцiнку областi розв'язюв 1СЛАР [3]:
Qm(k +1) = {b e Rm (b - b(k + 1))T • FT • E-2(k +1) • F • (b - b(k +1)) = i}, (13)
де: b(k +1) = Fmx • ((y+(k +1)-y-(k +1)),...,(у,(k +1)-ym(k + 1)))T - вектор, який задае центр елiпсоíда;
E(k +1) = diag (y+(k +1) - yf(k +1),..., y+(k +1) - y-(k +1),..., yilk +1) - ym(k +1)) - дiаго-нальна матриця рiзниць меж iнтервалiв iз виразу (13).
4. 1нформац1йн1 технологй" галуз1 347
Коридор для штервальних моделей, яким визначаються 1'хш прогностичш властивостi, в цьому випадку матиме такий вигляд:
М) Ьедт = \-ФТ(Х) • b - 2 ' A y(X) | beQm;jT(x) ' b + | ЬeQm\, (14)
де Ay(j)| - похибка прогнозування (ширина коридору), яку обчислюють за формулою
Ar®| beQm =jT(X) ' (FmT ' E-2 • Fm ) 1 • ф(х) . (15)
У працi [4] показано, що ефективнiсть процедури редукцп 1СЛАР iстотно залежить вiд вибору базових ршнянь, тобто "насиченого блоку". Тому автори [4] запропонували новий метод обчислення оцiнки розв'язкш штервально! сис-теми лiнiйних алгебричних рiвнянь, шляхом замiни усieí системи "насиченим блоком", сформованим iз 11 iнтервальних рiвнянь. Процедура формування такого блоку передбачае послiдовне уточнения набору штервальних рiвнянь " насиченого блоку" на основi аналiзу прогностичних властивостей iнтервальних моделей, побудованих iз його розв'язюв. Алгоритм методу реалiзовуеться за такою схемою:
Крок 1. Вибiр "насиченого блоку" iз 1СЛАР (4) (довiльний).
Крок 2. Оцшка областi розв'язкiв "насиченого блоку" за допомогою багато-вимiрного елшсо'да (13) та побудова коридору штервальних моделей за вира-зом (14).
Крок 3. Знаходження точки (16), в якш досягаеться максимальне значення похибки прогнозування iнтервальних моделей на обласп вхiдних змiнних, зада-них експериментальними даними (2)
= arg max^фТ(x,) •(FmT • E-2 • Fm) 1 j. (16)
Крок 4. 1теращя замiни кожного iз m рiвиянь "насиченого блоку" рiвиян-ням 1СЛАР, що вiдповiдае розв'язку (16), формування на цш основi m "насиче-них блоюв" та знаходження m функцiй для похибок прогнозування кожного набору модел^ ввдповдао до виразу (17)
A1y(x> A2 y(x),..., Amy(x). (17)
Крок 5. Вибiр оптимального "насиченого блоку" за критерiем (18)
r:max _
max
т|г1 VT(Xi) • (FmpT • Ep-2 • Fmp )-1 • ф(х) J|. (18)
Перехiд на крок 2. Зауважимо, що при переходi на 2 крок для отриманого "насиченого блоку" вiдомими будуть як область розв'язкш, так i значення максимально!' похибки, що ктотно спрощуе обчислення.
Послiдовнiсть кроюв реалiзовують доти, поки на останньому кроцi буде отримано "насичений блок", будь-яка змша рiвнянь якого не призводить до зменшення максимально!' похибки прогнозування жервальних моделей.
Верифiкацiя алгоритму визначення "насиченого блоку" у задачi пара-метрично! iдентифiкацГí 1СЛАР. Методика проведения верифшацц дослвджу-
348 Збiрник науково-техшчних праць
ваного методу грунтуеться на обчислювальному експериментi. Спочатку визна-чаемо iстинну модель, яка зв'язуе вхiдну змiнну iз вихщною у вигляд (4). На наступному еташ iмiтуемо "iнтервальне вимiрювання", де межi iнтервальних значень генеруються за формулами [1]:
У- = Уо(х) + (в, - А) • Уо(х), (19)
У+ = Уо(х) + (в, + А) • Уо(х), (20)
де: в, - деяка випадкова похибка, яка задана на iнтервалi ±А, а А - похибка ви-мiрювань.
Дал^ на основi отриманих даних, формуемо таблицю та будуемо штер-вальну систему лiнiйних алгебричних рiвнянь, для яко! застосовуемо дослiджу-ваний метод вибору " насиченого блоку".
Приклад 1. Нехай задана лшшна модель у виглядi
у(х,) = Ь0 + ь • X,, (21)
та задано значения вхщно! змiнноí (табл. 1).
Табл. 1. Значення вхгдног змтноЧ
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
X, 1 4 7 8 11 15 16 17 18 21 22 23 26 27 28 29 31 32 33 35
Нехай у виразi (21): Ь0 = 2, Ь1 = 3. 1з використанням виразш (19), (20) прове-демо шггащйний експеримент, з метою отримання таблицi експериментальних даних. При цьому встановимо, що похибка вимiрювания А = ±10 %, а -А, < вг < А,. Результати iмiтацiйного експерименту наведено у табл. 2.
