Минимизация боковых лепестков функции неопределенности фазоманипулированных сигналов в локальной области частотно-временных сдвигов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.396.967; 621.396.962

Д.В.Чеботарев

МИНИМИЗАЦИЯ БОКОВЫХ ЛЕПЕСТКОВ ФУНКЦИИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ФАЗОМАНИПУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ В ЛОКАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ ЧАСТОТНО-ВРЕМЕННЫХ СДВИГОВ

Институт электронных и информационных систем НовГУ

The discrete signal with phase modulation, the envelope of which is either a constant or is manipulated by pseudorandom sequence in two levels {0,1} is examined. The problem of optimization of phase modulation of active symbols law in purpose of minimization of lateral lobes of function of ambiguity of phase-shift keyed signals in local domain of time-and-frequency shifts is solved. The procedure of nonlinear optimization with men-square performance criterion is used. The quantitative assessments of the suppression depth of lateral lobes of function of ambiguity in area of optimization in relation of dimensions of this area and peak-factor of the signal, which let us define the bounds of effective usage of this type of signals for suppression of clutter.

Введение

Прогресс в области цифровых методов формирования и обработки стимулирует исследование и внедрение новых более совершенных видов модуляции радиолокационных сигналов. Переход от традиционных сигналов с линейной частотной модуляцией и двоичной фазовой манипуляцией к сигналам с многопозиционной частотной, фазовой и квадратурной модуляцией открывает более широкие возможности управления спектральным составом и временной структурой сигнала

[1,2]. Это позволяет синтезировать сигналы, адаптированные к решаемой задаче и радиолокационной обстановке. В первую очередь, значительно расширяются возможности синтеза сигналов с минимизацией уровня боковых лепестков функции неопределенности (БЛФН), что непосредственно сказывается на снижении влияния мешающих отражений от поверхности [3,4].

С технической точки зрения формирование таких сигналов с шириной полосы до десятков мегагерц может быть выполнено цифровыми синтезаторами-модуляторами, построенными по принципу прямого

цифрового синтеза (DDS), или цифровыми квадратурными модуляторами (QDU), которые воспринимают модулирующий сигнал в виде цифровых квадратурных отсчетов, не накладывая практически никаких ограничений на вид модуляции [5]. Точность установки параметров сигналов при этом настолько высока [6], что можно говорить непрерывном диапазоне их изменения. По-видимому, наиболее серьезным остается ограничение на постоянство амплитуды, связанное необходимостью обеспечения высокого к. п. д. мощных выходных каскадов передатчика.

В недавно вышедшей монографии [7], посвященной радиолокационным сигналам, значительное внимание уделяется синтезу многочастотных сигналов с огибающей, близкой к постоянной, а многофазные сигналы, по определению удовлетворяющие этому условию, анализируются недостаточно полно. В данной работе выполняется исследование дискретных сигналов с фазовой модуляцией, огибающая которых либо постоянна, либо манипулируется по псевдослучайному закону на два уровня — 1 и 0. Отличительной особенностью рассматриваемых сигналов является большая база и длительность. Именно по этой причине диапазон задержек и сдвигов частоты обнаруживаемых сигналов значительно меньше, чем длительность и ширина спектра сигнала соответственно. Целью исследования является выбор метода синтеза сигналов с минимальным уровнем БЛФН в ограниченной области задержек и сдвигов частоты и определение его эффективности.

Выбор метода синтеза сигналов

Наиболее близкие условия задачи синтеза сложного сигнала рассмотрены в [8], где для ее решения предлагается алгоритм формирования модулирующей последовательности «символ за символом». В качестве критерия качества используется среднеквадратическое значение БЛФН в зоне оптимизации для каждого значения длины (базы) формируемой последовательности. Хотя такой подход позволяет получить сигналы с большой базой, он не обеспечивает минимизацию критерия качества для сигнала фиксированной длительности. Кроме того, в данном алгоритме синтезировались сигналы с двоичной манипуляцией фазы, хотя принципиально существовала возможность формирования многофазных последовательностей. Переход к сигналам с непрерывным диапазоном значений фазы или близким к ним сигналам с малой дискретностью изменения фазы открывает возможности применения достаточно хорошо разработанных градиентных методов нелинейной оптимизации [4,9].

