Апроксимація експериментальних даних повзучості деревини з використанням дробово-експоненціального оператора Текст научной статьи по специальности «Математика»

Тригобюк С.С. Модель оценки момента принятия стратегических управленческих решений на малых и средних предприятиях

Рассмотрены проблемы стратегического планирования на малых и средних предприятиях. Предложено использовать систему стратегического планирования для стратегического управления предприятия. Приведена мультипликативная модель расчета импульса предприятия, которое позволит идентифицировать самый оптимальный момент принятия стратегических управленческих решений относительно выбора вида стратегического управления и целесообразность перехода к внедрению системы стратегического планирования. Импульс учитывает потенциал предприятия, динамику сектора и переломные изменения макросреды.

Ключевые слова: система стратегического планирования, импульс предприятия, потенциал предприятия, динамика сектора, малый и средний бизнес.

Tryhob'yuk S.S. The Evaluation Model for the Moment of Taking Strategic Management Decisions at Small and Medium-sized Enterprises

Some problems of strategic planning at small and medium-sized enterprises are described. The use of a system of strategic planning for the long-term management of such enterprises is offered. The research has resulted in development of a multiplicative model of calculation of the enterprise impulse that helps identify the most optimal moment for taking strategic management decisions. This model is based on the analysis of the enterprise potential, dynamics of its business sector and important changes in its macro-environment and it also proves the expediency of implementation of the system of strategic planning at small and medium-sized enterprises.

Key words: strategic planning system, momentum effect, enterprises potential, business sector dynamics, small and medium-sized enterprises.

УДК 621.39 Ст. викл. В.М. Шиманський, магктр - НЛТУ Украти, м. Львiв

АПРОКСИМАЦ1Я ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ ДАНИХ ПОВЗУЧОСТ1 ДЕРЕВИНИ З ВИКОРИСТАННЯМ ДРОБОВО-ЕКСПОНЕНЩАЛЬНОГО

ОПЕРАТОРА

На сьогодш актуальною е наукова задача створення адекватних математичних моделей розподшу деформацшно-релаксацшних та температурно-волопсних шшв у про-цеа сушшня деревини. З'ясовано, що виршення ще! проблеми ускладнюеться тим, що цей матерiал характеризуемся високою пдрофобшстю, значною мiнливiстю структури фiзико-механiчних властивостей у напрямках ашзотропп. Середовища, що характеризуются такими властивостями, називають середовищами з фрактальною структурою. Та-кож для цих фiзичних систем ютотш тага властивосп, як: "пам'ять", складна природа просторових кореляцш та ефекти самооргашзацп. Це вимагае залучення нетрадицшних пiдходiв, заснованих на застосуванш математичного апарату штегро-диференцшвання дробового порядку.

Встановлено, що використання математичних моделей неможливе без визначення параметрiв р1внянъ, що й описують. Для спадкових моделей в'язко-пружност цi пара-метри входять у структуру ядер повзучост та релаксаци, що визначаються шляхом ап-роксимацп експериментальних даних.

Ключовi слова: оператор Работнова, ядра повзучост та релаксацп, похiдна дробового порядку, в'язко-пружшсть.

Постановка задачi. Математична модель розподшу температурно-воло-гiсних полiв у катлярно-пористих матерiалах з фрактальною структурою опи-суеться системою диференцiальних рiвнянь у частинних похiдних з дробовим порядком [1, 2, 6]:

Э"Т . Э2Т . Э2Т даи

ср-= 1—- +1-- + ер0г-

Эт" ЭХ!2 ЭХ22 Эт"

Эаи

д2и д2и

д2Т

. д2Т

(!)

= + а2+ + а2°Т 2

дт

Эх1

' эх-

Эх2

Эх2

i вiдповiдними початковими умовами

|'Т 1=0 = Т0(Х) И т=0 = ио(х)

та граничними умовами 3-го роду

(2)

дп

-ЭТ а¡о — дп

+ 0о(1 ~е)Р(и\х=1Г иР ) = "(Т1=_1~ /с) = Ь(ир - их,=1,)

+а

Эи

дп

(3)

ЭТ

дп

= о

Х=0

~ЭТ

аоо — Эп

+ а.

Эи

Эп

(4)

= 0

х, =0

де: и - вологовмкт; Т - температура; т - час; ЦТ,и) - коефщкнти теплопро-ввдностц а (Г,и) - коефщкнти вологопровiдностi; п - зовшшня нормаль; ир(ф - ршноважний вологовмiст, що е функцieю вщ температури середови-ща гс та вiдносноí вологостi зовнiшнього середовища ф; с(Т,и) - питома теп-лоемнiсть; /ри) - густина; р0 - базисна густина; е - коефiцiент фазового переходу; V - швидккть руху агента сушiння; г - питома теплота пароутворення; "(гс,п) - коефщкнти теплообмiну; Ь(/с,ф,п) - коефщкнт вологообмiну; 0(Т,и) - термоградiентний коефiцiент; а - дробовий порядок пох1дно1 (харак-теризуе частку каналiв, вiдкритих для протiкання).

