Согласование низкоэнергетического пучка заряженных частиц на выходе системы инжекции с аксептансом линейного ускорителя Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.557

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2007, вып. 4

С. А. Козынченко

СОГЛАСОВАНИЕ НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ПУЧКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ НА ВЫХОДЕ СИСТЕМЫ ИНЖЕКЦИИ С АКСЕПТАНСОМ ЛИНЕЙНОГО УСКОРИТЕЛЯ

1. Введение. Проблема оптимизации динамики заряженных частиц достаточно хорошо исследована в том случае, если она формулируется как задача минимизации некоторого функционала на траекториях системы обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом полученные управляющие функции оцениваются по определенному алгоритму при известных физических ограничениях, их конструктивная реализация считается отдельной самостоятельной задачей и не рассматривается [1-3]. В настоящей статье рассматривается задача оптимизации динамики пучка с одновременным выбором конструктивных параметров ускоряюще-фокусирующей системы, что позволяет конструировать ее в процессе оптимизации, исходя из требуемых выходных характеристик пучка [4, 5]. В этом случае необходимо решать не только систему обыкновенных дифференциальных уравнений, характеризующую динамику пучка, но и уравнения в частных производных, описывающих электромагнитные поля. Исследуются электростатические ускоряюще-фокусирующие системы, состоящие из нескольких электродов в виде толстых дисков произвольного поперечного сечения, примером которых может быть система формирования низкоэнергетических ионных пучков. Приводятся постановка задачи согласования низкоэнергетического пучка заряженных частиц на выходе системы формирования с аксептансом последующей ускоряюще-фокусирующей структуры как частный случай рассмотренной выше задачи, а также ее решение на примере задачи согласования эллиптического пучка ионов Н~ на выходе пятиэлектродной системы инжекции с аксептансом линейного ускорителя ионов (ЛУИ) с пространственно однородной квадрупольной фокусировкой (ПОКФ).

2. Постановка задачи согласования нерелятивистского пучка заряженных частиц на выходе электростатической системы формирования с аксептансом последующей ускоряюще-фокусирующей структуры. Динамика пучка произвольного поперечного сечения во внешнем электростатическом поле может быть описана системой дифференциальных уравнений

Х = У,

тУ = дЕ(Х,и) + / /х (£, Хи г?4) р (г,^) <1г)1 = /(£, ??, и), м,,„

У(1) = Уи (ХиУг)=г,и (1)

X (0) = Хо, V (0) = Уо, (Хо, У0) 6 Мо, Е (X, и) = -дгайх V № и),

где £ е То = [¿о,Т] - независимая переменная (время); параметры Т фиксированы; X(£) - положение, У(Ь) - скорость и т] — (X, V) 6 П - положение заряженной частицы в фазовом пространстве соответственно; С Л6 - открытое множество;

© С. А. Козынченко, 2007

и = (ui,ii2, ...,up) G D - управляющий параметр; D С Rp - ограниченное и замкнутое множество; Vu = <р(Х,и) G С2 (G) - потенциал внешнего электростатического поля, определенный на G х D и непрерывный в G] G С R3 - ограниченное и открытое множество; вектор-функция f(t,r],u) определена и вместе с частными производными д //дг), ddivnf /дт) непрерывна по г), и и кусочно-непрерывна по t на То х П х £>; Мо С П - открытое ограниченное множество; Mt,u = {^t = ^(i^o,«) : 77о £ А/о} -образ множества Мо, в силу системы (1), при управляющем параметре и в момент времени f; p(t,rj) € С1 (Пр) - плотность распределения частиц, в силу системы (1); ^р = {(^i7?) : t € То, г/ € MtiU}. В системе (1) сила Fi = qE{X,u) определяется внешними полями, а сила = f fi(t,Xt,r]t)p(t,r]t)drjt - взаимодействием заряженных

Afi, и

частиц.

Функция р (t, г)) является решением уравнения переноса [3]

~дГ"+ {t'rhи) р (t'v) diVr>f {t' 1u) = 0 (2)

с начальным условием

p{to,v) = Po (v) i (3)

в котором po (?/) £ С"1 (Mo) - плотность распределения заряда в пространстве Мо в момент to, divvf (t,r/,u) = 0 вытекает из вида уравнений (1).