Пусть последовательность X е {хг}, г = 1,..., N определяет огибающую квазинепрерывного сигнала длительностью N отсчетов, а каждый ее символ принимает одно из двух значений хг = {1,0}. Количество активных символов Кх определяет пик-фактор р/ синтезируемого сигнала: р/ = NКх. Модулирующая последовательность Ж е{жг}, г = 1,...,N также содержит Кх активных символов, каждый из которых определяется значением фазы фг е [-п,+п]: wi = exp(у -фг).

Периодическая функция неопределенности Я при задержке п отсчетов длительностью т0 и дискретном сдвиге частоты к отсчетов, занимающих полосу 1/N ■ т0 каждый, определяется выражением

N

R(k, п) = J wt • w*_n • exp| j i=1

2 • n • Ik

N

Пусть область задержек и частотных сдвигов, где требуется минимизировать уровень БЛФН, представляет собой прямоугольник, границы которого пшт, пшах по задержке и кшт , кшах по частоте. Учитывая свойство

симметрии ФН, целесообразно задавать область оптимизации в одной полуплоскости, например только для положительных значений задержки. Тогда критериальная функция у, представляющая собой сумму квадратов БЛФН в области оптимизации, имеет вид

(1)

k=km

Минимизация этого критерия достигается за счет выбора фаз 9i всей совокупности Kx активных символов модулирующей последовательности W.

Приведенная формулировка полностью соответствует задаче нелинейной оптимизации по минимуму средних квадратов, для численного решения которой имеются разработанные программные средства, например процедура lsqnonlin в пакете Optimization Toolbox среды инженерных приложений Matlab. К достоинству этой процедуры можно отнести автоматический выбор метода оптимизации для случаев, когда число слагаемых целевой функции у больше и меньше количества Kx независимых переменных 9i.

Начальные условия, необходимые для запуска процедуры оптимизации, выбирались случайным образом, равновероятно из диапазона [-п,+п]. Случайный выбор начальных условий, как правило, не приводил к существенным отклонениям критерия качества (1), получаемого после завершения итерационного процесса. Тем не менее, для повышения достоверности проводилась серия расчетов при статистически независимых начальных условиях и усреднение полученных результатов.

Результаты синтеза

Рассмотрим результаты синтеза непрерывных сигналов с дискретной фазовой модуляцией и оценим эффективность подавления БЛФН в оптимизируемой зоне в зависимости от ее размеров и базы синтезируемого сигнала. Показателем качества синтезируемых сигналов будем считать среднеквадратическое значение БЛФН в зоне оптимизации, нормированное к величине главного пика ФН:

N1

k=k • n= nm

------------, (2)

' (ктах - кшт + 1) ■ (птах - nmin + 1)

а эффективность оптимизации Пор = 20 ■ 1ё(г/гор(),

дБ, где г — среднеквадратическое значение БЛФН вне зоны оптимизации.

дБ

50 К

Рис.1. Зависимость эффективности оптимизации от количества итераций

Как будет показано далее, основным параметром, определяющим эффективность оптимизации, может служить относительная площадь области оптимизации Sopt, которая в случае прямоугольной

формы описывается выражением

(кшах — kmin + 1) ■ (птах — птт +1)

С -. °орі

N

Следует отметить, что величина Sopt также может

быть определена как произведение диапазона задержек №тт, dmax ] на диапазон доплеровских сдвигов частоты [/шт, /max ] безотносительно к параметрам сложного сигнала (N и т0):

(кшах — kmin + 1)

о _ у тах тіп

*орі = N • т 0

•(пшах - Птт + 1) • т0 =

((Шах /тіп ) • (шах ^шіп )*

Поскольку исследуемая процедура оптимизации является итерационной, рассмотрим зависимость эффективности оптимизации порі от количества итера-

ций кит при различных значениях площади зоны оптимизации (рис.1). Результаты получены при базе сигнала N = 256, ширине зоны оптимизации по частоте (кшах — кшт +1) = 4 и четырех значениях зоны оптимизации по задержке (пшах — пшт +1) = 16, 32, 64 и 128, чему соответствуют значения St = 1/4, 1/2, 1 и 2.

