CC BY
33
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Сер. 10. 2011. Вып. 1
УДК 004.942+519.876.2+537.636
Ю. В. Терешонков, С. Н. Андрианов, Milko Jaksic, Zeljko Pastuovic, Tonci Tadic
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИОННЫХ МИКРОЗОНДОВ С УЧЕТОМ КРАЕВЫХ ПОЛЕЙ
Введение. Сложность динамики пучка (ансамбль частиц, содержащий около 10121016 частиц) и неполнота информации об управляющих полях требуют предварительного математического и компьютерного моделирования систем управления на всех этапах, начиная от проектирования и конструирования, заканчивая оптимизацией в процессе эксплуатации (см., например, [1-3]).
Математическая модель — необходимая часть до создания комплекса программ, который позволяет проводить тестирование и исследование конструируемых реальных систем.
Все установки, работающие в диапазоне средних и высоких энергий, объединяет необходимость синтеза систем управления пучками частиц, которые обеспечивают заданную эволюцию пучка с учетом следующих факторов: аберраций, искажений выбранной формы внешних (управляющих) полей, эффектов краевых полей, собственного заряда, возможности возникновения хаотического движения частиц. Задачи фокусировки и транспортировки — неотъемлемая часть всех ускорительных систем, однако в разных типах установок могут быть определенные целевые величины. В настоящее время наибольший интерес вызывает получение пучков субмикронных размеров.
Терешонков Юрий Владимирович — младший научный сотрудник факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 15. Научные направления: математическое и компьютерное моделирование, численные методы, распределенные вычисления, информационные технологии, ускорительная физика, символьные вычисления. E-mail: yury.tereshonkov@gmail.com.
Андрианов Сергей Николаевич — доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой компьютерного моделирования и многопроцессорных систем факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 155. Научное направление: разработка математических и компьютерных моделей сложных динамических систем с управлением. E-mail: sandrianov@yandex.ru.
Милко Якшич (Milko Jaksic) — директор Лаборатории взаимодействия частиц Института Рудже-ра Бошковича, г. Загреб, Хорватия. Количество опубликованных работ: 200. Научные направления: физика пучков, технологии неразрушающего анализа и их приложения, технологии ядерных микрозондов и их приложения, ядерная физика и электроника, электростатические ускорители. E-mail: jaksic@irb.hr.
Желько Пастуович (Zeljko Pastuovic) — научный сотрудник Лаборатории взаимодействия частиц Института Руджера Бошковича, г. Загреб, Хорватия. Количество опубликованных работ: 50. Научные направления: физика пучков, технологии неразрушающего анализа и их приложения, технологии ядерных микрозондов и их приложения. E-mail: Zeljko.Pastuovic@irb.hr.
Тончи Тадич (Tonci Tadic) — научный сотрудник Лаборатории взаимодействия частиц Института Руджера Бошковича, г. Загреб, Хорватия. Количество опубликованных работ: 50. Научные направления: физика пучков, технологии неразрушающего анализа и их приложения, технологии ядерных микрозондов и их приложения. E-mail: Tonci.Tadic@irb.hr.
© Ю.В. Терешонков, С.Н. Андрианов, Milko Jaksic, Zeljko Pastuovic, Tonci Tadic, 2011
Жесткие требования к пучку обусловливают чрезвычайно высокую зависимость основных характеристик пучка от параметров установок. Отклонения параметров от заданных значений на доли процента могут приводить к качественному изменению свойств ионно-оптических систем (ИОС). Подобные требования появились в последние 20 лет и постоянно ужесточаются. Выделяют целый класс систем, в которых требования к качеству изготовления и установки управляющих элементов чрезвычайно высоки, они носят название «высокопрецизионных»:
высокопрецизионные ИОС — это установки, которые, в силу конструктивных особенностей, чрезвычайно чувствительны к изменению параметров.
Формирующий высокопрецизионный ионный микрозонд (в последние годы нанозонд) - сравнительно новое и быстро развивающееся направление в ионной оптике. Для применения методов неразрушающего анализа веществ (чрезвычайно актуальных в настоящее время) необходимо использовать устройства (микро- и нанозонды), которые создают пучки микронных и наноразмеров. Сфокусированные пучки частиц энергии в несколько мегаэлектронвольт могут давать на мишени размер пятна в несколько микрон, т. е. ядерный или ионный микрозонд становится обычным инструментом в исследовательских лабораториях во всем мире (см., например, [1, 4-6]).
Микро- и нанозонды разрабатываются для решения конкретных задач и не являются универсальными. Подобные установки можно использовать в смежных областях, частично перенастраивать, но создать всестороннюю систему не представляется возможным. Это связано с различными задачами, для которых применяются установки, а также с требованиями к установкам, вытекающими из таких задач. Для некоторых целей необходимо иметь минимальную апертуру, для других следует ее увеличивать, для ряда задач важна максимально возможная фокусировка, для других - большой ток пучка. В силу этого, можно констатировать, что универсальную установку создать практически невозможно (либо она будет не достаточно хорошего качества, либо слишком дорогая), что подтверждается данными из описания существующих на данный момент установок [1].
Настоящая работа посвящена моделированию высокопрецезионных зондоформирующих систем - микрозондов, однако основные принципы моделирования и математические методы являются общими для различных типов систем формирования и транспортировки частиц. Несмотря на существование более 60 подобных установок в мире, в Российской Федерации, к сожалению, они отсутствуют.
