CC BY
39
Модель мезомеханики развития усталостной трещины для прикладных нанотехнологий
М.П. Внук, А. Рузбехани
Висконсинский университет, Милуоки, WI 53201, США
В работе представлена модель распространения усталостной трещины с учетом энергии, диссипируемой в зоне процесса. Эта модель во многом опирается на представления мезомеханики, применимые к области вблизи переднего фронта растущей трещины. Представленная модель, основанная на концепции когезионной трещины, по всей видимости, достаточно хорошо описывает явления, обуславливающие нелинейные дискретные процессы деформации и разрушения. Показано, что смещение непосредственно перед вершиной трещины не является нулевым, а плавно приближается к нулю на некотором конечном расстоянии, равном протяженности зоны декогезии. Следовательно, сингулярное напряжение в вершине трещины отсутствует. Для моделирования конечных напряжений в сильно нелинейной зоне перед вершиной трещины (в концевой зоне) использовано некоторое распределение когезионного напряжения. Данное представление согласуется с концепцией В.Е. Панина о последовательности процессов деформации и предразрушения на мезоуровне.
С помощью аналитических методов, а именно степенного и экспоненциального законов, описаны много- и малоцикловая усталость соответственно. Вычислены значения отношения между значением верхнего плато и предельным уровнем циклической й-кривой, вычисленным в рамках модели «конечного удлинения» М. Внука для случая докритического роста трещины. Соотношения, полученные нами на основе принципов механики разрушения на наноуровне, могут служить переходным звеном между континуальным описанием реакции среды на разрушение и более фундаментальным, микроструктурным представлением поведения материала.
Ключевые слова: усталость, разрушение, распространение трещины, диссипация энергии, зона процесса, деформация, мезо-механика, масштабные эффекты, дискретное разрушение.
A mesomechanics model of fatigue crack growth for nanoengineering applications
M.P. Wnuk and A. Rouzbehani
Department of Civil Engineering and Mechanics, College of Engineering and Applied Science, University of Wisconsin-Milwaukee, Milwaukee, WI 53201, USA
In this paper we present a model of a propagating fatigue crack based on energy dissipated within the process zone. This model heavily relies on the mesomechanical concepts applicable in the region immediately adjacent to the leading edge of the propagating crack. The model applied here, based on the cohesive crack concepts, seems to be a good approximation of the mesomechanical phenomena that govern nonlinear discrete deformation and fracture processes. The model suggests that the displacement just ahead of the crack tip is not zero, but it gradually approaches zero over a finite length, which measures the extent of the decohesion zone. Consequently, there is no singular stress at the crack tip. A certain distribution of the cohesive stress is used to model the finite stresses within highly nonlinear end zone preceding the crack. Such approach appears to be in agreement with Panin's concepts of the sequence of deformation and pre-fracture processes occurring at the mesomechanical level.
Analytical methods such as a power law and an exponential law were used to describe high cycle and low cycle fatigue processes, respectively. Numerical values for the ratio of the upper plateau to the threshold level of the cyclic й-curve derived from Wnuk's "final stretch" model of subcritical crack propagation are provided. The relations derived here and based on the principles underlying mechanics of fracture at nanolevels, can be used as a bridge between continuum description of material response to fracture and the more fundamental, microstructural representation of material behavior.
Keywords: fatigue, fracture, crack growth, energy dissipation, process zone, deformation, mesomechanics, scaling effects, discrete fracture.