Табл. 2. Таблиця з1м1тованих ттервальних даних
1 X У0(х,) в, У- = У0(х) + в, -А У+ = У0(х) + в, + А
1 1 5 -0,10000 4 5
2 4 14 -0,06100 11,746 14,546
3 7 23 0,01700 21,091 25,691
4 8 26 -0,03000 22,620 27,820
5 11 35 0,06500 33,775 40,775
6 15 47 -0,06500 39,245 48,645
7 16 50 0,04200 47,100 57,100
8 17 53 -0,03900 45,633 56,233
9 18 56 -0,08200 45,808 57,008
10 21 65 -0,07100 53,885 66,885
11 22 68 0,09800 67,864 81,464
12 23 71 -0,07600 58,504 72,704
13 26 80 -0,09800 64,160 80,160
14 27 83 0,00633 75,22564 91,82564
15 28 86 0,02000 79,120 96,320
16 29 89 -0,06700 74,137 91,937
17 31 95 -0,00984 84,56492 103,5649
18 32 98 -0,08900 79,478 99,078
19 33 101 0,05700 96,657 116,857
20 35 107 0,00398 96,72533 118,1253
На основi отриманих даних сформуемо iнтервальну систему тшйних ал-гебричних рiвнянь:
4 < Ьо + Ь1< 5 11,746 < Ьо + 4Ь < 14,546 21,091 < Ьо + 7Ь1< 25,691 22,62 < Ьо + 8Ъ < 27,82 33,775 < Ьо + 11Ь1< 40,775 39,245 < Ь0 + Щ < 48,645 47,1 < Ьо + 16Ь1< 57,1 45,633 < Ьо + 17Ь1< 56,233 45,8о8 < Ьо + 18Ь1< 57,оо8 53,885 < Ьо + 21Ь1 < 66,885
'67,864 < Ьо + 22^ < 81,464 (22)
58,5о4 < Ьо + 23Ь1< 72,7о4 64,16 < Ьо + 26Ь1< 8о,16 75,22564 < Ьо + 27Ь < 91,82564 79,12 < Ьо + 28Ь1< 96,32 74,137 < Ьо + 29^ < 91,937 84,56492 < Ьо + 31Ь < Ю3,5649 79,478 < Ьо + 32Ь < 99,о78 96,657 < Ьо + 33Ь1< 116,857 96,72533 < Ьо + 35Ь < 118,1253
Реалiзуемо для цiеí системи метод вибору оптимального " насиченого блоку" . На першому кроцi оберемо довшьний " насичений блок", наприклад у виг-лядi
Г4 < Ьо + Ь < 5 [11,746 < Ьо + 4Ь < 14,546.
Оцiнимо область розв'язкiв "насиченого блоку" (23) за допомогою багато-вимiрного елiпсоíда (13) та побудуемо коридор iнтервальних моделей за вира-зом (14). Прогнозованi значения ширини коридору вiдобразимо у табл. 3 та на рис. 1.
Табл. 3. Коридор ттервальних моделей (21) з оцнками параметрiв, обчисленими з
(23)
1 УоСх) УТ У+ А у(х) = У+Т Ут
1 1 5 4 5 1,оо
2 4 14 11,746 14,546 2,8о
3 7 23 18,94771 24,63629 5,69
4 8 26 21,34оо 28,оо8оо 6,67
5 11 35 28,5о971 38,13о29 9,62
6 15 47 38,06231 51,63369 13,57
7 16 50 40,44989 55,01011 14,56
8 17 53 42,83733 58,38667 15,55
9 18 56 45,22465 61,76335 16,54
10 21 65 52,38608 71,89392 19,51
11 22 68 54,77310 75,27090 20,50
12 23 71 57,16006 78,64794 21,49
13 26 80 64,32071 88,77929 24,46
14 27 83 66,70753 92,15647 25,45
15 28 86 69,09432 95,53368 26,44
16 29 89 71,48109 98,91000 27,43
17 31 95 76,25456 105,6654 29,41
18 32 98 78,64127 109,0427 30,40
19 33 101 81,02796 112,4200 31,39
20 35 107 85,80131 119,1747 33,37
Рис. 1. Зктавлення коридору штервальних моделей (21) з "експериментальними" даними табл. 3
Вщповщно до алгоритму реатзацп методу за формулою (16) знайдемо точку, в якш досягаеться максимальне значення похибки прогнозування терваль-них моделей на областi вхiдних змшних - х,щах(г = 20). На другш iтерацií скомбь нуемо рiвняння "насиченого блоку" (23) з рiвнянням, отриманим iз виразу (16). Отримаемо новi набори рiвнянь для субоптимальних "насичених блокiв":
Г 4 < Ь0 + Ьх< 5
196,72533 < Ьо + 35Ь < 118,1253,
(24)
11,746 < Ь0 + 4Ь < 14,546 96,72533 < Ь0 + 35Ь[ < 118,1253.
(25)
Ощнимо область розв'язкiв та побудуемо коридор штервальних моделей для "насиченого блоку" (24) та (25), вщповщно. Прогнозоваш значення ширини коридору вiдобразимо у табл. 4 та на рис. 2, 3.
