CC BY
13Утверждение. Для любого натурального к > 0 на римановом многообразии и в нормированном прострамстве размерности п ^ 3 можно построить три материка, для которых существует по крайней мере 2к особых точек.
1. Докажем утверждение для риманова многообразия Мп. Найдем такую малую окрестность Ве(х) точки х € Мп, что для каждой пары точек Х\,Х2 € Ве(х) существует кратчайшая геодезическая 7(Ж1,Ж2) С Ве(х), их соединяющая. Шар Ве(х) гомеоморфен открытому множеству II С Кга. Можно считать, что 0 € II. Найдем 5, такое, что п-мерный куб [—5] 5}п С II. В качестве материков возьмем три прямые ^ (г = 1, 2, 3), заданные уравнениями х\ = Х2 = сц, = Ы, х^ = 0 при ] € 3, т, где а\ = Ъ\ = 0, аг = 0, &2 = аз = = 0. Тогда ясно, что шары
не пересекаются и касаются поэтому для материков I^ существует по крайней мере 2к особых точек с непересекающимися шапочками. Значит, по лемме 4 на Ве(х) С Мп можно построить три материка, для которых существует 2к особых точек. В силу условий на Ве(х) особые точки для этих трех материков на Ве(х) будут особыми и на всем Мп.
2. Докажем утверждение для нормированного пространства Хп. Для Хп с евклидовой нормой соответствующий пример построен в п. 1. Поскольку в Хп любая норма эквивалентна евклидовой, остается применить лемму 4.
Автор приносит благоданость П. А. Бородину за постановку задачи и ценные замечания. Работа поддержана грантом РФФИ (проект № 15-01-08335).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Карлов М.И. Чебышевские множества на многообразиях // Тр. ИММ УрО РАН. 1996. 4. 157-161.
2. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. М.: Мир, 1971.
3. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. М.: Факториал Пресс, 2000.
4. Скопенков А.Б. Алгебраическая топология с геометрической точки зрения. М.: .\IIUI.\K). 2015.
Поступила в редакцию 20.04.2016
УДК 512.772
МНОГОЧЛЕН ПУАНКАРЕ ПРОСТРАНСТВА С) И КОЛИЧЕСТВО ТОЧЕК ПРОСТРАНСТВА
Н. Я. Амбург1, Е.М. Крейнес2, Г. Б. Шабат3
Получено комбинаторное доказательство того, что число точек пространства удовлетворяет рекуррентной формуле для многочленов Пуанкаре пространства Л^о,п(С).
Ключевые слова: пространство модулей, многочлен Пуанкаре, конечное поле.
We obtain a combinatorial proof that the number of points of the space Л1о,п(1Р9) satisfies the requrrent formula for Poincare polynomials of the space Л^о,п(С).
Key words: moduli space, Poincare polynomial, finite field.
1. Введение. Пусть алгебраическое квазипроективное многообразие V определено над кольцом Z, т.е. оно может быть задано системой (возможно, пустой) однородных полиномиальных уравнений и не равенств4 с целыми коэффициентами. Множество V(к) решений такой системы можно рассматривать в проективном пространстве Рга(к) над любым полем к.
1 Амбург Наталья Яковлевна — канд. физ.-мат. наук, науч. сотр. НИЦ "Курчатовский институт" — ИТЭФ, e-mail: AmburgQitep.ru.
2Крейнес Елена Михайловна — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. каф. теоретической информатики мех.-мат. ф-та МГУ, мл. науч. сотр. НИЦ "Курчатовский институт" — ИТЭФ, e-mail: Elena_msuQgmail.com.
3Шабат Георгий Борисович — доктор физ.-мат. наук, проф. РГГУ, вед. науч. сотр. НИЦ "Курчатовский институт" — ИТЭФ, e-mail: George.ShabatQgmail.com.
4т.е. выражениями вида / ф 0 (а, скажем, не / > 0).
Всюду в настоящей работе Fg обозначает конечное поле из д элементов. Если комплексное многообразие У(С) полно (т.е. задаваемо без не равенств) и гладко, то его топология связана с количествами его точек над конечными полями, т.е. мощностями конечных множеств У(^).
