CC BY
13
5. ШФОРМАЦШЙИШ ТЕХНОЛОГИ
ГАЛУЗ1
УДК 004.94:674.047 Проф. Я.1. Соколовський, д-р техн. наук;
асист. О.В. Мокрицька - НЛТУ Украти, м. Львiв
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ В'ЯЗКОПРУЖНОГО ДЕФОРМУВАННЯ КАП1ЛЯРНО-ПОРИСТИХ МАТЕР1АЛ1В
У рамках мехашки гетерогенних середовищ синтезовано математичну модель напружено-деформiвного стану деревини як трифазно! системи, що складасться з твердо! (деревно! речовини), рщко! i паропов^ряно! фаз. Визначальнi стввщношен-ня дають змогу описувати пружш, в'язкопружнi, залишковi деформацп, а також деформацп, зумовленi механiзмом мехашко-сорбцшно! повзучостi.
Актуальнiсть проблеми. Математичне моделювання реолопчно! по-ведшки коло!дних капшярно-пористих матер1ал1в мае базуватися на враху-ванш особливостей !х анатом1чно! та структурно! будов. Представником ка-пшярно-пористих матер1ал1в е деревина з "непостшною" полжапшярною структурою кштинних стшок, як характеризуються значною питомою повер-хнею. Вщомо, що нав1ть незначна змша вологоеп для значень, що е менши-ми вщ границ пгроскошчносл, ютотно впливае на мехашчну поведшку деревини. Змша температурно-волопсних умов та напружено-деформ1вного стану зумовлюе перетворення складно! капшярно-пористо! структури дерев-них клггин, пов'язаних з особливостями руху вологи у систем! капшяр1в { по-рожнин (пор). Порожнини кшток е макрокапшярами, а капшяри кшткових оболонок - мжрокапшярами. Сам матер1ал стшок деревно! кштини е також складним пол1мерним комплексом. Зволоження деревини зумовлюе збшь-шення розм1р1в капшяр1в. 1х максимальна величина спостершалася для зна-чення вологост1, що е близьким до границ! насичення кштинних стшок. У процес! десорбци "непостшш" кап!ляри у кл!тинних ст!нках не тшьки спо-рожнюються, але й постшно звужуються до майже !х повного зникнення (в абсолютно сухому стан!). Шляхи перемщення пгроскошчно! вологи можуть проходити по суцшьних мжрокапшярах у кл!тинн!й ст!нц! у вигляд! р!дини ! пари, а також у мжрокапшярах через порожнини кшток мембрани окаймле-них пор у вигляд! пари та у макрокапшярах в порожнинах кшток ! мжрокаш-лярах у кл!тинних оболонках.
Тому актуальна побудова математично! модел! реолопчно! повед!нки деревини залежно в!д змши температури ! вологост! у рамках мехашки гете-рофазних систем [12, 15] з врахуванням особливостей капшярно-пористо! бу-дови та багатофазност!. Такий же шдхщ використано у [10] для моделювання процесу пресування деревини.
Побудова математичноТ модель В основу синтезу модел! покладемо припущення, що деревина е трифазною системою, що складаеться з деревного скелету (деревно! речовини), сорб1ровано! р!дини, яка частково заповнюе ка-п!ляри ! пори, що знаходиться у порожнинах. Кожна з фаз займае вщповщну
4acra^ зaгaльнoгo (гeoмeтричнoгo) o6'eMy кaпiлярнo-пoриcтoгo тiлa, чeрeз якi зa нaявнocтi вiдпoвiдниx тeрмoдинaмiчниx cил (грaдieнтiв пeрeнeceння) здiйcнюютьcя ^o^OT тeплoмacoпeрeнeceння. Bнacлiдoк cклaднoï таперш!' етруктури дeрeвини, якa xaрaктeризyeтьcя рiзнoю вeличинoю i нeoднaкoвoю гeoмeтричнoю фoрмoю eлeмeнтiв, визнaчити дiйcнi гeoмeтричнi рoзмiри rani-лярiв e прaктичнo нeмoжливo. ^му кaпiлярнi мoдeлi нaдiляютьcя пeвними гeoмeтричними влacтивocтями, якi вiдiгрaють знaчнy рoль y прoцeci мoдeлю-вaння нeрeгyлярнoï пoриcтoï cтрyктyри. Пeрexiд вiд on^y явищ в oкрeмiй фa-зi дo кoнтинyaльниx рiвнянь кaпiлярнo-пoриcтoгo мaтeрiaлy мoжe бути oтри-мaний m ocнoвi oб,eмнoгo yceрeднeння мiкрoрiвнiв для мaкрocкoпiчниx пaрa-мeтрiв кoжнoï фaзи [12, 9]. Тoмy нaдaлi приймaютьcя тaкi припyщeння.
