О моделировании динамики квазипериодического пучка взаимодействующих частиц Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.384.6

Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2014. Вып. 1

И. Д. Рубцова

О МОДЕЛИРОВАНИИ ДИНАМИКИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКОГО ПУЧКА ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЧАСТИЦ

Санкт-Петербургский государственный университет, 199034, Санкт-Петербург, Российская Федерация

Работа посвящена проблемам моделирования динамики интенсивных пучков заряженных частиц в ускоряющих и фокусирующих системах. Продольная динамика квазипериодического пучка описывается на основе интегродифференциальной модели, предложенной Д. А. Овсянниковым. Используется сглаженная модель взаимодействия частиц в предположении пространственной периодичности пучка. Получено интегральное представление ку-лоновского поля. Система интегродифференциальных уравнений, описывающая эволюцию пучка, удовлетворяет условиям существования и единственности решения. Выполнены предположения, в рамках которых может быть рассмотрена задача оптимального управления ансамблем траекторий. Предлагается простой метод тестирования программы расчета взаимодействия частиц, основанный на аппроксимации кулоновского поля тригонометрическим полиномом. Полученные результаты могут быть эффективно использованы при решении задач моделирования и оптимизации динамики заряженных пучков. Библиогр. 20 назв.

Ключевые слова: математическое моделирование, интенсивные пучки заряженных частиц, интегродифференциальные уравнения, квазипериодический пучок, тригонометрический полином, тестирование программы.

Rubtsova I. D. On quasiperiodic beam of interacting particles dynamics modeling // Vestnik of St. Petersburg University. Ser. 10. Applied mathematics, computer science, control processes. 2014. Issue 1. P. 104—119.

In this paper, the problems of modeling of intense charged particle beam dynamics in accelerating and focusing systems are considered. Longitudinal dynamics of quasiperiodic beam is described on a basis of integrodifferential model, suggested by D. A. Ovsyannikov. Smoothed particle interaction model is used under the assumption of beam spatial periodicity. Integral representation of Coulomb field is obtained. The system of integrodifferential equations describing beam evolution satisfies the conditions of solution existence and uniqueness. The assumptions are fulfilled to formulate trajectory ensemble optimal control problem. The simple method is proposed for testing of particle interaction simulation code. The method is based on Coulomb field approximation by trigonometric polynomial. The results obtained may be effectively used in solving problems of modeling and optimization of charged beam dynamics. Bibliogr. 20.

Keywords: mathematical modeling, intense charged particle beams, integrodifferential equations, quasiperiodic beam, trigonometric polynomial, code testing.

Введение. Работа посвящена исследованию динамики пучка заряженных частиц высокой интенсивности, т. е. пучка, в котором силами взаимодействия частиц нельзя пренебречь. Проблемы моделирования и нахождения самосогласованных распределений изучаются во многих работах, в частности в [1-10]. В настоящей статье рассматривается интегродифференциальная модель динамики пучка взаимодействующих частиц, предложенная Д. А. Овсянниковым [1-3]. На ее основе строится описание продольной динамики квазипериодического пучка в ускоряющей и фокусирующей системе. Интегральное представление кулоновской силы получено при использовании метода крупных частиц; модельные частицы - диски конечной толщины. В отличие от аналогичной модели [10] для непериодического случая, в этой работе пучок представляется периодической совокупностью дисков. Система интегродифференциальных уравнений,

© И. Д. Рубцова, 2014

описывающая эволюцию пучка, удовлетворяет условиям, обеспечивающим возможность постановки задачи оптимального управления ансамблем траекторий и использования математических методов управления пучком. Указанные методы широко применяются в различных задачах оптимизации динамики заряженных частиц [11—15].

При численном моделировании динамики интенсивных пучков возникает ряд специфических проблем, одной из которых является проблема тестирования подпрограммы расчета поля объемного заряда. В статье предложен простой в реализации метод тестирования, основанный на представлении кулоновского поля квазипериодического пучка тригонометрическим полиномом. Метод может быть применен для тестирования программ, использующих разные варианты дисковой модели пучка.

1. Математическая модель динамики управляемого пучка взаимодействующих частиц. Пусть эволюция пучка описывается уравнениями [1-3, 8-10]

^ = (1) /(Ь,х,и) = /1(г,х,п)+ ! ¡2(г,х,уг)р(г,уг) дуг, (2)

Мь,и

др др

+ + рд.1Ух/(г,х,и) = 0 (3)

с начальными условиями

ж(0) =х0е Ж0, (4)

р(0,х) = ро(х). (5)

Здесь £ € [0, Т] - независимая переменная, называемая временем; Т - фиксированное число; п-мерный вектор х характеризует фазовое состояние частицы; и есть г-вектор-функция управления из некоторого класса допустимых управлений; вектор-функция /1 представляет внешние электромагнитные поля, воздействующие на пучок, а вектор-функция /2 служит для описания взаимодействия частиц; Мо С И" -открытое ограниченное множество ненулевой меры, Мо - его замыкание. Неотрицательная функция р0(х) задает плотность распределения частиц в фазовом пространстве в начальный момент времени. Решения системы (1), (2) образуют ансамбль траекторий, исходящих из множества М] (или Мо); М^и - образ множества М] в силу системы (1), (2) при управлении и в момент £ (сечение ансамбля траекторий): Мг,и = {хг = х(Ь, хо, и) : хо € Мо}; р(£, х) - плотность распределения частиц в фазовом пространстве в силу системы (1), (2).