При заданном параметре и потенциал внешнего электростатического поля tp, определенный и непрерывный в замыкании G, является решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа:

Д </з = О в G, (4)

Игс(и) = ¥>о- (5)

Здесь ГУ; (и) = 1J Tj - граница области G, составленная из кусочно-гладких секций Г;;

г

ipo - известная функция. При этом на управляющее электростатическое поле накладываются условия реализуемости вида

\Е\^С0, Ы ¿ = 1~F, (6)

где Со, Ci - заданные величины.

В этом случае при сделанных предположениях существует единственное решение краевой задачи (4), (5), которое непрерывно зависит от краевых условий [6].

На сечениях пучка траекторий на выходе ускоряюще-фокусирующей системы рассматривается следующий функционал качества:

1(и) = ]Гф! (ХгТ,х[т)Ф2(yiT,y'iT)- (7)

г

В (7)

Gi = {(хт,х'т) : Si (хт,х'т) < 1} ,

(10)

G2 = {{ут,у'т) s2 (ут,у'т) < 1},

(11)

51 (хт,х'т) = 1 и 5-2 (ут,у'т) = 1 - эллипсы, описывающие заданный аксептанс в плоскости хх1 и у у' соответственно; х,у,г - декартовы координаты точки X.

Поставим следующую задачу согласования пучка заряженных частиц на выходе системы формирования с аксептансом последующей ускоряюще-фокусирующей системы:

3. Программное обеспечение для моделирования и оптимизации систем формирования низкоэнергетических пучков заряженных частиц. Рассмотрим программное обеспечение, разработанное на языке Delphi и предназначенное для решения задач анализа, расчета и оптимизации электростатических систем формирования нерелятивистских пучков заряженных частиц, состоящих из электродов в виде толстых дисков произвольного поперечного сечения. В частности, оно может быть использовано для решения задач вида (1)—(12). При этом в качестве компонентов вектора и могут выступать конструктивные параметры системы формирования. Их изменения влияют на конструкцию системы электродов и, следовательно, на электростатическое поле, определяющее динамику пучка. Поэтому организационно программное обеспечение состоит из следующих взаимодействующих между собой частей (рис. 1):

1) блока моделирования аксиально-симметричного или трехмерного электростатического поля системы формирования (блока моделирования поля). Для численного решения краевой задачи (4), (5) в областях D сложного вида применяются методы сеток [7] (для расчета аксиально-симметричных и трехмерных полей) и Монте-Карло [8] (для расчета аксиально-симметричных полей);

2) блока моделирования динамики аксиально-симметричного или трехмерного нерелятивистского пучка заряженных частиц во внешнем электростатическом поле с учетом объемного заряда (блока моделирования динамики пх/чка). Для численного интегрирования уравнений движения заряженных частиц используются различные варианты метода Рунге-Кутта;

3) блока вычисления величины функционала качества и выбора (изменения) вектора управляющих параметров и (блока оптимизации). Для решения задач оптимизации динамики пучка и конструктивных параметров системы электродов применяются различные методики на основе методов Бокса-Уилсона [9], оврагов [10], усредненного градиента [1] и покоординатного спуска [11].

Тестирование подпрограмм моделирования электростатического поля и динамики пучка, входящих в разработанное программное обеспечение, включало такие расчеты:

1. Моделирование поля (рис. 2-4) с помощью разработанных подпрограмм в следующих простых ускоряюще-фокусирующих системах, на оси симметрии которых известно аналитическое выражение для потенциала поля:

max I (и). ueD

(12)

Рис. 1. Структурная схема программного обеспечения.

а) структуре, состоящей из двух коаксиальных цилиндров равного радиуса г о, разделенных промежутком длины 8о и имеющих потенциалы У\ и У2. Распределение потенциала на оси в рассмотренной системе электродов описывается формулой [12]

^ + У2 Ъ-Ъ сЛ[1,318(г + 8о/2)/го]_ 1Р(2> 2 2,636 во/го П сИ, [1,318 (г — во/2) /го]'

(13)

б) структуре из двух коаксиальных диафрагм с отверстиями равного радиуса го и потенциалами У\ и У2, разделенных промежутком длины «о, распределение потенциала на оси которой выражается по формуле [12]

, , У1+У2

¥>(*) = -о-+

1

с/> [1,318(2 + 80/2) /го]. 2 1,318я0/г0 ' "сА[1,318(г-8о/2)/го]'

+ 1п

(14)

в) структуре из трех коаксиальных цилиндров равного радиуса Го с чередующимися потенциалами У\ и У2, разделенных промежутками длины во, распределение потенциала на оси которой имеет вид [12]

Ч> (г) = +

У2-У!