Замша реальних тал íх iдеалiзованими моделями грунтуеться на тому фактi, що здебшьшого деякi властивостi тiл виявляються найбiльш чiтко. Тодi можна, вщкидаючи все неiстотне, побудувати iдеальну модель, якш притаманнi саме цi домiнуючi характеристики реальних тiл. Зокрема, беручи до уваги тшь-ки властивоста пружностi та в'язкостi, можна побудувати простiшi реологiчнi моделi, якi використовуються у дослiдженнях з теорií в'язко-пружноста. Вони утворюються шляхом послiдовного або паралельного з'еднання пружного еле-мента, в основi якого лежить закон Гука, та в'язкого, в основi якого - закон в'яз-коста Ньютона.

Побудованi таким чином простiшi моделi не будуть враховувати таи властивоста матерiалу, як: "пам'ять", складна природа просторових кореляцiй та ефекти самооргашзацц, що е характерними для деревини. Тому пропонуемо для запису закону в'язкоста Ньютона використовувати математичний апарат штег-ро-диференцдавання дробового порядку [4, 5], який дасть змогу врахувати заз-

начеш вище властивостi цього матерiалу. Для моделювання напружено-дефор-мiвного стану деревини у процес сушiння знайдемо компоненти вектора пере-мiщень и = («1, «2)Т, який задовольняе рiвняння рiвноваги [1, 6, 7]:

Бты = 0. (5)

Граничнi умови, що враховують симетричнiсть областi задачу е такими:

(6)

Ч=о = 0;

Ы1=,= 0.

Тут введенi позначення: ы = (^11,а22,а12)т - вектор компонент напружень, Б -матриця диференщальних операторiв:

Бт =

д 0 д

дх1 дх2

0 д д

дх2 дх1

(7)

перемiщеннями та вектором

деформацш

(8)

Спiввiдношення мiж е = (£11,£22,£12)т записуемо так:

е = Би.

Зв'язок мiж компонентами деформацш i напружень можна записати за допомогою iнтегральних ршнянь:

е(г) = ыЫ-) +—| П(г, гЫ(г^га; Ыг) = Ее® + Е\Щ, г)е(г)^га, (9)

Е Е о о

де: П(г,г) - ядро повзучостi, Я(г,г) - ядро релаксацп.

Для визначення критерiíв вибору ядер необхщно враховувати особли-востi реолопчно1 поведанки деревини й той факт, що цей матерiал мае фрак-тальну структуру. Виходячи з проведених ранiше дослiджень [1, 4], вибираемо ядро повзучосп деревини у виглядi

П(То, г) = П1(То -г) + П 2(г - То) =

I а

-г)

I ау 'а (Ъ^,То -г) .1=0

(10)

де 'а (Аг) - дробово-експоненщальний оператор Работнова [4].

Ядро релаксацп (11) е резольвентою ядра повзучосп (10) i його можна визначити так:

Я = ад, г) = АОЪ - г) + Я2(г - Т()) =

^П,Еа(АЛ -Г)

.1=0

Ъъ-ЕаЬуЛ -г)

1=0

(11)

Обчислимо стешнь фрактальностi а деревини, опрацювавши експери-ментальнi данi п повзучостi за рiзних значень температури та вологовмiсту. Функцда повзучостi визначимо у виглядi (10) лiнiйноí комбшацл дробово-ек-споненщальних операторiв Работнова.

Отримаш результати. Використовуючи метод найменших квадратш, наведемо обчислений степiнь фрактальностi а шляхом апроксимацп вiдомих експериментальних даних повзучосп деревини [3, 8]. Функцда повзучостi вибе-ремо у виглядi (10). Проаналiзувавши графiчнi залежностi на рис. 1, приходимо 5. !нформацшш технологи галузi 399

+

1=0

+

до висновку, що степiнь фрактальностi а залежить вiд температури та вологов-мкту. Цей зв'язок можна описати таким чином: iз зб1льшенням температури або вологовмкту степiнь фрактальностi матерiалу зменшуеться, тобто стае ближчою до 1. Температура, своею чергою, мае бшьший вплив, н1ж вологовмiст.

Стетнь фрактальносл сосни Степжь фрактальносп берези

Зазначеш вище породи деревини у порядку вщ "м'якшоГ до "твердшоГ можна упорядкувати таким чином: сосна, береза, дуб. Беручи до уваги твердеть порщ деревини та даш iз рис. 1, можна прийти до висновку, що для "м'яких" порвд степiнь фрактальностi е вищим, нiж для "твердих" порiд. На рис. 2 зображено експериментальш даш повзучосп сосни та 11 апроксиманту у виглядi (10).

♦ ♦ ♦ ♦ ♦ * ♦ ♦ ♦

/ '

/

♦ Експерименталь ж дат -Апроксиманта

—.......................... Час (хв.)

* ^ £ <£ ЧС?> ^ ^ ^ ^ ^ ^

Рис. 2. Апроксиманта експериментальних даних повзучостi сосни

Максимальне за модулем вдаилення наближених значень ввд експери-ментальних не перевищуе 3 %. Звдеи, можна зробити висновок, що вибiр ап-роксиманти у виглядi лiнiйноí комбiнацií операторiв Работнова е ефективним iнструментом апроксимацií експериментальних даних повзучостi деревини.

