Аналитические и численные алгоритмы вычисления кулоновского поля пучка заряженных частиц Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.558

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2007, вып. 3

В. А. Козынченко

АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ КУЛОНОВСКОГО ПОЛЯ ПУЧКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ

Введение. При моделировании динамики интенсивных пучков заряженных частиц большое значение имеет учет кулоновского взаимодействия между частицами. Для учета собственного поля пучка используются различные подходы. Основной моделью, описывающей динамику взаимодействующих частиц, является система уравнений Власова-Максвелла [1, 2]. Однако указанная система уравнений в общем случае является существенно нелинейной и не поддается до конца аналитическому исследованию. В связи с этим развиваются различные численные методы решения уравнения Власова, а также строятся физические и математические модели, позволяющие учитывать при расчете динамики заряженных частиц собственное поле пучка. Одним из наиболее распространенных методов учета взаимодействия частиц в ускоряющих структурах является метод крупных частиц (см., например, [2, 3]). Суть его состоит в том, что реальный сгусток заряженных частиц моделируется набором частиц с усредненными характеристиками. Так, пучок можно представлять в виде одинаковых равномерно заряженных шаров, после чего рассчитывать силу воздействия пучка на отдельную частицу как сумму сил попарного взаимодействия частиц (см., например, [4]). Также на основе расположения модельных частиц можно приближенно восстановить функцию плотности заряда пучка, после чего с помощью численных методов решить уравнение Пуассона, которому удовлетворяет потенциал собственного поля пучка. Несмотря на то, что указанные методы учета взаимодействия достаточно адекватно моделируют собственное поле пучка при достаточном количестве модельных частиц, они требуют больших временных затрат и машинных ресурсов. При проведении оптимизации динамики пучков заряженных частиц необходимы достаточно точные методы учета собственного поля пучка, для которых нужны значительно меньшие временные затраты. Для учета поперечного взаимодействия частиц И. М. Капчинским было предложено представлять пучок в виде заряженного цилиндра постоянной плотности [5]. На основе данной модели были получены как аналитические представления поперечных компонент напряженности кулоновского поля пучка, так и самосогласованные распределения частиц пучка (распределение Капчинского-Владимирского и его обобщения [2]). Для учета продольного и поперечного взаимодействия частиц плотность заряда цилиндра можно считать периодической функцией продольной координаты [6].

В данной работе, с учетом того, что плотность заряда пучка может быть определена приближенно и только в конечном множестве точек, предлагается считать функцию плотности заряда пучка известной функцией, совпадающей в конечном множестве точек с известными значениями плотности заряда. Предполагается, что правая часть уравнения Пуассона представлена в виде формулы тригонометрической интерполяции (тригонометрического полинома) [7]. На основе данного подхода можно строить аналитические и численные алгоритмы решения уравнения Пуассона, описывающего собственное поле пучка. Чтобы учесть влияние непостоянства радиуса пучка на продольную составляющую его кулоновского поля, пучок можно представлять в виде тела

© В. А. Козынченко, 2007

вращения. Важную роль для использования уравнений поперечного движения для огибающей пучка заряженных частиц имеет получение представлений для линеаризованной поперечной компоненты напряженности собственного поля пучка. Указанные представления дают возможность моделировать поперечную динамику заряженных частиц с использованием уравнений для огибающей пучка, учитывая влияние собственного поля пучка.

1. Математическая модель круглого пучка заряженных частиц в круглой соосной металлической трубе с учетом периодической модуляции плотности заряда пучка. При моделировании динамики пучка заряженных частиц будем применять метод крупных частиц, представляя пучок набором модельных частиц различного типа. Для определения кулоновского поля пучка заряженных частиц представим пучок бесконечным круглым цилиндром радиуса Я, который находится в соосной круглой металлической трубе радиуса а. Введем цилиндрическую систему координат (г, в, г), ось Ог которой совпадает с осью симметрии трубы. Будем полагать, что пучок обладает азимутальной симметрией, т. е. координаты и скорости частиц не зависят от полярного угла в. В этом случае потенциал кулоновского поля и(г, г) будет удовлетворять уравнению Пуассона

1 д / ди (г, г)

где/ (г, г) = р(г,г)

г дг \ дг ) дг2

(1)

_ р(г,г) _

,г > Я

единицу длины, и граничным условиям

Г т(г

< тгд7'' т (г) - заряд пучка, приходящийся на

{ 0,г > л •ш

и(г,а) = О Уг, (2)

ди(г, г)

дг

= 0 %

г=0

и(г, г) = и(г + I/, г) Уг, Уг € [0, а],

ди(г, г)

дг

ди(г,г)

г=р

дг

Vг, Уг € [0, а].