Предположения. Задача программного управления ансамблем траекторий системы (1), (2) для класса управлений, задаваемых кусочно-непрерывными функциями со значениями в компакте, рассматривается в рамках следующих предположений: р0(х) - непрерывно дифференцируемая функция; /1, /2, &ух/1, &ух/2 непрерывны по совокупности своих аргументов и имеют непрерывные частные производные по х и у .

Заметим, что при каждом допустимом управлении уравнение (1) можно представить в виде

^=$(г,х{1,х0,и),и{1))=$1{1,х{1,х0,и),и{1)) + J ¡2^,х(г,хо),х(г,уо))ро(уо) ¿уо, (6)

Мо

а соотношение (3) как

dp(t, x(t, xo, u))

= -p(t,x(t,xo ,uj) divK f(t,x(t,xo,u),u(t)). (7)

dt

В силу сделанных предположений и теоремы, доказанной в монографии [2], при каждом допустимом управлении u имеют место существование, единственность и непрерывная дифференцируемость по начальным данным решения x(t, xo, u) на некотором отрезке [0,/] для любого хо из множества Мо. Будем предполагать, что решения x(t,xo,u), xo G Мо, можно продолжить единственным образом на весь промежуток [0, T] при любом допустимом управлении. Существование и единственность решения p(t, x) следуют из соотношения (7) и непрерывной дифференцируемости x(t, xo, u) по начальным данным.

Построим модель вида (1)-(5) продольной динамики взаимодействующих частиц в ускоряющей и фокусирующей системе при наличии пространственной квазипериодичности пучка.

2. Интегродифференциальная модель продольной динамики квазипериодического пучка. Пусть пучок аксиально-симметричен; в этом случае при исследовании продольного движения взаимодействующих частиц целесообразно использовать дисковую модель пучка [16-18]. Чтобы получить гладкую функцию напряженности кулоновского поля, введем крупные частицы как диски конечной толщины (диски-облака).

Полагаем, что пучок обладает пространственной квазипериодичностью по продольной координате. Назовем сгустком совокупность частиц на пространственном квазипериоде. Будем исследовать динамику одного сгустка; при расчете кулоновского поля представим пучок периодической последовательностью сгустков.

Будем моделировать сгусток совокупностью N крупных частиц, считая их равномерно заряженными дисками (цилиндрами) толщины 2Д и радиуса R, движущимися в бесконечной проводящей трубе радиуса а. Заряд и масса покоя каждой частицы равны соответственно e = Q/N и mo = Mo/N, где Q и Mo - соответственно заряд и масса покоя сгустка.

Введем независимую переменную т = ct, где c - скорость света в вакууме, и цилиндрические координаты r,6,z; совместим ось Oz с осью структуры. Фазовое состояние частицы для каждого значения т характеризуется вектором x = (z,p), где z - продольная координата центра диска, р = \/72 — 1 — приведенный импульс частицы, 7 -приведенная энергия. На каждую частицу-диск действуют внешнее высокочастотное и кулоновское поля. Влияние каждого из них на частицу характеризуется отнесенной к заряду силой, воздействующей на диск в целом. Обозначим соответствующие величины через E(RF) и E. Пусть E(rf) = E(rf) (т, z,u), причем эта функция непрерывна по совокупности своих аргументов и имеет непрерывную частную производную по z. Здесь u(t) - кусочно-непрерывная управляющая функция, принимающая значения в компактном множестве.

Уравнения движения г-го диска имеют вид

dzi _ Pi dPi _ е , (rf) р ч

+ гУ ()

Напряженность потенциального поля (т. е. отнесенная к заряду частицы сила), характеризующая действие системы N дисков (и их периодических образов)

*) Толщина 2Д дается в сопутствующей системе отсчета.

на г-й диск, представляется выражением, которое легко получить на основе результатов [16]:

N

N

3 = 1

где

Яо2

0(в — V, р)

Е

Я/о

27гД2£оД2 т=\ ^72(^)811(^71+^Н/а)

(9)

(10)

Ут(т,т) = 2дт(т,т) — 9т (т + 2А,щ) — дт(п1 — 2А,щ),

,Ь) = а18п(^1)

&/о) — эИ — \)/о)

Здесь , рз, ] = 1^, - координаты центров и приведенные импульсы модельных частиц; е0 - электрическая постоянная; J1(£) - функция Бесселя первого рода первого порядка; Vт, т = 1,22,...,- корни функции Бесселя первого рода нулевого порядка: Jo(vm) = 0, т = 1, 2,...; 2Н - пространственный квазипериод пучка в лабораторной (неподвижной) системе координат. Если расстояние между центрами г-го и ]-го дисков больше полупериода (т. е. — г^ | > Н), то в слагаемом С(г^ — г^,рз) следует вместо г^ взять координату периодического образа ]-го диска, ближайшего к г-му диску.

Аналогично [10] построим интегродифференциальную модель продольного движения частиц. Будем рассматривать множество фазовых состояний частиц пучка при значении т независимой переменной как объем Мти сплошной среды. Введем плотность распределения частиц в фазовом пространстве следующим образом. Пусть ¿V = ¿г!р -элемент фазового объема, содержащий точку х = (г,р). Плотность р(т,х) определим соотношением р(т,х)!У = Р(т,х,!У), где Р(т,х,с№) есть доля частиц в объеме с!V. При этом дискретная аппроксимация данной величины такова: Р(т,х,с№) « п(т, х, !V)/N, где п(т, х, !V) - число дисков (из N модельных частиц), положения которых (г^,р1) принадлежат элементу с!V при значении т независимой переменной. Ясно, что / р(т, г,р) !,г!,р = 1. Учитывая сказанное, введем следующее интегральное представление для напряженности Е(г), характеризующей действие пучка на модельную частицу с координатой г:

Е(г) = J г — гт,рт)р(т,гт,рт) 3,гт!рт.