Biльнa вoлoгa рoзпoдiляeтьcя y cиcтeмi мaкрoкaпiлярiв, i зв,язaнa y cиcтeмi мiкрoкaпiлярiв. Cиcтeмa мaкрoкaпiлярiв дeрeвини мoдeлюeтьcя рiз-ними aнaтoмiчними eлeмeнтaми для xвoйниx i лиетянж пoрiд. Зoкрeмa, зa дaними дocлiджeнь [1, 4], мaкcимaльнi eфeктивнi дiaмeтри oтвoрiв y мeмбрa-nax тор ялини cтaнoвлять вiд 0,000063 дo 0,000174 мм, тoбтo вiд 63 нм дo 174 нм, a для чeрвoнoгo кeдрa - вщ 11 нм дo 23 нм. Отвoри з тaкими вeличи-шми e дocтaтнi для пeрeмiщeння виcoкoдиcпeрcниx кoлoïдниx рoзчинiв.
Bмicт aнaтoмiчниx eлeмeнтiв y дeрeвинi дeякиx xвoйниx i лиетянт пoрiд icтoтнo зaлeжить вщ бyдoви пiзньoï i рaнньoï зoн дeрeвини, нaпрямiв aнiзoтрoпiï [S, 20]. Зoкрeмa, для cocни нaявнicть трaxeïдiв y пiзнix i рaннix зo-нax дeрeвини вiдпoвiднo cтaнoвить 20-30 % i 55-65 %, ceрцeвинниx прoмe-нiв - 12 %, вeртикaльниx xoрд - 4 %, a ^рист^ть cтaнoвить 6S,6 %. Bмicт aнaтoмiчниx eлeмeнтiв для дeякиx лиcтяниx пoрiд нaвeдeнo y тaбл.
Табл. Вм'шт aHamoMÍ4Hux елемент'ш для деякихлистяних nopid
Пoрoдa Cocy- ди, % Дeрeвнi вoлoкнa Дeрeви-та пeрe-xiднa, % Ceрцe-винт прoмe-ш, % Пoриc- тicть,%
Cocyднi ^axe-1ди, % Boлoкoн-m трaxe-1ди, % Boлoкниc-тa гiдрo-фoбриc-тшть, %
Бeрeзa 20-30 12 7 39 2 10-20 59,5
Дуб 25 5 2S 15 2 25 57,2
Cиcтeмa "нeпocтшниx" мiкрoкaпiлярiв oпиcyeтьcя cyкyпнicтю пaрa-лeльниx кaпiлярiв рiзниx рaдiyciв y клiтинниx cтiнкax дeрeвини. Фyнкцiя рoз-пoдiлy кaпiлярiв зa рaдiycaми кoрeлювaлacя з вимiрювaними рiзними мeтoдa-ми функщями рoзпoдiлy пoр зa eфeктивними рaдiycaми [1, 3]. Еквiвaлeнтний рaдiyc визнaчaeтьcя з yмoви вiдпoвiднocтi мoдeлi дo кoнкрeтниx фiзичниx e^ cпeримeнтiв. Ha рдоунку пoкaзaнo зaлeжнicть eфeктивнoгo рaдiyca re вiд вo-лoгocтi y гiгрocкoпiчнiй oблacтi, oтримaнy зa рeзyльтaтaми aнaлiзy тa a^o^ cимaцiï тaкиx дaниx.
Пicля прийнятиx припyщeнь rn^o кaпiлярнo-пoриcтoï cтрyктyри ne-рeйдeмo дo мoдeлювaння мexaнiзмy дeфoрмyвaння дeрeвини.