Анализ графиков, приведенных на рис.1, показывает, что для площади зоны оптимизации меньше единицы эффективность оптимизации монотонно возрастает с увеличением количества итераций. Расширение области оптимизации приводит к замедлению роста эффективности и при ^ > ^2 существует установившееся значение, которое после его достижения не возрастает с увеличением продолжительности итерационного процесса.

Вид функции неопределенности синтезированных по данному методу сигналов приведен на рис.2. Хорошо видно, что глубина подавления БЛФН в области оптимизации на рис.2а превышает 80 дБ, тогда как в более широкой области этот показатель существенно ниже (~13 дБ).

Техническую реализацию степени подавления БЛФН более 60^80 дБ осложняют серьезные проблемы в части обеспечения высокой точности формирования и обработки сигналов, а вот эффективность подавления БЛФН порядка 20^40 дБ в более широкой области задержек и частотных сдвигов представляет большой практический интерес. Поэтому, ограничивая количество итераций величиной 50^100, достаточной для достижения установившихся значений при Sopt и 1, произведем оценку эффективности оптимизации в зависимости от размеров области задержек и частотных сдвигов. Приведенная на рис.3 характеристика получена при базе сигнала N = 256, однако ее изменение в широких пределах не приводит к существенным отклонениям результатов.

а)

б)

Рис.2. Функция неопределенности синтезированных сигналов при 8ор1 = У4 (а) и 8ор1 = 1 (б)

п

орі

Пор, , ДБ

сти оптимизации и скорости сходимости итерационного процесса. В частности, переход к менее эффективному алгоритму большой размерности осуществляется при размере области оптимизации £ор, = 1/р/ вместо

£ор, = 1 при непрерывном сигнале.

Во-вторых, изменяется выражение (2), определяющее среднеквадратическое значение БЛФН в зоне оптимизации, нормированное к величине главного пика ФН. С учетом пик-фактора оно приобретает вид

' ор,

Рис.3. Зависимость эффективности оптимизации от площади области оптимизации

В анализируемой зависимости можно выделить три характерных участка.

Площадь области оптимизации меньше ^2. Достигается высокая эффективность оптимизации, которая еще более возрастает при увеличении количества итераций. По-видимому, реально достижимый уровень БЛФН в зоне оптимизации будет ограничен погрешностями формирования и обработки.

Площадь области оптимизации от 1/2 до 1. Эффективность оптимизации варьируется в диапазоне 13^25 дБ. Некоторое повышение этих показателей может быть достигнуто за счет увеличения количества итераций, однако это может потребовать значительного увеличения времени расчета, особенно при Бор1 приближающейся к 1.

Площадь области оптимизации больше 1. Эффективность оптимизации медленно спадает, дости-

Ж.

N

£ £ ІЖ к, П )|2

к=кт

|(кшах - кшт + !)'(пшах - ишт + 1)

На рис.4а представлено семейство кривых, отражающих зависимость эффективности оптимизации квазинепрерывных сигналов от размеров области оптимизации при различном пик-факторе. Там же для сравнения приведена аналогичная зависимость для непрерывных сигналов рис.3 (р/ = 1). Сравнение этих кривых показывает, что их различие в основном сводится к смещению графиков в сторону меньших значений площади области оптимизации при возрастании пик-фактора. Из принципа построения метода оптимизации следует, что его эффективность зависит от отношения количества независимых переменных к количеству уравнений, описывающих целевую функцию качества. В данном случае это означает, что для квази-непрерывных сигналов в качестве аргумента, определяющего эффективность оптимизации, следует выбрать произведение площади области оптимизации на пик-фактор синтезируемого сигнала.

, дБ

Пор, , дБ

б)

Рис.4. Зависимость эффективности оптимизации от площади области оптимизации (а) и от обобщенной площади области оптимизации (б)

гая при Бор( = 2 значений 4^6 дБ. Увеличение количества итераций не улучшает эти показатели.

Рассмотренные результаты относятся к непрерывным сигналам, однако метод оптимизации позволяет синтезировать и квазинепрерывные сигналы, если их огибающая заранее определена. Отметим различия, относящиеся к процедуре синтеза и критериям оценки, которые связаны с переходом к квази-непрерывным сигналам.