Актуальность работы. В работе особое внимание уделяется важному классу задач, в котором проводится оценка влияния краевых полей в управляющих элементах на основные характеристики пучка. Длина интервала распределения краевых полей и их форма допускают существенное варьирование, но проблеме влияния геометрии и топологии краевых полей на основные характеристики пучка в литературе не уделяется достаточного внимания. Это вызвано недостатком информации об экспериментальном распределении краевых полей и уникальностью установок. Существующие ма,-тематические и компьютерные модели краевых полей не обеспечивают экспериментаторов информацией, необходимой для модернизации действующих и дизайна новых установок, именно этой проблеме посвящена данная работа на примере микрозондов.
Объектами исследования являются пучок частиц и микрозонд, управляющим — внешнее магнитное поле. Для оценки влияния краевых полей на основные характеристики пучка частиц в работе предлагаются их математические и компьютерные
модели, позволяющие создавать дизайн (архитектуру *)) микрозонда. Подобная архитектура обеспечивает заданные характеристики пучка с учетом краевых полей управляющих элементов. Используемые классы модельных функций, описывающих краевые поля, дают возможность строить аналитическое решение уравнений движения пучка частиц и аппроксимировать экспериментально измеренное распределение краевых полей. Предложенные подходы для моделирования и модели краевых полей могут быть применены для других задач физики пучков (например, для моделирования эволюции пучков частиц в циклических ускорителях).
Краевые поля управляющих элементов. Существует много работ, посвященных влиянию искажений (аберраций) различной природы (в том числе неустранимых) на характеристики пучка, например [1,7], однако систематического и общего изложения нет. Одна из важных причин, которые вызывают искажение эволюции пучка по сравнению с эволюцией в идеализированной системе, - наличие краевых полей магнитных элементов, которые являются неотъемлемым атрибутом любого типа управляющих магнитных элементов. Краевое поле - часть магнитного поля, распределенного вдоль электрической оси управляющего элемента ИОС, где поле перестает быть постоянным и появляется зависимость поля от продольной координаты.
В работах [8-11] рассматриваются некоторые модели краевых полей (например, функция Е^е [10]) управляющих элементов и вызванные ими аберрации, но подробное исследование вариации формы и длины интервала распределения краевых полей не проводится. Обзор литературы по краевым полям, в частности [1, 8,11], показывает, что краевые поля могут оказывать значительное влияние на характеристики пучка частиц. С учетом высоких требований к высокопрецезионным установкам, например максимальная светимость, заданная форма, размеры, распределение частиц и др., необходимо принимать во внимание влияние и краевых полей. Именно этим вопросам также посвящена данная работа.
Исследовать влияние краевых полей на характеристики пучка в высокопрецезион-ных установках необходимо для достижения максимальной эффективности системы, позволяя сократить время и финансовые средства на создание, настройку и модернизацию установок, выбрать оптимальные режимы работы и улучшить результирующие параметры пучка на мишени.
Краевые поля могут быть измерены с достаточной степенью точности с использованием, например, тесламетра вдоль «электрической оси» магнитного управляющего элемента. Экспериментаторы могут частично менять конфигурацию поля, приспосабливая его под конкретные задачи. К сожалению, нельзя сконструировать магнитные линзы с любым заданным полем, в частности «прямоугольным», однако изменение формы поля и длины интервала его распределения допустимо при помощи модификации формы обмоток и полюсов. Кроме этого, в магнитных элементах необходимо учитывать «выпуклость» поля и кривизну второго порядка.
Физика пучков допускает иерархический принцип, т. е. моделировать краевые поля можно начиная с самых простых (линейных) моделей. При влете частицы в область краевого поля (области нарастания и убывания поля) на нее действуют дополнительные силы, величина которых существенно зависит от его формы и размеров области. Так, при малых размерах области краевого поля со стороны электромагнитного поля на частицы действуют силы (с механической точки зрения это аналогично «удару»),
*) Архитектурное решение — авторский замысел объекта с комплексным решением функциональных, конструктивных и экономических требований к нему.
вызывающие изменение структуры пучка. Модели, подобные «прямоугольной», обладая простотой, не являются физически реализуемыми и корректными. Математическое моделирование позволяет учитывать эффекты «вхождения» и «выхода» частицы из поля. Необходимо изучать все факторы, влияющие на поперечные характеристики пучка в микро- и нанозондах. Краевые поля являются неустранимыми и часто оказывают существенное влияние на динамику пучка и его характеристики (см., [1, 8-12]). За счет вариативности геометрии краевых полей можно как компенсировать, так и использовать это влияние.
К сожалению, за исключением небольшого количества работ как по «коротким» (например, микро- и нанозондам), так и по «длинным» системам (коллайдеры, циклические ускорители и др.) влиянию краевого поля уделяется недостаточное внимание. В «коротких» системах обычно оно вообще не учитывается, однако даже в подобных системах краевые поля могут вносить кардинальные изменения в расчетные параметры установок. Исследования краевых полей продолжаются, в настоящий момент нет единого алгоритма для их моделирования. Все представленные в работах методы и подходы касаются некоторых конкретных задач. Среди них наиболее известны работы А. J.Dragt (см. [13]) и М. Веге (см. [9]). Они описывают краевое поле при помощи функции Е^е [10].
Учет информации о краевых полях. Информация о краевых полях получается в дискретном виде, фактическое измерение может быть осуществлено либо на специальном стенде, либо потребуется разбирать работающую установку, что может быть достаточно дорого и неудобно для экспериментаторов.
Измерения на стенде не дают общей картины о краевом поле, потому что даже для одинаковых типов магнитных линз краевые поля могут существенно отличаться. Возникает вопрос о корректном восстановлении краевого поля по полученным дискретным данным. В силу этого необходимо искать краевые поля в некотором классе функций с достаточным количеством управляющих параметров для гибкого варьирования длиной и формой краевого поля.