1. Введение
Уравнения состояния материала требуют особой формы представления напряжений, возникающих в структурированной концевой зоне докритической тре-
щины. Поэтому будем описывать трещину в рамках расширенной модели Дагдейла [1], которая учитывает деформационное упрочнение при напряжениях, превышающих предел текучести ст0, и рост квазистатической
в Внук М.П., Рузбехани А., 2008
трещины, описываемым критерием конечного удлинения Внука (или критерием угла раскрытия в вершине трещины). В данной модели смещения перед вершиной трещины не являются нулевыми, а плавно приближаются к нулю на некоторой конечной длине R, равной протяженности пластической зоны. Таким образом, в вершине трещины перестает действовать сингулярное напряжение и возникает так называемое напряжение возврата 51, распределенное на расстоянии х1 (от вершины трещины) в интервале [0, R]. Изменение напряжения возврата найдем из уравнений состояния твердого тела для случая упругопластической деформации с упрочнением, которое записывается в виде:
S (X!) =
/r4 а
А
= const,
0 < x1 < А,
R
/
\а
(1)
0 < Xj < R
для деформационно-упрочненного материала, описываемого уравнением Рамберга-Осгуда е р = е0(ст/ст0)" где коэффициент упрочнения а зависит от п и N (= 1/п) следующим образом: 1
а =
1 + n
N
(2)
IN +1
Уравнение (1) описывает в качестве предельного случая задачу о неупрочненном идеальном упругоплас-тическом теле. При а ^ N ^ 0 (или п ^ «>) для всей концевой зоны имеем 5 (х1) = ст0, что соответствует модели Дагдейла.
Символом А будем обозначать протяженность небольшого участка непосредственно перед вершиной трещины, так называемой зоны процесса. Данная величина используется в критериях роста квазистатической трещины: критерии конечного удлинения Внука [2-4], концепции скорости изменения энергии раскрытия трещины Кфури [5, 6], критерии угла раскрытия в вершине трещины, предложенном Ши [7], а также критерии Рай-са-Соренсена [8], использовавших концепцию критического раскрытия трещины на заданном расстоянии позади вершины трещины. Согласно [9], все вышеуказанные критерии равнозначны, и все они могут быть сведены к концепции Макклинтока [10] критической деформации, возникающей на некотором расстоянии (в зоне процесса) перед вершиной трещины.
Обратимся теперь к вопросу о взаимосвязи энергии, диссипируемой во всей концевой зоне:
R
J = -2| 5 (х1)8иу (х1) (3)
0
или только в зоне процесса:
А
JА = -2 [ 5 (х^ (хД (4)
и скорости распространения усталостной трещины dadN. Для растущей трещины приращение смещения [Suy (x1 )]P при раскрытии трещины в точке P, которая находится на внешней границе зоны процесса, можно записать как
[SMy (Xj)]p = {[Ыу (Xj )]a+Sa - [Uy (Xj)]
а } X, =А. (5)
В последующих разделах приведены детальные расчеты величин [Suy (X,)]P, J и JА.
Результаты данных расчетов несколько отличаются от результатов, полученных в работах [11-13] в предположении постоянства энергии, диссипируемой во всей концевой зоне, J = const. В отдельной работе на основе [14-16] будет рассмотрен закон развития усталостной трещины, действующий в интервале предпороговых нагрузок.
2. Математическое моделирование. Модель распространения усталостной трещины с учетом энергии, диссипируемой в зоне процесса
Используемая математическая модель согласуется с критерием конечного удлинения квазистатической трещины и критерием угла раскрытия вершины трещины в случае ее непрерывного роста. Определяющее уравнение для растущей докритической трещины найдем из условия, что энергия, поглощаемая в зоне процесса в момент перед разрушением, является свойством материала и не зависит от количества медленно растущих трещин и геометрии растрескиваемого образца. В работах М. Внука [2, 3] показано, что принимая величину (4) в качестве константы материала J = o0S, где S — так называемое конечное удлинение1 и о0 — напряжение пластического течения, можно получить дифференциальное уравнение, описывающее кривую сопротивления неупрочненного материала:
dR , _ 1, I . R — = M, -— log I 4e— da 1 2 I А
(6)
Здесь R — длина зоны пластичности в окрестности квазистатической трещины. Уравнение (6) практически совпадает с уравнением, которое было получено Райсом и Соренсеном шесть лет спустя совершенно иным путем [8]. Поэтому соотношение (6) будем называть уравнением Внука-Райса-Соренсена. Данный результат обобщен в работе [17], где обнаружена зависимость между деформационным упрочнением и формой R-кри-вой и для 5(х1) = ст0(Щхх)а найдено, что
dR da
= M 2 -
11 _а
21 А
log"
4e
1-а
(7)
где к = 1 - 0.5 а. Очевидно, что соотношение (7) преобразуется в (6), когда а приближается к нулю. Символами
1 Величина 8 пропорциональна углу раскрытия в вершине трещины или модулю разрыва Ши 7д.