А именно (рациональные) числа Бетти такого многообразия
Ьк(у) :=ё[тЯ^УМ)
выражаются через дзета-функцию Хассе-Вейля Zy многообразия V, тесно связанную при любом простом р с производящей функцией чисел Более точно
оо ,
^\У(¥рг)\Тг =Т— \оё2у(Т),
г= 1
где
" \У(¥рг)\Тг
г=1
В простейшем случае V = Рп, когда многообразие задается пустым множеством уравнений, имеем |Рга(^)| = 1 + д + ... + дп, так что
°° ,пкггпг п °° {^кгплг
2Рп(Г) := ехр £ ^Р Т = П ехр ^ ^
г=1
га
:Пехр(-1ое(1 -ркТ))
г=1 к=0 г= 1
1
к=0 (1-т)(1-рТ)...(1-р"ту
тогда как многочлен Пуанкаре соответствующего комплексного многообразия равен
2 га
ък(рп(с)^к = 1+е+¿4 +...+¿2га
к=0
Связь между дзета-функцией Хассе-Вейля и многочленом Пуанкаре проще всего формулируется для многообразий без нечетных когомологий, т.е. таких, у которых равны нулю числа Бетти с нечетными номерами. К таким многообразиям относятся и проективные пространства, и компактифицированные пространства модулей, которым посвящена настоящая работа. Если многообразие V
обладает указанным свойством, то, согласно [1], имеем
1
ПсШпУ р : 7=1 Я?
где € Ъ[Т] определяется тем, что его комплексные корни лежат на окружности \Т\ = р 3, ж скщР2з=Ъ2з(У).
Многообразиям V, для которых € посвящена обширная литература (см., например,
работу [2]).
Многообразия Л4о,п, которые мы будем рассмативать, также подробно исследованы (см., например, [3, 4]). Их когомологии хорошо известны; например, в работе [5] установлено (на основе общей теории операд) следующее поразительное соотношение: если ввести производящие функции
9М ■= х - Е 52("1)¥(га"г_2) = ж - {1+Х]щ*-\Т2Х)
п=2 ' г=0 ^ '
„ га—2 X"
¡{х, г) := ж + — № сИтН2г(Л^(0>п+1)),
п\
п=2 1=0
то они композиционно взаимно обратны: f(g(x,t),t) = х.
В настоящей работе мы приводим прямое доказательство рекурренции для количеств точек
1-М(о,»г+1)(Ш,<?)|) которая, согласно гипотезам Вейля [1], совпадает с рекурренцией для многочленов Пуанкаре компактифицированных пространств модулей ■М(о,га+1)((С)- Такой метод вычисления ко-гомологий пространств модулей положительных родов Л4д,п и в случаях, когда количества
точек в этих пространствах зависят от порядка конечного поля полиномиально (при д = 1 это имеет место лишь в интервале п < 11), применялся в работах [6, 7] и других.
В своей статье [8] 1992 г. С. Кил приводит рекуррентную формулу для чисел Бетти пространства ЛИС):
Рл = 1,
Рп+1 = (1 +{2)Рп +
.2 п-2
-У
2 ^
•7=2
П
+ + 1 ДЛЯ П ^ 3.
Мы покажем, что число точек компактификации Делиня Мамфорда пространства модулей алгебраических кривых рода 0 с п отмеченными точками над полем удовлетворяет тем же соотношениям (1) и (2).
Работа построена следующим образом: в и. 2 вводится пространство модулей .Мо,»г(к) алгебраических кривых рода 0 над полем к и определяется его компактификация Делиня Мамфорда, п. 3 содержит основные сведения о числах Бетти, которые могут потребоваться. В п. 4 введены отображения забывания точки и проверены некоторые его свойства. В п. 5 содержатся формулировка и доказательство основного результата.
2. Компактификация Делиня-Мамфорда 7Ио,»г(к).
1. Стабильные кривые. Введем необходимые понятия, касающиеся кривых рода 0 над произвольным нолем, в частности над конечными нолями.
Определение 1. Стабильной кривой над полем к рода О с п отмеченными точками называется конечное объединение проективных прямых р = Р\ и Ь-2 и ... и Рр, где Р^ = Р1(к), с п различными отмеченными точками х\, Х2, ■ ■ ■ , хп € р, для которого выполняются следующие условия:
для каждой отмеченной точки х^ существует такая единственная прямая Р^, что Хг €
две различные прямые пересекаются не более чем в одной точке;
граф, соответствующий р, является деревом, а именно проективным прямым Р\, Р2, ... ,Рр ставятся в соответствие вершины графа, а нарам пересекающихся прямых ребра;
общее число специальных точек (отмеченных точек или точек пересечения), лежащих на каждой прямой Р^, не меньше трех.
