CC BY
75
УДК 621.384.6 Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2013, вып. 2
Д. А. Овсянников, Н. С. Едаменко
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПУЧКОВ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
Введение. В работе рассматриваются проблемы моделирования интенсивных пучков заряженных частиц. Исследуется интегродифференциальная модель динамики частиц со сглаженным взаимодействием, для которой доказывается существование и единственность решения. В п. 2, 3 приводятся примеры построения таких моделей.
1. Интегродифференциальная модель динамики заряженных частиц. Будем предполагать, что динамика пучка заряженных частиц с учетом взаимодействия моделируется системой уравнений
f = (1)
^ + ^f + pdivxf(t,x)=0, (2)
f (t,x) = f1(t,x) + J p(t,y)f2(t,x,y)dy (3)
Mt
c начальными условиями
x(t0, X0) = x0 в Mо, p(t0, x) = po(x). (4)
Здесь Mo - непустое открытое ограниченное множество в Rn; po(x) - вещественная непрерывная неотрицательная функция, определенная в Мо и задающая плотность распределения частиц в фазовом пространстве в начальный момент времени; векторная функция fi(t,x) отражает действие внешних электромагнитных полей, а векторная функция f2(t,x,y) - действие сил взаимодействия частиц. Решения системы (1)-(4) представляют собой совокупность векторных функций x(t,xo), определяющих пучок траекторий, исходящих из множества Mo (заметим, что Mt = {x(t,xo) : xo G ^0}), и плотность p(t, x(t, xo)) вдоль этих траекторий. На самом деле, равенство (2) означает, что
У p(t,y)f2(t,x,y)dy = J po(yo)f2(t,x,x(t,yo))dyo,
Mt Mo
т. е. рассматривается система интегродифференциальных уравнений dx(t xo) f
-^-= f(t,x(t,xo)) = fi(t,x(t,x0)) + / po(yo)f2(t,x(t,xo),x(t,yo))dyo (5)
Mo
c начальными условиями
x(t0,x0) = x0 £ M0. (6)
Овсянников Дмитрий Александрович — доктор физико-математических наук, профессор, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: [email protected].
Едаменко Николай Семенович — кандидат физико-математических наук, доцент, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: [email protected]. © Д. А. Овсянников, Н. С. Едаменко, 2013
Предположим, что векторные вещественные функции fi(t,x) и f2(t,x,y) определены и непрерывны на множествах (а, в) х il и (а, в) х il х il, где (а, в) G R1, а il - область в Rn. Введем обозначения
Ra = {t: |t-t0| Мь = {х: ||х-х0|| О.юеЩ,
R1 = Rax Мь, R2 = RaxMbx Мь. Имеет место следующая теорема существования и единственности. Теорема. Пусть выполнены условия:
1) задана неотрицательная функция ро(х) G С (M о), причем р о (ж) > 0 для х G Mo, и f po(x)dx = р <
Mo _
2) заданы числа а > 0 и Ъ > 0, такие, что Ra С (а,/3), Мь С О; 5; Mi =sup(M)e^ ||fi((t,x))| М2 = sup(i œ y)e^2 ^^^у^Ь
4) векторные функции fi(t,x) и f2(t,x,y) удовлетворяют условиям Липшица
\\fi(t,x) - fi(t,x)\\ < Li\\x -х\\ при (t,x), (t,x) G Ri, \\Î2{t,x,y) - f2(t,x,y)H < L2(\\x -x\\ + \\y-y\\) при (t,x,y), (t,x,y) G R2. Тогда существует единственная векторная функция x(t,x0), определенная и непрерывно дифференцируемая по t и непрерывная по хо на Rh х M о, удовлетворяющая уравнению (5) и начальным условиям x(to,xo) = xo. Здесь h = min(a,b/M), а M = Mi + pM2.