Мти

Здесь (гт,рт)=(уг(т, го,ро,и), р(т, ¿о,ро,и)), (£о,ро) (= Мо, где Мо - множество начальных фазовых состояний. Используем выражение для Е(г) в системе (8). Получим инте-гродифференциальные уравнения продольного движения взаимодействующих частиц

!г !т

2

!р !т

-)(т, г,и)+ / С(г - гт,рт)р(т, гт,рт) в,гтс1рт )

то с2 \ .] )

Мт.и

(11)

(12)

р

с начальными условиями

г(0) = г0, р(0)=р0, (г0,ро)еМ0.

В обозначениях

х = (х1,х2) = (z,p), У = (У1,У2) = (г,Р) /1 (т, х, и) = /11(т,х,и), /12(т,х,и)) =

х2 вЕ(кр) (т, х1,и)

2

т/1 + х\ ' тоос'

¡2 (т,х,у) = (¡21(т,х,у), ¡22(т,х,у)) = (О, еС(Х1-|ЬУ2) |

у тос2 у

система (11), (12) принимает вид (1), (2).

Аналогично [10] нетрудно убедиться, что введенная нами плотность распределения частиц удовлетворяет уравнению (7). Кроме того, легко видеть, что ряд (10) сходится равномерно относительно в, ю и р, и его сумма 0(в — ю, р) для любых значений в, ю, р непрерывна и имеет непрерывные ограниченные частные производные. Система (11), (12) может быть записана в виде (6), причем для нее выполняются условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши, и решения продолжи-мы на неограниченный промежуток изменения независимой переменной. Заметим, что &Ух/1(т,х,и) = 0, д\\х/2(т,х,у) = 0; поэтому с учетом непрерывности Е\т,г,и), дЕ(пр\т,х,и)/дх выполнены представленные в п. 1 предположения, в рамках которых может быть рассмотрена задача оптимального управления ансамблем траекторий системы (11), (12) [1, 2]. Таким образом, модель (11), (12) делает возможным использование математических методов управления пучком. Следует отметить, что математические методы управления пучками в системах, описываемых интегродифференциаль-ными уравнениями, широко применяются в различных задачах оптимизации динамики заряженных частиц [11-15].

3. Проблема тестирования программы расчета кулоновского поля пучка. При разработке программного обеспечения, осуществляющего численное моделирование динамики интенсивного пучка, возникает ряд специфических проблем. Одна из них - тестирование подпрограммы расчета поля объемного заряда. При отсутствии экспериментальных данных для проведения тестирования необходимо осуществить учет сил взаимодействия другим способом и сравнить результаты. Однако реализация иного способа моделирования является весьма трудоемким делом.

Предложим простой в реализации метод тестирования, разработанный для программы расчета взаимодействия частиц в рамках дисковой модели пучка. При этом в программе могут использоваться как рассмотренная выше модель дисков-облаков (9), (10), так и известные модели бесконечно тонких дисков и дисков-разбиений [16-18]*-1. Во всех указанных случаях кулоновское поле пучка описывается рядами Фурье-Бесселя. Выскажем соображения, поясняющие выбранный подход к тестированию.

1. Идея использовать для тестирования другой вариант дисковой модели пучка лежит на поверхности. Однако при этом мы имеем близкие по форме выражения для расчета поля и для тестирования (ряды Фурье-Бесселя, коэффициенты которых представляются через гиперболические функции продольной координаты), поэтому возможны одинаковые ошибки. Кроме того, несовпадение результатов в данном случае может

*) Отметим, что две последние модели не позволяют описать эволюцию пучка системой интегро-дифференциальных уравнений, удовлетворяющей предположениям п. 1.

быть связано не с ошибкой, а с игнорированием особенностей моделей, некорректным выбором числа частиц, разбиений или других параметров расчета в основной или тестирующей программе. В силу указанных причин возникает необходимость провести также тестирование программы на основе принципиально иного представления куло-новского поля, не меняя при этом тип дисковой модели.

2. Другая возможность аналитического представления кулоновского поля пучка -ряд Фурье по продольной координате. Однако метод частиц позволяет получить лишь дискретную аппроксимацию плотности распределения заряда по длине сгустка, например, в виде сеточной функции. Такая функция отвечает конечному набору длин волн, поэтому ей соответствует конечный ряд Фурье (тригонометрический полином), совпадающий с нею в узлах сетки. Итак, имеет смысл использовать для тестирования аппроксимацию кулоновского поля пучка тригонометрическим полиномом. Соответствующую аналитическую формулу нетрудно вывести.

3. Для проведения тестирования расчета кулоновского поля плотность распределения заряда по длине сгустка задается в виде специальной периодической функции с ограниченным спектром (тригонометрического полинома). Число Фурье-мод подбирается так, чтобы аппроксимация данной функции на длине 2Н пространственного квазипериода значениями в . узлах сетки была приемлемой. Чтобы осуществить такую аппроксимацию в рамках дисковой модели пучка, в узлах сетки размещаются крупные частицы со специально подобранными зарядами. Тогда для данного распределения заряда имеем два аналитических представления кулоновского поля: ряд Фурье-Бесселя и тригонометрический полином, что и дает возможность тестирования.

Такова идея предлагаемого метода тестирования кулоновского поля. Получим теперь необходимые формулы.