1

2 1,ЗШо/го

с/г [2,636-г/го] + ск [2,636 (я0 + <^/2) /г0] " сА[2,636г/г0] +с/1[1,ЗШ0/го] ' *

(15)

2. Моделирование аксиально-симметричного поля (рис. 5) в ускоряюще-фокуси-рующей системе, изображенной на рис. 6.

4. Решение задачи согласования низкоэнергетического эллиптического пучка ионов Я ""на выходе пятиэлектродной системы формирования с ак-септансом ЛУИ с ПОКФ. При оптимизации ионно-оптических свойств системы

и, кВ

60 50 40 30

.....................

............ 11111111

0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 о 5 10 15 20

2, СМ

Рис. 2. Потенциал электростатического поля <р = (г, 0) на оси симметрии двухэлектродной линзы.

Распределение поля получено: а - методом Монте-Карло, б - методом сеток, в - по формуле (13). Пунктирная линия, перпендикулярная оси г, проходит через центр линзы (то же для рис. 3).

и, кВ

60 50 40 30

I ' » I I I 1

о

10 о

_|_I_I_I_1_!_1_I_I_I_1_ -

5 10 0

л_I_I_I_и

10

2, см

Рис. 3. Потенциал электростатического поля у = уз (0, г) на оси симметрии системы из двух диафрагм (г = 0 в геометрическом центре линзы).

Распределение поля получено: а - методом Монте-Карло, б - методом сеток, в - по формуле (14).

' '_и_I_I_|_

_1_I_I_

_1_I_и_

_I_I_I_1_

23

13

18

23

2, СМ

Рис. 4. Потенциал электростатического поля уз = 0,г) на оси симметрии системы, состоящей из трех электродов.

Средний цилиндрический электрод имеет длину (¿о; z = 0 в геометрическом центре линзы. Распределение поля получено: а - методом Монте-Карло, б - методом сеток (то же для рис. 5). Пунктирная линия, перпендикулярная оси г, проходит через центр зазора между вторым и третьим электродами.

формирования может возникать задача выбора ее конструктивных параметров таким

Рис. 5. Потенциал электростатического поля = 1р(г, г) при различных значениях г в ускоряюще-фокусирующей системе, изображенной на рис. 6.

г, см

4

2 О -2 -4

-30 кВ

-80 кВ

-30 кВ

-80 кВ

'Л

10 12 14 16 18 20

г, см

0 2 4 6 8

Рис. 6. Схема электростатической системы формирования протонных пучков.

образом, чтобы получить на выходе пучок с требуемыми характеристиками и обеспечить высокую эффективность его прохождения. Приведем примеры решения задачи (1)—(12) для эллиптических пучков ионов Н~ в ускоряюще-фокусирующих системах, состоящих из пе = 5 электродов в виде толстых дисков эллиптического поперечного сечения.

На входе в систему электродов рассматривается пучок ионов Н~ конечной протяженности Ьо ~ 1,8-10~2 м эллиптического поперечного сечения с энергией \¥о = 17 кэВ и током /о = 15 мА (рис. 7), который на практике может быть получен с помощью поверхностно-плазменного источника типа В. Г. Дудникова [13]. Энергия пучка на выходе системы формирования V/$ = 100 кэВ.

Множество Мо имеет вид

5,45-Ю-20

М0 = {(х,у,г,ух,ьу,ьг) : |х| ^ 0,012, ^ 0,025, 0,012, < 0,025,

со ^ М 5$ с0 + 0,018, V,--

Со = сопэк}.

т( 1 + (*')2 + (г/')2)'

Ух = X V,, Уу =у Уг,

При численном решении краевой задачи (4), (5) в качестве (? рассматривается ограниченная пунктирной линией и заштрихованная область, изображенная на рис. 8.

х, мрад

25

-25

-50

-20

-10

10

20

X, мм

у, мрад

50

25

-25

-50 -20

\ikif

/

/т

-10

10 20

у, мм

X, мм

Рис. 7. Фазовые портреты пучка па выходе из поверхностно-плазменного источника ионов Н~ типа В. Г. Дудникова.

а - фазовый портрет пучка в плоскости хх'\ б - фазовый портрет в плоскости уу'; в - фазовый портрет в плоскости ху (то же для рис. 10, 12).