(3)

(4)

(5)

г=р+Ь

Функции и(г,г), , ди(уг) будем полагать непрерывными при г = Я. Введем обо-

значения: и

, , / у, о^ , иш1а1аю д 11V > I

(■(г) = 4 с/ \ ^ ту ' К{г) = { з\ \ ^ О - При

таких обозначениях

граничные условия (2)-(5), а также условие непрерывности функций и(г,г), 8 ¿¿'Г|),

дг

ди{::'г? при г = Я примут вид

и){г,а) ~ 0 Уг, Зг;(.г, г)

<9г

г=0

г)

йг

0 Уг,

«(г, г) = «(« + £,,»■) Уг,Уг € [0, Я], ги(г, г) = ш{г + Ь, г) Уг,Уг € [Я, а],

У г, У г е [0,Я],

дг'(г, г)

г=р

дг

г=р+Ь

(б)

(7)

(8) (9)

(10) 31

дги(г, г) дг

~.=р

дгп{г, г) дг

Уг^г € [Д, а],

:=р+Ь

у(х,В) = у}(х,К) Уг,

дг>(г, г)

дг ду(г, г)

дт(г, г)

дг

г=Д

г=Я

дг ди)(г, г)

дг

г=Л

Г=Л

V г.

(11) (12)

(13)

(14)

Исходя из того, что при расчете поля объемного заряда пучок заряженных частиц в линейном ускорителе представляется набором одинаковых сгустков, функцию /(г, г) будем полагать периодической по г с периодом Ь. Функцию заряда пучка, приходящегося на единицу длины, т (г) будем моделировать методом облака в ячейках на основе расположения модельных частиц. Таким образом, будут определены значения функции т (г) в узлах сетки 5 = = /п, /г = Ь/Ы, г = О, ЛГ}, где N - количество шагов сетки. По формулам (1) определим значения функции / (г,0) в узлах сетки 5. Будем моделировать функцию /(г, г) тригонометрическим полиномом, значения которого в узлах сетки 5 совпадают с известными величинами /г = /(^¿,0):

1 Л/

= -Г0 + £ (Я(г) совНг) + Я (г) *т(сокг)),

к=1

где шк = М = /£(г

0 = ( ] 1 0,г

/|(г) =

,г > Д

енты тригонометрического полинома предполагаются известными и определяются по следующим формулам (см., например, [8]):

Я,Г ^ Д 0, г > Д

(15)

Коэффици-

лгг-1

/о ~ дг Л Я! ~ /V. Е ^

сое

27тЫ

Ж'

N,-1

К - Е ^

вт

2ттИ

аГ'

(1б)

г=0 * г=0 * )=0

2. Потенциал кулоновского поля пучка. Будем искать решение уравнения Пуассона (1) с граничными условиями (2)-(5) в виде тригонометрического полинома

м

и(г,г) = + (и£(г) сое+ (г) вши;*г).

(17)

/с=1

Подставив представления для функций /(г, г) и и(г,г) (15)—(17) в уравнение (1) и приравняв коэффициенты при одинаковых функциях сово^л и втш^-г, получим

/ (Щт)

Г ¿Г V с1г

-Го, г^Я,

г ¿г

<1у1(Г) ¿г

фек{г) = -/£, г^Д,

1_с2

г с1г

(18)

(19)

1 Л ( (1гиг,(г)\ п „

г—^ =0, К<г<: а, г аг V аг

1с// (1и)вк (г) г с1г

(1г

(г) = 0, В<г ^а.

Граничные условия (6)-(14) примут вид

ы1(г,а) = 0, пск(г,а)= О V.-,

(21) (22)

(23)

(24)

дг

о,

г=о

дуЦг,г)

дг

= 0 Уг,

г=0

у1(г,В) = п}*к(г,В) V*,

(25)

(26)

дуск(г,г)

дг

дьск(г,г)

дг

г=Я

г=я

ди>гк{г:г) дг

ди>%{г,г) дг

дуЦг,г)

г=я

г=я

дг дуЦг,г)

г=я

с)?'

г=я

= &и>'к(г,г) дг

д'шЦг,г) дг

г—И

г=1{

Уг,

У г.

(27;

(28)

Очевидно, что условия (10)—(13) выполняются автоматически, если решение уравнения Пуассона (1) имеет вид (17). Решая уравнение (18) с учетом граничного условия (25), получим

1>о(г) = -/¿Л-/'! + С0.