4. Кулоновское поле периодической системы зарядов с заданной плотностью, представленной тригонометрическим полиномом. Рассмотрим сначала неподвижную периодическую систему сгустков в полой металлической трубе радиуса а. Введем, как и ранее, цилиндрические координаты г, в, х, совместив ось Ох с осью трубы. Пусть плотность заряда сгустка представляется в виде

Мо(г,х ) = Т (г)Бо(х), (13)

где

Т(г)

| 1, г < Я 10, Я<г < а,

(14)

м

Яо(х) = ]Г

т=о

. /т-к . \ . /т-к

Ат соэ ( -^-{х - го)) + Вт эт ( — (г - г0)

\ Б

\ Б

(15)

Здесь Я - радиус пучка, го - продольная координата центра сгустка, 2£> - длина сгустка (пространственный период неподвижного пучка); Ат, Вт, т = 1, М, - произвольные постоянные.

Выразим константу Ао через заряд сгустка Q, пользуясь очевидным соотношением:

Я 2п г0 + Б

II I /ио(г,х)г ¿гс1вс1х = Q. Будем иметь

о о хо-В

Ао

Q

2пЯ2Б

(16)

Потенциал и (т, г), создаваемый периодической системой сгустков с плотностью заряда ц0(т, г), удовлетворяет уравнению Пуассона

д2и 1 ди д2и 1 , , г п

+ + =--МО {г, г), г € [0, а\, г е {-оо, +оо),

дт2 т дт дг2 £о

с граничными условиями

и (а, г) = 0, г € (—те, +те);

ди

дт

(0, г) = 0, г € (—те, +те);

и (т, г — В) = и (т, г + В), т € [0, а] У г;

ди ди

— {г, г -В) = — (г,г + В), г € [0, а] Уг;

ди ди

— (г,г-В) = —(г,г + В), г € [0, а] У г.

(17)

(18)

(19)

(20) (21)

(22)

Соотношение (18) обусловлено тем, что пучок находится в металлической трубе; условие (19) следует из аксиальной симметрии электрического поля; (20)-(22) - условия периодичности по переменной г потенциала и напряженности.

Для нахождения потенциала используем метод Фурье. Представим функцию Т(т) рядом Фурье-Бесселя:

ж

Т{г) = ^акМ»кГ~), (23)

к=1

а.к =

2$гЛ0{ик-)аг 2R.hU-)

п _а _ 4 а7

Будем искать решение задачи (17)-(22) в аналогичном виде:

ж

к=1

(24)

(25)

При этом условия (18) и (19) удовлетворяются в силу свойств функций Бесселя. Используя в уравнении (17) представления (13)-(15), (23), (25) и приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях Бесселя, получим уравнения для неизвестных функций Ск(г), к = 1, 2,...:

а2 £о

м

. (тп \ . (тп \

Атсов [^-{г ~ го)) +ВтБт (^¡-(г ~ го))

(26)

Из граничных условий (20)-(22) следуют условия, накладываемые на функции £к (г):

Ск (г — В) = Ск (г + В) У г, (27)

С'к (г — В) = Ск (г + В) Уг. (28)

2

Решение задачи (26)—(28) найдем в форме тригонометрического полинома м г

Ск(г) = Ркт СОЗ -^о)) + ЯктЪт ~ ^о))

где

Р

акАт

кт

Я

а, Вт

кт

т = 0,М, к =1, 2,... .

(30)

Таким образом, с учетом формул (25) и (29), имеем продольную компоненту напряженности кулоновского поля

ж

Ег(г, г, г0) = - Ё Ск{г)(г^)

м

Е Е

к=1 т=1

к=1

тРкт вт (г - г0)) - тС}кт сов (г -

Л {ь'к \

(31)

Рассмотрим теперь движущийся пучок. Введем лабораторную систему отсчета К - неподвижную. Пусть в системе К пучок моделируется периодической последовательностью сгустков и имеет пространственный период 2Н. Будем исследовать процессы в сгустке с центром хс. При расчете кулоновского поля будем полагать [16,17], что пучок движется вдоль оси Ох с постоянной скоростью V, где V - продольная компонента средней скорости частиц сгустка; 7 = (1 — V2 /с2) 1/2 - соответствующий фактор Лоренца. Введем сопутствующую систему отсчета К , движущуюся вместе с пучком, и координаты т',в',х'. В штрихованной системе отсчета пучок представляет собой неподвижную последовательность сгустков; пространственный период равен 2П = 2^Н. Пусть в системе К плотность заряда пучка ц'(т', х') задается формулами (13)-(15):

м

р'(т',х') = Т (т')£

т=0

. /тп . . (тп . .

Атсов^— [г - + Вта\пу—{г - гс)

Тогда продольная компонента напряженности собственного электрического поля пучка в сопутствующей системе отсчета определяется выражением Е'г(т',х',х'с) вида (31). Используя преобразования Лоренца [17], находим объемную плотность заряда ц(т, х) и продольную компоненту кулоновского поля Ег(т, х, хс) в лабораторной системе отсчета:

м г

/х(г, г) = 7 Ат сое (г - г с)) + Вт эт (г -

т=0

Ж

^ к=1 а

где

м

Фк(х ) = Е

т=1

тРкт вт - - тЯкт сое (г -

(32)

(33)

(34)

к = 1, 2 ....