Зaпишeмo пoвний тeнзoр нaпрyжeнь для гeтeрoгeннoгo ceрeдoвищa akl y виглядi cyми oceрeднeниx нaпрyжeнь y фaзax
ak = ат (ok)T + ар (аР)р + an {*ti)n, (1)
де: (ак) =— Г Ссу, (ар1) =— Г ар^'У, 1акП) =— Г акм'У ,
ст = dУт|dУ; ср = сур[су; сп = dУп|dУ - об'емш концентраци твердо! (т), рщ-ко! (р) i парогазово! (п) фаз; Ут, Ур, Уп - вiдповiднi !х об'еми; штрихом (') позначенi усередненi параметри у границях мжрооб'ему С'У << У3; верхш ш-декси, зокрема к i 1 позначають компоненти тензора напружень.
Рис. Залежшсть ефективного радууса розподту пор у деревиш вiд вологостi
Для випадку малих деформацш елементарного мжрооб'ему можна за-писати сшввщношення Кошi щодо деформацiй для деревно! речовини (твердо! фази)
.. д( ИТ) дЫ)
2еТ + ЛИТ.; . = 12; (2)
Т дхг дх. '
де (ИТТ\ ~ усередненi змiщення деревно! речовини.
Приймаемо сталою величиною густину деревно! речовини. Тодi мож-на записати, що
еТк-в% = 1 ; к = 1,2,3, (3)
ат о
де 80, а0 - компоненти деформацi! та об'емна концентращя у початковий момент часу.
Для моделювання приймемо, що деформацi! твердо! фази 8 склада-
ються з деформацш деревно! речовини .. 1 фiктивних деформацiй , якi
зумовлюють перебудову капiлярно-пористо! системи. Зпдно з [12, 10], мож-на записати
=
. - 2\< *)т а +< иг)г а 1-а (+ИП )+а (+И^т .ю
2ату /рт 2ат
де: 8рТ = с^рУсу , ^п = ; п3 - зовнiшня вiдносно твердо! фази нор-
маль до мiжфазно! поверхш; сзрт , сзгт , Spт, Sfт — плошд поверхонь та пи-томi поверхш роздшу фаз.
Для побудови тензора фжтивних напружень, що вiдповiдае тензору фжтивних деформацiй , скористаемось прийнятими фiзичними допущен-
нями rn^o cтрyктyрнoï бyдoви дeрeвини. Бaзyючиcь та дaниx тaбл. 1, мoжнa рoзглядaти дeрeвинy як ceрeдoвищe з пoдвiйнoю пoриcтicтю. Твeрдa фaзa з cиcтeмoю нeпocтiйниx кaпiлярiв cтaнoвить мaтрицю мaтeрiaлy. Дo cиcтeми мiкрoпoр, нaприклaд лиетянж пoрiд, мoжнa вiднecти зoкрeмa cocyди, вoлoк-нa лiбрифoрми, ceрцeвиннi прoмeнi. Для xвoйниx пoрiд вклaдeнe пoриcтe ce-рeдoвищe мoдeлюeтьcя мiкрoкaпiлярaми y клiтинниx cтiнкax.
Haдaлi cкoриcтaeмocь мeтoдaми дocлiджeння тaкиx cиcтeм [12, 15, 10,
5, 13]. Зoкрeмa швш yceрeднeнi нaпрyжeння aiJ прeдcтaвимo y виглядi
а = (1 - смк){аКс)кс + смк {аМк)Мк, (5)
дe: (аКс)кс, {аМ(к)Мк ~ yceрeднeнi кoмпoнeнти нaпрyжeнь y клiтинниx етш-кax i мaкрoпoрax, смк - oб,eмний вмicт тор y дeрeвинi. Beличини (а'Кс)кс зaпишeмo aнaлoгiчнo
{*Кс)кс =(1 -ск){аТ)т + скаак , (6)
дe: (g^к ~ yceрeднeнi нaпрyжeння y кaпiлярax клiтинниx cтiнoк; ск -
06,eмний вмicт пoр y клiтинниx crirnax.
Для визнaчeння питoмиx вклaдiв тeплoмacoпeрeнeceння y кoжнiй фaзi ввaжaтимeмo, шр зaгaльнa гeoмeтричнa пoвeрxня (пoпeрeчний пeрeтин) вoлo-гoï дeрeвини дoрiвнюe cyмi пoвeрxoнь (пoпeрeчниx пeрeтинiв) твeрдoï, рад^' i пaрoпoвiтрянoï фaз. Причoмy пoвeрxня твeрдoï фaзи e вeличинa CTana, a no-вeрxнi рiдкoï i пaрoпoвiтрянoï фaз змiнюютьcя зaлeжнo вoлoгoвмicтy дeрeви-ни. Зoкрeмa пoвeрxня рiдкoï фaзи зi збiльшeнням вoлoгoвмicтy зрocтae, a no-вeрxня пaрoпoвiтрянoï фaзи вiдпoвiднo змeншyeтьcя.