Пример 1. Р1ОС) проективная прямая. Поэтому стабильная кривая над полем С это дерево, состоящее из прямых с отмеченными точками на них (рис. 1).
Замечание 1. Если р = (Р\, ¿2,..., Ьр, Х\,Х2, ■ ■ ■, хп) стабильная кривая, то п ^ 3. Поэтому всюду далее мы предполагаем, что п ^ 3, не указывая этого специально.
Пример 2. Заметим, что Р1(Рд) = и {оо} и Р1(Рд) = д + 1. Пусть (Р1(Рд) Э Х\, Х2, ■ ■ ■, хп)
стабильная кривая. Тогда д + 1 ^ п ^ 3.
Пример 3. Пусть Рг ноле из двух элементов, п ^ 3. Тогда объединение п — 2 проективных прямых Р1^2), склеенных попарно в точках {0} и {оо}, кроме двух "крайних", которые приклеены к соседу только в одной точке, с отмеченными точками {1} на всех компонентах, кроме крайних, и со всеми отмеченными точками на крайних компонентах является стабильной кривой над Рг с п отме ченными то чками.
Замечание 2. Отметим, что внутренняя часть пространства модулей непуста только
в случае п ^ д + 1, однако стабильные кривые с п отмеченными точками над полем существуют при всех п и д.
Определение 2. Пусть
р = (Ь\,Ь2, • • • , Рр, Х\,Х2, ■ ■ ■ , Хп), р' = (Р^Р^, ■ ■ ■ , Р'р, ■ ■ ■ , х'п)
Рис. 1. Стабильная кривая с восемью отмоченными точками над С
являются стабильными кривыми рода Ос п отмеченными точками над произвольным полем к. Кривые р и р' называются эквивалентными, если существует такой изоморфизм алгебраических кривых / : р —> р', что f(zi) = z\ для всех г = 1,... , п.
Пример 4. Для фиксированного поля к все стабильные кривые с п = 3 отмеченными точками эквивалентны друг другу.
2. Пространство модулей По аналогии с непрерывным случаем над произвольным полем пространство модулей стабильных кривых будем называть компактификацией Делиня-Мам-форда.
Определение 3. При п ^ 3 компактификацией Делиня-Мамфорда пространства модулей Л^о,п(к) алгебраических кривых рода Осп отмеченными точками над полем к называется множество класов эквивалентности стабильных кривых рода Ос п отмеченными точками, определенных над полем к, обозначается 7Ио,п(к)-
Определение 4. Границей компактификации Делиня-Мамфорда назовем теоретико-
множественную разность <9.Мо,га(к) = -Мо,га(к) \ -Мо,га(к)-
Пример 5. Для произвольного поля к пространство модулей Л^о,з(к) состоит из одной точки.
3. Рекуррентная формула для чисел Бетти Л4о^п(С). Дадим формальные определения исследуемых понятий.
Определение 5. Пусть X — гладкое компактное многообразие. Тогда к-м числом Бетти /Зк(Х) называется размерность векторного пространства Hfc(X;Q), поскольку группа когомологий в этом случае является векторным пространством над Q: fiu{X) = diniQHfc(X; Q).
Определение 6. Многочлен Пуанкаре пространства X — это производящая функция последовательности чисел Бетти пространства X:
px{z) = Ро{Х) + MX)z + l32(X)z2 + ....
_^ _
Теорема 1 [8]. Обозначим, через ак{п) = /?2fc(-Mo,«. ) ронг H2fc(7Ho,n((C))- Тогда числа ак{п) удовлетворяют, рекуррентной формуле
1 п~2 (п\ к~1
ак(п + 1) = ак(п) + afc_i(n) + - ^ i .J ^щЦ + l)afc_i_z(n - j + 1), (3)
j=2 ^ ' 1=0
, , _ J 1, если к = 0; йк[ } = \ 0, если к ^ 0.
_с
Замечание 3. Известно (см. [8]), что /?2fc+i(-^o,«. ) = 0.
Следствие 1. Используя введенное в п. 1 обозначение
га— 3
Pn(t2) = J>fc(n)i2fc к=0
многочлена Пуанкаре пространства Aio,n{C), перепишем теорему 1 в следующем, виде:
Рз = 1,
^ га-2 , ч
Рп+1 = (1 + t2)Pn + t2-Y,[n) рз+1рп-з+ъ П > 3.
i=2 ^
4. Отображение забывания точки. Для полноты изложения введем классическое отображение забывания точки, которое будет использовано для индукционного перехода в дальнейшем.