Решая уравнение (21) с учетом условия непрерывности (28), находим, что при В <г ^ а Юд(г) — -0,5/¿В21п г + С\. Из граничного условия (24) имеем С\ =0,5/о-й2 1па. Таким образом, при В < г ^ а представление для и^(г) принимает окончательный вид

ЧМ = -\loIi2 (1па-1пг).

После получения представления для как при г ^ Л, так и при В < г ^ а,

можно найти константу Со из условия непрерывности (26). Приравнивая правые части полученных выражений для Юд(г) и положив в них г = В, имеем

Со = /0сД-(21па-21пД+1)/4. Таким образом, найдены окончательные представления ДЛЯ Ио(г)

при г ^ В ус0(г) = (21по - 21пЛ + 1 -при В < г ^ а ги£(г) = (1па - 1пг).

Перейдем к рассмотрению уравнений (19), (20) и (22), (23). Рассмотрим сначала уравнения (19) и (22) при /£ = 0. В этом случае они превращаются в единое уравнение

|| (г^^г^) - и2киск(г) =0,0 < г < а для функции иск{г). Аналогично, (20) и (23)

ПРИ Я = 0 превращаются в единое уравнение ^^ (г^'¡¡^^ — и>кик(г) = 0,0 < г < а для функции ик(г). Очевидно, что функции ик(г) и ик(г) являются решением уравнения (г^^ ^ — и)кц(г) = 0, 0 < г < а для функции ц{г). Преобразуем данное

уравнение: -+ — ик[1.{г) = 0. Его решение выражается через модифици-

рованные функции Бесселя и Ганкеля 10 и Ко: ц(г) = С\1о(шк'г) + СгКо^кг) (см., например, [9]). Из условия ограниченности решения при г = 0 следует С2 = 0. Таким образом, //(?•) = С\ ¡о (и;к г). Для определения коэффициента С\ воспользуемся граничным условием (2), откуда вытекает, что С\ = 0. Следовательно, ик(г) = 0 при /к = 0. Аналогично, ик(г) = 0 при /к = 0.

Будем теперь рассматривать случай /к ф 0 и /к Ф 0. Преобразуем уравнения (19), (20) при условии, что }к ф 0 и /к ф 0:

¿2г;,с(г) 1 йУи (г) , .. ч <РК{Г) 1 ^1>1(г) 2

Таким образом, функции ик/}к и ик//к удовлетворяют одному уравнению:

Будем искать частное решение уравнения (29) в виде константы: Цк (г) = С. Подставив константу в (29), находим С = 1 Учитывая, что однородное уравнение, соответствующее неоднородному уравнению (29), является модифицированным уравнением Бесселя нулевого порядка, получим общее решение уравнения (29) [9]:

/Ч-(г) = Л + Сг1оМ + С2КоМ. (30)

ик

Подставив в него Цк{г) = 'уо(г)//си имеем

«*(»■) = Я (Л + СШш*г) + С2Ао(^г)) , «г(г) = Я (Л + ЫМ + С21<оМ

Учитывая граничное условие (25), находим константу Со = 0:

= г^Д. (31)

Формулы (31) получены при условии, что /к / 0, / 0. Они верны и при ¡гк = 0, Я = 0. Действительно, полагая в (31) /£ = 0 и }к = 0, находим уск(г) = 0 и Ук{г) = 0. Такие же формулы были выведены для г ^ В, при /£ = 0, }к = 0.

Будем решать уравнения (22), (23). Функции ги°к(г) и ги£(г) удовлетворяют уравнению

1 (I (2

гйг

После преобразований оно сводится к модифицированному уравнению Бесселя:

<1г2 г ¿г Л 4 Учитывая вид решений ьк(г) и Ук(г), будем искать решения уравнений (22), (23) в виде линейной комбинации модифицированных функций Бесселя и Ганкеля 70 и Ко:

уоЦГ) = Гк(С310(сокг) + С4КоМ), юЦг) = Я(СзМ^г) + С,К0(Шкг)). Производные от указанных решений будут иметь вид

= ПМСзЬМ - С.КгМ), = Гкик(С31гМ - С4К 1(ыкг)),

аг аг

а производные решений уравнений (22), (23) при г ^ Я

= шкГкСхЬМ, ^^ = ыиПС^ы). Из условия непрерывности на границе пучка (26),(28) получим

Сг10{иокК) + СлК0(шкЯ) = \ + Ы (шкЯ), (32)

С311 (икЯ) - С4К\ (шкЯ) = СгЬ(шкЯ). (33)