а
М1 и М 2 обозначены модули разрыва для неупрочнен-ного и упрочненного материала соответственно. Эти модули рассчитываются как некоторые величины, кратные минимальным модулям, необходимым для устойчивого роста трещины, т.е.
Дп
м-, = т
(1)
4е-
А
М 2 = кМ 2 = k
Д
А
1од к
4е
Д
\1-а
А
(8)
При а = 0 снова имеем тождество М1 = М 2. Будем обозначать Дп{/А как р0 в случае неупрочненного материала, а для упрочненного материала используем символ р1, соотношение данных величин можно выразить как
Pi =р о(1 - 2а). (9)
Для заданного безразмерного числа k ^ должно быть больше единицы), параметра вязкости р 0 = (Д1п1/ А )а=0 и коэффициента деформационного упрочнения а легко вычислить модули разрыва М1 и М2. Уравнения (6), (7) можно проинтегрировать численно, чтобы предсказать скорость роста усталостной трещины. Следуя методике, разработанной для усталостного процесса (см. Приложение А), получим для неупрочненного материала
&а dN
Ушах / Ус
= Дс
/
ау
Уш1п13с
(5 = Дс/ Дм = Л/ /п
аа Зшах!Ус*
= Д* |
аN
М- - 1/2^(4ероу5) У = У и ау
Л-а^
(10)
(11)
>и* М2 -1/2 ра 1одк (4ер1-а)
и Ш1П / и с
для упрочненного материала (р = р1 у5* и 5* = = Д*/Д 1п1 = У*/У1п1). Оценим численно интегралы в (10), (11). Подставляя [г2/(1 - г2)]Ау вместо нижнего предела У1п1 /У* и [1/(1 - г2)]Ау вместо верхнего предела Ушах/У*, находим скорость аа/ам как функцию параметра г, так называемого г-отношения, и Ау (= АУ/Ус) как независимую переменную. На рис. 1, 2 даны примеры зависимостей, описываемых уравнениями (10), (11). Полученные результаты можно представить в общем виде:
^ ~ Г (г, Ау, р о, к, а). (12)
ам
Для выбранных параметров материала — вязкости р0, модуля разрыва k и коэффициента деформационного упрочнения а — значение для верхнего плато циклической ^-кривой известно. Эту величину используем для нормирования области значений У-интеграла (или параметра сопротивления материала R, прямо пропорционального У-интегралу в области маломасштабной текучести). В результате, У/Ус = Д/Дс, А///с = АД/Дс и
ая = щи//с) = Дсау.
Рис. 1. Зависимость коэффициента деформационного упрочнения а от скорости усталостной трещины &а\ ам
По данным численного интегрирования уравнений (10), (11) были построены кривые для некоторых областей изменения параметра г и безразмерной области У-интеграла Ау. Ниже даны примеры удачной аппроксимации кривой.
В роли нормирующего множителя аа/ам выступает протяженность Д* верхнего плато R-кривой, которую можно вычислить точно в случае неупрочненного материала (а = 0):
Дс = Дш(4ер0)к-1, р0 = Дш/А, к = М/Мшп (13)
и приближенно для упрочненного материала (а Ф 0): Д* = ДЩ^^аШ + Л(р)а + А)(к)а 2], ^0(р) = а01 + а 02 р + а0з р 2,
В (к) = ¿01 + Ь02 к + Ь03 к2, (14)
а01 = 0.1386462, а02 = -0.2845617, а03 = 0.001734182,
Ь01 = 293.9287, Ь02 =-436.5258, Ь03 = 176.642.