При изготовлении квадруполь-ных линз необходимо не только изготовить четыре одинаковых, но и симметрично их расположить, что обеспечивает симметричность создаваемого ими поля [14]. При этом искажение «идеальной» формы полюсов и идеального расположения приводит к различных аберрациям. Измерения распределения краевых полей квадрупольных линз показывают, что они имеют «колоколообразную форму» [14]. В этом можно убедиться, например, в результате построения краевого поля по приведенной в работе [14] таблице, которая получена при измерении реального краевого поля. Схематический вид краевого поля представлен на рис. 1.
Область краевых полей существенно увеличивает геометрические аберрации пучка, вызываемые управляющими элементами, при этом вклад краевых полей в сферические аберрации значительно выше, чем вклад центральной части магнитной линзы [11].
Рис. 1. Схематическое распределение краевого поля управляющего элемента
При изготовлении большинства магнитных линз возникают неточности, в силу чего появляются мультипольные паразитные аберрации [1,11]. Правильно изготовленная квад-рупольная линза не должна иметь паразитных секступольных и октупольных аберраций магнитных полей [12].
В настоящее время в теории ускорителей существует несколько подходов, позволяющих адекватно в той или иной степени описывать краевые (рассеянные) поля управляющих магнитных элементов. Один из них основан на использовании так называемых карт поля. Как правило, они представлены в виде двумерных таблиц с некоторым дискретным шагом, которые описывают распределение поля в медианной плоскости магнита. Карта поля - это таблица (в общем случае трехмерная), в которую занесены измерения разности потенциалов магнитного поля в точках, взятых на соответствующих координатных осях с некоторым постоянным шагом. Подобные таблицы обычно бывают линейными (одна ось), двумерными (две оси) или трехмерными (три оси). Чаще всего по карте поля восстанавливается компонента магнитного поля с учетом уравнения Максвелла. Величина центральной части (поле постоянно по в) определяется размерами элемента, и для коротких управляющих элементов его длина практически равна нулю. Длина входного и выходного краевого поля обычно одинакова (см., например, [1]), хотя для оригинальных (специально изготовленных управляющих элементов) длины могут различаться. Подобного рода поле будем называть управляющим полем с краевыми эффектами. Следует заметить, что в нелинейном случае необходимо учитывать кривизну входного и выходного краевых полей, что ведет к появлению дополнительных членов в разложении вектора магнитной индукции В (в).
В данной работе не рассматриваются эффекты, связанные с «выпуклостью» краевых полей вдоль электрической оси системы (рассматривается плоское краевое поле, ортогональное к электрической оси элемента). Выпуклость краевых полей вносит на порядок меньший вклад в динамику пучка частиц (см., например, [15]), чем влияние «плоского» краевого поля. Предложенные подходы и методы применимы в случае рассмотрения выпуклого краевого поля при добавлении дополнительных параметров в модели краевых полей.
Карты поля, которые позволяют восстановить зависимость /ш(в), /0^(в) по измеренным данным, существуют только для малого числа элементов. Поэтому большой интерес вызывает подход, основанный на представлении функциональной зависимости от в в виде модельной функции, принадлежащей некоторому классу аппроксимирующих функций. Выбор самой функции и класса функций во многом определяется эмпирическими данными, имеющимися у исследователя, а также возможностью «управлять» формой и величиной краевых полей.
Формализация данных о краевых полях. Математические и компьютерные модели краевых полей не полностью проработаны в общем случае. Поэтому в настоящей работе уделяется особое внимание тщательной и последовательной проработке математического аппарата и компьютерного моделирования краевых полей. Модели краевых полей необходимы для расчета динамики пучка, потому их требуется встраивать в используемый математический аппарат, которым в данной работе является матричный формализм.
Все стандартные магнитные элементы выпускают симметричными относительно их центра, и мы будем получать симметричные краевые поля относительно центра вс = (в2 — в1 )/2 каждого элемента. Это подтверждается экспериментальными данными (см., например, [1,8,15]). С учетом экспериментальных данных управляющее магнитное поле представимо в классе непрерывных функций, который можно записать
в следующем виде:
{fin(s), s е [so,si),
1, s е [s i ,s2 ), fout(s), s е [s2,s3],
где kmax - максимальное значение амплитуды управляющего поля; функции fin(s) и fout(s) описывают входное и выходное краевые поля соответственно.
Если функция не симметрична относительно «средней» линии (центр краевого поля) или более сложные функции аппроксимируются сплайнами, будем составлять модельную функцию из n частей. Анализ различных карт поля и опыт общения с фи-зиками-экспериментаторами подтверждают необходимость использования ограничений на модельные функции. Для того чтобы f (s) была гладкой в местах «сшивки», потребуем дополнительно ряд условий
fin(s0) = fout (s3) = fin(s0) = f0ut(s1) = fin (s2 ) = f<0ut(s3) = °, (1)
fin(si) = fout (s2) = 1, ( )
где f '(s) = df (s)/ds. Равенство нулю производной следует из гладкости управляющих полей и законов электродинамики и означает отсутствие «удара» по пучку, которого не должно быть. Далее вычисляются fin(s) в помощью приближений различными функциями. Правая часть fout(s) функции f (s) находится автоматически симметричным отражением относительно оси, проходящей через sc перпендикулярно оси, на которой располагаются управляющие элементы.
Вместо условий (1) можно ввести их асимптотические аналоги, что позволяет рассмотреть более широкий класс модельных функций распределения
lim fin(s) = lim f'ut(s) = 0, lim fin(s) = lim fout(s) = 1,
S —+ So S — + S2 S — —Si S — + S2 , ,
lim f'n(s) = lim f'n(s) = lim fout(s) = lim f'ut(s) = 0.