Граница Г« (и) = у Г* определяется конечными точками секций Г», таких как от-

¿=1

резки прямых линий, дуги окружностей и т. п. Здесь п1 - заданная величина. Для того чтобы замкнуть зазоры между электродами, используются отрезки прямых линий (например, секция Гд на рис. 8).

Предположим, что на различных участках границы Г<з (и) (см. рис. 8) граничные условия (5) будут выражаться следующими соотношениями:

<р(х,у,го) |гг = Фо,

Рис. 8. Поперечное сечение системы электродов полоскостью у = 0. Область С моделирования электростатического поля ограничена пунктирной линией и заштрихована.

<р{хо,Уо,г) |г2 = Фо + {VI - ф0)-,

¿2 -

Ч> |гр = и], з = 1 ,пе,

Ч>(хо,уо,г)\тя = Щ_г + {Щ - ии) V (хо,Уо,г) =иеПе -К 2 ,

— к ¿Пу —к — 1

<р{х,у,г0)\гП1_к+1 = Фи

где хо, г/о, 20 фиксированы.

При этом на поле системы формирования накладываются ограничения

\г]\ ^ С,, \Щ\ <: А, ^ Со, = до, г = 1^Ге, з = 1,пе - 1.

Здесь Со, Оо, С], О] - заданные величины, Л^ - потери пучка в системе формирования.

Рассмотрим примеры решения задачи оптимизации системы инжекции эллиптического пучка ионов Н~ в ЛУИ с ПОКФ при р = 19 и р = 74 управляющих параметров. В обоих случаях в качестве компонентов вектора и выбирались потенциалы

электродов Ui, большие а\ и малые Щ - полуоси минимальных эллиптических поперечных сечений электродов, расстояния между электродами z{, г — 1 , ne, j = 1,пе — 1; в случае р = 74 - также параметры, определяющие форму электродов. Конструктивные параметры системы формирования, не входящие в вектор параметров оптимизации, были приняты постоянными во время оптимизации.

Поставленные задачи решались на ПК Pentium 4 методом покоординатного спуска с помощью программного обеспечения, рассмотренного в п. 3. Динамика пучка моделировалась методом крупных частиц при Nb = 2000 макрочастиц. Полное время моделирования динамики изменялось от 30 мин до 5 ч в зависимости от величины шага и варианта метода Рунге -Кутта. Трехмерное поле системы электродов моделировалось методом сеток при числе узлов пространственной сетки Ncg и 2000 000; время моделирования поля системы - около 5 мин.

Рассмотрим случай р = 19. Полное время решения задачи оптимизации составило примерно 18 ч. Для моделирования динамики пучка использовалась модель макрочастиц, в которой модельные частицы представляются в виде равномерно заряженных шаров [3, 14].

у, см

и;

и

и

I_I_1_I

0 2 4 6

U

10 12 14 16 и

б

U1

20 22 24

Z, см

^ о

и

10 12 14 16 18 20 22 24

Z, см

Рис. 9. Сечения электростатической системы инжекции эллиптических пучков ионов Н~ в линейный ускоритель с ПОКФ.

а, б - сечения системы электродов плоскостями у = 0 и х = 0 соответственно.

В результате решения задачи была получена оптимизированная система инжекции пучков ионов Н~ в линейный ускоритель, изображенная на рис. 9. Она состоит из электродов, имеющих различные значения потенциалов и{ = 12 кВ, Щ = 7 кВ, иI = 100 кВ, /7| = 45 кВ, £/| = 83 кВ, что представляет сложность для практической реализации ее системы питания. Результаты моделирования динамики пучка в рассмотренной структуре представлены на рис. 10, при этом обеспечивается захват 83% частиц пучка в режим ускорения ЛУИ.

у, мм

.'I \ к-

/

-40 -20 0 20 40

Рис. 10. Согласование пучка попов Н~ на выходе пятиэлектродной системы инжекции с аксептансом линейного ускорителя ионов.

На а, б аксептанс показан наклонным сплошным эллипсом (то же для рис. 12).

Рассмотрим теперь случай р = 74 управляющих параметров. Для решения поставленной задачи потребовалось значительно больше времени по сравнению с предыдущим случаем, что связано главным образом с увеличением числа параметров оптимизации. При моделировании динамики пучка использовалась модель макрочастиц, учитывающая равенство электростатических потенциальных энергий ансамблей реальных и модельных частиц [5]; поправочный коэффициент в формуле взаимодействия макрочастиц выбирался равным 1,13. Результаты моделирования динамики пучка в полученной оптимизированной системе инжекции показаны на рис. 11,12; при этом обеспечивается захват 85% частиц пучка в режим ускорения линейного высокочастотного ускорителя.