Табл. 4. Коридор ттервальних моделей (21) з ощнками параметрiв, обчисленими з 1СЛАР (24) та (25)
"Насичений блок" (24) "Насичений блок" (25)
I X, Уо(х) У, У+ А У(х,) У, У+ А У(х,)
1 1 5 4 5 1,00 2,170187 5,874204 3,70
2 4 14 12,53323 14,63007 2,10 11,74600 14,54600 2,80
3 7 23 20,73068 24,59590 3,87 20,63542 23,90419 3,27
4 8 26 23,45207 27,92894 4,48 23,46906 27,15308 3,68
5 11 35 31,60537 37,93894 6,33 31,78678 37,08298 5,30
6 15 47 42,46533 51,29669 8,83 42,69722 50,50268 7,81
7 16 50 45,17938 54,63707 9,46 45,41134 53,87110 8,46
8 17 53 47,89320 57,97768 10,08 48,12236 57,24262 9,12
9 18 56 50,60683 61,31849 10,71 50,83090 60,61662 9,79
10 21 65 58,74683 71,34178 12,59 58,94586 70,74926 11,80
11 22 68 61,45994 74,68310 13,22 61,64826 74,12940 12,48
12 23 71 64,17297 78,02450 13,85 64,34969 77,51051 13,16
13 26 80 72,31163 88,04913 15,74 72,44949 87,65831 15,21
14 27 83 75,02441 91,39078 16,37 75,14825 91,04209 15,89
15 28 86 77,73714 94,73248 17,00 77,84655 94,42633 16,58
16 29 89 80,44983 98,07000 17,62 80,54443 97,81000 17,27
17 31 95 85,87511 104,7578 18,88 85,93915 104,5813 18,64
18 32 98 88,58770 108,0996 19,51 88,63606 107,9670 19,33
19 33 101 91,30027 111,4415 20,14 91,33271 111,3528 20,02
20 35 107 96,72533 118,1253 21,40 96,72533 118,1253 21,40
140 120 100 30 60 40 20
•Г
—ш— "експериментальнГ дат -—#■■— прогнозован\ дан\ —1-1
111111
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Рис. 2. Летавлення коридору штервальних моделей (21) з "екепериментальними" даними табл. 4 ("наеичений блок" (24))
Даш, зпдно з алгоритмом реашзацй методу, по^бно за крш^ем (19) визначити оптимальний "насичений блок". У нашому випадку шнуе два рiвноз-начних блоки, що задовольняють цю умову, тому для них можна застосовувати алгоритм редукцй.
Грунтуючись на взаемозв'язку мiж методом вибору насиченого блоку та методом редукцй, показником визначення ефективностi вважатимемо кiлькiсть результативних ^ерацш, тобто тих, коли необхiдно було здшснювати обчис-лення на 3-4-му крощ алгоритму редукцй. Отже, застосуемо алгоритм редукцй для насиченого блоку (24). Результати обчислень показали, що у цьому випадку, потрiбно було здшснити 5 результативних ^ерацш.
"140 120 100 80 60 40 20 О
О 5 10 15 20 25 30 35 40
Рис. 3. З^тавлення коридору ттервальних моделей (21) з "експериментальни-ми" даними табл. 4 ("насичений блок" (25))
Розв'яжемо аналопчну задачу для насиченого блоку (25). У цьому випадку алгоритму редукцп для виведення розв'язку необхщно було здшснити 10 результативных ггерацш. Зштавлення коридору штервально! моделi (21) з "експе-риментальними" даними пiсля редукцп для описаних вище випадкiв зображено на рис. 4, 5.
140
-Г
- 'tf 'Xt
—■— "експериментальнГ Даш ~~- прогноэоваш дат
О 5 10 15 20 25 30 36
Рис. 4. З^тавлення коридору ттервальних моделей (21) з "експериментальни-ми" даними табл. 4 ("насичений блок" (24)), тсля алгоритмуредукци
140
120
100
80
60
40
20
. Л J
—■— "експериментальнГ дат прогноэоваш дат —1-1
10
15
20
25
30
35
40
Рис. 5. З^тавлення коридору ттервальних моделей (21) з "експериментальни-ми" даними табл. 4 ("насичений блок" (24)), тсля алгоритму редукци
Приклад 2. Нехай задана квадратична модель у виглядi
Ух,) = Ьо + Ь • Xi + ¿2 • х,2, (26)
та задано значения видно! змiнноí (див. табл. 1).
Нехай у вир^ (26): Ь0 = 1, Ь = -3, Ь2 = 5. 1з використанням виразiв (19), (20) проведемо iмiтацiйний експеримент з метою отримання таблицi експеримен-тальних даних. При цьому встановимо, що похибка вимрювання А = ±10 %, а -А, < в, < А,-. Результати 1мтащйного експерименту наведено у табл. 5.