5. Тестовая напряженность, характеризующая действие движущегося периодического пучка на модельную частицу. Итак, мы задались плотностью

п

заряда (32) равномерно движущегося сгустка и получили продольную составляющую компоненту (33) напряженности кулоновского поля, создаваемого в точке внутри трубы периодической системой таких сгустков. Но нас интересует другая величина: напряженность потенциального поля, характеризующая действие движущегося пучка на модельную частицу-диск, т. е. сила, действующая на диск в целом, отнесенная к его заряду. Так как мы находим указанную напряженность с целью тестирования программы, назовем ее тестовой и обозначим Е(*евг) ее единственную ненулевую компоненту (продольную). Получим тестовую напряженность для различных типов модельных частиц.

А. Модельная частица — бесконечно тонкий диск радиуса Я. Пусть а0 — поверхностная плотность заряда на диске; тогда его заряд д0 = пЯ2ао. Интегрируя (33), находим

2п Я

Е(г

Чо^Н

Х>(г) 11

к=1 о о

<7о-1о ( ^к — J Г ЛгЗВ

2па

-Щн

к=1

гФк{г) J Vк

Преобразуем данное выражение с учетом соотношений (24), (30) и (34). Имеем

Е(гевг) (г) =

где для каждого т

м

2па

т=1

тп

-1 я —

V н

Сшйт ( '-^-{г - гс

))+ В

тп

-(я —

V н

тсов ( —¡т{г - гс)

(35)

1,М

С„

Вт

2ЯЛ„

Е -

к=1 )

2ЯВт

(36)

-1

Б. Модельная частица — диск конечной толщины 2А (в сопутствующей

системе отсчета) и радиуса Я. При расчете кулоновского поля будем полагать, что

модельная частица движется вдоль оси Ог с постоянной скоростью V, равной сред_1/2

ней скорости частиц сгустка; у = (1 — V2/с2) - фактор Лоренца. Обозначим через до заряд частицы, тогда хо = Чо^/2пЯ2А - объемная плотность заряда движущейся модельной частицы в лабораторной системе отсчета.

Найдем отнесенную к заряду до силу, с которой пучок с заданной плотностью заряда (32) действует на диск конечной толщины в целом. Пусть г - координата центра модельной частицы. Воспользуемся выражением (33). Имеем

оо 2?г Д

к=1 О О Г_А

Проведя необходимые преобразования и учитывая (30) и (34), находим

Е(1ев1) (г) =

2а

м

НА

. (тпА\

V )

тп тп

Стъ 1П —{г -гс)) + Птсов ~ гс))

где коэффициенты С„

то = 1, М, даются формулами (36).

п

1

1

Убедимся, что при стремлении в формуле (37) толщины диска 2А к нулю получим формулу (35), характеризующую действие пучка на бесконечно тонкий диск. Действительно,

ein I m7rД I

2а . ( ггтА\ 2а тя \ я7 I 2тга _sm I _ 1 ==____— __гп

RA V Н1 ) RH1 H^f 1HR '

Заметим, что тестовые напряженности (35) и (37) не зависят от заряда модельной частицы, и в обоих случаях для расчета E(test) неважно, различны или одинаковы заряды модельных частиц.

6. Метод тестирования программы расчета кулоновского поля пучка. Пусть вычисление кулоновских сил внутри квазипериодического пучка осуществляется на основе дисковой модели. Введем разбиение пространственного квазипериода движущегося пучка (т. е. занимаемой сгустком области - цилиндра радиуса R и длиной 2Н) на диски конечной толщины (J дисков-разбиений). Пусть Zj, j = 1, J, — координаты центров разбиений, y - средняя приведенная энергия частиц. При проведении тестирования каждому диску-разбиению с номером j посредством специального распределения модельных частиц присваивается некоторый заряд qj, который считается равномерно распределенным по объему разбиения. Таким образом, плотность заряда сгустка аппроксимируется кусочно-постоянной функцией

ß(r,z ) = T (r)S(z), (38)

где

S(z) = Sj

qj

2nR2h

z G [zj — h, Zj + h), j = 1, J.

(39)

Здесь 2!г = 2Н/7 - размер разбиения в лабораторной системе отсчета; функция Т(г) определяется формулой (14). Заряды с^, ] = 1,7, выбираются так, чтобы полученная кусочно-постоянная функция в^) аппроксимировала заранее заданный тригонометрический полином в (г) и совпадала с ним в узлах сетки Zj, j = 1, .1. Итак, мы задаемся полиномом

M г

s(z) = 7 Am cos ("TT" (z ~ zcf) + Bm sin (z-zc)^

(40)

(см. (32)), где, в соответствии с формулой (16), Д) = д/2тгй27Я, - заряд сгустка, а прочие коэффициенты выбираем произвольно. Заряды с^, ] = 1, .1, находим из соотношений (39), (40):

2nR2YH M * = —j—

A-m COS

fmn

\~H

(zj - Zc)j + B.

sm

fmn

\~H

{zj - zc)

J = l ,J. (41)

Замечание 1. Понятно, что аппроксимация полинома (40) значениями в . узлах сетки может применяться только в том случае, если М существенно меньше (по крайней мере, на порядок) числа . [17,19]. При этом минимальная из длин волн Фурье-мод

данного полинома значительно превосходит шаг 2к сетки.

]

Замечание 2. Нетрудно убедиться, что Е Чз = Я.

