Моделирование и оптимизация динамики частиц в ускорителе с пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2009. Вып. 4

УДК 517.97:621.384

И. В. Антропов, А. Д. Овсянников

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ДИНАМИКИ ЧАСТИЦ В УСКОРИТЕЛЕ С ПРОСТРАНСТВЕННО-ОДНОРОДНОЙ КВАДРУПОЛЬНОЙ ФОКУСИРОВКОЙ *)

1. Введение. Данная статья продолжает исследование, посвященное разработке

математических моделей для задач оптимизации динамики заряженных частиц в линейных ускорителях [1—12]. В них особое внимание уделялось моделированию и оптимизации динамики частиц в ускорителе с пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой (ПОКФ). Так, в [7-9] была предложена новая математическая модель совместной оптимизации программного и возмущенного движения. Эта модель успешно была использована при оптимизации продольного движения заряженных частиц. В настоящей статье предлагается новая математическая модель для оптимизации продольного и поперечного движения. Ее особенностью является то, что в поперечном движении исследуется движение не отдельных частиц, а так называемые уравнения

в огибающих. При этом так же, как и ранее, рассматривается одновременная оптими-

зация программной траектории и пучка в целом.

2. Постановка задачи оптимизации. Рассмотрим управляемую динамическую систему специального вида, описываемую системой интегродифференциальных уравнений

(х

— =/(£, ж, и), (1)

^ х, у, и) + J Р2^,х,у,гг)р^,г^гг = Р(г,х,у,и), (2)

Мь,и

<^ = -р{Ъ,у{Ъ))-$™уР{г,х,у,и), (3)

((я

— = С(г,х,у, в, и) (4)

с начальными условиями

Антропов Игорь Валерьевич — старший преподаватель кафедры теории систем управления электрофизической аппаратурой факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество публикаций: 8. Научные направления: прикладная математика, моделирование и оптимизация, теория управления. E-mail: [email protected].

Овсянников Александр Дмитриевич — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры технологии программирования факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество публикаций: 60. Научные направления: прикладная математика, моделирование и оптимизация, теория управления. E-mail: [email protected].

+ ) Работа частично выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 09-01-90416).

© И. В. Антропов, А. Д. Овсянников, 2009

х(0) = хо, у(0) = уо £ Мо, р(0,у(0)) = ро(уо), в(0,у(0)) = во(уо). (5)

Здесь Ь € То = [0, Т] £ К1 - независимая переменная, Т - фиксированное число, х £ Кп, у £ Кт и в £ Кр - векторы фазовых переменных, и = и(Ь) - г-мер-ная вектор-функция управления, ро(уо) - некоторая неотрицательная непрерывно-дифференцируемая функция, множество Мг,и = {уг\уг = у(Р,х(€),уо,п),уо £ Мо,х(0) = хо} есть сечение в момент времени Ь пучка траекторий у(Ь,х(Ь),уо,и), уо £ Мо, при фиксированном управлении и = и(Ь) и соответствующем ему программном движении х(Ь,хо,и). Вектор-функция ](Ь,х,и) размерности п предполагается определенной и непрерывной по совокупности аргументов (Ь, х, и) на множестве То х 0,х х и вместе со своими частными производными по х. Векторные функции Е1(Ь, х, у, и) и Е2(Ь, х, у, г) размерности т предполагаются определенными и непрерывными по совокупности аргументов (Ь,х,у,и) и (Ь,х,у,г) на множествах То х 0,х х &у х и и То х 0,х х &у х &у соответственно, вместе со следующими своими частными производными первого и вто-

ппгп ттппялкя- ^ ^ а2ры а2ры дрдр^ др8,2Р^ а2р8,2Р^ ГЛР

рою порядка. дхк , ду, , дхкду., ду,дудхк, ду. , дг. , дхкду^ ду1ду^ дг^ду^

к = 1,...,п, г,о,1 = 1,...,т. Векторная функция 0(Ь, х, у, в, и) размерности р предполагается определенной и непрерывной по совокупности аргументов (Ь, х, у, в, и) на множестве То х Ох х 09 х 08 х £/ со своими частными производными: , где

к = 1,...,п, ] = 1,...,т, 1,1 = 1,...,р. Пх, &у, - это области в пространствах Кп,

Кт, Кр соответственно; множество и С Кг - компактное; множество Мо С &у - компактное, ненулевой меры; хо £ ^х. Полагаем, что допустимые управления и = и(Ь), Ь £ То, образуют некоторый класс Б кусочно-непрерывных вектор-функций, принимающих значения в компактном множестве и.