На основi даних табл. 5 та структури моделi (26) сформуемо iнтервальну систему лшшних алгебричних ршнянь:
2,925582 < Ь0 + Ь + Ь2 < 3,525582 68,39142 < Ьо + 4Ь + 16Ь2 < 82,19142 204,2703 < Ьо + 7Ь + 49Ь2 < 249,2703 265,0473 < Ь0 + 8Ь + 64Ь2 < 324,4473 557,2104 < Ь0 + 11Ь + 121Ь2 < 671,8104 1033,362 < Ь0 + Щ + 225Ь2 < 1249,562 1232,21 < Ь0 + 16Ь1+ 256Ь2 < 1478,81 1286,607 < Ь0 + 17Ь + 289Ь2 < 1565,607 1337,032 < Ь0 + 18Ь + 324Ь2 < 1650,432 2074,475 < Ьо + 21^+ 441Ь>2 < 2503,075 1 '2061,028 < Ь0 + 22Ь + 484Ь2 < 2532,028 2 (27)
2410,621 < Ьо + 23Ь1 + 529Ь2 < 2926,021 2648,223 < Ьо + 26Ь1 + 676Ь2 < 3308,823 3048,706 < Ьо + 27Ь1 + 729Ь2 < 3761,706 3520,762 < Ьо + 28Ь1 + 784Ь2 < 4288,162 3985,223 < Ьо + 29Ь + 841Ь2 < 4809,023 4227,495 < Ь0 + 31Ь + 961Ь2 < 5170,095 4767,449 < Ьо + 32^ + 1024Ь2 < 5772,449 4767,358 < Ьо + 33Ь + 1089Ь2 < 5836,758 5713,231 < Ьо + 35Ь1+1225Ь2 < 6917,431
Табл. 5. Таблиця зiмimованих ттервальних даних
I X, Уо(х,) вг У- = Уо(х) + в, -А У+ = Уо(х) + в, +А
1 1 3,00 0,075194 2,925582 3,525582
2 4 69,00 0,091180 68,39142 82,19142
3 7 225,00 0,007868 204,2703 249,2703
4 8 297,00 -0,007590 265,0473 324,4473
5 11 573,00 0,072444 557,2104 671,8104
6 15 1081,00 0,055930 1033,362 1249,562
7 16 1233,00 0,099359 1232,210 1478,810
8 17 1395,00 0,022299 1286,607 1565,607
9 18 1567,00 -0,046760 1337,032 1650,432
354 Збiрник ш 1уково-техшчних праць
10 21 2143,00 0,068024 2074,475 2503,075
11 22 2355,00 -0,024830 2061,028 2532,028
12 23 2577,00 0,035437 2410,621 2926,021
13 26 3303,00 -0,098200 2648,223 3308,823
14 27 3565,00 -0,044820 3048,706 3761,706
15 28 3837,00 0,017582 3520,762 4288,162
16 29 4119,00 0,067522 3985,223 4809,023
17 31 4713,00 -0,003010 4227,495 5170,095
18 32 5025,00 0,048746 4767,449 5772,449
19 33 5347,00 -0,008410 4767,358 5836,758
20 35 6021,00 0,048884 5713,231 6917,431
Реалiзуeмо для 1СЛАР (27) дослiджуваний метод вибору "насиченого блоку". На першому кроцi алгоритму вибираемо довiльний "насичений блок", нап-риклад
2,925582 < Ь0 + Ь + Ь2 < 3,525582
■68,39142 < Ьо + 4Ь + 16Ь2 < 82,19142 . (28)
204,2703 < Ьо + 7Ь + 49Ь2 < 249,2703
Оцiнимо область розв'язкiв "насиченого блоку" (28) багатовишрним елш-совдом (13) та побудуемо коридор прогнозування iнтервальних моделей у виг-лядi (14). Отриманi значения ширини коридору покажемо у табл. 6.
Табл. 6. Коридор ттервальноХ моделi (26) з оцтками параметрiв, обчисленими з
1СЛАР (28)_
I Хг У0(хг) У:- У+ А у(х,) = У,+ ~ У-
1 1 3,00 2,925582 3,525582 0,60
2 4 69,00 68,39142 82,19142 13,80
3 7 225,00 204,2703 249,2703 45,00
4 8 297,00 259,5015 330,3197 70,82
5 11 573,00 459,554 644,9931 185,44
6 15 1081,00 808,1677 1229,743 421,58
7 16 1233,00 910,0151 1405,355 495,34
8 17 1395,00 1017,746 1592,731 574,98
9 18 1567,00 1131,363 1791,868 660,51
10 21 2143,00 1507,535 2459,843 952,31
11 22 2355,00 1644,702 2706,019 1061,32
12 23 2577,00 1787,757 2963,954 1176,20
13 26 3303,00 2252,259 3808,308 1556,05
14 27 3565,00 2418,873 4113,275 1694,40
15 28 3837,00 2591,376 4430,000 1838,62
16 29 4119,00 2769,769 4758,482 1988,71
17 31 4713,00 3144,225 5450,717 2306,49
18 32 5025,00 3340,288 5814,471 2474,18
19 33 5347,00 3542,241 6189,981 2647,74
20 35 6021,00 3963,819 6976,274 3012,45
Рис. 6. Лставлення коридору ттервальног модем (26) з "експериментальни-
ми " даними табл. 6
Зпдно з алгоритмом методу вибору "насиченого блоку" виберемо точку (16), де досягаетъся максимальне значення похибки прогнозування штервалъ-них моделей - .г/пах(/ = 20).
На наступнш ^ераци вiдповiдно до кроку 4 алгоритму сформуемо "насиче-нi блоки" та визначимо для кожного похибку прогнозування за критерiем (17). Отже, отримаемо таю набори рiвнянь у "насичених блоках":
• при замiнi першого рiвняння:
'5713,231 < Ь0 + 35^ + 1225Ь2 < 6917,431
<68,39142 < Ь0 + 4Ь1 +16Ь2 < 82,19142 ; (29)
204,2703 < Ь0 + 7Ь\ + 49Ь2 < 249,2703
• при замт другого рiвняння:
Г2,925582 < Ь0 + + Ь2 < 3,525582
15713,231 < Ь0 + 35Ь + 1225Ь2 < 6917,431; (30)
[204,2703 < Ь0 + 7Ь\ + 49Ь2 < 249,2703
• при замiнi третього рiвняння:
Г2,925582 < Ь0 + + Ь2 < 3,525582
| 68,39142 < Ь0 + 4ЬХ + 16Ь2 < 82,19142 . (31)
[5713,231 < Ь0 + 35Ь1 + 1225Ь2 < 6917,431
Табл. 7. Коридор ттервальног моделi (26) з оцтками параметрiв, обчисленими з
1СЛАР (29), (30) та (31)
"Насичений блок" (29) "Насичений блок"(30) "Насичений блок" (31)
I У- У+ А У (х-) У- У+ А У(х-) У. У+ А У(х.)