_Определение 7. Отображением забывания точки называется естественное отображение тг :
-Mo,ra+i(k) —> .Mo,ra(k)) стирающее точку (п + 1). При этом если после стирания на какой-то из компонент Li кривой р осталось менее трех выделенных точек, то компонента Li заменяется точкой ("стягивается в точку").
Замечание 4. Отметим, что если на компоненте Li отмечено менее трех точек, то, в частности, она пересекается не более чем с двумя другими компонентами Lj и Lk. В этом случае Li стягивается
в точку пересечения и и все условия стабильности остаются выполненными. Аналогично в других случаях, когда на Ь^ отмечено менее трех точек. Таким образом, отображение забывания точки определено корректно.
Замечание 5. Локально существуют всего три различных типа отображения 7Г, все они описаны в следующем примере.
Пример 6. Отображение забывания точки тт : Л^о,б(к) -Мо,5(к) представлено на рис. 2.
Рис. 2. Стягивание 7г : _Мп,б(к) —> Л^о,5(к)
В случае конечного поля к = F(? посчитаем число прообразов каждой точки при отображении забывания. Для точек из внутренней части пространства модулей имеет место Лемма 1. Пусть F(? конечное поле, = д, р € .Мо,«^). Тогда
\Ж~ЧР)\=<1 + 1-
Доказательство. Если р € .Мо,«^), то
р = ( Р1(¥д),г1,г2,...,гпеР1(¥(1)).
Заметим, что = д + 1. Кривая 7Г 1(р) может состоять из одной компоненты, в этом слу-
чае "забытая" точка могла находиться в любой из (д + 1 — п) неотмеченных точек кривой р, что дает (д + 1 — п) кривых пространства -^0,«+!^) (см. рис. 2, а). Также "забытая" точка хп+\ могла находиться на дополнительной компоненте, прикрепленной в одной из п отмеченных точек и "сдувшейся" при забывании (см. рис. 2, б), откуда получаем еще п кривых пространства ■Мо,»г+1^(?). Все полученные кривые различны по построению. Таким образом, получаем, что полный прообраз 7г-1(р) состоит в точности из (д + 1) кривой. □
Для множества X обозначим через дХ его границу, т.е. теоретико-множественную разность между его замыканием и внутренностью: дХ = Х\Х. Для точек из граничной части пространства модулей справедлива
Лемма 2. ПредположилI. что р € дМ.о,п(¥я) и число неприводи,иы,х компонент р равно к(р) +1. Тогда
к_1(р) I = (д + 1) + дк(р).
Доказательство. Заметим, что если число неприводимых компонент кривой р равняется к(р) + 1, то число их точек пересечения на 1 меньше, а значит, равняется к(р).
Как и при доказательстве предыдущей леммы, возникают два варианта. Кривая тт~1(р) может состоять из того же числа компонент, что и р. В этом случае "забытая" точка 2п+1 могла находиться в любой из
(к(р) + 1)(д + 1)-п-2к(р)
невыделенных точек. Или точка могла находиться на дополнительной компоненте, "сдувшейся" при забывании, прикрепленной в одной из п отмеченных точек (рис. 2,6) или в одной из к(р) точек пересечения компонент (рис. 2, в), что в совокупности соответствует еще (п + к(р)) кривым. Складывая последние два числа, получаем требуемый результат. □
5. Рекуррентная формула для числа точек пространства модулей M.oin{¥q). Перейдем к доказательству основного результата работы.
Теорема 2. Число точек 7Ио,п(Рд) пространства 7Ио,п(Рд) равняется значению многочлена Пуанкаре Pn(t2) для пространства Aio,n{C), взятому в точке t2 = q:
М0,п(¥д) =Рп{я).
Мы будем проводить доказательство индукцией по числу отмеченных точек п. Для начала нам потребуется несколько вспомогательных утверждений.
Лемма 3. Обозначим число неприводим,ых компонент кривой р € М.о>п(¥ч) через к(р) + 1.
Тогда ___
•М0>п+1(^)| = + ^ Шр)). (4)
Доказательство. Заметим, что для любой кривой р € А4.о^п(¥я) справедлива формула |тг (р)| = (д + 1) + дк(р). Действительно, если кривая р лежит на границе пространства модулей, т.е. состоит из нескольких компонент, то результат непосредственно следует из леммы 2, а если кривая р является внутренней точкой, т.е. состоит из одной компоненты, то к(р) = 0 и результат получается применением леммы 1.
