Многокритерильная оптимизация систем управления пучками частиц Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 10. 2010. Вып. 1

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 517.938 А. А. Чернышев

МНОГОКРИТЕРИЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ПУЧКАМИ ЧАСТИЦ

1. Введение. В настоящее время большое место в науке и технике занимают фокусирующие системы, формирующие на мишени пучок размером менее микрометра (вплоть до нанометров), называемые микро- и нано-зонды. Их специфика такова, что их конструирование обязательно должно включать этап теоретического исследования возможных вариантов подобных систем. Дело в том, что «доводка» уже построенных систем (юстировка) не приводит к существенным улучшениям характеристик и приходится модернизировать эти системы путем добавления новых элементов, что существенно удорожает установку. Традиционный процесс проектирования и настройки для таких систем, как микро- и нанозонды, с целью обеспечения желаемых свойств не является прямым. Поэтому процесс поиска оптимальных параметров ускорительной установки должен сопровождаться тщательным изучением структур, которые устраивают физика-экспериментатора, и может разделяться на следующие этапы:

I. Построение базовой модели:

о построение иерархической последовательности критериев оптимальности структуры на основе работающих систем; о выписывание и классификация оптимизационных параметров и воздействий, т. е.

формирование вектора управляющих параметров и управляющих функций; о формализация физико-математической модели установки с учетом возможностей физиков-экспериментаторов.

II. Исследование построенных моделей, параметров, функционалов критерия качества:

о настройка линейной модели, результатом которой является набор локальных оп-тимумов для выбранного семейства критериев качества; о «отбраковка» решений, которые не устраивают исследователя по ряду дополнительных критериев, в качестве которых могут выступать удовлетворение допускам, возможность реализации и прочие; о подключение в рамках линейной модели дополнительных эффектов, например таких как краевые поля, собственный заряд и т. п.;

о учет нелинейных эффектов с целью последовательной «отбраковки» найденных на предыдущих этапах локальных минимумов.

Чернышев Андрей Александрович — аспирант кафедры компьютерного моделирования и многопроцессорных систем факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: проф. С. Н. Андрианов. Количество опубликованных работ: 3. Научные направления: ускорительная физика, компьютерное моделирование, оптимизация. E-mail: andr.chernyshev@gmail.com.

© А.А. Чернышев, 2010

В результате выполнения данного перечня действий исследователь получает конечный набор приемлемых решений, из которых уже конечный «заказчик» осуществляет выбор на основе дополнительных слабо формализуемых критериев, таких как стоимость, технологические ограничения реализации данных решений.

Исходя из вышесказанного, вытекает многокритериальность задачи. При этом многие из входящих критериев являются противоборствующими друг другу и автоматически возникает проблема учета антагонизма с помощью весовых коэффициентов, показателей или каким-либо иным способом.

В настоящей работе рассматривается описанная выше идеология на примере микро-и нанозондов (см. [1]).

2. Физические основы. Среди большого семейства систем управления пучками частиц особое место занимают ионно-оптические системы, к которым, в частности, относятся микро- и нанозонды. Под ионно-оптической системой будем понимать систему, предназначенную для перевода пучка ионов из одной части пространства в другую (транспортировка), в которой основное внимание уделяется фокусировке (формированию поперечных фазовых характеристик пучка).

Источник |

и____!_______________-!_!

Система Фокусирующая система диафрагм

Рис. 1. Пример структуры зондоформирующей системы

На рис. 1 представлен пример нанозонда. В качестве управления в подобного рода установках выступают создаваемые линзами поля, а также расстояния между линзами, длины линз, расстояние от объектива до мишени, предрасстояние. Следует заметить, что часть параметров фиксируется на этапе изготовления установки, а часть может варьироваться в процессе настройки системы (как для ее перенастройки на другой режим, так и при юстировке).

Физические управления можно разделить на две категории:

-управляющие параметры (длины, расстояния, характеристики диафрагм);

-управляющие функции (функции, описывающие распределение поля вдоль оптической оси системы).

Однако часто, выбирая управляющие функции в некотором классе (например, кусочно-постоянных), можно перейти от управляющих функций к управляющим параметрам элементов системы.