1 -12,8824 54,39144 67,27 2,925582 3,525582 0,60 2,925582 3,525582 0,60
2 68,39142 82,19142 13,80 53,60522 80,99535 27,39 68,39142 82,19142 13,80
3 204,2703 249,2703 45,00 204,2703 249,2703 45,00 225,0456 257,3662 32,32
4 269,6756 327,9362 58,26 275,4292 326,8227 51,39 296,0921 338,6398 42,55
5 530,0133 629,0682 99,05 546,8851 628,6943 81,81 564,6361 652,1879 87,55
6 1018,981 1190,324 171,34 1038,251 1198,550 160,30 1052,065 1232,855 180,79
7 1165,375 1360,342 194,97 1184,027 1371,078 187,05 1197,062 1407,020 209,96
8 1321,208 1542,465 221,26 1339,008 1555,599 216,59 1351,321 1592,778 241,46
9 1486,414 1736,757 250,34 1503,211 1752,096 248,88 1514,846 1790,127 275,28
10 2037,891 2393,03 355,14 2051,286 2413,317 362,03 2061,026 2451,696 390,67
11 2240,266 2636,323 396,06 2252,498 2657,602 405,10 2261,626 2695,39 433,76
12 2451,899 2891,901 440,00 2462,982 2913,813 450,83 2471,496 2950,669 479,17
13 3142,310 3732,380 590,07 3150,113 3753,963 603,85 3156,739 3786,004 629,27
14 3390,948 4037,123 646,17 3397,728 4057,84 660,11 3403,699 4087,614 683,92
15 3648,839 4354,157 705,32 3654,633 4373,625 718,99 3659,932 4400,807 740,87
16 3915,982 4683,481 767,50 3920,83 4701,317 780,49 3925,438 4725,581 800,14
17 4478,032 5378,993 900,96 4481,108 5392,415 911,31 4484,273 5409,873 925,60
18 4772,943 5745,178 972,23 4775,192 5755,818 980,63 4777,601 5769,391 991,79
19 5077,112 6123,646 1046,53 5078,572 6131,122 1052,55 5080,203 6140,49 1060,29
20 5713,231 6917,431 1204,20 5713,231 6917,431 1204,20 5713,231 6917,431 1204,20
8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 о
У
/V
—■— "експериментальнГ дан —*-— прогнозоваы дан1
-и-1
О 5 10 15 20 25 30 35 40
Рис. 7. Лставлення коридору штервальних моделей (26) з "експериментальни-ми" даними табл. 7("насичений блок" (29))
Рис. 8. Лставлення коридору ттервальних моделей (26) з "експериментальними" даними табл. 7("насичений блок" (30))
Вщповщно до схеми алгоритму, серед "насичених блоюв" (29), (30), (31) за критерieм (19) обираемо "оптимальний". Для моделi (26) такими оптимальними блоками е одночасно (29), (30) та (31), яю задають однакову похибку прогнозу-вання тервально! модели
Враховуючи описаш вище критерй ефективносл, застосуемо алгоритм ре-дукцй почергово для кожного iз "оптимальних насичених блокiв". У ходi об-числень виявлено, що у випадку "насиченого блоку" (29) необхiдно було здшснити 3 результативних iтерацiй, у випадку "насиченого блоку" (30) таких
iтерацiй 6, а для "насиченого блоку" (31) в хода редукци результативными було теж 6 ггеращй. Прогнозоваш значення ширины коридору iнтервальноí моделi (26) шсля застосування методу редукцií для "насичених блокiв" (29), (30), (31) наведено на рис. 10-12.
8000
7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0
—■— "експериментальнГ дай -—— прогнозоваы даш
-—1-1-1-1-1-1-1
10
15
20
25
30
35
40
Рис. 9. Зктавлення коридору ттервальних моделей (26) з "експериментальними" данимитабл. 7("насичений блок" (31))
8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 о
./у
—■— "експериментальнГ даш -—— прогнозоваш даш —I-1
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Рис. 10. Зктавлення коридору ттервальних моделей (26) з "експериментальними" даними табл. 7 ("насичений блок" (29)), тсля алгоритму редукци
8000
Рис. 11. Лставлення коридору ттервальних моделей (26) з "експериментальними" даними табл. 7 ("насичений блок" (30)), тсля алгоритму редукци
Рис. 12. Лставлення коридору ттервальних моделей (26) з "експерименталь-ними " даними табл. 7 ("насичений блок" (31)) тсля алгоритмуредукци
Як бачимо з прикладiв, при використанш 10-оптимального "насиченого" плану для вибору базових рiвнянь у задачi щет'ифкацп параметрiв моделi ви-никае кiлька розв'язюв у виглядi "насичених блокiв", як за подальшого застосу-вання процедури редукцп уае'1 1СЛАР забезпечують рiзнi прогностичнi власти-востi отриманих тервальних моделей. Тому виникае проблема вибору одного з множини розв'язкiв такого "насиченого блоку", який апрiорi забезпечить найкращi прогностичнi властивостi моделi. Для розв'язування зазначено'1 проб-леми доцшьно скористатися деякими модифiкацiями 10-оптимального "насиче-ного" плану.