S——+ So s—— Si s—— S3 s—— S3
Краевое поле может иметь достаточно произвольный вид, при этом обычно оно не симметрично относительно середины интервала, в котором располагается.
Используя предложенный в [16] подход, можно предложить схему поиска классов решений возмущенного уравнения по решению невозмущенного уравнения. Это дает возможность целенаправленно находить аналитические выражения для матричных пропагаторов. В случае, если краевое поле может быть представлено аналитически, параметры функции k(s) могут выступать в качестве управляющих. В противном случае краевое поле можно аппроксимировать с помощью кусочно-постоянных, кусочнолинейных и более гладких функций. Тогда в качестве управляющих могут выступать параметры, в терминах которых задаются те или иные аппроксимирующие функции (например, для кусочно-постоянной аппроксимации - высота и длины «ступенек»). Это позволяет сформулировать соответствующие задачи оптимального управления как задачи нелинейного программирования.
Управление пучком частиц. Задача синтеза микрозонда рассматривается как задача теории управления ансамблем частиц (см., например, [2]). Все критерии и ограничения в задаче синтеза будут касаться семейства траекторий. Множество Mo, занимаемое пучком частиц в начальный момент времени, переводится во множество M(s) = M(s|s0) о M0, где M(s|s0) — оператор эволюции; s0,s — начальное и текущее значения продольной координаты вдоль оси системы. Управляющей системе, которая переводит пучок из начального в текущее состояние, сопоставляется оператор
эволюции ^(s|s0) (пропагатор, см. [2]). Операторное уравнение позволяет определять фазовое множество пучка в любой точке s вдоль опорной траектории. Множество M(s) удовлетворяет операторному уравнению эволюции [2]. Подобное уравнение для оператора эволюции в отсутствие собственного заряда пучка является линейным и не зависит от начального состояния пучка [1]. Решение операторного уравнения может быть записано в виде операторной экспоненты [1,2,7] и представлено в виде упорядоченного произведения пропагаторов, отвечающих частичным участкам системы, в силу группового свойства. Суть использования алгебраических методов Ли заключается в том, что операторное уравнение является линейным, однако с его помощью можно описывать нелинейные уравнения динамики пучков частиц
= F(X, s), F(0, s) = О,
где F(X, s) - вектор-функция, описывающая внешние управляющие поля. Операторное представление уравнения эволюции позволяет доказывать теоремы существования и единственности решений (см., например, [1, 2]), однако для вычислительных процедур использование подобного уравнения не конструктивно. Форма представления и решения подобного уравнения может быть различной; так, в [7] решение ищется в виде экспоненты от скобки Пуассона с частичным гамильтонианом задачи. В соответствии с идеологией, предлагаемой в [7], искомые решения ищутся в виде произведения операторных экспонент, ассоциированных с гамильтонианом в соответствии с алгоритмом факторизации Dragt’a-Finn’a [17]. В подобном представлении требуется «следить» за динамическими коэффициентами однородных полиномов в терминах гамильтонианов. Тензорное представление оператора эволюции используется во многих программных продуктах, например в MAD, COSY INFINITY, TRANSPORT. Матричное представление (смешанный тензор второго ранга) позволяет применять все достоинства матричной алгебры и строится с использованием известного базиса Пуанкаре-Витта X, X[2],.X[k], состоящего из мономов k-го порядка, построенного на основе элементов вектора X.
В данной работе нелинейному уравнению динамики пучка сопоставляется оператор эволюции. Уравнение и его решение (в базисе Пуанкаре-Витта) в терминах матричного формализма могут быть записаны в виде
= Plfc(S)X[fcl(S), X(s) = f>lfc(s|s0)x[,fcl. (3)
k=1 k=1
В (3) X[k](s) - вектор, являющийся кронекеровской степенью фазового X(s), Xo = X(so) - начальный фазовый вектор, so - начальная точка, P1k(s) - матрицы с элементами, равными k-й производной компонент вектор-функции F(X(s),s). В отсутствие собственного заряда матрица R1k не зависит от текущего значения состояния пучка. Для представления пучка используются три способа. Первый базируется на представлении ансамбля частиц в виде набора фазовых точек, которым сопоставлены фазовые векторы X = (xi,Х2,...,xn), распределенные по заданному множеству с некоторым распределением, где N - количество частиц. Второй - на концепции огибающих («истинных» [2] и среднеквадратичных). Наконец, третий метод описывает пучок частиц при помощи функции распределения [2]. Использование огибающих пучка позволяет быстро оценивать геометрические характеристики пучка, однако сложно анализировать распределение частиц в нем.
Формализация исследуемых систем. В работе рассматривались две установки: микрозонд из научного центра Загреба и нанозонд из Кракова.
Микрозонд Загреба. В настоящее время микрозонд работает фактически как триплет, но состоит из пяти квадрупольных линз (дублет и триплет). При использовании подобной конфигурации можно достигать уменьшения порядка 100 раз в одной плоскости и около 95 раз в другой, кроме этого, можно фокусировать тяжелые ионы и получать большой ток пучка, более 100 пА. Краевые поля для двух дублетов в такой установке были измерены в 2009 г. во время научной стажировки Ю. В. Терешонкова в Лабораторию взаимодействия частиц ^1В1) Института Руджера Бошковича (Загреб, Хорватия) [18] при помощи тесламетра с шагом вдоль оси, равным 1 мм. Аппроксимированное краевое поле, построенное по полученным значениям с шагом в 1 мм вдоль оптической оси, было принято в качестве исходного реального краевого поля.