Во-первых, в методе синтеза изменяется количество независимых переменных (активных символов). При длине сигнала N их количество уменьшается в р/ раз. Это существенно сказывается на эффективно-

На рис.4б в качестве аргумента семейства кривых выбрано произведение 8°р( = Бор( • р/, которое

будем называть обобщенной площадью области оптимизации. Как видим, для всех анализируемых значений пик-фактора глубина подавления БЛФН определяется обобщенной площадью области оптимизации, если она больше 0,5. Различия, наблюдаемые при Б0,р1 < 0,5, вызваны изменением скорости сходимости итерационной процедуры оптимизации*, но не

* При этом условии на скорость сходимости оказывает влияние совокупность параметров итерационной процедуры: база, пик-фактор, площадь области оптимизации. Она возрастает при увеличении базы, снижении пик-фактора и уменьшении площади области оптимизации.

£

ор,

П

ор,

определяют ее эффективности, которая может быть повышена за счет увеличения количества итераций.

Подчеркнем, что площадь области оптимизации была определена в полуплоскости положительных задержек, однако за счет свойства симметрии ФН она удваивается с учетом отрицательных задержек. Если область оптимизации вытягивается вдоль оси задержек, достигая значений половины длительности сигнала, то во второй половине диапазона задержек также выполняется минимизация уровня БЛФН за счет свойства периодичности. В частности, если минимизируется уровень БЛФН только при нулевом сдвиге частоты, но во всем диапазоне задержек, т. е. синтезируется сигнал с низким уровнем боковых лепестков периодической автокорреляционной функции, то Бор( = 1/2 . Для этого случая можно достигнуть эффективности оптимизации 30^40 дБ, увеличивая количество итераций, и получить сигналы с почти идеальной периодической автокорреляционной функцией [10], причем различные начальные условия приводят к различной структуре синтезированных сигналов.

Заключение

Цифровые методы модуляции и обработки открывают возможности практического применения сложных радиолокационных сигналов с почти непрерывным диапазоном изменения фазы и постоянной амплитудой. По сравнению с фазоманипулиро-ванными сигналами это расширяет возможности оптимизации их структуры, обеспечивая минимизацию уровня боковых лепестков функции неопределенности в требуемом диапазоне задержек и сдвигов частоты.

Непрерывность диапазона изменения фазы позволяет эффективно применять градиентные методы оптимизации для синтеза этого класса сигналов.

В результате исследований получены количественные оценки эффективности оптимизации сигналов в зависимости от основных параметров — площади области оптимизации и пик-фактора. Установлено, что высокая степень подавления боковых лепестков функции неопределенности достигается при значениях обобщенной площади оптимизации меньше 0,5. При больших размерах области оптимизации (8°р, = 1 ^ 2) эффективность оптимизации составляет 12^8 дБ соответственно.

1. Феер К. Беспроводная цифровая связь. Методы модуляции и расширения спектра / Пер. с англ. под ред. В.И.Журавлева. М.: Радио и связь, 2000. 520 с.

2. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение. 2-е изд. / Пер. с англ. М.: Изд. дом «Вильямс», 2003. 1104 с.

3. Кук Ч., Бернфельд М. Радиолокационные сигналы / Пер. с англ. под ред. В.С.Кельзона. М.: Сов. радио, 1971. 568 с.

4. Вакман Д.Е., Седлецкий Р.М. Вопросы синтеза радиолокационных сигналов. М.: Сов. радио, 1973. 312 с.

5. Jouko Vankka. Digital Synthesizers and Transmitters for Software Radio. Springer, 2005. 357 p.

6. A Technical Tutorial on Digital Signal Synthesis: Analog Devices Inc, 1999. 122 p.

7. Levanon N., Mozeson E. Radar signals - Hoboken NJ.: John Wiley & Sons Inc., 2004. 411p.

8. Гантмахер В.Е., Быстров Н.Е., Чеботарев Д.В. Шумоподобные сигналы. Анализ, синтез, обработка. СПб.: Наука и техника, 2005. 400 с.

9. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация / Пер. с англ. под ред. А.А.Петрова. М.: Мир, 1985. 509 с.

10. Ипатов В.П. Периодические дискретные сигналы с оптимальными корреляционными свойствами. М.: Радио и связь, 1992. 152 с.