Удосконалення алгоритму визначення "насиченого блоку" у задачi параметрично! щентифжацп 1СЛАР. Модифiкуемо правило знаходження точки, в якш досягаеться максимальне значения похибки прогнозування штер-вальних моделей на област вхiдиих змiииих, заданих експериментальними даними (2) iз формули (16). Зокрема, визначимо вiдносне значення похибки
А0 = тах
А
Я*)
А
Я(Х)
Ьедт
(32)
Ъ^-йш
де: А уф - прогнозоване значення ширини коридору iнтервальиих моделей; АЯ(х)| ьедт - вимiряне значення ширини коридору тервальних моделей.
Нехай на першш терацп модифiкованого методу вибору "насиченого блоку" для моделi (21) початковим обрано "насичений блок" (23). Користуючись даними табл. 2 та 3, визначимо максимальне вщносне значення похибки за формулою (32). Порiвняльнi даш вщображено у табл. 8.
Табл. 8. Вимiрянi та прогнозооат значення ширини коридору ттервальних
1 X у- у+ А у(х) У- У+ А У(х) А0
1 1 4 5 1 4 5 1,0 1
2 4 11,746 14,546 2,8 11,74600 14,5460 2,80 1,0
3 7 21,091 25,691 4,6 18,94771 24,6363 5,69 1,236957
4 8 22,620 27,820 5,2 21,34000 28,0080 6,67 1,282692
5 11 33,775 40,775 7,0 28,50971 38,1303 9,62 1,374286
6 15 39,245 48,645 9,4 38,06231 51,6337 13,57 1,443617
7 16 47,100 57,100 10,0 40,44989 55,0101 14,56 1,456000
8 17 45,633 56,233 10,6 42,83733 58,3867 15,55 1,466981
9 18 45,808 57,008 11,2 45,22465 61,7634 16,54 1,476786
10 21 53,885 66,885 13,0 52,38608 71,8939 19,51 1,500769
11 22 67,864 81,464 13,6 54,77310 75,2709 20,50 1,507353
12 23 58,504 72,704 14,2 57,16006 78,6479 21,49 1,513380
13 26 64,160 80,160 16,0 64,32071 88,7793 24,46 1,528750
14 27 75,226 91,826 16,6 66,70753 92,1565 25,45 1,533133
15 28 79,120 96,320 17,2 69,09432 95,5337 26,44 1,537209
16 29 74,137 91,937 17,8 71,48109 98,9100 27,43 1,541011
17 31 84,565 103,565 19,0 76,25456 105,6654 29,41 1,547896
18 32 79,478 99,078 19,6 78,64127 109,0427 30,40 1,551020
19 33 96,657 116,857 20,2 81,02796 112,4200 31,39 1,553960
20 35 96,725 118,125 21,4 85,80131 119,1747 33,37 1,559348
Як видно iз табл. 8, максимальна похибка, обчислена зпдно з виразом (32), досягаеться для / = 20. Зпдно iз загальною схемою методу обчислення оцiнки розв'язюв iнтервальноí системи лшшних алгебричних рiвнянь (крок 4), на нас-тупному етапi обчислень рiвняння iз 1СЛАР (22) за номером / = 20 почергово вносимо в "насичений блок" (23).
Вважаеться, що на цiй трацп модифiкованого алгоритму сформованi "на-сичеш блоки" збiгаються з тими, яю були отриманi за використання критерда абсолютно! похибки, тобто íх вигляд вдентичний (24), (25). Зважаючи на цей факт, для вибору оптимального "насиченого блоку" на цш ггерацл можемо ско-ристатися даними табл. 2 та 4, ввдповвдно. Поршняльш данi вiдображено у табл. 9.
Табл. 9. Вимiрянi та прогнозоеат значення ширини коридору _для "насиченого блоюе" (24), (25)_
г Хг Ширина вимiря-ного штервалу Для "насиченого блоку" (24) Для "насиченого блоку" (24)
А у(х) А У(х,) Ас А Ух) А0
1 1 1 1,00 1 3,70 3,7
2 4 2,8 2,10 0,750000 2,80 1,00
3 7 4,6 3,87 0,841304 3,27 0,710870
4 8 5,2 4,48 0,861538 3,68 0,707692
5 11 7,0 6,33 0,904286 5,30 0,757143
6 15 9,4 8,83 0,939362 7,81 0,830851
7 16 10,0 9,46 0,946000 8,46 0,846000
8 17 10,6 10,08 0,950943 9,12 0,860377
9 18 11,2 10,71 0,956250 9,79 0,874107
10 21 13,0 12,59 0,968462 11,80 0,907692
11 22 13,6 13,22 0,972059 12,48 0,917647
12 23 14,2 13,85 0,975352 13,16 0,926761
13 26 16,0 15,74 0,983750 15,21 0,950625
14 27 16,6 16,37 0,986145 15,89 0,957229
15 28 17,2 17,00 0,988372 16,58 0,963953
16 29 17,8 17,62 0,989888 17,27 0,970225
17 31 19,0 18,88 0,993685 18,64 0,981054
18 32 19,6 19,51 0,995408 19,33 0,986224
19 33 20,2 20,14 0,997030 20,02 0,991089
20 35 21,4 21,40 1,000001 21,40 1,000001
Вважаеться, що на цш ггераци модифшованого алгоритму сформоваш "насинен! блоки" збтаються з тими, ят були отримаш за використання критерда абсолютно!' похибки, тобто 1х вигляд щентичний (24), (25). Зважаючи на цей факт, для вибору оптимального "насиченого блоку" на цш ггераци можемо скористати-ся даними табл. 2 та 4, в1дпов1дно. Порiвняльнi даш ввдображено у табл. 9.
