Мезомеханика квазистатического разрушения Текст научной статьи по специальности «Физика»

Мезомеханика квазистатического разрушения

М.П. Внук

Висконсинский университет, Милуоки, WI 53201, США

Предложена модель когезионной зоны с учетом параметра трехосности для случаев стационарной и квазистатической трещины. Модель основана на мезомеханическом подходе к механике разрушения и аналогии с квантовым законом испускания света, предложенным Максом Планком в конце XIX века.

Модель представляет собой развитие предложенных ранее концепций Баренблатта, Дагдейла, а также Билби, Котрелла, Свин-дена, и учитывает результаты экспериментальных исследований состояния предразрушения, проводимых в Томске школой В.Е. Панина. Подробно описываются взаимосвязи между микро- и макропараметрами, характеризующими процессы деформации и разрушения в диссипативных средах.

Выполненные исследования позволяют предположить, что отношение «истинной» работы разрушения к полной энергии, диссипируемой в ходе необратимой деформации в концевой зоне перед вершиной трещины может использоваться как мера сопротивления материала квазистатически распространяющемуся разрушению. Это отношение, вычисленное при различных наборах параметров микроструктуры, которые определяют распределение напряжений сцепления в когезионной зоне, обеспечивает как концептуальную, так и количественную основу для более глубокого понимания явлений, существенных на ранних стадиях разрушения неупругих твердых тел. Некоторые промежуточные результаты анализа представляют новую физическую интерпретацию увеличения вязкости разрушения, приводящего к развитой ^-кривой.

1. Введение

Сейчас, в начале XXI века, мы сталкиваемся с несколькими парадоксами немного различной природы. Хотя, по существу, эти парадоксы аналогичны проблеме, возникшей столетие назад. Если мы будем использовать символ X для обозначения расстояния до границы «разделяющей поверхности» в твердом теле, обычно отождествляемой с фронтом трещины в механике разрушения, тогда мы сразу же будем иметь дело с некоторыми специфичными следствиями, проистекающими из теории, основанной на механике сплошной среды. Изобилуют особенности всех типов: классическое сингулярное поле напряжений Гриффитса-Ирвина типа X-12 для трещины в совершенно хрупком теле, особенности Хат-чинсона-Райса-Розенберга Х-1(1+и) для поля напряжений и особенности X- ”^(1+и) для поля деформаций в сильно упрочненной среде Рамберга-Осгуда. Заметим, что произведение ст-е приводит к особенности типа X-1, которая после интегрирования по всему объему тела дает энергию конечной деформации. Это справедливо для стационарной трещины. В случае квазистатически распространяющейся трещины особенность имеет вид ^(Х), в то время как для динамически движущихся дефектов природа сингулярностей начинает зависеть от скорости. Одним из важных аспектов проводимых исследований является изучение перехода от медленного к быстрому распространению трещины. В дальнейшем будет приведен очень краткий обзор объектов и соотношений, используемых для описания несплош-

ностей и трещиноподобных дефектов. Вначале мы рассмотрим подходы, предлагаемые в рамках механики сплошной среды, покажем их недостатки, а затем предложим альтернативный «квантово»-механический подход, который открывает новые пути для исследований в области мезомеханики разрушения.

Было показано, что вариации микроструктурных параметров оказывают сильное влияние на зону процесса, а также на соответствующую работу образования трещины. Другими важными факторами, которые влияют на распределение когезионных напряжений и на все итоговые параметры разрушения, являются характеристики напряженного состояния в окрестности фронта трещины. Эти трехмерные эффекты наилучшим образом отражает параметр трехосности, определяемый как отношение среднего напряжения к эффективному напряжению Мизеса.

Как оказалось, ни одна из этих концепций не работает, когда мы рассматриваем деформацию, состояние локального предразрушения, процессы разрушения на микро- и мезоуровнях и диссипацию энергии, характерную для этих необратимых явлений. Все они терпят неудачу на расстояниях, меньших некоторой критической величины, которая равна размеру зоны процесса, и эти явления невозможно описать, оперируя только макроскопически определенными константами материала. Тот факт, что мы должны ввести в математическую модель конечный объект, называемый зоной процесса, которая прилегает к фронту трещины, является свиде-

