Визначення компонентів тензора дисипації деревини Текст научной статьи по специальности «Математика»

5. ШФОРМАЦШШ ТЕХНОЛОГИ ГАЛУЗ1

УДК 634.0.812 Проф. Б.П. Поберейко, д-р техн. наук - НЛТУ Украти, м. Ль^в ВИЗНАЧЕННЯ КОМПОНЕНТ1В ТЕНЗОРА ДИСИПАЦН ДЕРЕВИНИ

З використанням закону збереження мехашчно! енергй деформування суцшьних середовищ побудовано математичну модель зв'язку потужност сил дисипацй з напру-жено-деформiвним станом у деформованих в'язкопружних анiзотропних матерiалах. Виведено аналiтичнi формули для розрахунку головних компонентiв тензора дисипацй деревини. Проведено аналiз отриманих формул i на його основi показано, що для ix практично! ре^зацй достатньо визначити ядро повзучост деревини.

Ключовi слова: тензор дисипацй, ядро повзучосп, напруження, деформацй.

В 0CH0Bi розв'язання цieí задачi покладемо закон збереження повно! ме-хашчно! енергй: повна механiчна енергiя композитних матерiалiв не залежить вiд часу деформування, ii значения на початковому та завершальному етапах розвитку деформацш повзучостi е ршними. Цей закон е очевидним. Вiн обгрун-товуеться вiдсутнiстю втрат повно! механiчноí енергй' у в'язкопружнш областi деформування. Через ввдсутнкть втрат величина цiеí енергп у кiлькiсному ви-раженнi е сталою, незмiнною, а в яккному - вона змiнюеться, ii кшетична скла-дова з розвитком процесш повзучостi перетворюеться у потенцiальну складову.

Форм^зуемо цей закон. Для цього повну питому механiчну енергда позначимо символом Емех, тодi матимемо

limЕмех (?) = lim Емех (?). (1)

Або, оскiльки на початку деформування значення Емех (0) величини Емех дорiвиюе сумi значень питомо! потенщально! П (0) та питомо! шнетично! КеИ (0) енергш матерiальних точок суцшьного середовища матерiалу, а на момент часу t ® ¥

Емех (?)?®¥= П (?)?®¥ , (2)

то Кен (0)= П(?)|?®¥- П(0) . (3)

Подамо (3) у розгорнутш формi запису. Для цього скористаемося такими положеннями:

• процеси розс1яння (перетворення) кшетично! енергй' матер1альних точок суцшьного середовища у потенщальну визначаються силами дисипацй';

• питома потужтсть сил дисипацй' описуеться квадратичною функщею [1, 2]:

Рис (?) = I ; (4)

i, j,k,m d? d?

• перетворена у питому потенщальну питома кшетична енерпя дор1внюе робота

сил дисипацй', ii значення визначаемо за формулою

?

Кен (?) = |Рдис (?) dt ; (5)

0

5. !нформацшш технологи raay3i

323

Нащональний лкотехшчний унiверситет Украши

• питома потенщальна енерг1я не залежить вщ часу деформування матерiалу, '11 значения е залежними лише вiд взаемного розмщення точок суцiльного сере-довища та сил 1х взаемодп. З огляду на роботи [3]:

П(т) = |. (6)

2 V

Тод^ пiдставивши (4) у (5), а отриманий результат та формулу (6) у (3), матиме-мо тотожшсть

I ^(е(г)1®¥-е(0)), (7)

1,^,к,т 0 йТ йТ 21,]

яка дае змогу обчислити значения компоненпв щт iз часткових випадкiв нап-ружено-деформшного стану матерiалу - одновiсного розтягу (або стиску) та чистого зсуву.

Методику розрахунку компоненпв тензора в'язкосп щт розглянемо на приклада плоского напружено-деформiвного стану.

Покладемо, що а33 = 01з = а23 = а12 = 0, тодi з (7) одержимо закон збере-ження енергií для в'язкопружних матерiалiв з плоским напруженим станом

2 2 7*111 И ¿Т + 7^1122 ^ е1Т+ 1^2222 ^ ¿Т = (8)

0 V ¿Т ) 0 йТ йТ 0 V ¿Т )

= |Це11 (т)|т®¥-£11 (0))+ 2^22(е22(т)Т®¥-е22(0)) .

Для обчислення значень компонентiв ч]1111 i ч]2222 тензора в'язкостi вихо-дитимемо iз часткових випадкiв плоского напружено-деформiвного стану - од-новiсних сташв розтягу (або стиску) в радiальному та тангентальному напрям-ках ашзотропп, у напрямках, якi надалi позначатимемо iндексами 1 i 2 (або ш-дексами г 1 1).