На основi даних табл. 9 та вщповвдно до кроку 5 модифшованого алгоритму визначаемо, що "оптимальним" для редукцií вважаеться "насичений блок" (24). Пригадаемо, що у випадку знаходження максимально!' ширини коридору для цих даних за формулою (16), описаному у попередньому роздiлi, отримува-ли рiвнозначнiсть, коли обидва "насичеш блоки" задовольняли умови алгоритму методу. Зазначимо, що вигляд коридору прогнозування моделi (21) пiсля ре-дукцií для "насиченого блоку" (24) наведено на рис. 4.
Застосуемо модифкований метод для другого прикладу, коли модель мае вигляд (26). Нехай на першш ггераци модифкованого методу вибору "насиченого блоку" для моделi (26) початковим обрано "насичений блок" (28). Корис-туючись даними табл. 5 та 6, визначимо максимальне ввдносне значения похибки за формулою (32). Порiвняльнi даш ввдображено у табл. 10.
Табл. 10. Вимiрянi та прогнозоваш значення ширини коридору для "насиченого _блоку" (28)_
1 X У- У+ А у(х) У- У+ А У(х) Ас
1 1 2,925582 3,525582 0,6 2,925582 3,525582 0,60 1
2 4 68,39142 82,19142 13,8 68,39142 82,19142 13,80 1
3 7 204,2703 249,2703 45,0 204,2703 249,2703 45,00 1
4 8 265,0473 324,4473 59,4 259,5015 330,3197 70,82 1,192256
5 11 557,2104 671,8104 114,6 459,5540 644,9931 185,44 1,618150
6 15 1033,362 1249,562 216,2 808,1677 1229,743 421,58 1,949954
7 16 1232,210 1478,810 246,6 910,0151 1405,355 495,34 2,008678
8 17 1286,607 1565,607 279,0 1017,746 1592,731 574,98 2,060860
9 18 1337,032 1650,432 313,4 1131,363 1791,868 660,51 2,107562
10 21 2074,475 2503,075 428,6 1507,535 2459,843 952,31 2,221909
11 22 2061,028 2532,028 471,0 1644,702 2706,019 1061,32 2,253333
12 23 2410,621 2926,021 515,4 1787,757 2963,954 1176,20 2,282111
13 26 2648,223 3308,823 660,6 2252,259 3808,308 1556,05 2,355510
14 27 3048,706 3761,706 713,0 2418,873 4113,275 1694,40 2,376438
15 28 3520,762 4288,162 767,4 2591,376 4430,000 1838,62 2,395908
16 29 3985,223 4809,023 823,8 2769,769 4758,482 1988,71 2,414069
17 31 4227,495 5170,095 942,6 3144,225 5450,717 2306,49 2,446945
18 32 4767,449 5772,449 1005,0 3340,288 5814,471 2474,18 2,461871
19 33 4767,358 5836,758 1069,4 3542,241 6189,981 2647,74 2,475912
20 35 5713,231 6917,431 1204,2 3963,819 6976,274 3012,45 2,501619
Як видно iз табл. 10, максимальна похибка, обчислена зпдно з виразом (32), досягаеться для / = 20. Зпдно iз загальною схемою методу обчислення оцiнки розв'язк1в iнтервальноí системи лшшних алгебричних рiвнянь (крок 4), на наступному еташ обчислень рiвняння iз 1СЛАР (27) за номером / = 20 почер-гово вносимо в "насичений блок" (28). Вважаеться, що на цш трацп модифжо-ваного алгоритму сформованi "насичеш блоки" збiгаються з тими, яю були от-риманi за використанш критерiю абсолютно! похибки, тобто 1х вигляд вдентич-ний (29), (30), (31). Зважаючи на цей факт, для вибору оптимального "насичено-го блоку" на цш iтерацií можемо скористатися даними табл. 5 та 7, вiдповiдно. Порiвняльнi данi вщображено у табл. 11.
Табл. 11. Вимiрянi та прогнозоваш значення ширини коридору для "насичених
блотв" (29), (30), (31)
1 Ширина вимiряного штервалу Для "насиченого блоку" (29) Для "насиченого блоку"(30) Для "насиченого блоку" (31)
А К*,) А у(*. ) Ас А у(*. ) А0 А К*,) А0
1 1 0,6 67,27 112,1167 0,60 1 0,60 1
2 4 13,8 13,80 1 27,39 1,984783 13,80 1
3 7 45,0 45,00 1 45,00 1 32,32 0,718222
4 8 59,4 58,26 0,980808 51,39 0,865152 42,55 0,71633
5 11 114,6 99,05 0,864311 81,81 0,713874 87,55 0,763962
6 15 216,2 171,34 0,792507 160,30 0,741443 180,79 0,836216
7 16 246,6 194,97 0,790633 187,05 0,758516 209,96 0,851419
8 17 279,0 221,26 0,793047 216,59 0,776308 241,46 0,865448
9 18 313,4 250,34 0,798787 248,88 0,794129 275,28 0,878366
10 21 428,6 355,14 0,828605 362,03 0,84468 390,67 0,911503
11 22 471,0 396,06 0,840892 405,10 0,860085 433,76 0,920934
12 23 515,4 440,00 0,853706 450,83 0,874719 479,17 0,929705
13 26 660,6 590,07 0,893233 603,85 0,914093 629,27 0,952573
14 27 713,0 646,17 0,906269 660,11 0,925820 683,92 0,959215
15 28 767,4 705,32 0,919103 718,99 0,936917 740,87 0,965429
16 29 823,8 767,50 0,931658 780,49 0,947427 800,14 0,971279
17 31 942,6 900,96 0,955824 911,31 0,966805 925,60 0,981965
18 32 1005,0 972,23 0,967393 980,63 0,975751 991,79 0,986856
19 33 1069,4 1046,53 0,978614 1052,55 0,984244 1060,29 0,991481
20 35 1204,2 1204,20 1 1204,20 1 1204,20 1
На основi даних табл. 11 та вщповвдно до кроку 5 модифжованого алгоритму визначаемо, що "оптимальним" для редукцп вважаеться "насичений блок" (31). Зазначимо, що вигляд коридору прогнозування моделi (26) пiсля редукцп для "насиченого блоку" (31) наведено на рис. 12.