Из граничного условия на апертуре (24) имеем

С3/0Цй) + С4К0(ика) = 0. (34)

Решая систему уравнений (32)-(34) относительно неизвестных коэффициентов С\, Сз, С4, найдем искомые коэффициенты

К0(шка)1х(икЩ

ш110{ика){К1{икЙ)1о{ыкВ) + h{ukR)KQ(ukR)Y K0(uka)Ii(ujkR) + К i (u>kR)Io(u>ka)

Cl uZlofaaHKfatylofaR) + h(cjkR)K0(ukR))'

c =_hfakR)_

4 uj\Kx (wkR)I0(ukR) + h (u}kR)K0(ukR)'

Таким образом, для потенциала круглого пучка радиуса R с периодической модуляцией плотности заряда по оси Oz, находящегося в круглой металлической трубе радиусом а, получено аналитическое представление в виде тригонометрического полинома вида (18)

м

u(z,r) = 0,5г«о(г) -I- ^ (uk(r) cosujkz + uk(r) simjkz). к=1

3. Напряженность кулоновского поля пучка. Представление для потенциала круглого пучка радиуса R с периодической модуляцией плотности заряда по оси Oz,

находящегося в круглой металлической трубе радиусом а на оси пучка (при г = 0) будет иметь вид

м

u{z,0) = 0,5mq(0) + J2 («*(0)cosukz + uak(0)sinukz), (35)

k=1

где u§(0) = /ос^(21пя - 21пД + 1); «£(0) = Я (zJJ + Ci/o(0)); иЦ0) =

Я + Ci^o(0)j- Для вывода формулы для продольной компоненты напряженности собственного поля пучка на оси структуры продифференцируем по переменной z выражение для потенциала (35):

, , „S м

Ez (z,г)|r=0 = = Y,Wk ^(O)sinuikz - ul(OJcoswaí), (36)

к= 1

в котором 4(0) = Я (i + 07x70(0)), <(0) = Я + ЗД(0)).

Формулы (36) позволяют определить влияние собственного поля пучка на модельные частицы, для которых рассчитывается продольное движение.

Для получения формулы для поперечной компоненты напряженности собственного поля пучка продифференцируем выражение для потенциала (35) по переменной г:

—Ег(г,г) = = + £ Носова** + ^sin^A

k=i 4 '

duo(r) = / Г < R dul(r) _ í fkUkC\Il(ukr), Г ^ R

A dr \ <a' dr \fckujk(C:ih(Lükr)-C4K1(uJkr)),R<r^a'

rf»;.(r) _ í fkukCih{u}kr),r ^ Л '<r 1 f^k(C3h {cjkr) - CaKi (ukr)), R<r^a~ Таким образом, поперечную составляющую напряженности кулоновского поля пучка внутри пучка можно представить следующим образом:

1 ( ) м

Er(z,r) = -Jt^=f<L-Y,u>kC1I1(u,kr){fck(r) cos(cokz) + mr)sm(LOkz)). Г k=l

Используя разложение в ряд функции Бесселя 7 (х)

т , . 1 (0,5а:)3

h{x) = + ' (37)

получим линеаризованное выражение для поперечной составляющей напряженности кулоновского поля пучка внутри пучка, которую будем обозначать {^)l¡n-

ди\ Г М

г

дг J Нп =_2

fc JW

f ~ Y, (Я- COSM + Я SinМ)

2 к—1

Учитывая, что = г = л/х2 + у2, находим = §77. Аналогично, Щ =

С учетом представлений для частных производных линеаризованные поперечные компоненты напряженности кулоновского поля пучка заряженных частиц внутри пучка будут иметь следующие представления:

м

0,5/0с - (Я саа(и>к2) + Я 8ш(адг))

Зм4

-0,5?/

А=1 М

°>5/о - (Я сой(ш^) + Я вт(иА2))

Л=1

Теперь найдем представления для поперечных компонент напряженности кулонов-ского поля пучка заряженных частиц внутри пучка через значения его потенциала на оси структуры. Для этого, аналогично проведенным рассуждениям, подставим представление для потенциала и и функции / (15)—(17) в уравнение Пуассона (1) и граничные условия (2)-(5) ((6)-(14)). Внутри пучка, при г ^ Л, получим следующие уравнения для определения неизвестных функций ик(г) и ик{г):

{¿и°0(г)\ = г <1г V ¿г )

1А.

Г (1г г ¿г

.<*ик(г) <1г

¿и°к(г)

^К(г) = -Я, к = I,..., М,

= А=1.....АГ.