Решением системы (1)-(4) при начальных условиях (5) и фиксированном управлении и = и(Ь) будут являться траектория х(Ь) = х(Ь,хо,и) и пучок траекторий у(Ь) = у(Ь,х(Ь),уо,и), уо £ Мо, вместе с семейством плотностей распределения частиц р(Ь, у(Ь)) и функций в(Ь, х(Ь), у(Ь), во(уо), и) на соответствующих траекториях у(Ь), обращающие уравнения (1)-(4) в тождество. Далее будет удобно использовать следующие обозначения: у(Ь) = уг = у(Ь, х(Ь), уо, и), в(Ь) = в(Ь, уг) = в(Ь, х(Ь), уг, во(уо), и).

Будем считать, что система (1)-(4) имеет единственное решение задачи Коши при условиях (5) на всем интервале То = [0,Т], при всех допустимых управлениях и £ Б. Вопросы существования и единственности решений системы (1)-(4) аналогичны рассмотренным в работах [4 13].

Введенная математическая модель управления описывает довольно общую ситуацию, и ее можно трактовать следующим образом. Уравнение (1), которое можно решать отдельно от остальных уравнений, можно считать, что описывает некоторое программное или расчетное движение заряженной частицы при фиксированном управлении. Подсистема (2) зависит от программного движения и описывает динамику пучка частиц в целом, при этом оно зависит от плотности распределения частиц (3) вдоль этих траекторий. Следует также отметить, что введенная модель учитывает взаимодействие частиц. Здесь вектор-функция Е1 определяет воздействие внешних полей на частицу, а Е2 - взаимодействие частиц. Уравнение (4) описывает некоторые характеристики пучка и естественно зависит от всего пучка в целом.

Таким образом, мы получаем систему, в которой уравнение (1) решается независимо, уравнения (2), (3) - совместно, а уравнение (4) решается на траекториях пучка с учетом программного движения.

Пусть выбрано управление и (г) и х(г) - соответствующее программное движение. Рассмотрим пучок траекторий у(г, х(г), уо, и), уо € Мо.

Введем следующие функционалы, определенные на решениях системы (1)-(4) при соответствующих начальных данных (5) и выбранном управлении и(г):

т

1\(и) = е^ фх(г,х(г),и(г))& + С2д\(х(Т)), (6)

т

12 (и) = С3 / ф2(1,х(г),уг,$(г,уг),р(г,уг),и(г))(1уг(й +

0 Мь,и

+ С4 ! д2(ут ,Р(Т,ут ),в(Т,ут ))Лут, (7)

Мт,и

I (и) = 11(и)+12(и). (8)

Задачу минимизации функционала (8) будем называть задачей совместной оптимизации программного движения и ансамбля динамики частиц; допустимое управление ио(г), доставляющее минимум функционалу (8), - оптимальным управлением.

3. Некоторые общие сведения. Пусть и(г) и и(г) - допустимые управления. Обозначим соответствующие им траектории системы (1)-(4) с одинаковыми начальными условиями через

х(г) = х(г, хо, и), у (г) = уг = у(г, х(г), уо, и), в (г) = в(г, х(г), у (г), во ,и)

и

х(г) = х(г, хо, и), у (г) = уг = у(г, х(г), уо, и), в (г) = в (г, х(г), у (г), во, и).

Пусть р(г,у(г)), р (г,у (г)) - решения уравнения (4) с начальным условием (5), соответствующие управлениям и(г) и и(г).

Приращение траектории при вариации управления Аи(г) = и (г) — и (г) будем обозначать

Ах(Ь) = х(Ь) — х(Ь), Ау(Ь) = у (Ь) — у(Ь), Ав(Ь) = в (Ь) — в(Ь).