Пoзнaчимo oб,eмний вмют рiдкoï i пaрoпoвiтрянoï фaз y мaкрoпoрax чeрeз aM'(К i aПк i кaпiлярax - ap i a¡[ . Тoдi
(а'Мк)Мк = aМк (a'p) p + aMК (а'п) n ; (аК) к =aPp а к +an Ц) П ; (7)
aMК +aMR = ^ alp +aR = 1-Приймaeмo, шo cyбcтaнцiя y пaрoпoвiтрянiй фaзi e iдeaльним гaзoм, a в,язкicть рiдкoï фaзи врaxoвyeтьcя тiльки y мiжфaзниx взaeмoдiяx. Ц дae змoгy врaxyвaти лишe oб,eмнy чacтинy тeнзoрa нaпрyжeнь, тoбтo
(ap)p = -ppSj; (аП) n =-pnSlJ, (S)
дe: рР, рП - вeличини тиcкy y рiдкiй i пaрoпoвiтрянiй фaзax; 8iJ - oдинич-ний тeнзoр.
Оcкiльки нa пoвeрxнi кoнтaктy рiдкoï i пaрoпoвiтрянoï фaз виникae рiзниця тиcкiв, зyмoвлeнa cилoю пoвeрxнeвoгo нaтягy, тo вeличинa рР мoжe бути прeдcтaвлeнa y виглядi cyми
Рр = Pn + ркт, (9)
де ркт - величина капiлярного тиску, що залежить вiд вологостi деревини.
Зазвичай для знаходження рк.т може використовуватись формула Авер'янова [16]. Згiдно з [7, 14], величина рк.т може бути також визначена, як середнш капшярний тиск рiдини у порах капшярно-пористого тiла. Каш-лярний тиск для цилшдричних капiлярiв радiуса г обчислюеться за формулою Лапласа ркт = 2а(т)/г, а = 0,07564(1 -0,02т). Тодi об'ем рiдко! фази у
капiлярах визначаеться залежшстю СУ (г) = в( г)х(г )пг 2/у (г) Сг , де х( г) - се-редня довжина капiлярiв, в(г) - доля об'ему капiлярiв, заповнених рщкою фазою, /у (г) - диференцшна функцiя заповнення пор за об'емом. Середне значення капшярного тиску визначаеться за формулою
гтах /гшах 7с( т\
ркт = 2а(Т) } в(г)х(г)г/у(г)Сг } в(г)х(г)г2/у (г)Сг ««Д (Ю)
гшт / ^Шт
. . ... * де гШт, гтах - мiнiмальнi i максимальнi радiуси капiлярних пор, г - параметр
дисперсност розмiрiв пор (гШт < г * < гшах). Величина г* визначаеться на основi експериментальних даних функци розподiлiв об'емiв пор за розмiрами [1, 21].
Залежно вiд розмiрiв капiлярiв, перенесення у рiдкiй фазi може здiйснюватися не тiльки дифузшним потоком пари, але й потоком, що переноситься так званим плiвковим мехашзмом пiд дiею градiента розклинюваль-ного тиску. Згiдно з [1, 11], плiвковий механiзм необхщно враховувати у ви-падку г < 50 мм i величини вщносного тиску пари, що е бшьшою за 0,96. Тов-щина полiмолекулярно! плiвки И у капiлярi над менiском зменшуеться за залежшстю, що може бути визначена за величинами розклинювального тиску, температури i вологовмюту матерiалу. Для оцшки вкладу плiвкового мехашз-му може бути використано, зокрема, рiвняння Дерягша-Нершна
д2Уу дРрск дРкт . в
" —ЕТ-™5111 в
де: р, г/ - густина i в'язкiсть рiдини, Ррск - величина розклинювального тиску, уу - швидщстъ руху рiдини по осi у, g - прискорення сили тяжшня, в -кут нахилу осi у до горизонту.