(38)

(39)

(40)

Из уравнения (38) имеем и^(г) = — /(¡г2/4 + Со- Полагая г = 0, можно получить такое представление для константы Со: Со = и£(0). Следовательно,

^(г) = -/осг2/4 + <(0). Решая уравнения (39), (40), находим для к = 1,..., М

иск(г) = Я (Л + Са/ом) , К(г) = Я (■Л + С1/о(^г)

г < Л.

(41)

Можно получить представление для константы С1 через значения и£(0) и ик(0). Для этого в формулах (41) положим г = 0: иск(0) = + С1), Ц(0) = + ^1)-

Таким образом, С1 = --С\ — ик^ — А-- Здесь необходимо отметить, что

'к ^к Н

ик (0) /Я = ик (0) /Я- Подставим представление для константы С\ в (41):

иЦт) =

4(0) - 4) ^оЦг), «2(г) = 4+ Й(0) - 4 ) 'оНг), г < Д. (42)

Отметим, что формулы (42) верны и для случая /к = 0, Я = 0. Действительно, учитывая, что иск(0) = 0, и£(0) = 0, получаем ик(г) = 0, ик(г) = 0.

Таким образом, потенциал поля внутри пучка выражается формулой

Е [(§ + («£(0) - §) /в(«кг)) сов^г) + + (<(0) - 5) 1оМ) 8т(ы*г)].

Поперечная составляющая напряженности поля внутри пучка (при г ^ Я ) имеет вид

м

ди - + Е^м ((и*(°)-5)+ ('ит ~й))•(43)

9г

Л=1

о;т

Выведем формулы для линеаризованных поперечных составляющих напряженности собственного поля внутри пучка. Для этого используем разложение в ряд (37). Подставим указанное выражение в формулу (43), и получим представление для линеаризованной поперечной составляющей напряженности собственного поля внутри пучка, которую будем обозначать

Окончательно находим

8и\

дх)Нп~~ 2*

1 м

«/о - Е (Ж(°) - Я) 008(0**) + (а,^(0) - Я) вш^**))

Л-=1

, (44)

ди

1 м

~/о - Е °) - Я) сов(о;^) + (о,^(0) - Я)

л=а

• (45)

Рассмотрим выражение в квадратных скобках в (44), (45) и обозначим его Ф:

м

ф = 5/0 - Е (Ж(0) - Я) С08(0^~)+ {со2ки1 - Я) шпК*)).

к—1

Сгруппировав слагаемые г м

Ф = г/о + Е (Я сой^л) + Я 8ш(одг)) - (К«*(0)) С08(и;*л!)+ ап{икг))

м

к=1

Л=1

М

и учитывая, что " = ~ I] и1 (и1(®) соя(и1кг) + и£(0)8т(о*.г)), получим выраже-

к=1

ние для Ф как суммы значений потенциала кулоновского поля пучка на оси пучка и второй производной потенциала по г:

Щг) = Нг,0) +

¿2и(г, 0)

Следовательно,

_ г 2

Аналогично, исходя из (44), (45),

//т

¿г2 ' (12и(г, 0)

¿г2 сРи{г,0)

с1г'2

ди\ _ у ду)нп 2

dz2

Таким образом, показано, что линеаризованные представления для поперечных компонент напряженности кулоновского поля круглого пучка с периодической зависимостью плотности заряда от продольной координаты в круглой металлической трубе могут быть выражены в виде суммы значений правой части уравнения Пуассона на оси структуры и второй производной потенциала поля пучка по продольной координате на оси структуры.

4. Математическая модель кулоновского поля круглого пучка заряженных частиц, учитывающая непостоянство поперечных размеров пучка и периодическую модуляцию плотности его заряда. Введем цилиндрическую систему координат, ось Oz которой совпадает с осью симметрии структуры. При расчете поля объемного заряда в некоторый фиксированный момент времени будем полагать, что пучок находится в трубе постоянного радиуса а и представляет собой тело вращения переменного радиуса R (л), ось симметрии которого совпадает с осью Oz. При этом радиус пучка и плотность объемного заряда внутри трубы являются периодическими функциями продольной координаты z. При фиксированном z плотность заряда внутри пучка постоянна. В этом случае в цилиндрической системе координат потенциал кулоновского поля пучка u(r, z) будет удовлетворять уравнению Пуассона (1) с граничными условиями (2)—(5), в которых будем полагать R = R(z). Функции u(z,r), , дд/

будем считать непрерывными на ограничивающей пучок фигуре вращения, т. е. при г = R(z). Функцию f(z,r) будем моделировать тригонометрическим полиномом, как показано в п. 1.