Обозначим через Ар(Ь,у(Ь)) = р(Ь,у(Ь)) — р(Ь,у(Ь)) приращение плотности распределения вдоль траектории у(Ь) системы (2) при вариации управления Аи, а через

\\Аи\\ь = \\Аи\\ь(То) = / \\Аu(t)\\dt, ||х||с = Нх||с(То) = ІИЬ ІІхІІ = ІІх(і)ІІ - нор-

0 сЄіо

му вектора, для определенности далее будем брать евклидову норму; < Ау(Ь,у0) > = || / || Ау(Ь, уо)|Иуо||с. Отметим, что при ||Аи(і)|І£ ^ 0 имеют место следующие соотно-

Мо

шения [1, 2, 4]:

НАх(і)||с ^ 0;

\\Ау(Ь,уо)\\с ^ 0 и < Ау(Ь,уо) >^ 0 равномерно по уо Є Мо;

< Ау(Ь,уо) X С ■ тах (\\Аи/\\ь + \АиГ1\ь),

УоЄМо

\\by(t,yo)\\c < C2 ■ max (\\Auf \l + ||A„fi ||l), где Ci, C2 - некоторые положительные

VoEMo

константы.

Лемма. Для ||As(t, s0)||c = max ||As(t, s0)\| при ||Aw(t)||L ^ 0 справедливы следую-

tETo

щие соотношения:

||As(t, s0)||c ^ 0; равномерно по y0 G M0;

||As(t, s0)||c ^ C ■ max(WAuf ||l + ||Aufi||L + ||AuG||L); где C - некоторая положи-

tETo

тельная константа.

Доказательство. Рассмотрим уравнение, которому удовлетворяет As(t, S0):

—As(t, so) = G(t, ж, у, s, й) — G(t, х, у, s, w).

Используя формулу конечных приращений и интегрируя от нуля до t, запишем это уравнение в таком виде:

/(г)С г)С ВС \

— Дх + — Ay + —As + AUG dr.

0

Здесь значок « " » над частными производными означает, что они берутся в точках в соответствии с формулой приращений.

Оценим норму As(t, S0):

/( г)С г)С г)С \

( 11 — 11 • ||Дж|| + 11 — 11 • ||Ду|| + 11^11 • IIAs(r, So)|| + ||A»G|| I dr.

0

Используя ограниченность величин ||f^||, ||^||, llfjjll ПРИ ||Ам(^)||ь 0) можем

получить соотношение

t

IIAs(t, S0)| < ci ■ m&x(WAuf Wl + WAuFiWl + ||AuG||l) + C2 [ ||As(r, s0)||dr.

tETo J

0

Тогда по лемме Гронуолла получаем требуемую оценку для ||As(t, s0)||c. Лемма доказана.

Для системы (1)-(4) уравнения в вариациях имеют вид

dSx df

--¿-Ь + й./, (9)

+ A“Fl + / z,)dzt’ (ltl)

Mt,u

d§p d(divy Sy)

— = -ip div„F - p - , (11)

dSs dG d Gr 8Gr . „

ИГ ~ ~di lh, y+ a7'+ “ ( ^

U/(/ L/ tv L/ Lj L/ о

при начальных условиях

¿ж(0) = 0, 5у(0) = 0, 6р(0) = 0, £в(0) = 0. (13)

Здесь Аи обозначает приращение функции при приращении управления и, т. е.

Auf = f (t, x,u + An) — f (t, x, u),

AuF\ = Fi(t, x,y,u + An) — Fi(t, x, y, u),

AuG = G(t, x, y, s,u + Au) — G(t, x, y, s, u).

При ||Au||£ ^ 0 справедливы следующие соотношения [13-15]: ||Ax(t) — Sx(t)||a = o(||Ax(t)||c); ||Ap||a ^ 0, равномерно по y0 Є M0; ||Ap||a < C max (HAuf ||l+||AuFi||l+

yoEMo

II Audivy Fi ||L); || Ap — 5рЦа = o(||Ap||a), равномерно по yo Є M0; || Ay — Sy||a = o(||Ay||a), равномерно по y0 Є M0. Здесь нетрудно также показать, что ||As — Ss||a = o(||As||a), равномерно по y0 Є M0 при ||Au||l ^ 0, в котором o(||As||a) есть величина более высокого порядка малости, чем ||As||a.

Рассмотрим отображение [2, 4]

в котором ш и у - траектории системы (2), выходящие из одних и тех же точек множества Мо при разных управлениях. Отображение определяет взаимно однозначное соответствие множеств М1,и и М^и.

Якобиан данного преобразования имеет вид

где о(а) есть величина более высокого порядка малости, чем а = max (\\Auf \l +

4. Вариация функционала. Рассмотрим функционал (6). Вариацию данного функционала можно представить в следующем виде:

Рассмотрим теперь функционал (7). Выпишем его полное приращение при вариации управления

yt = yt(Уt),

(14)

У0ЄМ0

Sp = —pdivy Sy.

