Алгоритм ідентифікації дробово-експоненціальних ядер повзучості за експериментальними даними Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.94

АЛГОРИТМ 1ДЕНТИФ1КАЦН ДРОБОВО-ЕКСПОНЕНЦ1АЛЬНИХЯДЕР ПОВЗУЧОСТ1 ЗА ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИМИ ДАНИМИ

М.В. Левкович1'2

Розглянуто одновимiрнi математичнi моделi деформацiйно-релаксацiйних проце-сш у середовищах з фрактальною структурою, для яких характернi ефекти пам'яп, просторово'! нелокальностi та самооргашзацп. Враховуючи, що дробовi параметри фрактальних моделей дають змогу повнiше описувати деформацiйно-релаксацiйнi про-цеси порiвняно iз традицiйними методами, запропоновано оптимальний метод апрокси-мащ! - метод Прош. Цей метод дае змогу звести задачу вщшукання дробових парамет-рiв, якi входять у структуру ядер повзучост та релаксаци, до пошуку розв'язкiв систем лiнiйних рiвнянь.

Наведено алгоритм параметрично'! щентифжаци та визначено для моделей Максвелла, Фойгта та Кельвша дробово-експоненщальш ядра повзучост за експеримен-тальними даними.

Ключовг слова: похвдш дробового порядку, метод Пронi, ядра повзучост та ре-лаксацп, функцш Мiттаг-Леффлера.

Постановка задачг Одновимiрну математичну модель в'язко-пружного деформування у середовищах з фрактальною структурою можна записати за до-помогою iнтегрального рiвняння Больцмана-Вольтерра [3]

г

е(г ) = а& (г) +1 П(г - ,и)Оа&(г)dz, 0

г

а(г) = £&'(Г) +1Я (г - г,Т,и)Бв£(г) dz, (1)

о

де: г - час; а=а(Т,и),в = в(Т,и) - дробовi показники похщно!, залежнi вiд температури Т та вологовмкту и; е(г) - деформацiя; <у(г) - напруження; £0,а0 - значения деформаци та напруження вiдповiдно в початковий момент часу г0; О (г), О' (г) - функци залежш вiд часу г; П(г - г,Т,и), Я (г - г,Т,и) - ядра повзучост та релаксацii (функцii пам'ятi); Ба, Б^ - дробовi похiднi по змiннiй г з порядком вщповвдно а, в (0 < а, в < 1).

Загальний вигляд ядра повзучостi для дробово-диференщальних реоло-гiчних моделей матиме вигляд [8]

П(г ) = -Т г в-1Е^п (Ф), (2)

де: Е - модуль пружностц г - час; г = ц /Е (п - в'язкiсть); ЕГъГ2(ф) - функцiя Мiттаг-Леффлера; (щ = щ(а, в) щ2 = щ2 (а, в) ,ф = ф(г,а, в)).

Алгоритм апроксимаци з використанням методу Прош. Оскшьки для iдентифiкацii даних повзучост у роботi буде використано метод апроксимаци

1 асшр. М.В. Левкович - НЛТУ Украши, м. Льв1в;

2 наук. кер1вник: проф. Я.1. Соколовський, д-р техн. наук

Науковий вкник НЛТУ УкраУни. - 2016. - Вип. 26.1

npoHi, який спpaведливий для лiнiйноï комб^щи eKcnoHern,ianbHrn фyнкцiй [5], пpоведемо тaкi пеpетвоpення спiввiдношення (2).

Двопapaметpичнa фyнкцiя Мiттaг-Леффлеpa зaдaeться фоpмyлою [2]

Eae( t )=5 7ä+ß)

(3)

Вpaховyючи (3) тa вiдповiднi зaмiни, вигляд ядpa повзyчостi (2) пеpепишемо y тaкомy виглядi:

П( s ) = X Aie-

i=0

(4)

де a, = a, (a, ß), À = À (a, ß) - aмплiтyди тa покaзники, що зaлежнi вiд дpобових пapaметpiв a, ß, s = ln t, ( t = es ).

У po6o^ [4] зaзнaчено, що для функцш тaкого вигляду як П(s) icHye де-якa визнaченa лшшш зaлежнicть мiж ïï (n +1) piвновiддaленими знaченнями

£ с,П( s + ih ) = 0,

i=0

(5)

де: сi - шyкaнi поcтiйнi чиcлa (cn = 1) ; h - imepBan 4acy бiльше, тж мiж двомa поcлiдовними знaченнями. Оскшьки (4) e pозв'язком piвняння (5), то покaзники À можуть 6ути знaйденi зa допомогою тaкого методу [5].

Нехaй e~Àh = Ç, тодi для визнaчення кожно!' величини Ç потpiбно pозв'язaти am^p^n^ piвняння

C0 + X CrÇ = 0.