Введем в прямоугольнике fi = [О, L] х [0, а] равномерную прямоугольную сетку S'2 = {xij = (Zi,rj) : Zi = ihz,rj = jhr} с шагом по продольной координате hz = L/Nz и шагом по поперечной координате hr = L/Nr. Здесь Nz и Nr - количество шагов сетки по координатам гиг соответственно.

Заменим уравнение Пуассона (1) и краевые условия (2)-(5) разностной схемой [10]:

4(»j,i —Ц|.о) , «(i-n).o—Зт.о+Ц({-i).o _ г

hI h Щ ~ Ji'°>

(j+0.5)m,(j + i)-2juj,j+U-0,5)Uj,(j-i) _ f (48)

-Щ + Щ _ V '

fi,j = f(Zi,rj),

Ui,Nr = 0,

Щ,1 = ui,(-i)> (/19)

Щ J = uN,,j,

«1 ,j ~ W-1J = u(Nz + l),j ~ u(N,-l),j-

В уравнениях (48), (49) предполагается г = 0, Дг, j =

Для определения сеточной функции Д^-, аппроксимирующей правую часть уравнения Пуассона (1), будем пользоваться значениями функции /(г, г).

5. Приближенное нахождение методом сеток потенциала кулоновского поля круглого пучка заряженных частиц с учетом непостоянства поперечных размеров пучка. Будем искать решение разностной схемы (48), (49) при каждом фиксированном значении поперечной координаты в виде разложения по базису собственных функций разностного оператора Р2 = ^ аг1ПрОКСИМИруК>.

я2

щего дифференциальный оператор Указанный разностный оператор действует

в W (S1) - пространстве сеточных функций, определенных на одномерной равномерной сетке 51 = {zi = ihz} с шагом hz, введенной на отрезке [О,X]. В указанном пространстве сеточных функций скалярное произведение определено по правилу:

п

(zl,...,z„) x (У1,...,Уп) = ¿2 ХгУг-

¿=1

Нетрудно показать, что числа = — p-4sin2 являются собственными числами разностного оператора Р2, а сеточные функции цк (хг) = ц\ = cos (сокх.{) = cos (wkihz) и ик (xi) = ик = cos (w/tXi) = cos (wkihz) - его собственными функциями. Очевидно, что нуль - собственное число разностного оператора Р2, которому в качестве собственной функции соответствует единичная сеточная функция. Нетрудно также убедиться в ортогональности указанных сеточных функций.

Рассмотрим множество сеточных функций, определенных на сетке S1, у которых значения на крайних узлах сетки совпадают, и обозначим его Ф (S1), Ф (51) = {д (х), х £ S1 : д (.то) = д (хдгг)}- Очевидно, что множество Ф (S1) есть подмножество пространства И'(б"1), поэтому на него можно распространить введенные в пространстве W (S1) операцию сложения сеточных функций и операцию умножения сеточных функций на вещественные числа, а также скалярное произведение сеточных функций. Очевидно, что множество Ф (S1) замкнуто относительно операций сложения сеточных функций и умножения сеточных функций на вещественные числа, потому оно является линейным подпространством пространства W (51). Учитывая, что любая функция из пространства Ф (51) может быть представлена в виде

JVr-l

9(xi) = Е 9к (xi),

к=О

{1 j = о 1 = JV Г 1 i = к

О, 1 ^ гNr — 1, iGN ' {фк , и функции дк,

очевидно, являются линейно независимыми, базис пространства Ф (S1) состоит из Nr сеточных функций. При нечетном числе узлов сетки количество сеточных функций и и цк будет одинаковым: М = (Nz — 1) /2. Далее будем считать количество узлов сетки нечетным. В этом случае система сеточных функций, состоящая из единичной сеточной функции и собственных функций ик и цк, будет образовывать базис пространства сеточных функций S, в чем нетрудно убедиться, проверив их попарную ортогональность, из чего следует линейная независимость указанной системы.