Таким образом,
Мо,п+1(¥д) = ^ |тг ~\р)\= +
откуда, перегруппировав слагаемые и вынеся общий множитель (д + 1), получаем равенство
•Мо,п+1(^)| = + 1) + ^2 Шр))-
Поскольку кривые р € состоят из одной компоненты, то для них к(р) = 0, и лемма
доказана. □
Для доказательства следующей леммы нам потребуется ввести ряд обозначений. Определение 8. Пусть I = {г\,... ,ц} С {1,... ,п} = \п\— некоторое множество индексов. Обозначим через пространство модулей алгебраических кривых рода 0 над полем ¥д с к отмеченными точками, занумерованными элементами множества I соответственно. Через обозначим его замыкание Делиня-Мамфорда. Будем говорить, что кривая р = {Р\,..., Рр, ..., хп) € Мополучена склеиванием кривых р\ и в точке с номером 0, если р\ = (Рк1, ■ ■ ■, Ькз, ■ ■ ■, гк,г0), г0 € Рк[ для некоторого 1\ р2 = {Рк3+1, ■.., Ькр, г0, ..., г0 € Ькг для некоторого г, ... ,кр — некоторая перестановка индексов 1,... ,р, здесь • • • Лп-г} = {1, - - -,п} \ /, и компоненты Рк1 и Ркг кривой р пересекаются. В этом случае р\ € Р2 ^ •^0;([га]\/)и{0}(®,<?)-Будем использовать обозначение р = р\ * р2-
Замечание 6. Отметим, что для любого множества I справедливо
M0;i(¥q) ^ M0,lI{(¥q)
в частности |.Мо;/(Рд)| = |-А4о,|/|(Рд)|, поскольку выбор обозначений отмеченных точек не влияет на структуру пространства модулей.
Лемма 4. Пусть — конечное поле, = д. Обозначим число неприводимых компонент кривой р € 7Ио,п(Рд) через к(р) + 1. Тогда
га—2 , ч
3=2
Mo,n-j+i(¥q
(5)
Доказательство. Отметим, что в левой части равенства (5) для каждой кривой р € дМо>п(¥д) суммируется число точек пересечения неприводимых компонент этой кривой.
Рассмотрим выражение в правой части. Заметим, что каждая кривая р € дМо>п(¥д) имеет хотя бы одну точку пересечения своих компонент и разбивается этой точкой на две кривые из пространств с меньшим числом отмеченных точек. Каждому разложению {1,... , п} = {г\,..., • • •) ^п} =
/и([п]\/) соответствует множество пар кривых (р\, р2), где р\ € -Мо./ивдО^д)) Р2 € А^о^м^и^}^«?)) и отмеченные точки занумерованы элементами множеств {г\,..., ц, 0} и {0, ц+1, ■ ■ ■, ^п} соответственно. При этом в силу условия стабильности выполняются ограничения 2 ^ £ ^ п — 2. Наоборот, любая пара кривых (р\, р2), р\ € -Мо./ивдО^д)) Р2 € А^о,([га]\/)и{о}(®,<?)) с отмеченными точками, занумерованными множествами {г\,..., ц, 0} и {0, ц+1, ■ ■ ■, гп} соответственно, задает одно разложение {1,..., п} = {¿1,..., ц} и {ц+1, ■ ■ ■, Рассмотрим множество кривых
X
и
и
Р1 * р2 ■
P2eA/!0,([n]\I)u{0}(®q)
В силу замеченного выше соответствия каждая кривая р пространства входит в множе-
ство X ровно 2к(р) раз, поскольку считается заново при каждом возможном разбиении кривой р на две компоненты и не зависит от переименования р\ в р2 и обратно. Посчитаем число элементов множества X:
п—2
1*1 = £ 4=2
|.M0>t+i(Fg)| • \M0,n-t+i(¥q)\
Действительно, при каждом фиксированном t € [2, п — 2] мы имеем произведение числа точек пространства 7W0>i+i(Fg) на число точек пространства A^o,ra-i+i(Fg) и на число выборов t точек из п.
Вынося из каждого слагаемого общий множитель 2 и деля на него, мы получаем в правой части сумму к(р) по всем кривым р пространства dMo>n(Wq), т.е. то же самое, что и в левой.
□
Доказательство теоремы 2. Будем вести доказательство индукцией по п при каждом фиксированном д.