При проектировании данного вида установок необходимо учитывать комплекс функционалов качества и ограничений:

1. Критерии, определяющие характер фокусировки.

2. Апертурные ограничения.

3. Дополнительные ограничения (например, фиксирование расстояния между линзами).

4. Светимость установки.

-о

Мишень

Существуют различные подходы к методологии формирования данных функционалов и учета ограничений. Дело в том, что в некоторых случаях «выгодно» учитывать то или иное ограничение как составляющую функционала, а в других - включать его в список ограничений в виде равенств или неравенств.

Критерии, определяющие характер фокусировки. Это основной критерий для ионно-оптических систем. Для нанозондов, где необходимы выходные размеры пучка на мишени порядка нескольких нанометров, требования к коэффициенту сжатия пучка могут достигать І00 раз и более.

Подходы к определению того, что понимать под размерами пучка на мишени, различны, в связи с чем возникают разные функционалы качества. На рис. 2 представлены некоторые из этих подходов. Рассмотрим данные подходы и выпишем формальную запись функционалов.

1. В качестве функционала, определяющего размер пучка на мишени, может выступать окружность наименьшего радиуса, содержащая в себе проекцию фазового портрета пучка на плоскость осей координат. В этом случае задача фокусировки может быть сформулирована следующим образом: найти inf sup д/х2 + у2, где Л4 - это

uEU м

проекция фазового портрета пучка на плоскость осей координат, U - множество допустимых управлений.

2. Площадь, занимаемая пучком на мишени: найти inf S(x, y), где S(x, y) - площадь проекции фазового порт-

uEU

рета пучка на плоскость осей координат. Рис. 2. Примеры различных

3. Наибольшее отклонение одной из координат проек- критериев фокусировки

ции фазового портрета пучка: найти inf max(sup x, sup y).

uGA м M

Возможны случаи, когда отклонение одной из координат менее критично, чем другой, т. е. сечение пучка может иметь продолговатую форму. В данном случае в выписанный критерий следует ввести соответствующий весовой коэффициент.

Апертурные ограничения. Естественным ограничением ионно-оптических систем является апертурное, вид которого определяется строением системы.

1. Для вакуумной трубы прямоугольного сечения могут быть использованы следующие ограничения:

sup \x(s)\ < xmax - Є, sup \y(s)\ < ymax - Є,

sG[sq ,St ] sG[sq ,St ]

где s представляет собой координату вдоль оптической оси установки, xmax и ymax - расстояние от оси до апертуры в соответствующих координатных осях, Є -минимальное расстояние, на которое пучку разрешается приближаться к апертуре.

2. В случае круглой апертуры, переходя к цилиндрическим координатам, ограничение можно записать в таком виде:

sup \r(s)\ < rmax - Є,

sG[sq ,St ]

где r(s) = \Jx2(s) + y2(s).

Зачастую ограничения могут иметь и более сложную структуру. Так, в рассмотренных выше примерах xmax, ymax, rmax могут быть не константами, а некоторыми заданными функциями от s.

Дополнительные ограничения. При конструировании систем управления пучками частиц в зависимости от их предназначения часто возникают дополнительные ограничения, связанные с теми или иными особенностями системы. Например, в качестве данных ограничений может выступать минимальное расстояние между управляющими элементами, вызванное технологическими соображениями, или заданное расстояние между определенными линзами для возможности последующего размещения дополнительных элементов.

Светимость установки. Помимо фокусировки, важным фактором является количество сфокусированных частиц, попавших на мишень, что и определяет светимость. Для обеспечения высокой светимости [2] система должна иметь максимальный аксептанс, т. е. пропускную способность в фазовом пространстве:

sup sup f f (X)dX,

uEU vEV J M

где X = (x,xf,y,y') - вектор фазовых переменных; f (X) - функция распределения частиц; U - множество допустимых управлений; V - множество параметров системы коллиматоров (элементов ускорителя).

В зависимости от распределения начального фазового множества, могут быть приемлемы те или иные величины аксептанса. Например, на рис. 3 сплошной линией обозначен аксептанс, обеспечивающий полное сохранение частиц, поступающих на вход фокусирующей системы. В случае равномерного распределения частиц начального фазового множества (см. рис. 3,а), аксептанс, обозначенный пунктирной линией, обеспечивает прохождение только около 50% частиц, что в большинстве случаев является неприемлемым. Однако если распределение неравномерное (см. рис. 3, б) ив данный аксептанс попадает 95% частиц, эта величина может быть вполне приемлема.