3 = 1

mn mn 2mn(j - 1) — {Zj - zc) = — тэт" + — + -J

сумма зарядов (41) разбиений равна

//Wl , , j - JI , ,

Действительно, —rr\Zj — zc) = —ттг -\---—|----. Поэтому с учетом (16)

j

= Q + 2nR2Yh

j=i

M J 2mn(j - 1) M J . 2mn(j - 1)

am ¿^ C°S-J--^L^L Sm -J-

m=1 j=1 m=1 j=1

(42)

где am, fim, m = 1,M, - константы. Учитывая, что m < J, воспользуемся известным соотношением [19]

EJ 2mn(j - 1) J . 2mn(j - 1) cos---= 2^sm---=0.

j=i j=i

j

Тогда в силу (42) qj = Q. H

j=i _

«Раздача» зарядов qj, j = 1, J, по разбиениям пространственного периода осуществляется следующим образом. Число модельных частиц N полагается равным числу разбиений J. Модельные частицы с зарядами qj, j = 1, J, и с одинаковыми скоростями v размещаются в центрах разбиений Zj, j = 1, J. Заметим: если при расчете кулоновского поля используется модель дисков-облаков, то толщина частицы в лабораторной системе отсчета 2A/y не должна превосходить размера разбиения 2h.

Напряженность кулоновского поля, вычисляемую тестируемой программой для данного распределения заряда, назовем модельной. Формулы для расчета модельной напряженности в соответствии с выбранным вариантом дисковой модели пучка модифицируются на случай создания поля различными по величине зарядами. В частности, если используется модель дисков-облаков, модельная напряженность

N

j=iQ

-1/2

где функция С(в — т, р) определяется формулой (10); р = (у/с) (1 — у2/с2)

Теперь, зная положения, заряды и скорости крупных частиц, можно вычислить в узлах сетки Zj, 2 = 1,1, модельную (Е) и тестовую (_Е(4ея4)) напряженности кулоновского поля и сравнить их. Ясно, что если подпрограмма расчета кулоновского поля пучка работает правильно, то указанные наборы значений напряженности совпадают тем более точно, чем больше число разбиений J.

Убедимся в этом. Пусть Е(г) - напряженность, порождаемая периодической системой сгустков с плотностью заряда Т(г)Б(г). (В наших рассуждениях под напряженностью в точке г понимаем отнесенную к заряду силу, действующую на модельную частицу-диск того или иного типа с продольной координатой центра г.) Представим разность модельной и тестовой напряженностей кулоновского поля пучка в виде

Е(г) — Е(гезг) (г) = (Е(г) — Ё(г)) + (Е(г) — Е(гезг) (г)). (43)

Напряженность Е(г) — Е(ге>>г) (г) создана периодической последовательностью сгустков с плотностью заряда Т (г)(Б(г) — Б (г)). При этом сгусток состоит из J дисков-

разбиений, каждый из которых порождает напряженность Ё^\х), j = 1,1. Таким образом,

з

Е(г) — Е(геаг) (г) = ^ Е(Л(г).

3 = 1

Пусть

вир 3 = XI.

Ясно, что для каждого ] величина |-Е(3)(£)| оценивается сверху напряженностью рав-

(3)

номерно заряженного с плотностью Б(ир диска толщиной 2Н. Формулы для указанной напряженности для различных видов модельных частиц известны [16]. Если крупные частицы - бесконечно тонкие диски, то используется выражение (48) п. 7, если же диски-облака, то применяется аналог представления (9), (10). В обоих случаях напря-

(3)

женность пропорциональна плотности заряда разбиения, т. е. Б^р. Нетрудно убедиться в справедливости оценок

\Ё^(г)\ з = 1^1, Ух,

где П^), з = 1, Л, - константы. В силу гладкости Б (г), ¿>вир ——^ 0; у = 1, J. Следовательно,

1 Ё(г) — Е(геаг) (г)1 0 Ух. (44)

Обратимся к Е(г) — Е(г). Пусть для определенности крупные частицы - бесконечно тонкие диски. Рассмотрим узел сетки . Ясно, что

з

Е(гк) — Е(гк) = £ (Е(3) (гк) — Е(3) (гк)), (45)

3 = 1

где Е(3) (гк), Е(3) (гк) - напряженности, создаваемые в точке гк соответственно j-м диском-разбиением и бесконечно тонким диском, лежащим на плоскости г = г^; оба диска имеют заряд с^. Нетрудно показать (см. работу [16] и формулу (48), п. 7), что

\Е^{гк)-Ё^{гк)\ -► 0, ¿ = 177. (46)

Легко видеть, что соотношение (46) верно и в том случае, когда модельные частицы имеют конечную толщину. | |

Итак, в силу (43)-(46), для каждого узла сетки г^ 1 Е(гз) — Е('еа^)| 0. ■

Оценка точности совпадения наборов значений з = 1, Л, и з =

1, .1, может осуществляться, например, следующим образом. Потребуем, чтобы

тах|%) -(1/2Н) I | Е(г)1 ¿г

ха-Н

где £ - погрешность, превышение которой недопустимо. Если неравенство (47) не выполняется и при увеличении J не удается добиться его выполнения, следует сделать вывод о неверной работе подпрограммы расчета кулоновского поля.

Алгоритм тестирования:

1. Задается число . разбиений пространственного квазипериода.

2. Число N модельных частиц полагается равным числу разбиений .. Всем модельным частицам присваивается одинаковая скорость V (следовательно, одинаковая приведенная энергия 7). С учетом скорости частиц рассчитывается пространственный квазипериод пучка 2Н.

3. Задается положение сгустка в лабораторной системе отсчета: [гс — Н, гс + Н]. Вводится сетка с узлами 3 = 1, J (середины разбиений).

4. Задается функция (32) - тестовая плотность заряда движущегося сгустка. При этом Ао = <3/27гД27Я, где <3 ~~ заряд сгустка, К - радиус пучка, а коэффициенты Ат, Вт, то = 1, М, - произвольные числа; М << 3.