© Внук М.П., 2003

тельством неработоспособности классических полевых теорий. Этот сбой происходит на расстояниях, равных долям характерной длины материала, определяемой такими константами, как вязкость разрушения и напряжение текучести. Естественно, эти две константы являются макроскопически «наблюдаемыми» параметрами и они дают удобную связь между обычной механикой разрушения, которая используется в инженерных приложениях, и более современной областью науки — мезомеха-никой. Здесь мы имеем дело с тремя мерами длины: Я, А и приращением 8, «квантом» раскрытия в вершине трещины, величины, известной как «конечное удлинение» и используемой в критерии непрерывного роста трещины на ранних стадиях разрушения. Только первый из упомянутых здесь параметров длины может быть определен экспериментальными методами, применяемыми в стандартной лаборатории, оснащенной для проведения испытаний по механике разрушения. Для определения двух других, шага роста трещины А и приращения 8, необходимы очень тонкие и зачастую непрямые измерения микроструктурного характера. Заметим, что отношение 8/а прямо пропорционально углу раскрытия трещины, полезному параметру при исследовании неупругого разрушения.

Все это область математического моделирования, основанная на предпосылках мезомеханики. Развитие новых концепций и математических подходов, согласующихся с мезомеханикой, которая, по сути, отказалась от «классических» континуальных подходов, является основополагающей целью этой работы.

2. Математическая модель

Всякий раз, когда когезионная модель применяется для описания таких явлений, как начало разрушения и его квазистатическое распространение в диссипативных средах, в дополнение к используемым определяющим соотношениям, которые описывают поведение данного материала, необходимо использовать допущение, связанное с так называемым «законом разделения». Используя аналогию с предложенным Планком законом излучения, испускаемого абсолютно черным телом при больших частотах, когда длина волны приближается к нулю, в работе [1] предложено некоторое распределение когезионных напряжений в концевой зоне перед вершиной трещины. В дальнейшем, эта зона наделяется внутренней структурой: внутри зоны длиной Я существует небольшая область, скажем А, которая представляет собой зону процесса, в которой и происходит в итоге нарушение связности. Как оказалось, отношение Я/А играет важную роль во взаимосвязи параметров микро-и макроразрушения.

Если для определения расстояния от физической вершины трещины используется безразмерная координата:

X = -±, 0<х1 <R, 0<Х< 1, R

то уравнение Внука-Легата записывается как

£(X, а, п) = £0X" ехр[а(1 - X)]. (2)

Здесь £0 — исходное напряжение; а и п — пока неопределенные параметры микроструктуры. Пример ^-распределения, нормированного на £0, приведен на рис. 1. График построен при а = 1 и п = 0.2. Заметим, что кривая имеет максимум Smax/S0 на расстоянии Xтах = п/а = 0.2 от вершины трещины. Эта точка совпадает с внешней кромкой зоны процесса А, находящейся внутри концевой зоны Я:

X =

V Я )Х1 =А

А Я'

(3)

Обратная к этой переменной величина Я/А, как показано в [2], равна отношению деформации при разрушении еf к деформации при достижении предела текучести е0. Эта величина получила название «показателя пластичности» и обозначается А. Для пластичных материалов зона процесса занимает малую часть концевой зоны, приводя к большим р. Для другого экстремального случая поведения материала, приводящего к хрупкому разрушению, величины А и Я почти равны, поэтому р ^ 1. В предельном случае совершенно хрупкого поведения материала (т.е. упругий отклик материала вплоть до его разрушения) А и Я стягиваются в точку и представленная здесь модель сводится к теории Гриффитса.

Возникает вопрос: представляет ли приведенная на рис. 1 кривая закон разделения материала? Ответ отрицательный, поскольку когезионный закон требует, чтобы напряжение S было представлено в виде функции раскрытия, скажем 8, а не функции расстояния от передней кромки трещины (как на рис. 1). Однако модель предоставляет достаточно информации для преобразования кривой S-X, приведенной на рис. 1, в закон разделения S-8. При решении соответствующей краевой

Рис. 1. Распределение S-напряжения, определенного с использованием уравнения (2) при а = 1, п = 0.2

Рис. 2. Когезионное напряжение S в зависимости от раскрытия V при а = 1 и п = 0.2 (а); нормированное раскрытие в концевой зоне, а = 1, п -= 0.2 (б)

задачи [1] получаем некоторое выражение для раскрытия в Я-зоне под действием напряжений вида (2), рассматриваемых как приложенное напряжение в интегралах Снеддона. Это выражение имеет вид:

V(X, а, п) = [Л1(А)](а+п) -^[Л0(X)](а+1). (4)

а +1 а +1

Функции Л0 и Л1 определяются следующим образом:

1+V1 -X

X

Л 0 (X) = V1 - X -—1п

1

Л^) = у/1 - X

1-

X'