Для перенесення вологи у газовш фазi у порах, вшьних вiд рiдко! фази необхiдно враховувати, що залежно вщ розмiрiв пор змшюються фiзичнi зако-номiрностi перемщення маси у капiлярах. Зокрема, наявшсть у газовiй фазi градiента парщального тиску зумовлюе кнудсенiвський механiзм (дифузш пари). У порах, радiус яких г перевищуе довжину вшьного пробiгу молекул, теп-ломасоперенесення у паровш фазi описуеться дифузiею i теплопровiднiстю.
Згiдно з [12, 6], запишемо тензор фiктивних напружень капшярно-по-ристого середовища з врахуванням макропор у виглядi
= ( - смк ){{а'Кс)кс-ШМк) • (11)
Аналогiчно (11), запишемо фiктивний тензор напружень аф, що вщ-повiдае фiктивному тензору деформацш у (4) (другий, третiй i четвертий до-данки) i характеризуе змщення твердо! фази
а
амкф
аф = )1 - ск))(а!)т-J ). (12)
Bрaxoвyючи (5)-(7), з (12) мoжнa oтримaти cпiввiднoшeння для визш-чeння фiктивнoгo тeнзoрa нaпрyжeнь
аФ = —1— - )смкарк + alp )- смк))))!> ~)смкамк + aK )l- смк))))П}•(13)
1 смк
Рoзглянeмo чacткoвi випaдки cпiввiднoшeння (13). Для випaдкy шяв-^ctí пaрoвoï фaзи y мaкрoпoрax ( a^К ^ 0, ap ^ 0 ) мaeмo
)l - смк)аф = aiJ - смк (ар} ~{а'п)П • Якшo кaпiляри зaпoвнeнi лишe рiдкoю
фaзoю (aмК ^ 0, an ^ 0), з (13) oтримаeмo аф = à -(a'iM)p ■
Дeрeвинa й дeрeвнi мaтeрiaли нaлeжaть дo клacy фiзичнo-нeлiнiйниx, нeoднoрiдниx й aнiзoтрoпниx пoлiмeрiв, якi cклaдaютьcя з виcoкoмoлeкyляр-ниx cпoлyк i xaрaктeризyютьcя виcoкoю гiдрoфiльнicтю тa знaчнoю мшливю-тю фiзикo-мexaнiчниx влacтивocтeй.
Haйвaжливiшe мю^ y cклaдi дeрeвини з точки зoрy нaдмoлeкyлярнo-гo мexaнiзмy дeфoрмyвaння дeрeвини зaймaють цeлюлoзa тa л^нш. Boни яв-ляють coбoю пoлiмeри, мoлeкyли якиx cклaдaютьcя iз з^ч^го чиcлa aтoм-ниx лaнoк, з^дтанж xiмiчними зв,язкaми з лaнцюгoм рiзнoï дoвжини [3]. Як-ШO мiж aтoмaми лaнцюгiв icнyють мiцнi xiмiчнi зв'язки, тo мiж лaнцюгaми мiжмoлeкyлярнi зв'язки e cлaбшими. Caмe цим пoяcнюeтьcя мaлoрyxoмicть мoлeкyл пoлiмeрiв для звичaйниx тeмпeрaтyр. Тoмy нa нaдмoлeкyлярнoмy рiвнi рyx мaкрoмoлeкyл (eлeмeнтiв) y дeрeвинi зyмoвлюeтьcя рyxoм oднieï групи мoлeкyл вiднocнo iншoï. 3a тaкиx oбcтaвин прyжнicть дeрeвини пoв'язyeтьcя з дeфoрмaцieю вaлeнтниx кyтiв i зв'язюв мiж aтoмaми. Збiльшeн-ня вiдxилeння вeличин дoвжин зв'язкiв i вaлeнтниx кyтiв вiд дeякиx фiкcoвa-нж знaчeнь cyпрoвoджyютьcя зaтрaтaми дoдaткoвoï eнeргiï. Цe cвoeю чeр-гoю зyмoвлюe пoявлeння зoни тeкyчocтi й мoжливoгo рyйнyвaння мaтeрiaлy. 3 мoлeкyлярнoï точки зoрy виникнeння eлacтичнoï дeфoрмaцiï зyмoвлюeтьcя змiнoю фoрми мaкрoмoлeкyл, a caмe випрямлeнням згoрнyтиx гнyчкиx лaнoк тд впливoм зoвнiшньoï cили (згoрнyтa фoрмa гнyчкoï лaнки мoлeкyл вщшвь дae рiвнoвaжнoмy cтaнy). Мoжливicть змiни фoрми мaкрoмoлeкyл oбгрyнтo-вyютьcя нaявнicтю вть^го oбeртaння oкрeмиx груп вiднocнo вaлeнтниx зв'язкiв y лaнкax пoлiмeрa зa yмoви збeрeжeння дoвжин циx зв'язюв i вaлeн-тниx кyтiв. Оотшьки yci лaнки лaнцюгa e xiмiчнo зв'язaнi, тo ïx пeрeмiшeння пoвeртaeтьcя дo пoчaткoвoгo cтaнy. Мaбyть, шявшеть гнyчкocтi лaнцюгoвиx мaкрoмoлeкyл, ïx здaтнicть дo знaчниx дeфoрмaцiй зyмoвлюють oбeрнeнicть виcoкoeлacтичниx дeфoрмaцiй пicля рoзвaнтaжeння.