У випадку одновкного розтягу (стиску) в напрямку 1 значення компо-нентiв а22, а12 та е22, е12 тензора напружень та тензора деформацш вiдповiдно дорiвнюють нулевi. За цих умов деформування закон збереження енергií (8) мае вигляд

11 —1 йт = ^ац (е„(т)| -е„ (0)). (9)

1^11 {^т] йт=2ап (еи(т)1т®¥-е11(0)).

Винесемо сталий множник з шд знаку iнтегралу та подшимо отримане ршняння на означений штеграл квадрату швидкостi змiни деформацш. Внасль док одержимо формулу

аи (еп(т)| ® -еи (0)) 41111 = 1 Л ¥ 2——, (10)

(йетт)-

яка, на перший погляд, е абсурдною. У такiй формi подання вона не узго-джуеться з фiзичною iнтерпретацiею реономних властивостей матерiалу. Коефь

324 Збiрник науково-техшчних праць

ц1ент дисипацц е характеристикою в'язкост1 суц1льного середовища, в1н не за-лежить в1д його напружено-деформ1вного стану, в1д значень величини о11, а от-же, вщ вплив1в навколишнього середовища [2]. Щоб усунути цю неузгодже-нкть, покажемо, що др1б у правш частиш формули (10) не залежить в1д ои. Для цього доповнимо (10) ввдомими залежностями деформацш повзучосп вщ напружень [4]:

£ (г) = 0и 1+1 ки (г-х) ах

Е

и V

(11)

де Ки (г-х) - ядро повзучосп для рад1ального та тангентального напрямкш аш-зотропп деревини. Тод1, шсля нескладних математичних перетворень, матиме-мо формулу

Гг \ Г г

0,,

Нш

Пш ='

Еп г®

I кии(г-х)ах

V о

Еп Иш

г®¥

I кии(г-х)ах

Щ. I гки(г-х)ах | ат 2|Vгкц(г-х)ах | аг

Е2 ; аг}

сио V о

а

(12)

яка адекватно характеризуе (штерпретуе) в'язккть матер1ал1в з реономними властивостями. З 11 анал1зу випкае, що для розрахунку коефщента в'язкосп достатньою е шформащя про функцюнальний вигляд та параметри ядра повзу-чост1, про так зваш паспортш характеристики в'язкопружних матер1ал1в вздовж основних напрямкш ашзотропи.

Компоненту /122 знайдемо з умов двовкного розтягу-стиску [3]:

011 =-022;012 = 0. (13)

За такого деформування закон збереження енерги (8) описуватимемо р1внянням

2 2

1ш11 аг+1^1122 £ £аг+/222 (£1 аг = 0 V аг) о аг аг о V аг)

= \<и(£1 (г)|г®¥-е11( 0))-2 011 ( е22 (г)|г®¥-е22 (0)) ,

а шукану компоненту визначатимемо за формулою

я Ч ( (£

//11 22 =---+

007 7

С и £ц и £22 1

I--г

0 аг аг

, 0"(£11 (г)1г®¥-£11(0))-011 (£22(г)1®¥-£22(0))

(14)

(15)

2? £ а£22аг п аг аг

Шдставимо у (15) залежшсть (11). Оскшьки, з огляду на (11),

г

0

0

\

2

2

Г

г

г

Г

5. !нформацшш технологи галул

325

Нацюнальний лкотехшчний ун1верситет Украши

е11 (Т)|т®¥ - е11 (0) = ?1ип I Кш (т - х)йх

Ешш т®¥ 0

411111 — $Ки(т-х)йх I йт

то

щ1122 =

Е11 0 V й10

^ ( й 1 || й 1 | — |К11 (т-х)йх I — |К22(т-х)йх йт 0Vйт0 Йт

V й10

(16)

(17)

42222 ^1 — | К22 (1-х) йх | йТ __Е22 0 Vйт о_

| —|К11(т-х)йх | —|К22(т-х)йх йт

0 V йт 0 А йт 0

Е22 11т |К11(т-х)йх + Е1111т |К22(т-х)йх

т®¥ 0 т®¥ 0

¥ ( й т й т 1

2| — |К11(т-х)йх — |К22(т-х)йх йт 0 V йт 0 г1т

^ йт0

Замiнимо у (17) компоненти тензора дисипацп механiчноí енергií на (12). Внаслщок отримаемо

Е22 1гт |К11 (т-х)йх + Е1111т |К22(т-х)йх

т_* т_*

Ц1122 =

¥ й т И й т

2| — | К11(т-х) йх — |К22 (т-х) йх

0 V йт 0 А йт 0

(18)

йт

Е22 11т |К11(т-х)йх + Е1111т |К22(т-х)йх

т®¥ 0_ т®¥ 0__

¥ { й т ^ { й т "

2| — | К11(т-х) йх — | К22 (т-х) йх —т

0 V йт 0 А йт 0

- = 0.