Краковский нанозонд. Нанозонд в исследовательском центре Кракова построен на базе русского квадруплета [19], его основные характеристики приведены в работе [20]. Принципиальными отличиями подобной системы от квинтуплета из LIBI являются:
• на порядок меньшая расходимость частиц;
• наличие симметрии по питанию;
• идентичность всех управляющих элементов.
В силу меньшей расходимости частиц, для краковского нанозонда влияние аберраций третьего порядка не так велико, как в микрозонде из К!В1. При этом подобный нанозонд является высокопрецезионной системой [1]. Величина расходимости частиц в микрозонде из LIBI играет существенную роль, поскольку в методах неразрушающего анализа больший ток пучка является преимуществом.
Исследование микрозонда из ШБ1. Распределение краевого поля одной из квад-рупольных линз, расположенной в составе микрозонда Лаборатории взаимодействия частиц г. Загреба, представлено на рис. 2.
Подобное распределение было аппроксимировано при помощи функции (а + Ьв)-4 на трех участках с разными параметрами. На рис. 2 видно, что форма краевого поля не обладает симметрией относительно пунктирной линии. Другими словами, форма краевого поля до середины интервала существенно отличается от формы поля на оставшемся интервале, что необходимо учитывать при создании модельных функций распределения для экспериментальных краевых полей. Подобная форма поля приводит к необходимости использования составных аппроксимирующих функций.
Микрозонд в LIBI [18] состоит из 5 линз, которые можно разделить на три типа. Первый дублет содержит две квадрупольные линзы с большой апертурой и слабыми возможностями фокусировки. Триплет является основным, первые две линзы в нем идентичные, линза перед мишенью соответствует первым двум по характеристикам, однако отличается по геометрии (имеются дополнительные цилиндрические вырезы для установки датчиков). В настоящей работе приведена оценка влияния реальных краевых полей на характеристики пучка в линейном и нелинейном приближениях, предложены рекомендации по улучшению характеристик микрозонда. К ним относятся: смена
Рис. 2. Пример распределения краевого поля для квадрупольной линзы
полярностей магнитных квадрупольных линз, изменение расстояний между линзами, вариация силы тока в обмотках линз. Для увеличения светимости микрозонда в рамках линейной модели проводился синтез различных режимов работы с учетом фиксированного расположения триплета и возможности изменения местоположения дублета. На первом этапе синтеза были построены режимы работы для триплета квадрупольных линз в рамках прямоугольной модели краевого поля. В частности, найдены рабочие точки с коэффициентами сжатия в продольной {х, в} и поперечной {у, в} плоскостях соответственно: (100, 100), (100, 50), (50, 100), (10, 10) и рабочие точки, отвечающие первым трем режимам работы: (1.05592, 1.197867), (1.0555573, 1.1978809), (1.056122, 1,19917912). Близость рабочих точек указывает на чрезвычайную чувствительность микрозонда. На втором этапе синтеза микрозонд работал в режиме квинтуплета с низкими (0.1—0.4) значениями магнитных возбуждений в дублете первых квадрупольных линз. Кроме этого, дублет смещался относительно исходного положения как единое целое к источнику или мишени. На третьем этапе в дополнение варьировалось расстояние между линзами в дублете. Подобная схема позволила получить семейство оптимальных рабочих точек в рамках линейной модели для прямоугольного краевого поля. С учетом варьирования расстояния между линзами в дублете и смещением дублета относительно исходного положения были найдены рабочие точки, обеспечивающие указанные ранее коэффициенты сжатия при меньших значениях магнитных возбуждений.
В частности, следует выделить три типа подобных точек:
• низкие значения к\ и к2 (0.1-0.4), высокие значения кз (более 1.0);
• низкие значения к\ и кз, высокие значения к2;
• низкие значения к\ и средние значения к2, кз (0,4-0,6),
где к\, к2, кз — магнитные возбуждения первого дублета, второго дублета и ближайшей к мишени квадрупольной линзы соответственно.
Даже без учета нелинейных аберраций режимы с низкими и средними значениями магнитных возбуждений обладают большей устойчивостью к отклонениям от заданных значений магнитных возбуждений. В качестве иллюстрации на рис. 3, а, б представлены кривые, отвечающие коэффициентам сжатия 100 в обеих плоскостях. На графиках магнитные возбуждения к\, к2, кз соответствуют первому, второму дублетам и ближайшей к мишени линзе. Пунктирная линия отвечает поперечной плоскости, сплошная -продольной. В рамках исследований было построено несколько тысяч подобных графиков при некотором фиксированном значении магнитного возбуждения к\ для первого дублета, заданных значениях смещения первого дублета как целого вдоль электрической оси, а также заданном значении для сближения или отдаления линз внутри первого дублета. Изменение расположения линз в первом дублете изучалось в силу конструктивных особенностей микрозонда. Подобные изменения можно осуществить, так как линзы в первом дублете не так жестко закреплены, как в триплете. Область с коэффициентом сжатия 100 в обеих плоскостях для высоких магнитных возбуждений на графиках достаточно хорошо локализована. Аналогичная область для низких магнитных возбуждений состоит из трех частей: 0.6-0.8 для к2 и кз (см. рис. 3, а); 0.6—1.0 для к2 и 0.0—0.2 для кз; 0.6—1.0 для кз и 0.0—0.2 для к2 (см. рис. 3, б).