Сеточная функция fcj, определенная на сетке 52, являющаяся правой частью разностной аппроксимации уравнения Пуассона (48), при каждом фиксированном j есть, с учетом требования периодичности объемного заряда внутри пучка, функция пространства Ф (S1). Таким образом, при каждом фиксированном j сеточная функция может быть разложена по базису, состоящему из единичной сеточной функции и функций ик и fik :

fij = 0,5aj + ^ (ai cos (ukihz) + sin (,wkihz)), i = 0, Nz, = 2irh/L, (50) k=1

с коэффициентами 40

i 2 . j 2 "v^1 . 2-rrki 2 V^1 , . 2ттк{ , ——

ao = дГ L Ai- < = дГ L Aj COS~Ñ~> = A;sm —' k = M-

* ¿=o г 1=0 г - 1=0 ~

Будем искать решение краевой задачи (48), (49) в виде разложения

1 М

ubj = 2Ао + XI cos (ukihz) + BJk sin (ujkih. (51)

k=i

Подставим представления для сеточных функций и /¿j (50), (51) в уравнения краевой задачи (48), (49) и приравняем коэффициенты при одинаковых функциях eos(cjkihz) и sin (uikih.z). После чего исследуем граничные условия (49). Первое из них выполняется, так как сеточная функция | _congt € Ф {S1), т. е. значения сеточной функции Uíj при каждом фиксированном j на концах сетки S1 совпадают. Второе граничное условие аналогично выполняется автоматически, так как разностная производная сеточной функции u¡¿ по г также есть сеточная функция из пространства Ф (51). Третье граничное условие учтено при выборе разностной аппроксимации уравнения Пуассона при г = 0. Четвертое граничное условие приводит к следующим условиям: А*'" = 0 при к = 07М и Вк* = 0 при к = Tj¡d.

Таким образом, получены системы для определения коэффициентов Аки Вк: для коэффициентов А3к, к — 0, М,

Г -^ + 4)A¡+4AÍ = -hlal _

(i - Ь) ЛГ' - (2 + %2) 4 + (' + bAi+l) = J = hNr- 1, (52)

i = 0;

для коэффициентов Вк, к — 1, ..М,

' - (4 + г,2) Вк + 4В\ = -hlPl _

< (l - é) - (2 + %) Bí+(l + ±B{+1) = -hlPl j = l,Nr- 1, (53)

. Bkr = o.

Здесь гЦ = 4^r sin2 Примем обозначения: А,. = ^А%,...,АкЛ , А: = 0,М,

Вк = (B°k,...,Bkr) , к = 1,М. Введем матриц}' Я^:

Я, (0,0) = - (4 + г;2) , Нк (0,1) = 4, Нк (JVr, Nr) = 1, Нк (i,i - 1) = 1 - I Я, (i, i) = - (2 + г,2) ,

Hk (i,i + i) = i + i, Я* (t,¿) = 0, |t - j| ^ 1. zz

Она является трехдиагональной квадратной матрицей размерности А> + 1. Как видно из (52), (53), вектор-столбцы коэффициентов Ак и Вк при одинаковых значениях индекса к удовлетворяют системам линейных алгебраических уравнений с одинаковой

трехдиагональной квадратной матрицей Нк. Введем обозначения для правых частей указанных систем:

¿к = , 4

= 0,Я(г)

Г = о, N(2)

Здесь Л' (г) - сеточная функция, определенная на сетке 5'1, которая каждому узлу € 51 ставит в соответствие количество узлов сетки {х^ = ,7^- = находя-

щихся внутри пучка. При таких обозначениях для каждого к = О, М вектор-столбец коэффициентов удовлетворяет системе линейных алгебраических уравнений

НкАк=рк, (54)

а вектор-столбец коэффициентов Вк - системе линейных алгебраических уравнений

НкВк = <4. (55)

Для решения указанных систем линейных уравнений (54), (55) методом Крамера необходимо вычислить обратную матрицу Нк1 = {х^} для каждого к = 1 ,М. Следуя [11], будем находить обратную матрицу, используя основное соотношение Нк1 Нк = Е, где Е - единичная матрица. Перемножая матрицы Нк и Нк, получим ЛГг + 1 систем линейных уравнений относительно (ЛГг + I)2 неизвестных х^у.

Т ' Т } ^ — п

где х3 = (хсц,...,х0ы) ; & = (¿01, —,йояг) ; '

Нка?=&>, з = \,Ыг + 1, (56)

Г 1, i

10, »Ф з ■

Системы линейных алгебраических уравнений (56) с одинаковой матрицей Нк можно решать различными методами.

6. Приближенное нахождение методом сеток линейной составляющей поперечной компоненты напряженности кулоновского поля. Предложенная в п. 4 модель пучка позволяет учитывать влияние непостоянства размеров пучка только на продольную составляющую напряженности собственного поля пучка. Расчет поперечной компоненты напряженности кулоновского поля пучка будем проводить в предположении постоянства радиуса пучка, используя формулы п. 3. Принимая во внимание условия равномерного распределения заряда в каждом поперечном сечении пучка

«2 = ... = «£', а?*1 = 0, # = = /3?+1 = ... = = 0,

где N - число шагов сетки внутри пучка, введем обозначения:

ак=а°к=...=а?, к = О^М, Рк = (3°к = - = Рк , к = Т^М.