1.00
0.01
/
^^
/
а = 0.3 г = 0.2
Ро = 5
р0 = 20
Ро = 50 Ро = 100
0.1
0.5
Ау = Д^с
Рис. 2. Зависимость параметра вязкости р0 от скорости аа/ам
Отметим, что функция ), которая будет получена
ниже, определяет выражение перед квадратными скобками в уравнении (14). Вводя безразмерную величину 8 = Яс/Ям для неупрочненного материала и 8* = = Я*/Я м для упрочненного, уравнения (10), (11) перепишем в виде:
аN
¿а
аN
--яыГ(г, Ау, р0,0)8,
а=0
(15)
= ЯГ Г(г, Ау, р0, а)8*,
а^ 0
где символом F обозначены интегралы, входящие в (10), (11). Отношения Яы/Я1п и 878 являются известными функциями коэффициента упрочнения а, а именно:
Яи/Ят = 1 - 2а, А = 0.6744, В = 15.36945,
„ „ Л - 0.5а 1 + 0.2217а
878 = (1 - 2а)--- х
1 -а 1 + Аа + Ва2
(16)
х [1 + А0(р 0)а + В0(к )а 2].
Аппроксимируем безразмерную функцию F методом подгонки кривой. Рассматривая две области изменения независимой переменной Ау:
- область I: 0.15 < у < 0.65 (малоцикловая усталость),
- область II: 0.65 < у < 0.90 (докритическая усталость),
приходим к приближенным замкнутым уравнениям вида:
Г(г, Ау, р 0, а) =
= |А1(р0)В1(г)(Ау)С1(а), область I,
[А2(р0)В2(г)ехр[С2(а)Ау], область II,
где
А1(р0) = а11 + а12 р0 + а13 р0 + а14 р0 + а15 р4,
В1(г) = Ьц + ¿12 г + ¿13 г 2 + ¿14 г3 + ¿15 г\
(17)
С1(а) = с1 + с2 а,
а11 = 2.995075, а12 =-0.123357,
0.002556864, а
14
0.000024687,
(18)
а15 = 8.89 • 10-8, Ь11 = 0.9991765, Ь12 =-4.524384, Ь13 = 72.86284, Ь14 =-299.4926, Ь15 = 233.2185, с1 = 1.681546, с2 =-0.5929918
А2(р0) = а 21 + а 22 р0 + а 23 р 0 + а 24 р0 + а 25 р4, В2 (г) = ¿21 + ¿22 г + ¿23 г 2 + ¿24 г 3 + ¿25 г4 ,
С2(а) = й1 + й2 а + й3а 2 + й4 а3 + й5 а 4,
а21 = 0.08563, а22 = -0.002233073,
а23 =-4.88602-10-6, а24 = 6.362336-10
-7
25
24
(19)
4.3365-10-9, ¿21 = 0.999189,
¿22 = 8.232657, ¿23 =-196.7776, 1494.571, ¿25 =-3632.513,
¿24
й1 = 4.296161, й2 =-19.96791, й3 = 323.0727, й4 =-1416.393, й5 = 1830.035. Максимальная погрешность оценки Г в областях I и II составляет менее 1.11 и 4 % соответственно. Можно видеть, что многоцикловая усталость описывается степенным законом (первое уравнение в (17)), а малоцикловая — экспоненциальным (второе уравнение в (17)).
С помощью уравнений (16), (19) можно объяснить зависимость скорости &а/dN от области изменения Ау = Я-отношения г = Кт1п/Ктах , параметра
вязкости р0 и коэффициента деформационного упрочнения а.