--1п

4

лЛ - X

1+л/Т-X 1 -л/Т-Х

(5)

Отметим, что V = 1 для X = 0 и V = 0 для X = 1, что соответствует внешней кромке Я-зоны. В качестве константы нормировки для смещения V выбрано раскрытие в вершине трещины, vtip = 4£0 Я/пЕ. Функция V = а, п) при а = 1 и п = 0.2 показана на рис. 2, б. Последовательность событий начинается при V = 0, пока ячейка материала не разрушена, таким образом когезия не нарушается. Здесь S = S0, и, если мы движемся вправо, S проходит через максимум и затем падает до нуля, когда V достигает критической величины. Величину максимума S можно легко оценить из уравнения (2):

£тах = £0

п

п

а

V У

ехр(а - п).

(6)

Далее будем использовать эти уравнения для описания начала разрушения и медленного устойчивого роста, который предшествует катастрофическому разрушению.

3. Взаимосвязь микро- и макропараметров материала

По-видимому, непосредственное измерение микро-структурных констант а и п — невыполнимая задача. Однако мы можем решить проблему введением двух

макропеременных, определение которых возможно в лабораторных условиях, а именно:

- коэффициента перенапряжения, к = £тах / £0,

- показателя пластичности, р = Я/ А.

Первую из этих величин легко вывести из уравнения

(6):

п

п

а

ехр(а- п).

(7)

Экспериментальное определение коэффициента к описано работах [3, 4].

Второй параметр р отождествляется с величиной, обратной Xтах, т.е.

Я1

т = р = ^т“

А X™

N-1

а

п

(8)

Экспериментальное определение этой величины не представляет проблемы. Фактически, это часть стандартного испытания на прочность материалов. Как отмечено в разделе 2, для пластичных материалов мы предполагаем р >> 1. Это учитывается надлежащим выбором параметров а и п, подходящих для описания диссипативного характера отклика материалов. Для квазихрупких и хрупких материалов, когда р —> 1, справедливо обратное. Поэтому мы должны выбрать наборы, в которых а ^ п.

Используя уравнения (7) и (8), получим трансцендентное уравнение

1п(крп ) - п(р -1) = 0. (9)

Это элементарное уравнение и относительно п оно решается явным образом:

1п к

(10)

р-1 - 1п р

Кроме того, мы имеем второе уравнение р 1п к

а = -

р -1 - 1п р

(11)

Рис. 3. Макропараметры (показатель пластичности р и коэффициент перенапряжения к как функции микропараметров (а и п): зависимость коэффициента перенапряжения к от а и п (а); зависимость показателя пластичности р от а и п (б)

Эти два соотношения позволят нам определить неизвестные микроструктурные параметры а и п на основе исходных данных, полученных с помощью макроскопически наблюдаемых величин к и р. Попробуем использовать этот подход при р = 10 и к = 5. Подставим эти величины в уравнения (9), (10):

1п5

п=

1п10

= 0.2403,

(12)

а = = 2.4031.

9 - 1п10

Не представляет никаких затруднений построить зависимость переменных к и р от микропараметров а и п, и наоборот (рис. 3, а, б). Отметим, что поскольку показатель пластичности удовлетворяет неравенству р >> 1, знаменатель уравнения (10) всегда положителен или равен нулю. Следовательно, предполагается, что параметр п — неотрицательная величина. Поскольку а = = рп, этот вывод справедлив и для а. Предельный случай

а = п = 0 соответствует модели Дагдейла, вариант р = = 0, п = 1 описывает S-распределение, допускаемое в модели Кнаусса [5-7].

Если все имеющие отношение к делу функциональные зависимости выразить через показатель пластичности, который проще других определить в лабораторных условиях, можно получить более полезное представление. На рис. 4 приведены зависимости, построенные с использованием уравнений (9) и (10).

Такое представление дает дополнительное преимущество. Поскольку переменную р = Я/А можно использовать для описания сопротивления материала квазиста-тическому росту трещины (в рамках маломасштабной текучести, рассматриваемой здесь, Я пропорциональна величине раскрытия в вершине трещины, а также JЯ ). На ранних стадиях неупругого разрушения параметр р становится некоторой функцией приращения длины трещины, скажем, z = Ая/Я88. Здесь установившаяся

Рис. 4. Обратные соотношения (см. уравнения (10) и (11)). Микропараметры как функция макропараметров: п = п(р, к) (а), а = а(р, к) (б)

длина концевой зоны Я88 использовалась в качестве нормирующей константы для приращения длины трещины Аа. Если мы теперь будем использовать комбинацию результатов, представленных на рис. 4 и функцию z = z(Ар), которая определяется основным уравнением Я-кривой, мы сможем проследить все изменения параметра к (перенапряжение) и вариации истинной работы разрушения Ж при распространении трещины. Подобный анализ будет продолжен в следующем разделе.