5. Рассчитываются тестовые значения напряженности 3 = 1, ^ по формулам (35) или (37) в зависимости от вида модельных частиц.

6. По заданной плотности заряда (32) моделируется специальное распределение частиц, позволяющее построить кусочно-постоянную аппроксимацию (38), (39) указанной плотности. Для этого модельным частицам присваиваются заряды (41) с^, 3 = 1,.1; частицы размещаются в центрах разбиений - узлах сетки 3 = 1,

7. Запускается подпрограмма расчета кулоновского поля пучка, в которой должно быть предусмотрено использование модельных частиц с различными по величине зарядами. Вычисляются значения 3 = 1, .7, модельной напряженности поля в узлах сетки.

8. Сравниваются наборы значений 3 = 1, Л1 и 3 = 1, 3. При этом задается максимальная допустимая относительная погрешность е и проверяется выполнение неравенства (47). Если оно не выполняется и не удается добиться его выполнения при увеличении количества разбиений . , то делается вывод о неверной работе подпрограммы расчета кулоновского поля.

9. Дополнительная проверка: указанное сравнение осуществляется для разных М и различных Ат, Вт, то = 1, М.

Замечания к применению метода тестирования. Данный метод прост в реализации и обеспечивает возможность многократных проверок для различных М и Ат, Вт, то = 1 , М. Однако он может «пропустить» ошибки, допущенные при осуществлении «раздачи» заряда и скорости в узлы сетки (это касается тестирования модели дисков-разбиений, см. ниже п. 7). Поэтому в данном случае желательно провести дополнительное тестирование, например с использованием другого варианта дисковой модели пучка.

Прежде чем приступать к какому-либо тестированию, следует убедиться в правильности расчета функций Бесселя и корректности вычисления слагаемых модельной напряженности при больших значениях аргумента гиперболических функций.

7. Пример тестирования. Предложенный метод тестирования программы расчета кулоновского поля был реализован Е. Н. Судденко при подготовке работы [20]. Рассматривалась продольная динамика квазипериодического пучка электронов в линейном ускорителе с основными характеристиками: энергия инжекции - 40 кэВ; длина ускоряющей волны - 10 см; длина ускорителя - 78 см; ток пучка - 3 А.

При расчете кулоновского поля использовалась модель дисков-разбиений, т. е. реализован следующий способ учета взаимодействия частиц. Вводится N модельных частиц, это бесконечно тонкие диски радиуса Я. Сгусток разбивается на . дисков конечной толщины 2Н = 2Н/.. Разбиению с номером 3 соответствуют координата центра г], заряд Я] и приведенная энергия ^з. Величины Я] и ^з рассчитываются на основе

положений и скоростей частиц по методу «облака в ячейках» (при этом частицам приписывается толщина 2H/N).

Напряженность потенциального поля, определяющая действие . дисков-разбиений сгустка на частицу - бесконечно тонкий диск с продольной координатой г, представляется выражением, получаемым на основе результатов [16]:

М \ - а V* У* ^ Л2(г/тД/а)

nR2he0 j=1 Yj m=i vmJl(vm)sh(vmYjH/a) ^

ch -\z- (z3 + h)\)) - ch -\z- (z3 - h)\)) 1

Отметим, что Zj — h и Zj + h - координаты соответственно левой и правой границ j-го разбиения. Если \z — Zj\ > H, то в формуле (48) следует заменить Zj на координату ближайшего к точке наблюдения z периодического образа центра j-го разбиения.

Ряд (48) сходится, причем его сумма непрерывна по z, но производная dE/dz терпит разрывы на границах разбиений. Модель дисков-разбиений гибридная: движутся бесконечно тонкие диски, но в формуле (48) для собственного электрического поля пучка используются координаты и приведенные энергии дисков-разбиений. В силу указанных причин, представление (48) не позволяет построить интегродифференциальную модель динамики пучка вида (1)-(5), удовлетворяющую введенным в п. 1 предположениям.

Для сокращения времени счета полезна следующая модификация. На пространственном периоде вводится сетка с узлами, представляющими собой середины разбиений. В каждом таком узле вычисляется напряженность, характеризующая действие всех J разбиений (и их периодических образов) на бесконечно тонкий диск радиуса R, находящийся в этом узле сетки. Напряженность в промежуточных точках определяется при помощи линейной интерполяции. Проводится табулирование напряженностей, создаваемых в узлах сетки дисками-разбиениями с единичным зарядом. Так как число разбиений J может быть на порядок меньше числа частиц N, описанный метод моделирования кулоновского поля пучка является «быстрым».

Данный метод расчета кулоновского поля применен при исследовании продольной динамики пучка в линейном ускорителе. Разработана соответствующая подпрограмма на языке C++ в среде Visual Studio. При тестировании подпрограммы использовалась уже готовая сетка с J узлами на пространственном периоде, считалось, что N = J, модельные частицы с зарядами rjj, j = 1, J, представленными формулой (41), размещались в центрах разбиений. Коэффициенты тригонометрического полинома, характеризующего плотность распределения заряда по длине сгустка, были выбраны в виде Ат = 0.000003т, Вт = 0.00007cos(m +4), то = l, M. Тестирование проводилось многократно. Так, при M = 1 и £ = 0.01 требуемая точность совпадения модельной и тестовой напряженностей достигнута при J ^ 200. Для M = 15 и £ = 0.05 неравенство (47) выполнено при J ^ 100.

Результаты проведенного тестирования не дают оснований считать, что подпрограмма расчета кулоновского поля содержит ошибки.