(15)

T

SIi = SIi(u, Au) =

)dt +

0

T

AI2(u, Au) = Ф2(t, x(t), yt, s(t), p(t, yt), u(t))dytdt

+

0 Mt,u

+ 92(ут,й(Т),Р)(Т,ут))(1ут - / ф2(Ъ,х(Ь),уг,з(г),р(г,уг),и(г))<уг<г +

Мт,а 0 Ыг,и

+ J 92(ут,я(Т),р(Т,ут))шут. (16)

Мт,и

Пользуясь преобразованием уг = у(г) множества Мг,и в множество Мг,и, сделаем замену переменных интегрирования в первых двух интегралах соотношения (21)

т

Д/2(м,Дм)=У J ф2{Ь, х(Ь),^,з(Ь), р(Ь,у^,й(Ь)) йеЬ —

0 Мь,и

- ф2(г, х(г), уг, ¡(г), р(Ь, уг), и(г))<уг<Ь +

92{ут, Ъ(Т),р(Т,ут)) det ~ 92{ут, в(Т), р(Т,ут))

<ут. (17)

+ У

Мт.

Выпишем линейную часть в функциях ф2 и д2:

ф2(г,х(г), уг, )(г),р(г,ашуг),и(г)) = Ф2(г, х(г), уг, ¡(г), р(г, уг), и(г)) +

дф2(г,х(г),уг,в(г),р(г,уг),и(г)) дф2(г,х(г),уь,а(г),р(г,уг),и(г))

----------------~дх-------------- ’------------------~ду------------- ’

дф2(г,х(г),уг,в(г),р(г,уг),и(г)) дф2(г,х(г),уг ,в(г),р(г,уг),и(г))

+---------------^---------------- (> +-------------------Гр--------------+

+ Аиф2(г, х(г), уг, ¡(г), р(г, уг), и(г))+

+ о(ф2, \Дх(г)\| + \\Ду(г)\\ + ||Д*(г)|| + \\Др(г)\\), (18)

д2{ут, ~8{Т), р(Т, ут)) = 92(ут, *(Т), р(Т, Ут)) + д91(Ут,з(Т),р(Т,ут)) +

ду

+ дд2(ут, з(Т), р(Т, ут)) + дд2{ут, з(Т), р(Т, ут)) +

<9в Эр

+ о(д2, \\Ду(Т) + Дз(Т) + Др(Т)||). (19)

Здесь о(ф2, \Дх(г)\ + IIду(г)\ + ||д«(г)\| + IIдр(г)\) и o(g2, \\Ду(Т)+Дв(Т)+Др(Т-ве-личины более высокого порядка малости, чем ||Дх(г)|| + || Ду (г) \ + ||Дв(г)\| + \Др(г)\| и \\Ду(Т) + Дя(Т) + Др(Т)|| соответственно при ||Ди||ь ^ 0.

Используя (8), (9), (23), (24), преобразуем выражение (22) к виду

Д12(и, Ди) = 612(и, Ди) + о(а),

где о(а) - величина более высокого порядка малости, чем а = тах (\\Ди/\ь +

уоЕМо

||Ди^\ь + ЦДи^УуГ1\ь + ||ДиС? 1Ы при ||Ди\ь ^ 0, а 6^(и, Ди) имеет вид

SI2(u,Au) = J У (^^6х + *^6у + + (^ф2 - *^р^ <1[чу6у + Аиф2^ <1у^г +

о Мь,и

Мт,

+ і (^76у+^5з+(32 ~ д~¥р9 ^'<1ут'

Введем вспомогательные переменные х, М, ^ и и, удовлетворяющие следующим дифференциальным уравнениям:

г1Х _ дГ дф, [ (дР* дС*. ддіЧуР’ 17 - ~17 Х + с1177 _ \17^+17Х + 'и'

А дх дх У у дх дх дх ) У дх

Мь,и Мь,и

Луі + сз I -^йуи (20)

а (дР ^ л. V дО * даіУу Р * дф2

А-~\д^+ ' 1Уу ) ~1’^Г + С3~ду

-РІШ)) I ( +г>(^)^2^У^)> )*>, (21)

М

¿__(^+£7'(11у^) Л + С3¥’ (22)

и л дф2

с условиями на правом конце

_ = _г;.сИу^ + (/>2-(0^, (23)