Примечательно, что поскольку Я-кривая является макроскопическим проявлением докритического роста трещины, некоторыми исследователями [8-12] сделана попытка использовать эту концепцию для описания механизма усталости. Другие модификации модели когезионной зоны были предложены в работе [13], где исследовано влияние скорости диссипации энергии на геометрические и размерные эффекты. Эта модель также использовалась для определения удельной работы разрушения для трещины на границе раздела [14, 15].

Рис. 5. Зависимость кривой сопротивления р от приращения трещины z = Ла/Я88, полученная численным интегрированием уравнения (15). Точки, соответствующие трем значениям р (р = 10, 15 и19), отмечены кружками

4. Изменение свойств материалов при росте трещины. Эффект экранирования энергии как источник ^-кривой для диссипативных сред

Можно показать, что выбор параметров микроструктуры оказывает незначительное влияние на Я-кривую. Поэтому для упрощения математических выкладок мы будем использовать дифференциальное уравнение Внука-Райса-Соренсена, которое определяет Я-кривую пластичного материала. При выводе этого уравнения полагалось, что поведение материала соответствует условиям маломасштабной текучести [16-19]. Из двух совершенно различных подходов возникает следующее уравнение

дЯ

да

-И

1 1

2 2

1п(4 Я/ Л).

(13)

Полагая, что модуль отрыва Мна 15 % больше своей минимальной величины Мтп, ниже которой не происходит устойчивого роста трещины, имеем

И = 1. 15И ■ = 1.15

1 1 1/, ч

- + -1п(4р іпі)

(14)

Теперь уравнение (13) может быть преобразовано к виду

ф

1

1п

ра

р

(15)

В результате численного интегрирования нелинейного дифференциального уравнения получаем Я-кри-вую, показанную на рис. 5. Видно, кривая начинается при пороговой величине (Я/Л)іпі = ріпі, равной 10, выходит на плато при постоянной величине меры вязкости (Я/ Л )^ = р ^ = 20.205. Эта верхняя асимптота Я-кри-вой определяется простым выражением [17, 20]:

р в:

1

ехр(2М -1),

(16)

которое указывает, что верхний уровень универсальной Я-кривой увеличивается экспоненциально с модулем отрыва М.

Определив однажды функцию Я = Я(Аа), или в безразмерных переменных р = р^), можно продолжить исследование изменения свойств материала, таких как показатель пластичности и коэффициент перенапряжений, которые испытывают сильное влияние предыстории деформирования, связанной с ранними стадиями разрушения. Кривая сопротивления для рассматриваемого случая показана на рис. 5.

Оказывается, что р и к претерпевают непрерывное изменение в ходе квазистатического роста трещины (рис. 4). Это, в свою очередь, подразумевает изменение микроструктурных параметров а и п, которые связаны с к и р посредством уравнений (9) и (10). Представленные на рис. 4 функции были перестроены, используя приращение текущей длины трещины z в качестве независимой переменной (рис. 6).

Изменения а и п с ростом трещины приводят к постепенному изменению ожидаемого вида распределения S-напряжений. Для трех выбранных точек кривой на рис. 5, которая соответствует р, равным 10, 15 и 19, S-диаграмма заметно изменяется (рис. 7).

С точки зрения физики процесса квазистатического роста трещины наиболее значимой характеристикой возможно является удельная работа разрушения [21]. Имея дело с разрушением упруго-пластических тел, необходимо различать «истинную» и «видимую» работу разрушения. Первая определяется как энергия, диссипи-руемая в зоне процесса в ходе заключительного акта разрушения. Вторая определяется как полная работа, совершенная напряжением сцепления S при раскрытии трещины в концевой зоне. Эта величина, в дополнение к работе разделения (другое название истинной работы

Рис. 6. Изменение параметра разрушения к в ходе квазистатического роста трещины. В качестве независимой переменной выбрано безразмерное приращение длины трещины z = Аа/Я88

Рис. 7. Три S-кривых, полученных для трех последовательных точек на Я-кривой, показанных на рис. 5. Микропараметр а = 2, для того чтобы сделать изменения S-напряжений, вызванные квазистатичес-ким ростом трещины, более наглядными

разрушения), включает пластическую работу. Таким образом, мы имеем два выражения, описывающих две компоненты работы, а именно:

^™е (а п) =

Я шах

= C I S(A, a, n)—[-v(А, а, n)]dx J dx

о

n

А ш

Wtotal(a> n):

max a 5

(17)

= С| S(X, а, п)—[-V(X, а, п)] йх.