5. Заключение. В результате решения поставленных задач оптимизации были

2 кВ ЗкВ 100 кВ 26 кВ 85 кВ

■ о □ с □

т о о "Л

:кВ ЗкВ 100 кВ 26 кВ 85 кВ

О

^о О О

Рис. 11. Пучок ионов Н в электростатической системе инжекции линейного ускорителя ионов.

На а, б изображены сечения системы электродов плоскостями у = 0 и х = 0 соответственно.

50

25

х, мрад

-25

-50

20

-20

-40

у\ мрад

1

V Ш 1'

■ 11

1

50

25

-25

-50

-20 -10 0 10 20'

у, мм 40

й ¡1

5 I!

(V ■ 1V:

И | |

!

1

X, мм

-20 -10 0 10 20

у, мм

-40 -20 0 20 40

Рис. 12. Согласование пучка ионов Н на выходе системы инжекции с аксептансом линейного ускорителя.

созданы оптимизированные системы инжекции низкоэнергетических эллиптических пучков ионов Н~ в линейный ускоритель с ПОКФ, позволяющие получать на выходе пучки с требуемыми характеристиками. При этом транспортировка пучка в рассматриваемых системах электродов обеспечивается без потерь. Применявшаяся для решения задач методика оптимизации на основе метода покоординатного спуска хорошо работает в представленных частных случаях и может использоваться в дальнейшем для решения подобных задач при большом числе параметров оптимизации.

Summary

Kozynchenko S. A. Matching the low energy charged particle beam on the injection system output with given acceptance of linear accelerator.

The charged particle beam dynamics optimization problem with simultaneous choice of the accelerating-focusing system constructive parameters is considered. The solution of the problem is illustrated by two examples.

Литература

1. Петров В. И., Радии С. И., Рябцов А. В., Свистунов Ю. А., Овсянников Д. А. Оптимизация параметров начальной части линейного волноводного ускорителя //Труды II Всесоюз. совещания по ускорителям заряженных частиц. 1972. Т. 2. С. 159-162.

2. Овсянников Д. А. Моделирование и оптимизация динамики пучков заряженных частиц. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1990. 312 с.

3. Овсянников Д. А., Егоров Н. В. Математическое моделирование систем формирования электронных и ионных пучков. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1998. 276 с.

4. Svistunov Yu. A., Kozynchenko S. A. Solving of the field problem in case of charged particle dynamics optimization //Proc. of the XIX RuPAC Accelerator Conference. 2004. P. 228-230.

5. Kozynchenko S. A., Svistunov Yu. A. Applications of the field and dynamics code to LEBT optimization //Proc. of the 8th Intern, computational Accelerator Physics Conference. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. 2006. Vol. A558. P. 295-298.

6. Тихонов A. H., Самарский А. А. Уравнения математической физики. Л.: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1951. 660 с.

7. Ильин В. П. Численные методы решения задач электрооптики. М.: Наука, 1985. 334 с.

8. Соболь И. М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973. 312 с.

9. Хартманн К., Лецкий Э., Шефер В. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов / Пер. с нем. Г. А. Фомина, Н. С. Лецкой; Под ред. Э. К. Лецкого. М., 1977. 552 с.

10. Гельфанд И. М., Вул Е. В., Гинзбург С. Л., Федорова Ю. Г. Метод оврагов в задачах рентгеноструктурного анализа. М.: Наука, 1966. 79 с.

11. Бояринов А. И., Кафаров В. В. Методы оптимизации в химической технологии. 2-е изд. М.: Химия, 1975. 564 с.

12. Баранова Л. А., Явор С. Я. Электростатические электронные линзы. М.: Наука, 1986. 190 с.

13. Деревянкин Г. Е., Дудников В. Г. Формирование пучков ионов Н~ для ускорителей в поверхностно-плазменных источниках: Препринт Ин-та ядерной физики, № 79-14. Новосибирск, 1979. 20 с.

14. Рошаль А. С. Моделирование заряженных пучков. М.: Атомиздат, 1979. 224 с. Статья рекомендована к печати членом редколлегии проф. О. И. Дривотиным.

Статья принята к печати 24 мая 2007 г.