дді(х(Т)) *

ХІТ) = -02 дух п , (24)

/ГТЛ дд2(ут,е(Т),р(Т,ут))* /осХ

/х(Т) = -с4------------------------ , (25)

ЛЛТЛ дд2(ут,е(Т),р(Т,ут))*

А(_/ ) = -с4-------------------------—- , (26)

и(Т) = -с4 (д2(ут, в(Т), р(Т,ут)) - р(Т, ут) д92(ут’ я1уТ^ р1уТ’^ . (27)

Используя уравнения в вариациях (9)-(12) и условие (13), а также уравнения (20)-(23) и условия (24)-(27), преобразуем вариацию функционала к виду

т

Ди) = — J (Х* • Ди/ — Диф1)Шг —

т

I (р* • ДпРі + А* • ДпО + и • ДИё1УуРі — Аиф2)йуійі. (28)

о М*,„

5. Условия оптимальности. Введем функции Н\ и Н2 следующим образом: Н\(г,х,х, и) = х* • /(г, х, и) — ф\(г, х,и),

И2(Ь, х, у, в, р, л, X, и, и) = л*Е\(Ь, х, у, и) + X*0(Ь, х, у, в, и) +

+ и • ¿[уЕх^, х, у, и) — ф2^, х, у, в, и).

Тогда вариация функционала (28) может быть записана в такой форме:

т

61(и, Аи) = — ! АиИ1(Ь,х(Ь),х(1,уг,8(1)),и(Ь))сМ —

о

т

— ! I АиH2{t, х(Ь), yt, s(t), р(t, yt), л, уи s(t)), X(t, уг, s{t)), v(t, yt, s(t)))dytdt,

ли2

0 Mtu

здесь x, y, s, р - решения системы (1)-(4), соответствующие управлению u = u(t); вспомогательные функции х, М, А, и удовлетворяют соответственно уравнениям (20)-(23) с условиями на правом конце (24)-(27).

Введем функцию

H0(t,u) = H1(t,x0t,x0t,u) + i H2(t,xt,yot,s0,pot,y°t,A0,vOt,u)dyt, mU

где функции х0 = X0(t), М0 = M0(t, yt, s0), x0 = x°(t, У°, s0), U = u0(t, У°, s0) удовлетворяют уравнениям (20)-(23) на оптимальном процессе, т. е. при оптимальном управлении и на решении системы (1)-(4), соответствующему этому управлению.

Теорема 1. Пусть u° = u0(t) - оптимальное управление. Тогда при всех t G T0 = [0,T] выполняется следующее условие:

maxH0(t, u) = H0(t, u°(t)).

uEU

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1 из работы [2]. Рассмотрим теперь случай дифференцируемости правых частей системы (1)-(4) и подынтегральных функций, участвующих в построении функционала (8) по управлениям, т. е. предположим, что существуют и непрерывны следующие частные произ-

df dFi dG дфл дф? тт

водные: ди • ^ пусть существует и непрерывна частная производная

ddWyFi ди '

Определение 1. Функцию q(t), t G T0, будем называть допустимым направлением в точке u по множеству D, если существует е0 > 0 такое, что (u(t) + е ■ q(t)) G D, где е G [0, е0]. Через Aue будем обозначать Aue = е ■ q(t), где е G [0, е0].

Замечание 1. Очевидно, что для оптимального управления u°(t) AI(u0, Aue) ^ 0 при любом допустимом направлении q(t) в точке u0 G D.

Определение 2. Классической вариацией функционала (8) будем называть выражение следующего вида:

t / \

6ы1(и, Au) = -J ^ + I 9-^dyt • Au(t)dt.

\ Mt , u

0

Теорема 2. Пусть п°(Ь) - оптимальное управление. Тогда справедливо неравенство

6Ы1 (п0, д) > 0

при всех допустимых направлениях д(Ь) в точке п° € В.

Доказательство данной теоремы будет аналогично доказательству теоремы 2 в работе [2].

Замечание 2. Пусть вектор-функция п = п(Ь) не зависит от времени, т. е. управление представляет собой постоянный вектор. Тогда

т / \

61{и,Аи) = ~1 I <ЙД«. (29)

\ М,

0

Используя вариацию функционала (28), можно выписать градиент функционала в явном виде и решать задачу минимизации функционала на основе градиентной методики, изложенной в [4].