0 йх

Константа С определяется как произведение смещения вершины трещины (1/2 раскрытия в вершине трещины) и исходного напряжения, таким образом, С = = Vйр50. Заметим, что в предельном случае хрупкого отклика материалов, когда Xтах = А/Я > 1, Wtme достигает ЖоЫ, в то время как последняя становится известной поверхностной энергией у, введенной Гриффитсом в энергетическом критерии начала катастрофического разрушения.

Однако в пластичных материалах Wtme и WtoЫ довольно сильно отличаются и обычно << ЖоЫ.

Представляется интересным исследовать соотношение этих двух величин (ср. [22, 23]). Прежде чем мы сформулируем определение, заменим параметр п соотношением а/р. Это позволит выразить обе функции (17) как функции а и р:

^(а, р) =

У р

CIS (А, а, p)-d- [-v(A, а, p)]dx, (18)

W (а, р) =

= C js (Я,а р)А [-. (Я,а р)]*.

Заметим, что индексы «true» и «total» опущены, для большей математической корректности мы использовали символы крышечки и черты. Теперь мы можем определить так называемое соотношение передачи энергии ETR:

WXa, р)

ETR = w(a, р) = -

(19)

W (а, р)

С увеличением р в ходе квазистатического роста трещины, ETR монотонно уменьшается. Это означает, что все меньше и меньше энергии достигает зоны процесса. Это интересное явление проиллюстрировано на рис. 8. Следует упомянуть, что оно называется эффектом экранирования энергии, связанного с квазистати-ческим ростом трещины.

В результате такого экранирования материал становится более вязким при распространении трещины. Это отражается в общей форме всех универсальных, не зависящих от геометрии Я-кривых. Фактически, мы могли бы предложить обратное ETR соотношение для представления Я-кривой. На рис. 9 представлены три таких (ETR)- -кривых, построенных как зависимость от приращения длины трещины. Такое определение обеспечит еще одну физически значимую интерпретацию кривой сопротивления и добавит к набору величин, обычно используемых для представления Я-кривой, такие как Кк, JR или СТОБК.

Чем пластичнее материал, тем заметнее уменьшение отношения Ж с ростом трещины. Этот эффект проиллюстрирован на рис. 10, где рядом представлены результаты, полученные с использованием двух совершен-

О 32 64 z(p)

Рис. 8. Соотношения передачи энергии ^(а, р) построены как зависимость от безразмерного приращения длины трещины в результате устойчивого распространения разрушения. Представленные кривые соответствуют а, равному 1, 1.5 и 2

Рис. 9. Величина, обратная ЕТЯ, как функция приращения текущей длины трещины для трех различных значений а: а = 1, 1.5 и 2

1.0 1.2 1.4 Р

Чр)

0.34

0.21

0.08

Рис. 10. Отношение передачи энергии ЕТЯ как функция показателя пластичности и приращения текущей длины трещины для моделей Кнаусса (а, в) и Дагдейла (б, г). Отметим, что переход от (а, б) к (в, г) сопровождается преобразованием р ^ z(р), основанным на использовании определяющих соотношений для Я-кривых, присущих этим двум материалам

но различных физических моделей. Верхняя кривая представляет эффект экранирования энергии и получена в рамках когезионной модели Кнаусса, т.е. соответствует более хрупким материалам. Нижняя кривая получена с использованием модели Дагдейла для довольно пластичных материалов.

В предельном случае нулевой пластичности, когда n ^ а и р ^ 1, в рамках классической теории Гриффитса невозможно учесть устойчивый рост квазистатичес-кой трещины. В отсутствие экранирования энергии начальная и конечная точка неустойчивости (заметно удаленные на й-кривой) сливаются в одну точку и, следовательно, кривая сопротивления перестает существовать.

5. Выводы

Предлагаемое распределение когезионных сил, которые сдерживают процесс разделения в окрестности фронта трещины, аналогично закону Макса Планка, описывающему излучение, испускаемое абсолютно черным телом, с очень короткой длиной волны в видимой части спектра.