Таким образом, мы имеем дело с необходимостью минимизации сразу ряда функционалов /^, г = 1, fc, которые в общем виде могут быть представлены в виде одного с использованием весовых коэффициентов а. и весовых показателей P.., выбором которых определяется уровень значимости того или иного критерия:

k

I (B, U)=E l2iPi (B, U).

Здесь B E B, U E U, B - это множество управляющих параметров, U - множество управляющих функций.

Как указано ранее, выбор множества управляющих функций, описывающих управляющее поле, создаваемое элементами системы, из некоторого подходящего класса позволяет перейти к параметрам. Тем самым вместо пары [B, U] в дальнейшем будем использовать пару [B, Bu], где Bu - множество параметров, описывающих управляющее поле.

а 'V

X

б

X

Рис. 3. Примеры аксептансов: равномерное (а) распределение, неравномерное (б) распределение

3. Математическая модель системы управления пучками частиц. В качестве примера рассмотрим нанозонд специального вида (так называемый «русский квадруплет» [3]), который позволяет не только фокусировать пучок на мишени с высокой степенью сжатия, но и обеспечивать его одинаковые размеры в поперечном пространстве. Его схематическое представление изображено на рис. 4.

а і s X 1 5 g. .

" і ■ s! s

\ f

Рис. 4. Фокусирующая система типа «русский квадруплет»

Для данной системы квадруполей выполняются условия симметрии на подачу энергии:

k(s) = -k(si - s), s e [so, si], (1)

где s - параметр длины вдоль оптической оси системы; s0, s1 - соответственно начало и окончание системы квадруполей; k(s) - функция распределения градиента. Уравнения движения в линейной аппроксимации имеют следующий вид:

x" + k (s)x = 0, x' = dx/ds,

У" - k(s)y = 0, y' = dy/ds.

Решение этой системы уравнений может быть записано с использованием матричного пропагатора системы R(s|so)

X(s)= R(s|so)Xo, Xo = X(so).

Обычно в системах фокусировки накладывают обязательное ограничение перевода пучка из точки в точку, что в линейном приближении соответствует

Г12 = Г 34 = 0,

здесь ri2, Г34 - элементы матрицы R(s|so). Из группового свойства матрицанта следует, что матрица R(s|so) может быть представлена так:

R(s* |so) = RgM(si |so)Ra,

где Rg, M(s11so), Ra - матрицы, отвечающие прохождению рабочего расстояния, фокусирующей системы и предрасстояния соответственно.

С учетом условия (1), для идентичности матриц перевода в плоскостях {x, xf}, {y, у'} достаточно (см. [4]) выполнения условия

mii = Ш22, (2)

в котором mii, m22 - элементы матрицы M(si|so).

В нелинейном случае уравнения движения имеют гораздо более сложный вид. В предположении монохроматичности пучка выпишем уравнение с разложением до третьего порядка:

3 1 11

х" + кх = — —кхх' — -кху1 + кх'уу' + к'хуу' + ХУ2 + 0(5),

3 1 1 1

у" — кх =~куу' + —кух' — ку'хх' — к'ухх' — У^ ~ ^"уз;2 + 0(5).

В данном случае решение выписывается следующим образом:

Z(s) = R11 (s|so)Zo + M13(s|sc)z03] -

где Z[3] - кронекерова степень (см., например, [5]) фазового вектора Z третьего порядка.

С точки зрения фокусировки, особый интерес представляют координаты x и у. Учитывая особенности данной системы коллиматоров, основной вклад дают члены вида

x = r^i xo + г1б x03 + rTi2x0y02 + --- (3)

у = rii yo + rie у03 + rii2 уО x02 + ---Коэффициенты разложения rf6, rf12, ry6, ry12 отвечают за так называемые сферические

аберрации. Из (3) следует, что даже при нулевом размере пучка данные аберрации

приводят к его расплыванию.