Вычислительные эксперименты в рамках «прямоугольной» модели краевых полей позволили выделить два класса режимов работы подобной конфигурации с «низкими» (0.6 и ниже) и «высокими» (более 1.3) магнитными возбуждениями для второго дублета линз. Предлагается работать с «низкими» магнитными возбуждениями не только для второго дублета, но и для остальных квадрупольных линз. Вычислительные эксперименты показали, что аберрации третьего порядка кардинально ухудшают значения
а
б
к2
Рис. 3. Коэффициенты сжатия для магнитных возбуждений в продольной и поперечной плоскостях при сдвиге дублета к мишени на 1 (а) и 1.5 м (б)
Объяснение в тексте.
фокусировки пучка при значениях магнитных возбуждений магнитных линз более 1. С использованием комплекса программ было показано, что режим работы FDFDF (т. е. квинтуплет) обладает большим количеством рабочих режимов с «низкими» магнитными возбуждениями. Поэтому рекомендуется применять именно подобный режим.
Одним из требований к микрозонду из LIBI является увеличение его светимости (в данной работе под светимостью понимается количество частиц, пропускаемых микрозондом без потерь и попадающих на мишень). Для этой цели синтезировались вероятные режимы работы с учетом возможности смещения первого дублета к источнику и мишени. В результате вычислительных экспериментов было показано, что увеличение режимов работы с большими значениями коэффициента сжатия пучка (например, 100) происходит при сближении линз в первом дублете и сдвиге его к триплету. Для увеличения светимости необходимо сдвигать первый дублет к источнику. Результаты вычислительных экспериментов с измеренными данными краевых полей существенно отличаются от полученных в рамках «прямоугольной» модели полей. С учетом экспериментальных данных краевых полей пучок на мишени практически невозможно создать круглым, однако эллиптический пучок с достаточно большой интенсивностью устраивает экспериментаторов из LIBI для проведения их исследований.
В силу достаточно большой расходимости пучка (на несколько порядков выше, чем для нанозонда из Кракова) для микрозонда из LIBI аберрации третьего порядка оказывают чрезвычайно значительное влияние на геометрические размеры пучка. Для поиска подходящих режимов работы для низких магнитных возбуждений следует использовать три области. На рис. 4, а показано влияние аберраций третьего порядка на геометрические размеры пучка. В область, занимаемую пучком в линейном приближении, попадает более 58.45% частиц. На рис. 4, б представлена область, куда попадает 90% частиц.
На рис. 4, а отмечены концентрические окружности, ограничивающие области с различной долей числа частиц, попадающих на мишень, соответствующие таким значениям (в %): 18.03, 46.35, 67.18, 78.88, 85.97, 90.75, 94.29, 96.82, 98.93, 99.94. Пример
Рис. 4. Пучок на мишени для микрозонда из ЫЫ с учетом аберраций третьего порядка (а), с обозначением области попадания 90% частиц (б)
Объяснение в тексте.
иллюстрирует фазовый портрет пучка при отключенном дублете (работает только триплет) , значения магнитных возбуждений для линз второго дублета и последней линзы -0.8 и 0.1 соответственно. В отличие от краковского нанозонда для микрозонда из LIBI достаточно сложно получить круглый пучок с учетом аберраций третьего порядка, однако для неразрушающего анализа, который является основным направлением деятельности LIBI, эллиптический пучок удовлетворяет требованиям сотрудников LIBI.
На рис. 5, а представлен вклад сферических аберраций третьего порядка в геометрические размеры пучка. Как видно из рис. 5, б, вклад остальных аберраций третьего порядка в геометрические размеры пучка на порядок меньше.
Исследование краковского нанозонда. Для нанозонда из Кракова (на базе «русского квадруплета») с использованием нагрузочных кривых было оценено влияние краевых полей управляющих элементов на основные характеристики пучка. Вариации формы и длины интервала распределения некоторых моделей краевых полей существенно влияют на вид нагрузочных кривых. «Нагрузочные» кривые - кривые, которые описывают дополнительные ограничения, накладываемые на характеристики пучка. Эти ограничения связаны с одинаковым коэффициентом уменьшения размеров пучка в обеих плоскостях {х, в} и {у, в}. Подобные ограничения могут иметь более сложный вид и приводить не только к кривым, но и к поверхностям. С их помощью можно описывать, например, ограничения, связанные с распределением частиц в пучке. Подход с использованием нагрузочных кривых показал свою эффективность, так как позволил исследовать геометрическое свойство соответствующих кривых, а также делать выводы о целесообразности управляющих режимов, описанных этими кривыми. При постоянной эффективной длине управляющих элементов (Ье^) с увеличением
Рис. 5. Вклад сферических аберраций в геометрические размеры пучка для микрозонда из ЫЫ (а), вклад аберраций третьего порядка за исключением сферических (б)
Объяснение в тексте.
длины интервала распределения краевого поля были получены нагрузочные кривые. С учетом экспериментальных данных в открытой печати в качестве одной из моделей для краевых полей была выбрана синусоидальная модель, предполагалось, что краевые поля — симметричные относительно центра каждого управляющего элемента. Подобная модель удовлетворяет условиям гладкости и «выхода на нуль», позволяет гибко варьировать длину интервала распределения краевого поля и описывает предполагаемый профиль поля на всем участке.