Подробное доказательство этой теоремы и нескольких полезных для приложений замечаний можно найти в монографии [1]. При этом используется метод последовательных приближений Пикара для решения системы интегральных уравнений t t
x(t,xo) = xo + J fi(r,x(r,xo))dr + J J po(yo)f2(r,x(r,xo),x(r,y0))dy0d,r, (7)
to to Mo
эквивалентной системе (5), (6). Наличие третьего слагаемого в правой части системы (7) приводит к некоторым особенностям в схеме доказательства существования и единственности решения системы (7). В частности, для последовательности Пикара t t
xk+i(t,xo)= xo + j fi(r,xk (r,xo))dr + j j po(yo)f2(r,xk (r,xo),xk (r,yo))dyodr,
to to Mo
xo(t, xo) = xo, k = 0,1,...,
имеем оценки
Hxk (t, xo) - xo|| < M ^ - to | t G Rh, k = 0,1,..., \\xk(r, x0) - xk-\r, x0)|| < fiLlt~k'°l)\ k = 1,2,...,
при t G Rh, И x0 G Mo, где M = Mi + pM2, a L = + 2pL2. Таким образом, для ряда
œ
„kU „ \ „k-i
xo(t, xo) + J2(xk (t, xo) - xk-i (t, xo)) (8)
k=i
получаем мажорантный
L k!
k=i
что доказывает, в силу теоремы Вейерштрасса, равномерную по (¿о,жо) 6 х Мо сходимость ряда (8) с частичной суммой Бт = хт (Ь,хо) к непрерывной векторной функции х(Ь,хо). Последнее означает, что приближения Пикара сходятся равномерно на Кь х Мо к ж(£, жо) и, следовательно, ж(£, жо) есть непрерывно дифференцируемое решение системы (7).
При доказательстве единственности используется лемма Гронуолла. Если система (7) имеет два решения х(Ь, хо) и х(Ь, хо), то
г
\\х(г,хо) - х(г,хо)\\ = \\!(/(т,х(т,хо)) - /(т, х(т, хо)))Лт||. (9)
го
Введем обозначение
(\\х(Ь, хо) - х(Ь, хо)\\) = J ро(хо)\\х(Ь, хо) - х(Ь, хо)\^хо.
Мо
Умножим обе части равенства (9) на ро(хо), а затем проинтегрируем по Мо. Произведя соответствующие оценки, найдем
г
(\\х(г, хо) - х(г, хо)\\) < Ц !{\\х(т, хо) - х(т, хо)\\)\^т,
го
где Ь = Ь\ + 2рЬ2. Отсюда по лемме Гронуолла следует {\\х(Ь,хо) - х(Ь,хо)\\) = 0. Учитывая, что ро(хо) > 0 для хо € Мо, получаем х(Ь,хо) = х(Ь,хо) для всех Ь € Ян и хо € Мо.
2. Модель «дисков» в интегродифференциальной форме. При изучении продольного движения заряженных частиц в осесимметричных электромагнитных полях линейных ускорителей пучок частиц с общим зарядом Q и общей массой М часто рассматривается [2] как совокупность N дисков радиуса Я тонких или имеющих толщину 2й. Каждый диск, несущий заряд е = Q/N и массу т = M/N, перемещается со временем Ь вдоль оси г ускоряющей структуры длины Ь под действием силы Ег поля, создаваемого в ускорителе, и силы Ег действия остальных дисков.
Пусть А - длина волны высокочастотного ускоряющего поля; £ = г/А € \0,Ь/А\ и т = еЬ/А - безразмерные продольная координата и время соответственно; Ег = Ео(А£) вт^^т+ро); , Рг - координата и приведенный импульс г-го диска соответственно. Тогда уравнения движения г-го диска имеют вид
Рг ¿рг . АРг
¿т у/1+р2 «т тое2
Здесь рг = ¡¡г!\] 1 — ¡¡1, ¡¡г = -у»/с, VI - скорость г-го диска вдоль оси а(^) = еАЕо(А£)/(тое2); Ег = £N
=1 , где ^ сила действия ^-го диска на г-й. При вычислении силы Е^ считаем, что ]-й диск движется равномерно в бесконечной трубе и потенциал любой его равномерно заряженной с единичной плотностью окружности в собственной системе координат, начало которой совпадает с центром этой окружности, задается (при условиях и = 0 на трубе и ди/дг = 0 на оси) [2] равенством
еоа
В формуле (11) Н0 - радиус заряженной окружности, а - радиус трубы, и -функции Бесселя нулевого и первого порядка соответственно, рг - корни функции ,1о, г - расстояние от оси трубы, г - продольная координата точки, в которой вычисляется потенциал (начало отсчета совпадает с центром окружности). Интегрируя напряженность поля, создаваемого окружностью, т. е. —ди/дг, определяем силу, с которой 3-й тонкий диск с плотностью заряда е/(пН2) действует на г-й диск вдоль оси
™ "«<> = '(йг)'^ <12>
Заметим, что Е& — ) терпит конечный разрыв при & = . Интегрируя равенство (12), можно найти силу Е& — ) взаимодействия дисков толщины 2ё, центры которых находятся в точках & и . В этом случае Е& — ) непрерывна и Е(0) = 0.