Сделана попытка связать микро- и макросвойства материала, используя мезомеханическую модель зоны когезионных напряжений. Рассмотрены стационарная и квазистатическая трещины. Показано, что при распространении трещин на ранних стадиях разрушения существует взаимосвязь микро- и макропараметров материала. Показано, что эти изменения зависят от начального состояния материала и от характера явлений необратимой деформации, происходящих в концевой зоне перед вершиной трещины.

Учет внутренней структуры концевой зоны перед вершиной трещины в диссипативной среде позволит выделить вклад истинной энергии разрушения в полную энергию, диссипируемую в концевой зоне. Отношение этих энергетических членов определено как мера эффекта экранирования энергии. Обратная этому соотношению величина может быть использована как еще одна характеристика сопротивления материала квазистати-ческому разрушению.

Хотя важнейшие параметры модели зависят от пространственных характеристик, полученные результаты пока основываются на предположении о существовании универсальной й-кривой, которая не зависит от геометрии. Кроме того, адекватность представленных здесь результатов требует выполнения условий маломасштабной текучести.

Литература

1. Wnuk M.P., Legat J. Work of facture and cohesive stress distributions resulting from triaxiality dependent cohesive zone model // Int. J. Fracture. - 2002 (in print).

2. Wnuk M.P., Mura T. Comparative study of models for quasi-static tensile fracture // in Special Volume on Recent Contributions to Mechanics of Solids, Editor Eringen, 1981.

3. Siegmund T, Brocks W. The role of cohesive strength and separation energy for modeling of ductile fracture // ASTM STP 1360. - 2000. -P. 139-151.

4. Brocks W Private communication given at the Int. CTOA Conference at GKSS, Geestacht near Hamburg, Germany, May 2001.

5. Ungsuwarungsri T, Knauss W.G. The role of delayed-softened material behavior in the fracture of composites and adhesives // Int. J. Fracture. - 1987. - V. 35. - P. 221-241.

6. Ungsuwarungsri T., Knauss W.G. A nonlinear analysis of equilibrium craze, Part I: Problem formulation and solution // J. Appl. Mech. -1987. - V. 110. - P. 44-51.

7. Ungsuwarungsri T., Knauss W.G. A nonlinear analysis of equilibrium craze, Part II: Simulation ofCraze and Crack Growth // J. Appl. Mech. -1987. - V. 110. - P. 52-58.

8. Cherepanov G.P, Halmonov H. On the theory of fatigue crack growth // Engineering Fracture Mech. - 1972. - V. 4. - P. 219-230.

9. Cherepanov G.P, Halmonov H. Fatigue crack growth below KISCC // Int. J. of Fracture. - 1974.- V. 3. - P. 159-164.

10. Wnuk M.P Introduction to fracture mechanics. - Krakow: Academy of Mining and Metallurgy Press, 1977.

11. Wnuk M.P Fatigue process viewed as superposition of subcritical crack growth events // 14th IUTAM Symposium on Theoretical and Applied Mechanics. - Technion, Haifa, Israel, 1992.

12. Bolotin VV Mechanics of fatigue fracture // Nonlinear Fracture Mechanics, CISM Series of Courses and Lectures on Mechanics, No. 314. - Ed. by M.P. Wnuk. - Springer-Verlag, 1990.

13. Kolednik O., Shan G., Fisher F.D. The energy dissipation rate - a new tool to interpret geometry and size effects // Fatigue and Fracture Mechanics, V. 27, ASTM STP 1296. - Ed. by R.S. Piascik, J.C. Newman, N.E. Dowling. - 1997. - P. 126-151.

14. Hutchinson J.W. The role of plasticity in toughening of ductile metals and interfaces // Seminar at Northwestern University in the series «Col-loquia on Modern Mechanics», March 1997. - Evanston, IL, 1997.

15. GoldsteinR.V, PerelmuterM.N. Modeling of bonding at an interface crack // Int. J. Fracture. - 1999. - V. 99. - P. 53-79.

16. Wnuk M.P. Accelerating crack in a viscoelastic solid subject to subcri-tical stress intensity // Proceedings of the International Conference on Dynamic Crack Propagation, Lehigh University / Ed. by G.C. Sih. -Leiden: Noordhoff, 1972. - P. 273-280.

17. Wnuk M.P. Quasi-static extension of a tensile crack contained in a viscoelastic-plastic solid // J. Appl. Mechanics. - 1974. - V. 41. -No. 1. - P. 234-242.

18. Rice J.R., SorensenE.P Continuing crack-tip deformation and fracture for plane-strain crack growth in elastic-plastic solids // J. Mech. Phys. Solids. - 1978. - V. 26. - P. 263-286.