Данная модель была использована для оптимизации динамики пучка заряженных частиц в структуре с пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой.

6. Оптимизация динамики частиц в структуре с ПОКФ. Как известно, уравнения движения частицы в структуре с ПОКФ имеют вид [4]

¿2г ЛеиьТ , , ч . ЕгЯ ,„„4

^ = 4 ІУоТсо<Кг) со<“т + фо)+щ' (30)

сРх (виьн вПьТ Л

+ )“8<“т + *>)* -

- 7,----- --(1 - ' ' " ) * = Я**, (31)

2пеоУтхту тх + Гу )

(Ру ( еиьк еІІьТ . \

*5 = (-«V? + ІЖ«й?3ш(Кг)) ОТ(“Т + Ф,‘)Х -

~о-------‘—Ж (1 + Гі^І') * = «»!'. <32>

2пеоУГх Гу Гх + Гу]

здесь т = сЬ, с - скорость света, в - заряд электрона, Ь - длина периода, иь - напряжение на электродах, Т - эффективность ускорения, Шо - энергия покоя частицы, К = 2п/Ь, и = 2пи/с, и - частота ускоряющего поля, д - заряд частицы, фо - начальная фаза, а - минимальный радиус, Ег - продольная компонента кулоновского поля пучка, V = ¿г/¿і, гх и Гу - полуоси эллиптического цилиндра, где распределен заряд,

I - средний ток.

Система (30) описывает продольное движение пучка заряженных частиц. Запишем уравнение продольного движения для синхронной частицы в виде

~ПГ = СОБ(Кг) сов(йіт + фо). (33)

ат2 ШоЬ

Уравнения (31), (32) описывают поперечные движения отдельных частиц, однако,

*»».£•

в дальнейшем мы будем исследовать динамику эллипсов в плоскостях ж, 4^ и у, Ф*-.

В связи с этим будем рассматривать следующие уравнения:

¿БХ,У

= 2^, (34)

¿БХ,У

-^-Ях,у!П? + !%?, (35)

(ІТ

ичХ’У

= 2 (Зх,^. (36)

Заметим, что БХі есть огибающая пучка по х или у соответственно, т. е. БХ = тах(х2) по множеству X*Б-іХ ^ 1, а Буі = тах(у2') по множеству у*Б-іу ^ 1, где X = (х, ¿,х/3,т)*, а у = (у, ¿у/¿г)*.

Таким образом, будем рассматривать уравнение синхронной частицы (33), продольную динамику пучка заряженных частиц, описываемую системой (30) в отклонениях от синхронной частицы, а также систему (34)—(36), которая описывает динамику эллипсов в поперечных плоскостях. При этом в зависимости от того или иного способа учета взаимодействия мы можем выписать представление функции ^. Представленная модель соответствует системе (1)—(4), введенной выше.

Поставим задачу выбора минимального радиуса, фокусирующего пучок заряженных частиц. Введем функционал в соответствии с функционалом (7), т. е.

т

I(а) = сз J ! Ф2(я(т, ут))р(т,ут)йут¿т + сА ! д2(в(Т,ут))р(Т,ут)dyт. (37)

0 Мт, и Мт, и

Функцию Ф2 тогда представим в виде

(БХ!(т) - Е2(т))2,БХ(т) > Е2(т),БУ1 (т) < Е2(т), Ф = ) (Біі(т) - Е2(т))2,Бп(т) < Е2(т), Буі(т) > Е2(т),

Ф2 \ (БХі (т) - Е2(т ))2 + (БУі(т) - Е2(т ))2 ,БХі (т) >Е2(т ),Буи (т) > Е2(т),

0,Біі(т) < Е2(т),Буі(т) < Е2(т),

где Е - радиус апертуры канала, а функцию д2 так:

д2 = (БХ - Б!)2 + (Бу - Бу)2,

здесь Бх и Бу - матрицы, определяющие эллипсы в плоскостях ж, ^ и у, соответственно, БХ, Бу - фиксированные величины, определяющие желаемый эмитанс на выходе структуры в соответствующих плоскостях.

Отметим, что а = а(г). Далее будем считать, что а есть полином пятой степени и будем проводить оптимизацию функционала (37) по параметрам этого полинома. Полином пятой степени был выбран, так как на практике законы изменения минимального радиуса можно аппроксимировать именно таким полиномом.