Учитывая вид правых частей рк и йк систем (54), (55), можно отметить, что для их решения достаточно решить при каждом значении индекса к только одну систему линейных алгебраических уравнений

НкСк — tk

(57)

IJ = 0,N

с матрицей Нк и правой частью, = ) , = 1 0 - ./V + 1 Лг

Найдя решение Ск системы (57), принимая во внимание линейность системы и то, что рк = —Ь^.акЬк, Лк = —можно определить вектор-столбцы коэффициентов Ак и В к, являющиеся решениями систем (54) и (55):

Ак = -КакСк, Вк = -hlpkCk- (58)

Таким образом, приближенные значения потенциала круглого цилиндра в узлах сетки на оси структуры могут быть рассчитаны по формуле

1 М

ui = о Ао (Ак cos (ukihz) + Вк sin (ukihz)), Z k= i

где коэффициенты Ак и В к вычисляются по формулам (58).

Как показано в п. 3, линеаризованные представления для поперечных компонент напряженности кулоновского поля круглого пучка с периодической зависимостью плотности заряда от продольной координаты в круглой металлической трубе могут быть выражены в виде суммы значений правой части уравнения Пуассона на оси структуры и второй производной потенциала поля пучка по продольной координате на оси структуры (46), (47), причем значения второй производной могут быть получены rio формулам разностного дифференцирования.

Заключение. В настоящей работе рассмотрены модели пучков заряженных частиц, учитывающие неоднородность пучка по продольной координате, пригодные для вычисления собственного поля пучка. На основе аналитических и численных подходов к решению уравнения Пуассона, описывающего собственное поле пучка, можно строить алгоритмы учета взаимодействия частиц, в том числе и учитывающие влияние непостоянства поперечных размеров пучка на продольную компоненту напряженности собственного поля пучка.

Summary

Kozynchenko V. А. Analytical and numerical algorithms for computing the Coulomb field of a charged particle beam.

Mathematical models of charged-particle beams are considered that can be used to account for the inherent field of a charged beam. Analytical solutions and numerical algorithms for computing the inherent field of a charged particle beam axe suggested.

Литература

1. Овсянников Д. А., Егоров H. В. Математическое моделирование систем формирования электронных и ионных пучков. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1998. 276 с.

2. Овсянников Д. А., Дривотин О. И. Моделирование интенсивных пучков заряженных частиц. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2003. 176 с.

3. Рошаль А. С■ Моделирование пучков заряженных частиц. М.: Атомиздат, 1979. 224 с.

4. Овсянников Д. А., Свистунов Ю. А. Моделирование и оптимизация пучков заряженных частиц в ускорителях. СПб.: Науч.-исслед. ин-т прикл. химии, 2003. 104 с.

5. Капчинский И. М.. Линейный ускоритель ионов с высокочастотной жесткой фокусировкой. Ч. 1. Препринт ИФВЭ ИНЖ 72-29; Ч. 2. Препринт ИФВЭ ИНЖ 72-30. Серпухов, 1972. Ч. 1. 26 е.; Ч. 2. 24 с.

6. Дуркин А. П., Козынченко В. А., Овсянников А. Д., Рубцова И. Д. Программа моделирования динамики пучка заряженных частиц с учетом взаимодействия // Proc. of the ninth Intern, workshop "Beam Dynamics & Optimization". St.Peterburg, 2002, P. 98-100.

7. Козынченко D. А. Алгоритмы учета взаимодействия заряженных частиц в линейном ускорителе // Процессы управления и устойчивость: Tpj-ды XXXV науч. конференции студентов и аспирантов. СПб.: НИИ химии С-Петерб. ун-та, 2004. С. 199-204.

8. Рябенький В. С. Введение в вычислительную математику. 2-е изд., испр. М.: Физматлит, 2000. 296 с.

9. Абрамовиц М., Стпиган И. (ред.) Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Пер. с англ.; Под ред. В. А. Диткина, Л. Н. Карамзиной. М.: Наука, 1979. 832 с.

10. Ильин В. П. Численные методы решения задач электрооптики. М.: Наука, 1985. 336 с.

11. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. 4-е изд., доп. М.: БИНОМ, 2004. 636 с.

Статья рекомендована к печати членом редколлегии проф. Д. А. Овсянниковым. Статья принята к печати 22 февраля 2007 г.