4. Численные методы. При решении задач оптимизации исследователь сталкивается с проблемой выбора метода, наиболее полным образом отвечающего специфике задачи. Использование качественной программной реализации правильно выбранного метода или их совокупности позволяет осуществить поиск искомого решения с наименьшими вычислительными затратами.

4.1. Постановка задачи. При описании краевых полей может быть осуществлен переход от функций к параметрам [6]. При этом происходит выбор функции, приближенно описывающей краевое поле и ее параметрическое задание.

Таким образом, после выписывания соответствующих функционалов качества и ограничений можно сформулировать следующую задачу нелинейного программирования (ЗНЛП):

найти inf I(B, B„) при ограничениях в виде равенств hi(B, B„) =0, i = 1,---,m, и неравенств g*(B, B„) ^ 0, i = m +1, - --,p.

Здесь I(B, B„), hi(B, B„) и gi(B, B„) могут быть как линейными, так и нелинейными функциями.

В качестве основных классов методов решения ЗНЛП можно выделить:

- методы, использующие производные;

- прямые;

- статистические.

В качестве методов, использующих производные, хорошо зарекомендовали себя градиентные методы, показывающие высокую скорость сходимости для определенных классов функционалов. Однако использование подобных методов требует внесения всех ограничений в функционал, что с учетом имеющегося антагонизма приводит к его крайне сложной структуре. Кроме того, значительные трудности может представлять вычисление производной для функционала сложного вида.

Среди прямых практические расчеты показывают высокую эффективность метода скользящего допуска, использующего метод деформируемого многогранника (см. [7]). Основная идея метода заключается в построении и видоизменении на каждом шаге многомерного многогранника, движущегося к оптимуму, находясь в некоторой окрестности области выполнения ограничений. По мере приближения к решению данная окрестность сужается, и при достижении искомой точки ограничения в точности выполняются. Отличительной качественной особенностью данного метода является возможность выбора между включением ограничений как в сам минимизируемый функционал с различными весовыми коэффициентами, так и отдельный их учет при построении допустимой окрестности.

При использовании статистических методов, как и для использующих производные, аналогичным образом встает проблема записи ограничений с учетом их нелинейной структуры. Статистические методы, как правило, не обладают высокой скоростью сходимости и при большом числе параметров становятся непригодными для поиска глобального минимума. Однако они могут служить хорошим подспорьем для получения начальных приближений для других оптимизационных методов.

Подход, используемый автором статьи, предполагает: 1) использование случайного поиска для получения начальных приближений и выделение областей, подозрительных на наличие оптимума; 2) проведение их дальнейшей минимизации методом скользящего допуска.

4.2. Глобальная оптимизация. Как правило, под глобальной оптимизацией понимают поиск одного наилучшего решения, доставляющего глобальный минимум заданному функционалу. Однако при решении реальных физических задач по проектированию установок данный подход является неосуществимым. Это связано с невозможностью четкой формализации всех критериев качества, построением единого функционала с конечным числом параметров и осуществлением его глобальной минимизации за приемлемое время. Поиск требуемого решения является творческим процессом и предполагает обязательного наличия человека, компетентного в данной области, способного грамотно расставить приоритеты различных критериев качества путем проведения ряда численных экспериментов, оценить возможность реализации и степень надежности найденных решений.

В настоящей работе под глобальной оптимизацией будем понимать последовательный процесс, позволяющий получить конечный набор решений, оптимальных в том или ином смысле, их постепенную отбраковку по ряду дополнительных критериев, исследование на удовлетворение допускам, возможность реализации. Результат данного процесса - некоторый набор решений, на основании которых экспериментатором осуществляется окончательный выбор решения для последующей реализации, исходя из его пожеланий по стоимости, надежности, удобства реализации.

Указанный процесс во многом является итерационным. Варьируя различные параметры, определяющие значимость тех или иных критериев качества, внесение разных критериев в функционал или рассмотрение их в виде ограничений, использование личного опыта в оценке результатов приближают исследователя к искомому решению. При этом большую роль в данном процессе играет наличие качественного программного обеспечения и средств, позволяющих осуществлять требуемые вычисления и представлять полученные результаты в удобной для анализа форме.