Заключение. В настоящей работе интегродифференциальная модель динамики пучка взаимодействующих частиц применяется для описания продольного движения квазипериодического пучка. При использовании сглаженных функций влияния имеют место существование и единственность решения соответствующей системы

интегродифференциальных уравнений и, более того, может быть рассмотрена задача оптимального управления ансамблем траекторий.

Представлены различные модели учета взаимодействия частиц при исследовании продольной динамики квазипериодического аксиально-симметричного пучка. Предложен простой в реализации метод тестирования программы расчета кулоновского поля, основанный на его аппроксимации тригонометрическим полиномом. Метод может применяться при тестировании программ, реализующих любой вариант дисковой модели пучка, в том числе рассмотренные в статье модели дисков-облаков и дисков-разбиений. Данный метод успешно применен при тестировании программы расчета взаимодействия частиц в линейном волноводном ускорителе.

Полученные в работе результаты могут использоваться при решении задач моделирования и оптимизации динамики заряженных пучков.

Литература

1. Овсянников Д. А. Моделирование и оптимизация динамики пучков заряженных частиц. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1990. 312 с.

2. Овсянников Д. А., Егоров Н. В. Математическое моделирование систем формирования электронных и ионных пучков. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1998. 276 с.

3. Овсянников Д. А., Дривотин О. И. Моделирование интенсивных пучков заряженных частиц. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2003. 176 с.

4. Дривотин О. И., Овсянников Д. А. О самосогласованных распределениях для пучка заряженных частиц в продольном магнитном поле // Докл. РАН. 1994. Т. 33, № 3. С. 284—287.

5. Дривотин О. И., Овсянников Д. А. О новых классах стационарных решений уравнения Власова для аксиально-симметричного пучка заряженных частиц с постоянной плотностью // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1989. Т. 29, № 8. С. 1245—1250.

6. Дривотин О. И., Овсянников Д. А. Самосогласованные распределения заряженных частиц в магнитном поле. I // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2004. № 1—2. С. 3—15.

7. Дривотин О. И., Овсянников Д. А. Самосогласованные распределения заряженных частиц в магнитном поле. II // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2004. № 1—2. С. 70—81.

8. Рубцова И. Д. Моделирование продольной динамики пучка заряженных частиц в группирова-теле с учетом нагрузки резонаторов пучком // Вопросы механики и процессов управления. Вып. 12. Математические методы моделирования и анализа управляемых процессов. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1989. С. 69-77.

9. Olemskoy I. V., Rubtsova I. D. Modeling and Optimization of Beam Dynamics in Resonance Bunching and Decelerating Systems // Proc. of the First Intern. Workshop: Beam Dynamics & Optimization. St. Petersburg, 1995. P. 143-153.

10. Овсянников Д. А., Едаменко Н. С. Моделирование динамики пучков заряженных частиц // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2013. Вып. 2. С. 61-66.

11. Ovsyannikov D. A., Ovsyannikov A. D., Vorogushin M. F., Svistunov Yu. A., Durkin A. P. Beam Dynamics Optimization: Models, Methods and Applications // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment. 2006. Vol. 558, N 1. P. 11-19.

12. Ovsyannikov D. A., Ovsyannikov A. D., Antropov I. V., Kozynchenko V. A. BDO-RFQ Code and Optimization Models // Proc. of Intern. Conference on Physics and Control. St. Petersburg, 2005. P. 282-288.

13. Bondarev B., Durkin A., Ivanov Y., Shumakov I., Vinogradov S., Ovsyannikov A., Ovsyannikov D. The LIDOS.RFQ.DESIGNER development // Proc. of the IEEE Particle Accelerator Conference 2001 Particle Accelerator Conference. Chicago, IL, 2001. P. 2947-2949.

14. Владимирова Л. В., Овсянников Д. А., Рубцова И. Д., Дуркин А. П., Шлыгин О. Ю., Свистунов Ю. А. Оптимизация динамики частиц в ускорительной установке с учетом возбуждения резонаторов пучком // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Техника физич. эксперимента. 1987. Вып. 4(35). С. 64-67.

15. Владимирова Л. В. Оптимизация динамики пучков взаимодействующих частиц в линейном ускорителе // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1995. № 6. С. 178-183.

16. Жук В. В., Минаев С. В., Овсянников Д. А., Рубцова И. Д., Скопина М. А. О моделировании кулоновского поля аксиально-симметричного пучка заряженных частиц. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1987. Деп. в ВИНИТИ 27.01.87, № 638-В87.

17. Рошаль А. С. Моделирование заряженных пучков. М.: Атомиздат, 1979. 224 с.

18. Березин Ю. А., Вшивков В. А. Метод частиц в динамике разреженной плазмы. Новосибирск: Наука, Сиб. отд., 1980. 96 с.

19. Поттер Д. Вычислительные методы в физике / пер. с англ. Г. В. Переверзева; под ред. Ю. Н. Днестровского. М.: Мир, 1975. 392 с. (Potter D. Computational Physics.)

20. Rubtsova I. D., Suddenko E. N. Investigation of Program and Perturbed Motions of Particles in Linear Accelerator // Proc. of RUPAC 2012, St. Petersburg. Russia, 2012. P. 367-369.

Статья рекомендована к печати проф. Д. А. Овсянниковым. Статья поступила в редакцию 31 октября 2013 г.

Контактная информация

Рубцова Ирина Деонисовна — кандидат физико-математических наук, доцент; е-mail: rubtsova05@mail.ru

Rubtsova Irina Deonisovna — candidate of physical and mathematical sciences, reader, St. Petersburg State University, 199034, St. Petersburg, Russia Federation; e-mail: rubtsova05@mail.ru