Bиникнeння рyxy вcieï мaкрoмoлeкyли вcyпeрeч мiжмoлeкyлярнiй взaeмoдiï пoтрeбye нaявнocтi eнeргiï, яга e бiльшoю зa eнeргiю cyмaрнoï взaeмoдiï. Ane тaкa взaeмoдiя oбyмoвлюe рyйнyвaння caмиx мoлeкyл. Оcкiльки тeкyчicть мoжe xaрaктeризyвaти пoчaтoк рyйнyвaння дeрeвини, тo для дeрeви-ни вoнa пoв'язyeтьcя з пeрeгрyпyвaнням oкрeмиx лaнoк лaнцюгa, змeншeнням мiжмoлeкyлярнoï взaeмoдiï лaнцюгiв i збiльшeнням ïx рyxoмocтi i мoжливo, рoзривoм пoпeрeчниx зв'язкiв мaкрoмoлeкyл. Отжe, y дeфoрмoвaнiй дeрeвинi,
поряд з випрямлюванням ланцюпв та змiною !х форми, проходить також i вщ-носна змiна ланцюгiв та поступовий розрив мiжмолекулярних зв'язкiв•
У процес деформування специфiчнi властивостi деревини зумовлю-ють змiну капiлярно-парово! структури матерiалу i полiв масоперенесення. Для моделювання напружено-деформiвного стану деревини у твердш фазi прийнято модель спадкових середовищ [17, 18], яка вщображае пружш, в'яз-ко-пружнi та залишковi деформаци. Окрiм цих деформацiй, експерименталь-т дослiдження [2] свiдчать про наявшсть у деревинi деформацiй мехашко-сорбцшно! повзучостi, пов'язано! залежнiстю процесу деформування не лише вщ змiни (градiента) вологостi, але й вiд швидкост змiни вологостi• Вщно-шення мехашко-сорбцшно! деформацi! емс до пружно! е пропорцшною ве-
личинi Еи(г), де 5 визначаеться сшввщношенням 5 = |т(и.
0 дт
Величина емс е найбшьшою у деревинi пгроскотчно! вологостi i пос-тупово спадае зi зменшенням тако! вологостi• З шшого боку, всихання при-поверхневих зон деревини зумовлюе збшьшення мехашко-сорбцшних дефор-мацiй всерединi матерiалу• Тобто емс визначаеться одночасно взаемодiею мехашчного навантаження i швидкостi змiни вологость Окрiм цього, величина емс не е iнварiантом для мехашчного навантаження, зокрема для розтягу i стискання у напрямах ашзотропи. Таю вислщи вказують на складнiсть меха-нiзму механiко-сорбцiйно! повзучостi•
Отже, зв'язок мiж компонентами напружень а(т~) i деформацiй е(т)
для моделювання реолопчно! поведiнки у твердiй фазi (деревному скелет^ в тензорнiй формi запишемо у виглядi
(от(т))т = С[(еТ (т))т-{е'и (т))т -т(^]-4Я(.т)(((т))т -{«¥ (т))гУ (14)
де: С - тензор компонент пружност деревно! речовини; еи - вектор дефор-мацiй, зумовлений всиханням деревини; Я (г,т) - тензор ядра релаксаци, за
допомогою яких визначаеться реолопчна поведiнка деревини; т - тензор ме-ханiко-сорбцiйних коефiцiентiв•
Аналопчно (14), зв'язок мiж тензорами ф^ивних напружень твердо! фа-зи i фiктивних деформацiй також описуеться рiвнянням спадкових середовищ
/ т л
аф = Сф
(15)
еф +1 Яф (г,т)е$о1т
0
де Сф, Яф - фштивт тензори пружност та ядер релаксацi! твердо! фази.