19. Rice J.R., Drugan W.J., Sham T.L. Elastic-plastic analysis of growing cracks // ASTM STP 700, ASTM, Philadelphia. - 1980. - P. 189221.

20. Wnuk M.P Mathematical modeling of nonlinear fracture phenomena // Nonlinear Fracture Mechanics, CISM Series of Courses and Lectures on Mechanics, No. 314. - Ed. by M.P. Wnuk. - Springer-Verlag, 1990.- P. 395-451.

21. Wnuk M.P, Read D. Essential work of fracture vs. energy dissipation rate in plane stress ductile fracture // Int. J. Fracture. - 1986. - V. 31. -P. 161-171.

22. Broberg K.B. On the treatment of the fracture problem at large scale yielding // Fracture Mechanics and Technology - Proceedings of an International Conference, Hong Kong, Vol. 2. - Ed. by G.C. Sih, C.L. Chow. - 1977. - P. 837-859; based on GALCIT Report, Caltech 1976.

23. Broberg K.B. Cracks and fracture. - Academic Press, 1999.

24. Wnuk M.P, Mura T. Effect of microstructure on the upper and lower limit of material toughness in elastic-plastic fracture // J. Mech. of Materials. - 1983. - V. 2. - No. 1. - P. 33^6.

Приложение A

Работа разрушения и отношение передачи энергии ETR определяются для двух предельных случаев поведения материала: пластичного и хрупкого. В первом случае будем использовать модель Дагдейла (S = const), во втором — модель Кнаусса, которая допускает линейное распределение S-напряжений в концевой зоне й. обе модели были дополнены «критерием конечного распространения» Внука, что позволило построить кривые сопротивления й = й(Да), для каждого распределения когезионных напряжений. Цель такой операции заключается в том, чтобы показать изменения передачи энергии в ходе квазистатического роста трещины.

Следуя (17), мы разделим полную энергию, диссипи-руемую в концевой зоне, на истинную работу разрушения, т.е. энергию, диссипируемую в зоне процесса

Д/Я d

Wtae = vtip I S(A)—[-v(A)]dA

(A1)

(A2)

и на остаток необратимой работы

Wur = % | Я(X)—[-V

А/Я

Здесь S означает когезионное напряжение, сдерживающее процесс нарушения сцепления в концевой зоне; v(X) — нормированное раскрытие, на которое была затрачена работа. Нормирующий коэффициент для v(X) имеет вид ^р = 450/ пЕ.

Естественно, полная энергия диссипации Ж определяется как сумма двух членов, определенных выше:

W = W + W =

уу tot уу true уу irr

vtip | S (A)-d- [-v (A)]dA.

(A3)

Соотношение передачи энергии определяется как

ETR = w =

Wtr

Д/R

I S(A)v '(A) dA

_0__________________

1 *

IS (A)v '(A)dA

(A4)

Здесь штрих указывает дифференцирование по безразмерной координате А = х^ Я, где х1 — расстояние от вершины трещины. На внешней кромке зоны процесса, х1 =А, переменная X принимает значение А/ Я, имеющее физический смысл. Это обратная величина к показателю пластичности р = Я/А.

ETR в модели Дагдейла

Вычислим интеграл в уравнении (А4). Вначале рассмотрим случай пластичного тела, описываемый моделью Дагдейла, где предполагается постоянное S-напряжение, S = 50. Здесь в рамках маломасштабной те-

кучести нормированное раскрытие в концевой зоне задается как

VD М = Л0 (А) =

= л/1 -A----------------ln

А 1 + V1 - A

1-V1-A

(A5)

Полная работа разрушения, определяемая уравнением (A3), имеет вид

г d

D = vtip S01 гг- [-Л 0(A)]dA:

dA

= -vtip Sо[-Л 0 (A)] 0) = vtip S

0- vtip°0*

(A6)

Истинная работа разрушения, определяемая уравнением (A1), записывается как

WD = i

true v

vtipS01—[-Л 0(A)]dA:

= -vtip S0 [-Л0 (A)] 0 р = vtip S

tip 0

1-Л,

VPV-

(A7)

Разделив это выражение на полную работу разрушения, получим отношение передачи энергии как функцию показателя пластичности р:

ETRD(р) = 1 - Л0 (1/ р) =

-_Lln

л/р

2р

-\/р +Ур-1 Vp - Vp-1

(A8)

Эта функция показана на рис. 10, б. Теперь, если используется уравнение Внука-Райса-Соренсена Я-кривой (см. уравнение (15)), ETRD можно построить, используя приращение квазистатического роста трещины г = Аа/Я88 (рис.10, г).