База индукции: п = 3. Непосредственная проверка и пример 5 показывают, что
для всех значений q. Тем самым
М0,з(¥д) =Ыя)
для всех д, что и требовалось доказать.
Предположим, что для 3 ^ т ^ п утверждение теоремы 2 верно, т.е.
М о,т(¥д) =Рт(д).
Покажем, что тогда оно выполняется и для т = п + 1. Действительно, по лемме 3 справедливо соотношение
п—2 , Ч
Е ад = оЕ
3=2
Mo,n-j+l(¥q)
редМо,п(Шд)
Подставляя левую часть этого выражения в формулу (4), получаем, что число точек пространства модулей удовлетворяет рекуррентному соотношению (3). Проверенное при доказательстве базы индукции совпадение начальных условий показывает, что число точек пространства модулей удовлетворяет следующей системе соотношений:
= 1,
■Мо,п+1(^) = (1 + ч) Мо,п(Щ) +^Е™=226) Ми-иО^) • М0,п-з+1(¥д)
что вместе с теоремой Киля (см. теорему 1) завершает доказательство.
□
Работа первого автора выполнена при частичной финансовой поддержке гранта РФФИ Л" 15 1)1 09242 А, работа второго автора — гранта РФФИ № 15-01-01132. Работа третьего автора выполнена при частичной финансовой поддержке Фонда Саймонса.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Deligne P. La conjecture de Weil. I // Publications Mathématiques de l'IHES. 1974. 43. 273-307.
2. van den Bogaart T., Edixhoven B. Algebraic stacks whose number of points over finite fields is a polynomial // Number fields and function fields — two parallel worlds. Progr. Math. Vol. 239. Boston: Birkhauser, 2005. 39-49.
3. Deligne P., Mumford D. The irreducibility of the space of curves of given genus // Publications Mathématiques de PIHÉS. 1969. 36. 75-109.
4. Etingof P., Henriques A., Kamnitzer J., Rains E. The cohomology ring of the real locus of the moduli space of stable curves of genus 0 with marked points // arXiv:math. AT/0507514, 2005.
5. Getzler E. Operands and moduli spaces of genus 0 Riemann surfaces // The Moduli Space of Curves. Progr. Math. Vol. 129. Boston: Birkhauser, 1995. 199-230. _
6. Bergstrom J., Tommasi O. The rational cohomology of ~Ml // Math. Ann. 2007. 338, N 1. 207-239.
7. van der Geer G. Counting curves over finite fields // Finite Fields and Appl. 2015. 32. 207-232.
8. Keel S. Intersection theory of moduli space of stable n-pointed curves of genus zero // Trans. Amer. Math. Soc. 1992. 330, N 2. 545-574.
Поступила в редакцию 26.10.2016
УДК 519.6
МЕТОД СОГЛАСОВАНИЯ ИЗМЕРЕНИЙ ОПОРНОЙ ФУНКЦИИ ВЫПУКЛОГО ТЕЛА В МЕТРИКЕ Р^
И. А. Палачёв1
Предложен новый алгоритм решения задачи согласования измерений опорной функции выпуклого тела в метрике L00, позволяющий получить решение за квадратичное время по числу измерений без использования линейного программирования. Также доказана оценка скорости сходимости, которая имеет место при довольно слабых условиях на входные данные, что дает возможность применить метод к более широкому классу задач, чем это было прежде. Разработанный алгоритм обладает большей и гарантированной стабильностью и предсказуемостью, нежели прочие алгоритмы, существовавшие и применявшиеся для согласования измерений опорной функции. Приведены детали реализации алгоритма и результаты его тестирования.
Ключевые слова: опорная функция, восстановление геометрических тел, теневой контур, преобразование двойственности.
A new algorithm is proposed for estimation of convex body support function measurements in Loo metric, which allows us to obtain the solution in quadratic time (with respect to the number of measurements) not using linear programming. The rate of convergence is proved to be stable for quite weak conditions on input data. This fact makes the algorithm robust for a wider class of problems than it was previously. The implemented algorithm is stable and predictable unlike other existing support function estimation algorithms. Implementation details and testing results are presented.
Key words: support function, geometric body reconstruction, shadow contour, duality-transformation.
1. Введение. Настоящее исследование возникло из практической задачи восстановления трехмерного выпуклого тела по измерениям его опорной функции. Данная задача рассматривалась в
1 Палачёв Илья Александрович — соискатель каф. вычислительной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: palachev .ilyaQyandex .ru.