Отже, щоб визначити значення компонентов щш, необидно: 1) задатися ядром повзучостц 2) провести реологiчнi випробовування матерiалу на повзу-чiсть вздовж основних напрямюв анiзотропií i на 1х основi визначити параметри ядра повзучосп (миттевий i тривалий модулi пружностi та час релаксацií де-формацiй повзучостi вздовж основних напрямюв ашзотропп); 3) пiдставити знайденi ядра повзучосп у формули (12), (15), (18) та обчислити значення величин ЩШ .

Лггература

1. Писаренко Г.С. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии / Г.С. Писаренко, А. А. Лебедев. - К. : Вид-во "Наук. думка", 1986. - 416 с.

2. Победря Б.Е. Модели линейной теории вязкоупругости / Б.Е. Победря // Известия РАН. МТТ. - 2003. - № 3. - С. 120-134.

3. Ярцев В.П. Прогнозирование прочности, долговечности и термостойкости нагруженных в постоянном режиме древесных плит / В.П. Ярцев, О.В. Киселева // Известия ВУЗов. - Сер.: Строительство. - 2002. - № 1-2. - С. 141-144.

326

Зб1рник науково-техшчних праць

Т

0

0

4. Поберейко Б.П. 1дентифжащя напружено-деформгвного стану деревини i3 змшним воло-говмютом : автореф. дис. на здобуття наук. ступеня канд. техн. наук: спец. 05.05.07 - Машини та процеси лiсiвничого комплексу / Б.П. Поберейко / УкрДЛТУ. - Львгв, 2000. - 17 с.

Поберейко Б.П. Определение компонентов тензора диссипации древесины

В работе с использованием закона сохранения механической энергии деформирования сплошных сред построена математическая модель связи мощности сил диссипации с напряжонно-деформированным состоянием в деформированных вязкопружных анизотропных материалах. Выведены аналитические формулы для расчета главных компонентов тензора диссипации древесины. Проведен анализ полученных формул и на его основе показано, что для их практической реализации достаточно определить ядро ползучести древесины.

Ключевые слова: тензор диссипации, ядро ползучести, напряжение деформации.

Pobereyko B.P. Determination of components of tensor of dissipation of

wood

With the use of law of conservation of mechanical energy of deformation of continuous environments the mathematical model of connection of power of forces of dissipation is built with the tensely-deformed consisting of the deformed viscidly-resilient anisotropic materials. Analytical formulas are shown out for the calculation of main components of tensor of dissipation of wood. The analysis of the got formulas is conducted it is rotined on his basis, that for their practical realization it is enough to define the kernel of creep of wood.

Keywords: tensor of dissipation, kernel of creep, tension, deformation.

УДК330.44:519.2 Доц. Р.Б. Матковський, канд. екон. наук;

доц. Ю.С. Хомош, канд. екон. наук -Дрогобицький ДПУ ¡м. 1вана Франка

ВИКОРИСТАННЯ BVAR МОДЕЛЕЙ ДЛЯ ПРОГНОЗУВАННЯ ОСНОВНИХ МАКРОЕКОНОМ1ЧНИХ ПОКАЗНИК1В РОЗВИТКУ ЕКОНОМ1КИ УКРА1НИ

Здшснено моделювання на основi використання Баеивського шдходу до оцшки параметрiв векторно! авторегресп iз використанням рiзних priors. Часовi ряди охоплю-вали перюд 2001Q1-2010Q4 i охоплювали таю змшш: ВВП, шдекс споживчих цш кра-!ни, обмшний курс грн/дол США, ргвень безробтя населения, номинальна довготермь нова вщсоткова ставка, цши на газ i нафту. Здшснений щ^вняльний аналiз засвщчив, що кращ результати отримано моделi BVAR(2) iз Мiнесота prior.

Ключовi слова: Баесгвсью векторнi авторегресiйнi моделi (BVAR), ланцюг Маркова Монте-Карло, натуральш спряженi prior, iнформативнi prior, нешформативш prior.

Постановка проблеми. Проблеми прогнозування економiки Украши не втрачають свое!' актуальностi i е лопчною основою коригування економiчноí полiтики та розроблення стратегiй розвитку на рiзних часових горизонтах. Проблема загострюеться у випадку до^дження та моделювання мультизмш-них часових рядiв. Це спричинило, що на противагу "традицiйнiй" економетрп, останнiми роками дедалi популярнiшою стае Баеавська економетрiя, яка трак-туе параметри моделi як iмовiрнi змшш.

Аналiз останнiх дослщжень та публжацш. Грунтовний теоретичний i прикладний огляд Баеавських методiв можна знайти у багатьох науковщв, зок-рема у Банбури та ш [3], Гарратта та ш. [5], Джорджа та ш. [6], Кеннi та ш.

5. Iнформацiйнi технологи raay3i

327