При моделировании динамики частиц с учетом релятивистских эффектов в формулы следует ввести импульс 3-й крупной частицы рз. Тогда Е = Е& — ,рз). Таким образом, Ег во втором из уравнений (10) для фазовых координат &г,рг имеет вид Ег =
3 Е & — 3 р).
Зададим множество точек {(&го,Рго)}^=1, и пусть & = &г(т,&го,Рго), Рг = Рг(т,&го,Рго) есть решения системы (10) с начальными условиями
&г(то,&го, Рго) = &го, Рг = р(т, &го ,Рго) = Рго, г = 1, 2,...,М.
Пусть {(&г,Рг)}|=1 - положения и импульсы дисков в момент времени т. Заключим это множество в прямоугольник на плоскости (&, р) со сторонами, параллельными осям, и разобьем прямоугольник на ячейки. Пусть (&к ,р1) - координаты левого нижнего угла некоторой ячейки, Пк1 - число дисков из этой ячейки, а 1к1 - множество номеров данных дисков, т. е.
1ы = {з е [1 : М]: &,Рз) е [&к,&к+1] х [р1,р1+1]}. Предположим еще существование функции р(т, &, р) такой, что
пк1« Мр(тк ,&,Тр)(е+1—е )(р1+1 — р1).
Тогда
1 N 1
^£т-м = ^"*
3 = 1 к,1 ]Е1ы к,1
р »к Ллъ/с. ек Л\(ек+1 ек\(„1+1
к,1
«£ Р(т, &к,Р1 )Е& — &к,Р1)(.е+1 — &к)(Р1+1 — Р1). (13)
Отметим, что
V" п(т Рк г,1\(Рк+1 - £к)(п1+1 - V"
N
ХУт.^р'ж*-1 -е)(Р1+1 -р1) = (14)
к,1 к,1
Равенства (13) и (14) оправдывают введение интегродифференциальной дисковой модели продольного движения, в которой диск представляется функциями &(т,&о,Ро), р(т,&о,Ро), удовлетворяющими системе уравнений
ёт (1+ р2(т,&о,Ро))1/2
Ф(т,£о,Ро) ёт
(€)ып(2пт + <ро) + IУр(т,£',рШ(т& ,Ро) — &',р)ё& ¿р'. (16)
Мт
Здесь Мт - множество фазовых координат дисков в момент т на плоскости (^,т); (€о,Ро) € Мо, Мо - множество начальных положений пучка дисков. Пусть р(то,£,р) = ро(£,р) при (£,р) € Мо. Поскольку доля дисков в любой части М0 сохраняется при преобразовании = £(т,£'0,Ро), р' = р(т,£,о,Ро) этой части в часть Мт, а отношение площадей таких частей есть якобиан преобразования, то
' „'\л —1 ( В(€(т,€о,Ро),Р(т,€о,Р'о))
Р(т,€(т,€о,Ро),Р(т,&,Р'о)) = Ро(&,р'о) ^
V то ,Ро)
и, следовательно, после указанного преобразования
11 р(т,?,Р'Ш(т,Ь,Ро) - £,р'Ш'4р' =
мт
= II ро,Ро)С(£(т,£о,Ро) - £(т,&,Ро),Р(т,£оРоШ'о4Р'о. (17)
Мо
С учетом равенства (17) система (15), (16) приобретает вид
(%(т,€о,Ро) = р(т,£о,ро)
Лт (í+p2(r,Ь,Po))1/2,
(18)
+ !№'Р'о)С(£(т,£о,Ро) - ат,й,Р'о),Р(тЛ'оРоШ'о4р'о, (19)
Мо
где —£',р') = ХГ(£-£',р1 )/(тос2). Отметим, что, в силу (14), / / р(т, ^',р')4^'йр' = 1.
мт
В обозначениях
х = (X1 ,Х2) = (£,р), хо = (хо1,хо2) = (€о,Ро), /1 (г, ж) = (/ц(т, ж), /12(1", х)) = (ж2/+ а{х1)ат{2-кт + у>0)),
12(т,Х,У) = (121 (т,Х,У),122 (т,Х,У)) = (°,0(х1 - У1,У2))
система (18), (19) превращается в систему (5), (6). При этом условия теоремы существования и единственности решения выполнены.