ETR в модели Кнаусса

Вычислим интегралы в уравнении (А4). В этой модели считается, что когезионное напряжение увеличивается линейно от нуля при х1 = 0 до 50 при х1 = Я. Подставляя S(А) = X 50 и выражение для нормированного раскрытия

% М = Л1(А) =

= VT-A| 1 -1 -1-—ln1 + Л(ЕА (A9) 2 I 4 1 -W-A

в интеграл, определенный уравнением (A3), получим „ l\ d

Wк =

tot

vtip S01-d- [-Л1 (A)] d— :

0

:vtip S01 [-АЛ1 (A)] 0 + |л1 (A) dA J

= vtip S0 J^(A)dA:

vtip S0 2.25

(A10)

Рис. 1А. Я-кривая, определенная для хрупкого предела поведения материала, описываемого моделью Кнаусса (уравнение (А13)) и полученная с помощью критерия «конечного разрушения» Внука для продвижения квазистатической трещины при ры = 1.02 и М = 12Мтп

Аналогичным образом вычислим истинную работу разрушения. Применяя уравнение (А1) в рамках модели Кнаусса, будем иметь

1p

W

= vtip SОIА—[-Лі(А)]<іА =

1p

= vtip S о і[-АЛі(А)]О// p+ )Л і(А) dX І =

= v tip S o i-pЛі

і ї Гp І

— J+J Лі(А)йА л. (A11)

Разделим это выражение на , задаваемую уравнением (А10), в результате:

ETR,

:(p) = 2.25 j 0Лі (А) ал -ГЛі (Гp) J. (A12)

График этой функции представлен на рис. 10, а. Рисунок 10, б иллюстрирует зависимость отношения передачи энергии от величины квазистатического роста трещины. Для преобразования кривой ETR-р на рис. 10, а в кривую на рис. 10, б, использовалось уравнение кривой сопротивления (выведенное из критерия «конечного разрушения» Внука):

dR

da

А

4R

ln

4А

R

(AD)

Будем считать, что модуль разрыва М1, возникающий в этом уравнении, немного больше минимального модуля разрыва (ниже которого устойчивый рост трещины невозможен):

1 + -

1

4pi,

-ln

pit

(A14)

Пример Я-кривой, получающейся в итоге наших выкладок, приведен на рис. А1. Отметим, что эта кривая и все другие результаты, имеющие отношение к модели Кнаусса, справедливы для р ^ 1, поэтому непосредственное сравнение с результатами, полученными в рамках модели Дагдейла, где р >> 1, невозможно.

Однако можно сравнить численные значения. ETRK варьирует между 1 и 0.59, ETRD — между 0.4 и 0.14. Это свидетельствует о более существенном эффекте экранирования энергии для пластичных материалов и отражается в более низком значении ETR.

В заключение, если рассмотреть уравнение (А 12) в предельном случае при р стремящемся к 1, что соответствует совершенно хрупкому поведению, видно, что второй член в фигурных скобках исчезает, тогда как интеграл принимает величину 1/2.25, сводя все выражение для ETR к единице. Это приводит к нулевому экранированию энергии и означает, что вся возможная энергия разрушения доставляется в вершину трещины. Такого эффекта и следует ожидать для хрупкого разрушения.

Mesomechanics of quasistatic fracture

M.P. Wnuk

Department of CE and Mechanics, University of Wisconsin-Milwaukee, Milwaukee, WI 53201, USA

A tri-axiality dependent cohesive zone model for a stationary and a quasistatic crack is proposed. The model is rooted in the mesome-chanical approach to fracture mechanics and it is inspired by the quantum law concerning emission of light, which was postulated by Max Planck at the end of 19th century.

The model provides an extension of the early concepts of Barenblatt, Dugdale and the Bilby-Cotrell-Swinden team. It also incorporates the experimental observations of the pre-fracture states due to Panin and his school in Tomsk. Relations between micro- and macroparameters that characterize the deformation and fracture processes in dissipative media are described in detail.

The analysis suggests that the ratio of the “true” work of fracture to the total energy dissipated during the course of the irreversible deformation contained within the end zone can be used as a measure of material resistance to a quasistatically propagating fracture. This ratio, evaluated for various sets of microstructural parameters that define the distribution of the restraining stresses within the cohesive zone, provides both conceptual and quantitative foundation for a better understanding of the phenomena essential during the early stages of fracture in non-elastic solids. Some of the by-products of the analysis are novel physical interpretations of the fracture toughness enhancement that leads to a developed R-curve.