5. Численный эксперимент. Приведем ряд численных экспериментов, связанных с оптимизацией нанозонда, и рассмотрим различные варианты учета ограничений. Для расчетов были использованы пакет прикладной алгебры Мар1е и специальное написанное программное обеспечение (рис. 5), которое позволяет минимизировать функционал с заданными ограничениями, получить информацию о допусках и степени выполнения ограничений в найденных точках (более подробно см. [8]).

Рис. 5. Скриншот специального программного обеспечения

5.1. Пример оптимизации нанозонда. Проанализируем возможные решения задачи для рассмотренной ранее установки (см. рис. 4). В качестве управляющих параметров выступает В = (Ь, в, Л, а,д; к\, к2). Для перехода к безразмерным величинам примем за единицу длины длину линзы L. Система управляющих элементов должна удовлетворять ряду технологических ограничений: а + 4Ь + 2в + Л + д ^ ^есь, в ^ вtech, Л > Лtech, а > atech, д > gtech, где - ограничение на общую длину установки,

в^^, Л^^, а^^, д^^ - допустимые минимальные расстояния между управляющими элементами.

Рассматрим задачу оптимизации при варьировании длин свободных промежутков, выбирая в качестве начального набора следующие значения: а = 150, д = 1, Л = 2, в = 0.5. На рис. 6 представлены графики, соответствующие выполнению условия (2), представляющие нагрузочные кривые и ограничения на длину рабочего расстояния д = 1. Варьируя значения свободных промежутков, исследователь может получать дополнительные решения, оптимальные в том или ином смысле.

Рис. 6. Нагрузочные кривые (сплошная линия) и ограничение на длину рабочего состояния д = 1 (пунктирная) для Л = 0.5 (а) и Л = 2 (б)

Из рис. 6 видно, что для параметра Л = 0.5 мы имеем только одну точку, лежащую на нагрузочной кривой и удовлетворяющую ограничению д = 1, в то время как для Л = 2 - три такие точки. Соответствующие точки пересечения обозначим так: К1 = (0.54345, 0.69629), К2 = (1.37421, 1.00696), К3 = (2.23405, 1.07949). Им соответствуют следующие коэффициенты сжатия пучка в рамках линейной модели: г11 (К1) = -0.0352203, г 11 (К2) = 0.0061025, щ (К3) = 0.0087011.

Из полученных результатов, с точки зрения коэффициента сжатия, наибольший интерес представляет точка К2. Однако обратим внимание на устойчивость данного решения, по отношению к отклонению управляющих полей от заданных значений. На представленных графиках (рис. 7-9) сплошная линия соответствует К1, пунктирная - К2, точечная - К 3.

Как видно из рис. 7, для двух из найденных решений при незначительном отклонении параметров (к1, к2) от оптимальных значений происходит резкое нарушение выполнения условия (2), что может приводить к нарушению условия фокусировки из точки в точку.

На рис. 8 показано, как меняется коэффициент сжатия пучка при отклонении параметров (к1, к2). В окрестности

Рис. 7. Отклонение выполнения условия равенства для нагрузочных кривых при отклонениях к\, к2

Рис. 8. Значения коэффициента сжатия пучка при отклонениях кг, к2

решений К1 и К2 наблюдается достаточно стабильное сохранение значения коэффициента сжатия. Для решения К3 происходит резкий скачок коэффициента сжатия при определенном незначительном отклонении параметров, что проиллюстрировано на рис. 9.

Рис. 9. Неограниченное возрастание коэффициента сжатия пучка при определенных отклонениях кг, к2

Таким образом, на данном этапе происходит отбраковка решения К3. Оставшиеся два решения требуют дальнейшего исследования на предмет удовлетворения дополнительным критериям, таким как, например, краевые поля (см. [6]) и учета нелинейных эффектов (в частности, см. [9]). Отдельным вопросом стоит рассмотреть значение чувствительности условия (2) к отклонению параметров для решения К2.

5.2. Влияние вариантов учета ограничений на ход вычислений. При решении задачи, рассмотренной в п. 5.1, был проведен ряд численных экспериментов, демонстрирующих влияние различных вариантов учета ограничений на скорость

вычислений и получаемые результаты. Оценивались варианты отдельного учета ограничений только в виде равенств и неравенств, их учета в функционале с различными весовыми коэффициентами, совместный учет как в виде равенств и неравенств, так и в функционале. В качестве метода минимизации использовался метод скользящего допуска, реализованный в [8].