Результаты исследования вышеуказанных параметров приведены на рис. 1-3. На рис. 4 показан коэффициент уменьшения:
= к^(а) =
(¿а/dN)а=0 11' 7
■ (1 - 2а)-
8* [g1(Аy, а), область I,
8 [g2 (Ау, а), область II,
(20)
(21)
^(Ау, а) = Dl(а) + Е1(а)к^(Ау), g2 (Ау, а) = D1 (а) + (а)Ау, D1(а) = 0.99688 - 0.15280а, Е1(а) = -0.00156 - 0.50401а - 0.65052а2, D2(а) = 1.599501 - 0.299349а -
-37.56253а2 -45.18395а3, Е 2(а) = -5.763548 + 92.73087а -- 402.4988а 2 + 515.3295а3. Отношение 8*/8 определяется вторым уравнением из (16). Коэффициент уменьшения представлен в ви-
Рис. 3. Зависимость Я-отношения от скорости роста усталостной трещины ¿а/dN
RRi
к = 1.3 Ау = 0.1
Ро = Ю
р0 = 15 р0 = 20
0.0
0.3
и
\ \ RRi
\
к = 1.3 Ау = 0.6
Ро = Ю
р0 = 15 р0 = 20
0.0
0.3
Рис. 4. Уменьшение скорости da/ dN в зависимости от увеличения коэффициента деформационного упрочнения a = 1/(1 + n). Базовая кривая RRj показывает коэффициент уменьшения, предсказанный в рамках модели J = const
де функции коэффициента деформационного упрочнения при фиксированных значениях других соответствующих параметров для двух значений безразмерной области J-интеграла Ay = 0.1 и 0.6 (при Ay > 0.6 коэффициент уменьшения вряд ли сильно зависит от Ay). Ранее функция RRT (a) была использована в уравнении (16), ее можно определить как: RRj(a) =
„ „ Ч1 - 0.5a 1 + 0.2217a (22)
= (1 - 2a)---. (22)
1 -a 1 + 0.6744a + 15.36945a2
В следующем разделе будет получено выражение для
коэффициента уменьшения RRT.
3. Модель роста усталостной трещины с учетом энергии, диссипируемой во всей концевой зоне
Обратимся теперь к модели, в которой полная энергия, диссипируемая в концевой зоне (уравнение (3)),
принимается в качестве константы материала, скажем, J = Jc. Для простоты начальных расчетов рассмотрим случай неупрочненного материала (a = 0), когда S (x1) = a 0 = const и отрывное смещение является функцией координаты x1 (предполагается, что материал находится в плосконапряженном состоянии): ( \ 4a 0
Uy(x1) = -
nE
R х
X1 ^i+V1 - R
R 2R 1-
-л/1 - V R
или в сокращенной форме:
Л x1) = u tipf
где
4a 0
u tip =
nE
-R;
f G) log
* 1 + V14
; £ =
x1
(23)
(24)
(25)
R
2
а f (0) = 1 и f (1) = 0. Вычислим приращение [8иу (х1)]Р, связанное с пошаговым ростом трещины, во время которого длина трещины увеличивается с а до а + ёа, а параметр нагружения изменяется соответственно от Q до
Q + dQ.
Изменение а и Q, в свою очередь, приводит к изменению равновесной длины пластической зоны, которая варьирует от Я(а) до нового значения Я(а + ёа). Чтобы учесть данные изменения в приращении [8иу (х1)]Р, необходимо следующее.
Пусть параметр нагружения Q будет некоторой функцией текущей длины трещины а, скажем Q = Q(a). Тогда приращение функции иу (х1, Q, а) можно рассчитать как полный дифференциал
8иу = иу (х1, Q + dQ, а + ¿а) - иу (х1, Q, а) =
duy
da
+
duy
dQ
dQ da
da.
(26)
В области маломасштабной текучести 6х1 =-¿а поэтому заменим производную диу/да на - &иу/а другие частные производные вычислим по формуле
du
y
dQ
= 4a 0
nE
f © —+r f
dQ d^ dR dQ
4a0 dR
nE dQ 4a0 dR
f © + R
R2
df d^
f ® f
(27)
пЕ дQ
Для произвольной геометрической конфигурации Я =п/8 (Ко0)2 и К = ал/поф(а/и'), где функция ф( а^) описывает зависимость коэффициента интенсивности напряжений от геометрии — ширина рас-
х
трескиваемого образца). Величину Я также можно выразить в виде:
a ^2j.2( a l па
R = 7Q2Ф2| -I. Q = -70,.