Пригадаемо, що у випадку знаходження максимально! ширини коридору для цих даних за формулою (16), описаному у попередньому роздш, отримува-ли рiвнозначнiсть, коли "насичеш блоки" (29), (30), (31) одночасно задовольня-ли умови алгоритму методу. Застосувавши принцип нормування похибки, змог-ли уникнути рiвнозначностей та знайти единий розв'язок, що шдтверджуе гшо-тезу, висловлену у цш працi.
Висновки. У робоп розв'язано задачу верифiкацií методу параметрично! iдентифiкацií iнтервальноí системи лiнiйних алгебричних рiвнянь (1СЛАР) для
pi3HHx початкових умов, зокрема, залежно вiд структуры та кшькосп невiдомих параметров модели Також удосконалено алгоритм визначення "насиченого блоку" у задачi параметрично!' iдентифiкацií iнтервальноí системи лiнiйних алгеб-ричних рiвнянь шляхом нормування похибки вимрювання та показано ефек-тивнкть такого вдосконалення для ряду тестових прикладав.
Лiтература
1. Дивак М.П. Задга математичного моделювання статичних систем з штервальними даними : монографш / за ред. М.П. Дивака. - Тернопшь : Вид-во "Економ. думка", 2011. - 216 с.
2. Shary S.P. Algebraic Approach to the Interval Linear Static Identification, Tolerance, and Control Problems, or One More Application of Kaucher Arithmetic, Reliable Computing. - 1996. -Vol. 2(1). - Pp. 3-33.
3. Дивак М.П. Метод формування допусково! елшсощно! оцшки параметров штервальних моделей на осжга видшення i3 штервально! системи лшшних алгебричних рiвнянь основних активних обмежень / М.П. Дивак, О.Л. Козак // Реестрацк, зберiгання та оброблення даних. -2009. - Т. 11, № 2. - С. 25-36.
4. Dyvak M. Reduction of Interval Equations for Interval System of Linear Algebraic Equations / M. Dyvak, I. Oliynyk, N. Kasatkina // Modern Problems of Radio Engineering, Telecommunications and Computer Sience of abstracts of the 13 International Conference TCSET'2016. - Lviv-Slavsko, Ukraine. - February 23-26, 2016. - Pp. 128-131.
5. Dyvak, M. Criterion of design of experiments for tasks of decision support interval model creation / M. Dyvak, A. Pukas // Proceedings of the Third Workshop - 2005 IEEE Intelligent Data Acquisition and Advanced Computing Systems: Techology and Applications, IDAACS, 2005. - Pp. 495-497.
Надтшла до редакцп 15.09.2016р.
ОлийникИ.С. Усовершенствование алгоритма определения "насыщенного блока" в задаче параметрической идентификации интервальной системы линейных алгебраических уравнений
Решена задача верификации метода параметрической идентификации интервальной системы линейных алгебраических уравнений (ИСЛАР) для различных начальных условий, в частности, в зависимости от структуры и количества неизвестных параметров модели; проанализирован метод вычисления оценки решений интервальной системы линейных алгебраических уравнений путем замены всей системы "насыщенным блоком", сформированным из ее интервальных уравнений; усовершенствован алгоритм определения "насыщенного блока" в задаче параметрической идентификации интервальной системы линейных алгебраических уравнений путем нормирования погрешности измерения и показана эффективность такого совершенствования для ряда тестовых примеров.
Ключевые слова: интервальная система линейных алгебраических уравнений (ИСЛАР), редукция, эллипсоидная оценка, "насыщенный блок", "зашумлённый" интервал, абсолютная погрешность, относительная погрешность.
Oliynyk I.S. Improved Algorithm for Determining of "Saturated Block" in the Task of Parametric Identification Interval System of Linear Algebraic Equations
The work solved the problem of the verification of the method of parametric identification of interval system of linear algebraic equations (ISLAE) for different initial conditions, in particular depending on the structure and the number of unknown model parameters; analyzed method of calculating estimates of solutions of interval system of linear algebraic equations by replacing the whole system, "saturated block" formed from its interval equations; improved algorithm for determining the "saturated block" in the problem of parametric identification of interval system of linear algebraic equations by the normalization error of measurement and the efficiency of such improvement for a number of test cases.
Keywords: interval system of linear algebraic equations (ISLAE), reduction, ellipsoidal estimation, "saturated block", "noisy" interval, the absolute error, the relative error.