В исследуемой задаче в качестве варьируемых по способу учета ограничений рассматривались ограничение в виде равенства, характеризующее нагрузочные кривые mu = m22 (см. п. 3), и ограничение на длину рабочего расстояния в виде неравенства g ^ 1. Выписывание данных ограничений через параметры управляющих полей к\, к2 опущено в связи с громоздкостью выражений.

Сравнение результатов будем производить с «базовым расчетом», в постановке которого ограничения учтены только как равенства и неравенства и не внесены в функционал. При рассмотрении g ^ 1 ив форме ограничения, и в функционале в виде дополнительного слагаемого (g — 1)2 была получена другая точка локального минимума. При учете g ^ 1 только в функционале время вычислений уменьшилось в 12 раз по сравнению с «базовым расчетом». Изменение весового коэффициента перед слагаемым (g — 1)2 практически не повлияло на скорость вычислений, однако использование коэффициента меньше единицы уменьшает точность выполнения ограничения.

При учете тц = m-22 и в форме ограничения, и в функционале в виде дополнительного слагаемого (тц — т.22)2 снизилось время вычислений в 1,5 раза за счет уменьшения шагов подметода, отвечающего за возвращение в допустимую область. При учете данного ограничения только в функционале время вычислений увеличилось в 3 раза, ухудшилась точность получаемого результата. При учете обоих ограничений только в функционале время вычислений уменьшилось в 8 раз.

Исходя из проведенных расчетов, для данной задачи лучший результат по времени расчета показал вариант включения g ^ 1 в функционал и учет тц = т.22 в форме ограничения. Также приведенные результаты говорят о том, что, варьируя варианты включения ограничений, можно не только улучшать скорость вычислений, но и получать новые решения.

6. Заключение. В статье представлена методология моделирования и поиска оптимальных параметров ускорительных установок с высокими требованиями к сжатию пучка на основе многокритериального анализа. Она нацелена на решение проблемы учета многих, часто противоборствующих друг другу критериев, накладываемых на систему, путем их последовательного рассмотрения. Построение и анализ линейной модели, с последующим включением дополнительных критериев и ограничений, позволяют сузить множество решений к определенному конечному набору, приемлемому для выбора конкретного решения для последующей реализации.

Литература

1. Лебедь С. А. Двухрежимная зондоформирующая система для современного ядерного нанозонда // Журн. техн. физики. 2002. Т. 72. С. 92—95.

2. Лоусон Дж. Физика пучков заряженных частиц / пер. с англ. А. В. Агафонова; под ред. А. А. Коломенского. М.: Мир, 1980. 438 с.

3. Андрианов С. Н., Дымников А. Д., Осетинский Г. М. Система формирования протонных пучков микронных размеров // Приборы и техника эксперимента. 1982. Т. 1. С. 39—42.

4. Andricmov S., Edomenko N., Chernyshev A., Tereshonkov Yu. Synthesis of Optimal Nanoprobe (Linear Approximation) // Proc. of the EPAC’2008. Genoa, Italy, 2008. P. 2125-2127.

5. Беллман Р. Введение в теорию матриц / пер. с англ.; под ред. В. Б. Лидского. М.: Мир, 1976. 351 с.

6. Tereshonkov Yu. Load Curves Distortion Induced by Fringe Fields Effects in the Ion Nanoprobe jj Proc. of the EPAC’2008. Genoa, Italy, 2008. P. 1514-1516.

7. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование j пер. с англ. И. Н. Быховской, Б. Т. Вавилова; под ред. М. Л. Быховского. М.: Мир, 1975. 536 с.

8. Чернышев А. А. Программное обеспечение минимизации функционалов в физике пучков jj Процессы управления и устойчивость: Труды 39-й науч. конференции. СПб.: Научн.-исслед. ин-т химии С.-Петерб. ун-та, 2008. С. 375-380.

9. Andrianov S., Edomenko N., Tereshonkov Yu. Synthesis of Optimal Nanoprobe (Nonlinear Approximation) jj Proc. of the EPAC’2008. Genoa, Italy, 2008. P. 2972-2974.

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном.

Статья принята к печати 24 сентября 2009 г.