(б)

i=1

Для визнaчення с потpiбно pозв'язaти тaкy систему лшшних piвнянь: П*С0 + П2с1 +... + ППсП-1 + nn+1 = 0,

П2с0 + П3с1 +... + n*n+1Cn-1 + nn+2 = 0,

пПс0 + nn+1C1+... + n2n-1Cn-1 + n2n = 0,

(7)

де П*, П2,..., n2n - оpдинaти. Зшйшовши iз (б) n pозв'язкiв Ç = Ç,Ç2,...,Çn, може-мо зшйти покaзники À

À=

jni h

(8)

Для визшчення aмплiтyд A потpiбно визнaчити n оpдинaт -П*, П*2,. .., пП , a тaкож знaйти pозв'язок Ha^ynTOï системи лшшних piBram:

(9)

n

де: = е ЪН; —' = —-; (I = 1,п); 50 - початковий момент часу.

Ъ

Реалiзащя алгоритму за експериментальними даними. !дентифь куемо дробово-експоненцiальнi ядра повзучостi за такими експериментальними даними [9], що наведено в табл. 1.

Табл. 1. Експериментальт дат повзучостг

к Пк, мм к Пк, мм к Пк, мм к Пк, мм

1 2,2 7 2,82 13 2,93 19 0,88

2 2,31 8 2,85 14 2,94 20 0,86

3 2,61 9 2,87 15 1 21 0,84

4 2,68 10 2,9 16 0,9 22 0,79

5 2,73 11 2,91 17 0,85 23 0,77

6 2,75 12 2,93 18 0,87 24 0,74

Для визначення параметрiв а та в достатньо для кожно! реолопчно! моделi видiлити двi показниковi функцц, тобто спiввiдношення (4) розглянемо для випадку п = 2. Вщповвдно для пошуку показникiв Ъ потрiбно 2 п ординат. Для цього розiб'емо експериментальнi данi на 4 групи, у кожнiй просумувавши по шкть ординат. Внаслiдок обчислень отримаемо, що П* = 15,28; П2 = 17,28; Пз = 9,49; П*4 = 4,88. Система лiнiйних ршнянь (7) матиме такий вигляд:

|15,28со + 17,28с1 + 9,49 = 0,

{ 17,28с0 + 9,49с1 + 4,88 = 0. ( )

Звiдки с0 = 0,0373, с1 = -0,5822. Алгебра!чне р1вняння (6) матиме вигляд ¡2 - 0.5822^ + 0,0373 = 0, (11)

кореш якого доршнюють вщповвдно ¡1 = 0,5089, ¡2 = 0,0733.

Початковий момент часу зпдно з нашими експериментальними даними г0 = 103 (год) та крок At = 500 (год). Враховуючи ввдповвдну замiну змiнних, значения Н у формулi (8) буде дорiвнювати 37,2876.

Показники Ъ матимуть значення: Ъ = 0,0181; Ъ2 = 0,0701. Наведемо визначеш ядра повзучостi для дробово-диференцiальних моделей Максвелла, Фойгта та Кельвша [8]:

1 ' ава,Л

П м ^ ) = ^

в таtв-- + -

, г(в) г(в-а) , tв-

0 <а<в< 1, (12)

0 <а<в< 1, (13)

1 ( г в-а \

П? (t) = —в вЕв-ав ' 0 < а< в

t в-1 ( t в-а \

(t) = ^Е^-^. 0 <а< 1 0<в<1 (14)

Вiдповiдно для моделi Максвелла показники визначатимуться iз сшвввд-ношень:Ъ= 1 -в, Ъ = 1 + а-в. Звщки знайдемо, що дробово-диференцiальнi параметри дорiвнюють: а= 0,0520, в = 0,9819.

Науковий вкник НЛТУ Украши. - 2016. - Вип. 26.1

Використавши формулу (3), знайдемо показники Д, Д2 для моделей Фойгта та Кельвша, якi вiдповiдно матимуть вигляд: Д = 1 + а- 2ß, Д2 = 1 -ß ■ Дробово-диференшальш параметри матимуть значення: а = 0,8779, ß = 0,9299.

Параметри а та ß, що описують ядра повзучосп, е функцiонально за-лежш вiд вологостi та температури середовища. Наведенi експериментальнi да-нi повзучост дослiджено за температури T = 23°C, вологостi U = 65% та модуля пружност E = 13800МШ ■

У виразах, що описують ядра повзучостi, невщомим залишаеться ще параметр т, (т = п / E), де п - в'язюсть. Знайдемо його ввдшукавши амплiтуди Л, ■ Для цього розв'яжемо систему лшшних рiвнянь (9):

Знайшовши А = 19,2008 та А2 = -3,9208, за 50 = 6,9078 отримаемо таю значення ампл^уд: А1 = 0,3938, А2 = -0,4460.

Оскшьки А2 не входить в область значень ампл^уди, то значення параметра т знайдемо iз А1, (А1 = т~в/ЕГ(в)). Для моделей Максвелла та Фойгта параметр тмгР = 0,155 • 10-3, для Кельвша - тк = 0,975 ■ 10-2.