Таким чином, сшввщношення (1-4, 14, 15) з врахуванням (11-13) опи-сують деформацшно-релаксацшш процеси у деревиш з врахуванням багато-фазно! структури
«у (т) = (Бт + Амк)а1] + (Бтап + Амкп)Рп^] + (Бтар + Амкп)Рр^] +
т
+!(((к (т + Амк кф (т)а + ( Бтк (г,т)ап + (16)
0 ди
+Амк кф (г,т)ух) рп8И + ( Бт к (г, т)ар + Амк кф (г,т)/2 ) Рр&] ) Сг - т-Г - «
Тут введено таю позначення: DT = П/аТ ; АМК = Пф/(1 - сМК); П = смк (аМк -аК) + аК Y2 = смк (аМк — аП) + а£ ; П - тензор миттевих подат-
ливостей, який визначаеться з (14) за допомогою тензора С; Пф - фжтивний тензор шддатливост^ що визначаеться з (15) за допомогою тензора пружнос-тi Сф; К(t,z) i Кф(t,z) - вiдповiдно тензори повзучост для визначення ре-
олопчно! поведiнки деревно! речовини, що визначаються тензорами релакса-ци R(t,r), Яф(t,r) з (14) i (15) за вщомими методиками залежно вiд конкретного виду ядер релаксаци; в - коефщенти тензора всихання.
Функци реолопчно! поведiнки деревини у (16) К(t,r), Кф(t,r) виби-раються у виглядi
К (t,T) = do + jtdjj exp Г^М-Т), (17)
n=1 V TP J
де коефiцiенти d0, dj, fiij i tp - час релаксаци визначаеться шляхом апрокси-мацп експериментальних даних деформацш повзучостi [20, 3, 19].
Математична модель визначення в'язко-пружного стану деревини як ка-пiлярно-пористого, багатофазного тша охоплюе рiвняння рiвноваги механiки гетерогенних середовищ [12, 15]. Зокрема, для двовимiрного випадку маемо:
д(СТ ЫХт) , д(СТ Ы)т) + рт dCL + Q12 = 0;
Эх ду дх (18)
д(стт) , д(стЫ)т) + ртЪ + q22 = 0, дх ду ду
де рт = —3(ыт)т , Qu, Q2,2 - складовi потокiв масоперенесення у рiдкiй i газо-
подiбнiй фазах деревини.
Таким чином, сшввщношення (3, 4, 10, 14, 16-18) формулюють мате-матичну модель дослщження в'язко-пружного деформування деревини як трифазно! системи у рамках мехашки гетерогенних систем.
Л1тература
1. John F. Sian. Wood: influence of moisture on physical properties / F. John. - Virginia, 1995. - 227 p.
2. Raufa-Mannus A. An analysis of the state of stress of timfev caund by moisture gradent /
A. Raufa-Mannus, M.Korfenman // IUFRO Timfev Engineering Meeting, 1988. - 113-116 p.
3. Rodic J. Mechanics of Wood and Composites / J. Rodic, A. Jayne // Van Nostraind Reinhold. - New-York, 1982. - 712 p.
4. Stamm A.S. Wood and ceillulose science. Ronald / A.S. Stamm. - New-York, 1960. - 549 p.
5. Берендлат Г.И. Методы нестационарной фильтрации жидкости и газа / Г.И. Берен-длат, В.М. Рыжик. - М., 1972. - 236 с.
6. Буевич Ю.А. ИФИС / Ю.А. Буевич, 1983. - Т. 45, № 4. - С. 593-600.
7. Бурак Я. До математичного моделювання процесу сушшня пористих тш / Я. Бурак,
B. Кондрат, Б. Гайвась // 1нформативно-математичне моделювання складних систеМ.-Л. : Вид-во "Спайн", 2002-153-159 с.
8. В1нтон1в I. Деревинознавство / I. Вштошв, I. Сопушинський, А. Тайшшгер. - Львiв : Вид-во НЛТУ Украши. - 2005. - 236 с.