В качестве демонстрации на рис. 6 представлены нагрузочные кривые, полученные при аппроксимации краевых полей кусочно-постоянными функциями в случае сохранения геометрической длины линз (при сохранении Ье^ нагрузочные кривые начинают существенно расходиться только при к\ > 1.5). Длины интервалов управляющего элемента с постоянным полем на рис. 6: Ь0 = 31/32Ье^ (штрихпунктирная линия), Ь0 = 15/16Ьен (пунктирная линия), Ь0 = 7/8Ье^ (точечная линия), Ь0 = 3/4Ье^ (сплошная линия) и Ь$ = 1/2Ье^ (пунктирная линия), исходная кривая соответствует отсутствию краевых полей в модели. Параметры к\, к2 являются магнитными возбуждениями первой, третьей и второй, четвертой линз соответственно. С увеличением длины интервала распределения краевого поля правая часть нагрузочных кривых сдвигается вправо по оси к2. Для нанозонда из Кракова построены графики коэффициентов сжатия в линейном (рис. 7) и нелинейном приближениях, где пунктирная линия означает коэффициенты сжатия при высоких магнитных возбуждениях (около 1), сплошная - при низких (около 0.5), - длина центральной части магнитной линзы в долях
от эффективной длины Ьен, Вху - безразмерный коэффициент сжатия пучка в продольной {х, б} и поперечной {у, б} плоскостях.
Рис. 6. Нагрузочные кривые Рис. 7. Коэффициенты сжатия
при изменении длины центральной части при изменении длины центральной части
квадрупольной линзы магнитной линзы в линейной модели
Снижение коэффициентов сжатия при увеличении длины интервала распределения краевых полей демонстрирует рис. 7. Иными словами, при уменьшении центральной части Ьо управляющего элемента (см. рис. 1) с постоянным полем не удается подобрать «рабочие» точки со стократным коэффициентом сжатия в продольной и поперечной плоскостях в пределах точности поиска рабочих точек. Увеличение степени точности, например, до 6-го и выше знаков после десятичной точки не имеет смысла на практике, потому что подобные режимы не реализуемы на реальных системах.
При помощи построения матричного пропагатора для всего микрозонда можно гибко менять параметры и выбирать необходимые режимы работы установки. В частности, были построены кривые, отвечающие заданным значениям рабочего расстояния и расстояния между линзами. При наличии краевых полей в модели нарушается симметрия «русского квадруплета», поэтому линии уровня коэффициента сжатия (например, стократного сжатия в продольной и поперечной плоскостях) не пересекаются с нагрузочной кривой в одной точке. Отклонение составляет величину 10-4 по магнитному возбуждению, что обычно находится за гранью возможностей экспериментаторов. Для микрозондов подобные отклонения не играют существенной роли, однако в циклических ускорителях в случае большого количества оборотов (105 и более) подобные отклонения будут влиять на характеристики пучка (см. [1]).
Переход от линейных к нелинейным моделям микрозонда приводит к качественному изменению влияния краевых полей на характеристики пучка частиц (см. [1]), поэтому многие параметры необходимо определять заново. Другими словами, при синтезе подобных систем с критическими характеристиками требуется использовать нелинейные модели вместо линейных (см., например, [1]). В частности, для низких магнитных возбуждений при наличии краевых полей переход к нелинейной модели позволяет сохранить и даже увеличить коэффициент сжатия пучка (за исключением случая Ьо = 1/2Ьея). Для высоких магнитных возбуждений аналогичное повышение коэффициента сжатия допустимо только при небольших длинах интервала распределения краевых полей. При увеличении длины интервала распределения краевых полей управляющих элементов качество фокусировки ухудшается на порядок и более
(при Ьо ^ 3/4Ье^). Таким образом, вместо недостижимой на практике «прямоугольной» модели поля и обеспечения заданных характеристик пучка эффективнее, дешевле и физически более обоснованно изготавливать магнитные линзы с заданными формами и длинами интервалов распределения краевых полей. Также нами предложены рабочие точки, позволяющие улучшить качество микрозонда с учетом нелинейных аберраций, оценены области пучка на мишени, которые содержат 80-90% частиц. Отрицательные значения коэффициентов сжатия свидетельствуют о перевернутом изображении; при построении линий уровня, например коэффициента сжатия 100 и -100, подобные линии практически накладываются друг на друга, поэтому в работе строились уровни с положительными коэффициентами сжатия.
а б
Ох, у
Рис. 8. Зависимость коэффициентов сжатия от длины центральной части линзы для высоких (а) и низких (б) магнитных возбуждений при смене рабочих точек
Объяснение в тексте.
На рис. 8, а, б представлены зависимости коэффициентов сжатия от длины центральной частиц магнитной линзы (поле постоянно) для высоких и низких магнитных возбуждений соответственно, где пунктирная линия означает коэффициент сжатия для продольной плоскости {х, в}, сплошная - для поперечной {у, в}. Графики построены при значениях центральной части Ь0 = [1, 31/32,15/16, 7/8, 3/4, 5/8,1/2] и определены коэффициенты сжатия для рис. 8, а [98, 98.68, 91.71, 94.459, 42.28, 1.86, 0.18] и [98, 98.78, 92.44, 95.566, 85.05, 56.10, 7.34] в {х, в} и {у, в} плоскостях соответственно. Подобные значения для соответствующих плоскостей для рис. 8, б следующие: [95, 95.89, 95.958, 96.52, 93.645, 92.54, 94.22], [95, 95.95, 96.318, 97.568, 94.17, 92.978, 96.37]. Графики показывают, что предпочтительнее использовать режимы с низкими магнитными возбуждениями, так как влияние нелинейных аберраций практически не изменяет коэффициентов сжатия, полученных в линейной модели. По оси абсцисс на графиках расположена длина центральной части управляющих элементов в долях от эффективной длины управляющих элементов (Ьед = 1). Смена рабочих точек производилась с учетом перехода на нагрузочную кривую с большей длиной интервала распределения краевого поля и сохранением (по возможности) высокого коэффициента сжатия
в линейной модели. Графики показывают, что в случае высоких магнитных возбуждений наличие краевых полей приводит к существенному уменьшению коэффициента сжатия. Таким образом, без специальных корректирующих управляющих элементов подобные режимы не являются пригодными для использования (необходимы коэффициенты сжатия от 10 и более). На рис. 9, а, б приведены аналогичные графики при фиксированной рабочей точке, выбранной для высоких и низких полей в линейной модели с коэффициентами сжатия 98 и 95 соответственно в отсутствие краевых полей. Пунктирная линия означает коэффициент сжатия для продольной плоскости {х, в}, сплошная - для поперечной {у, в}. Таким образом, на основании коэффициентов сжатия в плоскостях {х, в} и {у, в} в линейной модели нельзя сделать вывод о реальном коэффициенте сжатия с учетом краевых полей, в силу значительного отличия коэффициентов. Более того, по результатам проведенных исследований не рекомендуется выбирать линейную модель как базовую и основываться на подобных результатах при синтезе новых микрозондов или модернизации функционирующих.