2 I w I 2
(28)
Очевидно, что производные dR/dQ и duy jdQ можно записать как dR _ 2R dQ _ Q '
duy = 4а0 2R
dQ nE Q
=2 =Q
f (S) -S f dS
Uy (S)-S ^
y dS
(29)
При подстановке данных выражений в уравнение (26) имеем:
duy 2
8uy =-dx - —
У dx, Q
duy
uy-S1ST
d(RS).
(30)
Таким образом, уравнение, описывающее удлинение трещины в докритической области,
Д
- 2} 5 (х-)5Му = /с (31)
0
принимает вид:
Д 0и а (( Д ди
- 2} ад^ ах- + 2-^ } ¿х- = /с (32)
dx,
dQ
или
г1 duy
- 2I* ®lf dS+
+Qf I* (S)
Q da 0
/-ЛЛ ? duy Uy (S) -S-
RdS = Jc.
(33)
Остается только вычислить интегралы при 5 (£) = ст0:
12 =} иу (^ (34)
0
13 = №
0 ^
Интегрируя по частям, легко показать, что интеграл 13 сводится к /2, а интеграл 11 равен смещению в вершине трещины и ф. Следовательно,
1duy (S)
А = dS = - [Uy (1) - Uy (0)] = u
13 =-
0 dS
rdu
dS
tip
(35)
1 аиу 1 1
^ = а|0 + } иу (^ (36)
0 0 Граничный член (иу^)|0 тождественно равен нулю, так как иу (1) = 0, поэтому 13 = /2. Интеграл 12 пропорцио-
нален объему концевой зоны и может быть определен точно:
1 ( * л , гтттл
12 = u tip J
J y 2 1 ^TF-S
dS = F u tip. (37)
Подставляя полученные результаты в уравнение (33), находим:
4Д ад ( 11 ^
2а0и,1р +—а0-1 — + — I и,:р = / с
0 1ф д 0 йа [ 3 3 J 1ф с
или, заменяя 2ст0м (1р на У, имеем:
j+2R 2 j dQ = Jc.
(38)
д 3 аа
Данное уравнение описывает так называемую Я-кривую или ^-кривую. Его можно решить для а( а£, где С(= а/Дс) — безразмерная длина трещины,
/с( 3 /с - /
dQ
dZ
2J 2 J
3 2 -ZQ2ф2
или
(39)
.2 Z2Q3Ф4 '
В случае циклического нагружения с учетом Rc/R _ _ Jc/J перепишем уравнение (39) относительно dJ/dZ (подробнее см. в Приложении A): J - J
Jc J (40)
dJ = ^ J dZ = 2 J c
J
Проинтегрируем эти уравнения для заданных начальных условий Z _ ^о, Q _ Qrni> J _ Jini и найдем функциональную зависимость нагрузки от текущей длины трещины, т.е. Q от Z, и циклической й-кривой от длины трещины, т.е. J от Z.
Поскольку мы рассматриваем распространяющуюся усталостную трещину как дискретную последовательность шагов роста трещины, каждый из которых приходится на один цикл, для которого изменение параметра нагружения Qmin < Q < Qmax известно и Z = const в течение цикла, можно использовать уравнения (39), (40) для теоретической оценки прироста трещины за один цикл, т.е.