Висновок. Отже, розглянуто математичну модель в'язко-пружного де-формування у процесi сушiння деревини. Для опису ще!" моделi використано математичний апарат iнтегро-диференцiювання дробового порядку. Запропоно-вано визначати ядра повзучосп та релаксацп у виглядi лшшно!' комбiнацií дро-бово-експоненцiального оператора Работнова та функцш Мiттаг-Леффлера вщ-поввдно. Шляхом апроксимацп експериментальних даних повзучосп, визначено степiнь фрактальностi деревини. Також встановлено його залежнкть вiд темпе-ратури, вологовмiсту та твердостi породи.

Лггература

1. Sokolowskyi Yaroslav. Mathematical Modelling of Non-Isothermal Moisture Transfer and Rheological Behavior in Cappilary-Porous Materials with Fractal Structure During Drying. Computer and Information Science / Yaroslav Sokolowskyi, Volodymyr Shymanskyi // Published by Canadian Center of Science and Education. - 2014. - Vol. 7, No. 4. - Pp. 111-123.

2. Бейбалаев В.Д. Математические модели неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой : автореф. дисс. на соискание учен. степени канд. физ.-мат. наук / В.Д. Бейбалаев. - Махачкала, 2009. - 18 с.

3. Поберейко Б.П. Методика визначення параметрш кривих повзучост деревини / Б.П. По-берейко // Науковий вюник УкрДЛТУ : зб. наук.-техн. праць. - Львш : Вид-во УкрДЛТУ. - 1998. - Вип. 8.1. - С. 232-236.

4. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел : монография / ЮН. Работнов. - М. : Изд-во "Наука", 1977. - 384 с.

5. Самко С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, А. А. Килбас, О.И. Маричев. - Минск : Изд-во "Наука и техника", 1987. - 688 с.

6. Соколовський Я. Математична модель тепловологоперенесення та напружено-деформ1в-ного стану у капшярно-пористих матер1алах 1з фрактальною структурою / Я. Соколовський, В. Шиманський // Ф1зико-математичне моделювання та шформацшш технологи : зб. наук. праць. -2012. - Вип. 16. - С. 133-142.

7. Соколовський Я.1. Моделювання нелшшннх тепломасообмшних процеив у висушува-нш деревиш методом скшченннх елеменпв / Я.1. Соколовський, А.В. Бакалець // Вюник Национального ушверситету "Льв]вська полггехнжа". - Сер.: Комп'ютерш науки та шформацшш технологй'. - Льв1в : Вид-во НУ "Льв1вська полггехнжа". - 2005. - Вип. 543. - С. 129-134.

8. Соколовський Я.1. Результати експериментальних дослщжень обернено! повзучост та складових деформацш деревини впоперек волокон / Я.1. Соколовський, М.В. Дендюк // Жсове господарство, люова, паперова i деревообробна промислов1сть : м1жвщомч. наук.-техн. зб. -Львш : Вид-во УкрДЛТУ. - 2002. - Вип. 27. - С. 73-77.

Шиманский В.М. Аппроксимация экспериментальных данных ползучести древесины с использованием дробно-экспоненциального оператора

На сегодня актуальна научная задача создания адекватных математических моделей распределения деформационно-релаксационных и температурно-влажностных полей в процессе сушки древесины. Установлено, что решение этой проблемы осложняется тем, что этот материал обладает высокой гидрофобностью, значительной изменчивостью структуры физико-механических свойств в направлениях анизотропии. Среды, характеризуемые такими свойствами, называют средами с фрактальной структурой. Также для этих физических систем существенны такие свойства, как: "память", сложная природа пространственных корреляций и эффекты самоорганизации. Это требует привлечения нетрадиционных подходов, основанных на применении математического аппарата интегро-дифференцирования дробного порядка.

Установлено, что использование математических моделей невозможно без определения параметров уравнений, описывающих ее. Для наследственных моделей вязко-упругости эти параметры входят в структуру ядер ползучести и релаксации, что определяются путем аппроксимации экспериментальных данных.

Ключевые слова: оператор Работнова, ядра ползучести и релаксации, производная дробного порядка, вязко-упругость.

Shymanskyi V.M. Approximation of the Experimental Data of Wood Creep Using Fractional Exponential Operator

Nowadays there is an urgent research problem of creating adequate mathematical models of distribution deformation-relaxation and temperature-humidity fields in drying wood. The solution of this problem is complicated by the fact that materials are characterized by high hydrophobicity, great variability of physical and mechanical properties of its structure in the directions of anisotropy. Environments characterized by such properties are called environments with fractal structure. Such properties as "memory", the complex nature of spatial correlations and the effects of self-organization are also typical for those physical systems. It requires for implementing non-traditional methods based on the use of mathematical tools of differential equations of fractional order. Mathematical models using is impossible without determining the parameters of equations describing it. For hereditary visco-elastic models those parameters are included into the structure of creep and relaxation cores which are determined by approximation of experimental data.

Key words: Rabotnov's operator, creep and relaxation core, the derivative of fractional order, visco-elasticity.