9. Гринчик Н.Н. Процессы переноса в пористых средах, электролитах и мембранах / Н.Н. Гринчик. - М. : Ин-т тепло- и массообмена АН Беларуси, 1991. - 251 с.
10. Дорняк О.Р. Математическое моделирование, компьютерная оптимизация технологий, параметров оборудования и систем лесного комплекса / О.Р. Дорняк // Межвузовский сборник научых трудов ВГЛТА. - Воронеж, 2001. - С. 132-139.
11. Лыков А.В. Теория сушки / А.В. Лыков. - М.-Л. : Изд-во "Энергия", 1968. - 472 с.
12. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред / Р.И. Нигматулин. - М. : Изд-во "Наука", 1978. - 336 с.
13. Никитенко Н.И. Теория тепломассопереноса / Н.И. Никитенко. - К. : Вид-во "Наук. думка", 1983. - 352 с.
14. Никитенко Н.И. Математическое моделирование динамики процесса обезвоживания слоя диспергированного коллоидного капиллярно-пористого материала / Н.И. Никитенко, Ю.Ф. Снежкин, Н.Н. Сороковая // Промышленная техника, 2006. - Т. 28, № 3. - С. 28-37.
15. Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред / В.Н. Николаевский. - М. : Изд-во "Недра", 1984. - 232 с.
16. Полубарина-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод / П.Я. Полубарина-Ко-чина. - М., 1977. - 324 с.
17. Соколовський Я.1. Взаемозв'язок деформацшно-релаксацшних i тепломасообмш-них процеав у капшярно-пористих тшах / Я.1. Соколовський // Доповщ НАН Украши. - Сер.: Практична мехашка, 1998. - № 9. - С. 76-80 с.
18. Соколовский Я.И. Моделирование деформационно-релаксационных процессов в древесине во время сушки / Я.И. Соколовский, М.В. Дендюк, Б.П. Поберейко // Лесной журнал : Известия ВУЗ России, 2007. - № 1. - С. 75-83.
19. Соколовський Я.1. Методика та результати експериментальних дослщжень реоло-пчно! поведшки деревини / Я.1. Соколовський, И.В. Андрашек // Науковий вюник УкрДЛТУ : зб. наук. -техн. праць. - Львiв : Вид-во УкрДЛТУ. - 1999. - Вип. 9.13. - С. 15-26.
20. Уголев Б.Н. Древесиноведение и лесное товароведение / Б.Н. Уголев. - М. : Изд-во "Лесн. пром-сть", 2002. - 260 с.
21. Чудинов Б.С. Вода в древесине / Б.С. Чудинов. - М. : Изд-во "Наука", 1984. - 270 с.
Соколовский Я.И., Мокрицкая О.В. Математическая модель вязко-упругого деформирования капиллярно-пористых материалов
В рамках механики гетерогенных сред синтезирована математическая модель напружено-деформирующего состояния древесины как трехфазной системы, которая состоит из твердой (древесного вещества), жидкой и паровоздушной фаз. Определяющие соотношения дают возможность описывать упругие, вязкоупругие, остаточные деформации, а также деформации, предопределенные механизмом механико-сорбционной ползучести.
Sokolovskyy Ya.I., Mokrytska O.V. Mathematical model of viscous-elastic deformation of capillary-porous materials
Within the framework of mechanics of heterogeneous environments the mathematical model of the stress-strained state of wood is synthesized as a three-phase system which consists of hard (arboreal matter), liquid and steam-aerial phases. Qualificatory correlations allow to describe resilient, viscous-elastic, residual deformations, and also deformations, predefined by the mechanism of mechanics-sioption creep.
УДК 519.865.7: 681.5.023 Доц. О.1. Досяк, канд. екон. наук -
Львiвський Д1НТУ м. В'ячеслава Чорновола
МЕТОДИКА РОЗРОБЛЕННЯ МУЛЬТИВАР1АНТНИХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ СИСТЕМ П1ДТРИМКИ ПРИЙНЯТТЯ ОПТИМАЛЬНИХ Р1ШЕНЬ (СППОР) У МЕНЕДЖМЕНТ
Розглянуто методику розроблення мультиварiантних моделей для систем тд-тримки прийняття оптимальних ршень (СППОР) в менеджмента Мультиварiантнi