3. Модель «шаров» в интегродифференциальной форме. Если одномерная дисковая модель удобна при изучении продольного движения пучков заряженных частиц, то для исследования трехмерных задач в качестве крупных частиц можно взять N равномерно заряженных зарядом ц = Q/N шаров, имеющих радиус а и массу т = Mо/N каждый. Уравнения движения г-го шара имеют вид
= -^=9(Е(г„г)+у,хВ(г„())+^Е13. (20)
3 = 1
В (20) г - радиус-вектор центра г-го шара, Е(г$, Ь) - напряженность внешнего электрического поля, В(г^,Ь) - магнитная индукция внешнего поля, - сила, с которой
3-й шар действует на г-й в момент времени Ь. В электростатическом приближении и для свободного пространства [3]
4 ~ 327Гбоа2 I 2а Г"' Ф) [ 2вз _ дв + 8>
Введем систему интегродифференциальных уравнений, аналогичную системе (18), (19):
<Ш.(т, Ир, ро) _ р(г, Ир, ро) Г9, ч
<*т (1 + р2(т~, И-р, Ро))1^2' [ '
= Ё(г, Щт, Но, рр)) + Р2(^о,Ро) х й(т> к(т> Ко> ро)) + ат (1+р (т, И.о, ро)) '
+ А !ро(П'о, р'о)(Щт, Ио, ро) — Щт, К, Ро^^НЩт, Ко, Ро) —
Мо
— И(т, К'о, Р'о)\\/(2а)) сЩ ёро. (22)
Здесь Л - длина волны внешнего высокочастотного электрического поля; с - скорость света; р = ш\/(шос) - импульс; И = г/Л; т = сЬ/Л; Е(т, И.) = дЛЕ(Лт/с, ЛЕ)/(тос2); В(т, И) = дЛВ(Лт/с, ЛИ)/(тос2); А = дЛ2д/(32пеотос2 а3); Мо - область шестимерного пространства переменных (И, р) = (х,у, г,рх,ру,рг); ро(И, р) - плотность распределения шаров в начальный момент то, неотрицательная непрерывная функция, определенная в Мр, причем /эр(1*., р) > 0 при (И., р) € Мр и / /эр(К-, р)ёИёр. Введем
Мо
обозначения: х = (х1,х2,хз,х4,хъ ,хё) = (х,у,г,рх,ру ,Рг), Ь(т,х) = (¡1,1,^,2,..., 11,6), где ¡1,г = хг(1 + х2 + х2 + х2)-1/2 при г = 1, 2, 3; ]1,4 = ¿1(т, х1,х2,хз) + (Взх5 — В2хб)(1+ х24 + х2 + х6)-1/2, ¡1,5 = Е2(т,х1,х2,хз) + (Вх — Взх4)(1+ х\ + х2, + х"^)-1/2, 11,6 = £з(т,хЛ,х2,хз) + (В2х4 —Вх )(1 + х24 + х\ + х26)-1/2; ¡2(т,х) = (¡2,1^2,2,...,Ь,б), где ¡2,г = 0 при г = 1, 2, 3; ¡2,г = А(х—з —у—з)р((х1 —у!)2 + (х2 —У2)2 + (хз —уз)2)1/2/(2а) при г = 4, 5, 6.
Система уравнений (21), (22) в этих обозначениях превращается в систему (5), (6) и условия теоремы существования и единственности решения выполнены.
Заключение. Рассмотренная математическая модель интегродифференциальных уравнений учета кулоновского взаимодействия и построенные примеры таких моделей могут эффективно использоваться при решении задач моделирования и оптимизации динамики пучков заряженных частиц в ускоряющих и фокусирующих структурах.
Литература
1. Овсянников Д. А. Моделирование и оптимизация динамики пучков заряженных частиц. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1990. 312 с.
2. Батыгин Ю. В., Гришаев И. А., Довбня А. Н. и др. Формирование интенсивных пучков на-носекундной длительности в линейных ускорителях // Журн. техн. физики. 1977. Т. 47, вып. 10. С. 2125-2131.
3. Мурин Б. П., Бондарев Б. И., Кушин В. В., Федотов А. П. Линейные ускорители ионов: в 2 т. Т. 1: Проблемы и теория. М.: Атомиздат, 1978. 264 с.
Статья поступила в редакцию 20 декабря 2012 г.