Висновок. Враховуючи двопараметричну функцда Мтаг-Леффлера та вiдповiднi замiни, загальний вигляд вихвдно! задачi зведений до стандартного вигляду лiнiйноi комбшацп експоненцiйних функцш, що дае змогу використати метод Прош Iдеитифiковано параметри дробово-диференцiального типу для математичних моделей в'язко-пружного деформування Максвелла, Кельвiна та Фойгта за експериментальними кривими ядер повзучостi. При апроксимацп па-раметрiв враховано та проаналiзовано властивостi дробових показникiв а, в для кожно! математично! моделi деформування у в'язкопружних фрактальних середовищах, а також iншi умови, що повинш бути виконанi в разi застосуван-ня описаного вище методу Прош.

Отримаш результати можуть бути використаш для подальшого досль дження математичних моделей процесiв в'язко-пружного деформування та теп-ломасоперенесення у середовищах iз фрактальною структурою.

1. Podlubny I. Fractional Differential Equations / I. Podlubny. - Vol. 198 of Mathematics in Science and Engineering, Academic Press, San Diego, Calif, USA, 1999. - 340 s.

2. Васильев ВВ. Дробное исчисление и аппроксимационные методы в моделировании динамических систем / ВВ. Васильев, Л. А. Симак. - К. : Изд-во НАН Украины, 2008. - 256 с.

3. Победря Б.Е. Модели линейной теории вязко-упругости / Б.Е. Победря // МТТ : сб. науч. тр. - 2005. - № 6. - С. 121-134.

4. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа / К. Ланцош. - М. : Изд-во ГИФМЛ, 1961. - 524 с.

5. Хрисанов Н.Н Интегральный метод апроксимации экспериментальных данных экспоненциальными функциями / НН. Хрисанов // Вестник Самарского государственного технического ун-та : сб. науч. тр. - Сер.: Физ.-мат. науки. - 2001. - Вып. 12. - С. 195-199.

(15)

де: p = e

-0,6749

, Р2 = e

-2,6139

Лiтература

6. Сергиенко М.П. Применение метода Прони для идентификации переходных характеристик средств измерительной техники колебательного типа / М.П. Сергиенко // Системи обробки шформаци. - 2011. - Вип. 6 (96). - С. 102-106.

7. Шиманський В.М. Апроксимацiя експериментальних даних повзучостi деревини з вико-ристанням дробово-експонендiального оператора / В.М. Шиманський // Науковий вюник НЛТУ Украши : зб. наук.-техн. праць. - Львш : РВВ НЛТУ Украши. - 2015. - Вип. 25.1. - С. 397-402.

8. Соколовський Я.1. Математичне моделювання деформацiйно-релаксацiйних процесш з використанням похiдних дробового порядку / Я.1. Соколовський, М.В. Москвiтiна // Вюник На-цюнального унiверситету "Львiвська полiтехнiка". - Сер.: Комп'ютерш науки та iнформацiйнi технолоп!'. - Львш : Вид-во НУ "Львшськаполггехнжа". - 2015. - № 826. - С. 175-184.

9. Tong Liu. Creep of wood under a large span of loads in constant and varying environments / Liu Tong // Pt. 1: Experimental observations and analysis // Holz als Roh- und Werkstoff. - 1993. -Vol. 51. - Pp. 400-405.

Надклано до редакщ! 22.02.2016 р.

Левкович М.В. Алгоритм идентификации дробно-экспоненциальных ядер ползучести по экспериментальным данным

Рассмотрены одномерные математические модели деформационно-релаксационных процессов в средах с фрактальной структурой, для которых характерны эффекты памяти, пространственной нелокальности и самоорганизации. Учитывая, что дробные параметры фрактальных моделей позволяют полнее описывать деформационно-релаксационные процессы по сравнению с традиционными методами, предложен оптимальный метод аппроксимации - метод Прони. Этот метод позволяет свести задачу отыскания дробных параметров, входящих в структуру ядер ползучести и релаксации, к поиску решений систем линейных уравнений.

Приведен алгоритм параметрической идентификации и определены для моделей Максвелла, Фойгта и Кельвина дробно-экспоненциальные ядра ползучести по экспериментальным данным.

Ключевые слова: производные дробного порядка, метод Прони, ядра ползучести и релаксации, функция Миттаг-Леффлера.

Levkovych M. V. The Algorithm of Identification of Fractional Exponential Creep Cores on Experimental Data

One-dimensional mathematical models for deformation and relaxation processes in environments with fractal structure, which are characterized by memory effect, spatial nonloca-lity and self-organization, are studied. Considering the fractional parameters of fractal models allow describing the deformation and relaxation processes in comparison with traditional methods, the work presents the best approximation method such as a Prone method. This method reduces the problem of finding fractional parameters that are included in the structure of creep cores and relaxation, to finding solutions of systems of linear equations. The algorithm of parametric identification and identified for models of Maxwell, Voigt and Kelvin, fractional exponential creep cores on experimental data is suggested.

Keywords: derivatives of fractional order, Prone method, creep and relaxation core, Mittag-Leffler function.