Поиск этих полиномов можно осуществлять градиентным способом, используя замечание 2 и формулу (29). В качестве примера рассмотрим ускорение дейтронов с начальной энергией 80 кэВ и напряжением на электродах 98 кВ. Ставилась задача о нахождении структуры, дающей на выходе с энергию в 4 МэВ. В результате такая структура была найдена, при этом длина ускорителя составила 2.56 м.

Рис. 1. Эллипсы на входе в структуру (а, в) и выходе из нее (б, г) в плоскостях х,Х (а, б) и у,у (в, г)

Рис. 2. Огибающие пучка

Следует заметить, что оптимизация продольного движения проводилась отдельно, аналогично работам [6, 8, 11]. Поэтому оптимизация поперечного движения происходила при заданном продольном движении, описываемым уравнением (30). Приведенные выше схемы также можно применить для дальнейшей совместной оптимизации динамики синхронной частицы и пучка в целом.

На рис. 1, 2 приведены результаты оптимизации.

7. Заключение. В работе рассмотрена новая математическая модель оптимизации продольного и поперечного движений заряженных частиц. Поперечное движение пучка заряженных частиц описывается уравнениями в огибающих. Введены функционалы качества, определенные на пучках траекторий. Получены выражения для вариации функционала и условия оптимальности на основе принципа максимума Понт-рягина. Предложенная математическая модель совместной оптимизации продольного и поперечного движения показала свою высокую эффективность на примере ускорителей с ПОКФ.

Литература

1. Овсянников А. Д. Управление программным и возмущенными движениями // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2006. Вып. 4. C. 111—124.

2. Овсянников А. Д. Управление пучком заряженных частиц с учетом их взаимодействия // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2009. Вып. 2. C. 81-91.

3. Овсянников Д. А. Математические методы управления пучками. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. 228 с.

4. Овсянников Д. А. Моделирование и оптимизация динамики пучков заряженных частиц. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1990. 312 с.

5. Овсянников Д. А., Овсянников А. Д., Антропов И. В., Козынченко В. А. Комплекс программ по моделированию динамики пучков заряженных частиц в линейных ускорителях // Проектирование научных и инженерных приложений в среде Matlab. СПб., 2007. URL: http://matlab.exponenta.ru.

6. Овсянников Д. А., Овсянников А. Д., Антропов И. В. Моделирование и оптимизация продольного движения заряженных частиц в ускорителе с пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой // Проектирование научных и инженерных приложений в среде Matlab. М., 2004. URL: http://matlab.exponenta.ru.

7. Bondarev B. I., Durkin A. P., Ovsyannikov A. D. New Mathematical Optimization Models for RFQ Structures // Proc. of the 18th Particle Accelerator Conference. New York, USA, 1999. P. 2808-2810.

8. Bondarev B. I., Durkin A. P., Vinogradov S. at al. RFQ Optimization: Methods and Codes // Proc. of the 6th Intern. Computational Accelerator Physics Conference. September 11-14, 2000. Darmstadt, Germany, 2000. URL: http://www.icap-conference.org.

9. Drivotin O. I., Loukianova A. E., Ovsyannikov D. A. at al. The choice of accelerating structure for PET system // European Particle Accelerator Conference. Barcelona, Spain, 1996. P. 783-785.

10. Ovsyannikov A. D. New Approach to Beam Dynamics Optimization Problem // Proc. of the 6th Intern. Computational Accelerator Physics Conference. September 11-14, 2000. Darmstadt, Germany, 2000. URL: http://www.icap-conference.org.

11. Ovsyannikov D. A., Ovsyannikov A. D., Antropov I. V., Kozynchenko V. A. BDO-RFQ Code and Optimization Models // Proc. of the 2nd Intern. Conference “Physics and Control”. St. Petersburg, August 24-26. St. Peterburg, 2005. P. 282-288.

12. Ovsyannikov D. A., Ovsyannikov A. D., Svistunov Yu. A. at al. Beam dynamics optimization: models, methods and applications // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. Section A 558. 2006. P. 11-19.

13. Арсеньев А. А. Единственность и существование в малом классического решения системы уравнений Власова // Докл. АН СССР. 1974. Т. 218, № 1. С. 11—12.

14. Капчинский И. М. Динамика частиц в линейных резонансных ускорителях. М.: Атомиздат, 1966. 310 с.

15. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. 392 с

Статья рекомендована к печати проф. Д. А. Овсянниковым.

Статья принята к печати 28 мая 2009 г.