а б
Ох, у
Рис. 9. Зависимость коэффициентов сжатия от длины центральной части линзы для высоких (а) и низких (б) магнитных возбуждений при фиксированной рабочей точке
Объяснение в тексте.
Заключение. Было исследовано и оценено влияние краевых полей на характеристики пучка частиц на примере микрозондов. Показано, что их влияние существенно. Важным результатом является то, что с учетом краевых полей можно получить более приемлемые характеристики пучка, чем в модели с их отсутствием (которая может быть не реализуема, краевые поля всегда присутствуют). Это позволяет проектировать новые более эффективные микрозонды и правильнее настраивать функционирующие. Кроме этого, в работе даны рекомендации по улучшению параметров исследуемых систем и установлено, что на основании расчетов в линейной модели не следует конструировать микрозонды, так как нелинейные эффекты могут кардинально менять динамику пучка. Предложенные методы и результаты могут быть применены практически для любых ускорительных комплексов, потому что краевые поля - неотъемлемый атрибут любого типа магнитных элементов.
1. Терешонков Ю. В. Математическое моделирование зондоформирующих систем с учетом краевых полей. СПб.: С.-Петерб. ун-т, 2010. 194 с.
2. Андрианов С. Н. Динамическое моделирование систем управления пучками частиц. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004. 368 c.
3. Овсянников Д. А. Математические методы оптимизации динамики пучков. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986. 91 с.
4. Dymnikov A. D., Garcia G. High-frequency focusing system for nuclear microprobes // NIM B. 1999. Vol. 158. P. 85-89.
5. Jamieson D. N. New generation nuclear microprobe systems // NIM B. 2001. Vol. 181. P. 1-11.
6. Watt F., Rajta I., Kan J. A. et al. Proton beam micromachined resolution standards for nuclear microprobes // NIM B. 2002. Vol. 190. P. 306-311.
7. Dragt A. J. Lectures on Nonlinear Orbit Dynamics // Physics of High Energy Particle Accelerators. AIP Conf. Proc. New York, 1982. N87. P. 147-313.
8. Мартиросян Ю. Л. Исследование эффектов краевых магнитных полей в накопительных кольцах // Журн. техн. физики. 2003. Т. 73, вып. 10. С. 113-115.
9. Berz M., Erdelyi B., Makino K. Fringe field effects in small rings of large acceptance // Phys. Rew. St-Accelerators and Beams. 2000. Vol.3, N 124001. P. 1-11.
10. Enge H. A. Effect of Extended Fringing Fields on Ion-Focusing Properties of Deflecting Magnets // Review of Scientific Instruments. 1963. Vol. 35. P. 278-287.
11. Moloney G.R., Jamieson D.N., Legge G.J.F. Analysis of the fringe field region of magnetic quadrupole lenses: field measurements and ion optical calculations // NIM B. 1997. Vol. 130. P. 97-103.
12. Moloney G.R., Jamieson D.N., Legge G.J.F. Design modifications to reduce duodecapole components in the fringe field region of magnetic quadrupole lenses // NIM B. 1993. Vol. 77. P. 35-38.
13. Venturini M., Abell D., Dragt A. J. Map Computation from Magnetic Field Data and Application to the LHC High-Gradient Quadrupoles // Proc. of the 5th Intern. Computational Accelerator Physics Conference. 1998. P. 184-188.
14. Smith D. L. Focusing properties of electric and magnetic quadrupole lenses // NIM. 1970. Vol.79, Issue 1. P. 144-164.
15. Sagalovsky L. Beam transport optics of dipole fringe field in the framework of third-order matrix theory // NIM A. 1990. Vol. 298, Issues 1-3. P. 205-222.
16. Antone T. A., AL-Maaitah A. A. Analytical solutions to classes of linear oscillator equations with time varying frequencies // J. of Math. Physics. 1992. Vol. 33, Issue 10. P. 3330-3339.
17. Dragt A. J., Finn J. M. Lie Series and Invariant Functions for Analytic Symplectic Maps // J. of Math. Phys. 1976. Vol. 17. P. 2215-2227.
18. Сайт Лаборатории взаимодействия частиц (Laboratory for Ion Beam Interactions) Института Руджера Бошковича, г. Загреб, Хорватия. URL: http://www.irb.hr/en/str/zef/z3labs/liis.
19. Дымников А. Д., Явор С. Я. Четыре квадрупольные линзы как аналог аксиальносимметричной системы // Журн. техн. физики. 1963. Т. 33, вып. 7. С. 851-858.
20. Лебедь С. А. Двухрежимная зондоформирующая система для современного ядерного нанозонда // Журн. теор. физики. 2002. Т. 72, вып. 1. С. 92-95.
Статья рекомендована к печати проф. Д. А. Овсянниковым.
Статья принята к печати 14 октября 2010 г.