Qmax ( Г2^3А4 ^
da
cycle
=3 Rc I
3 Qm
или
da
Z2Q Ф4 2 -ZQ 2Ф2
J dJ
dQ
Z= const
cycle
О max
= - Jc I 3 c / Jc - J
(41)
(42)
В результате интегрирования имеем (см. Приложение A):
2
da dN
R
r +1..2 , (1 - r )2 - Ak -Ak 2 + log -i-^--—-
r -1 (1 - r)2 - r Ak2
Rc
- Ay + log
1 -r -Ay 1 - r 2 - r 2 Ay
В первом из записанных уравнений безразмерная область изменения ^-фактора Дk = ДК/Кс выступает в роли независимой переменной, а г-отношение г = Ктп/ Ктах — некоторого параметра. Второе уравнение математически эквивалентно первому, но в нем в качестве независимой переменной выступает безразмерная область ./-интеграла Ду = Д//Ус. Константа 2/3 Яс является масштабным коэффициентом, где Яс = тс/8 (Кс / о0)2 соответствует верхнему плато циклической Я-кривой. В области маломасштабной текучести эту постоянную можно рассматривать как свойство материала. В несколько ином виде первое уравнение из (39) обсуждается в работах [11-13].
Оба уравнения предсказывают сигмоидальную зависимость между скоростью роста усталостной трещины и соответствующей областью коэффициента интенсивности напряжения либо /-интеграла. Для области многоцикловой усталости, когда и г ^ 0 и Дк ^ 0, имеют место асимптотические выражения в форме степенного закона:
da dN
high cycle low r
=2 »
(1 + rXI + r2) M4,
2(1 - r ) 1
(44)
2(1 - r 2)
Ay 2-
Подобный эффект показан на рис. 5, из которого видно, что в двойных логарифмических координатах начальный участок кривой близок к прямой линии в соответствии с уравнением (44). Противоположный эффект наблюдается в случае малоцикловой усталости, т.е. когда
Ak ^ 1 - r, Ay ^ 1 - r2
(45)
В данных условиях при низких значениях г-отношения уравнение (43) вырождается в логарифмическое (не степенное) соотношение:
da dN
low cycle 3 low r
log log
(1 - r )3(1 + r ) (1 - r)2 -Ak2 (1 -r 2)2 . 1 - r2 - Ay
(46)
В заключение следует отметить, что для материала с сильным деформационным упрочнением диссипация энергии в концевой зоне несколько выше (см. Приложение Б), а скорость развития усталостной трещины соответственно ниже. В рамках рассматриваемой модели приходим к следующему соотношению:
da dN
= Л (а)
hardening R material
da
dN
non - hardening material
(47)
В Приложении Б получен масштабный коэффициент Л(а), задаваемый функцией коэффициента упрочнения а (= 1/(1 + п)):
Л(а) =
1 - 0.5а 1 + 0.2217а
1-а
*1(а)
(48)
^1(а) = 1 + 0.6744а + 15.3695а2.
Отношение значений верхнего плато циклической Я-кривой для упрочненного материала Я* и неупроч-ненного Яс записывается в виде:
R*
1
= 1 - 2а.
(49)
Яс п +1
Объединив уравнения (40), (43) и (44), оценим влияние деформационного упрочнения на скорость усталостной трещины с помощью «коэффициента уменьшения»
(¿а/ dN) а^ 0
RRI =
(da/ dN ) а=о
= (1 - 2а)
1 - 0.5а 1 + 0.2217а
1-а
ад
(50)
Рис. 5. Скорость роста усталостной трещины как функция области изменения J-интеграла Ay = AJ/Jc, построенная для Ay ^ 0 согласно модели J = const: полулогарифмическая кривая (a); двойная логарифмическая кривая (б), наклон которой равен 2 в соответствии с уравнением (44)
который приближается к 1, когда а ^ 0, и равен 0.4 при а = 0.2, как показано на рис. 4.
Энергию инициирования усталостной трещины сложно рассчитать. В лучшем случае ее можно лишь оценить на основе тщательно поставленного эксперимента. Циклическая Я-кривая
у = Ус - Ус ас Л (а) у
(51)
предполагает существование зависимости между энергией инициирования трещины У1п1 и модулем разрыва, который был определен Парисом при исследовании вязкого разрыва [18]:
Т/ =-
ап
У
аа
(52)
Переписав У/в виде Дс(У/аа) и заменив Дс константой У*, т.е. пЕ
Д* = -
8а;
(а) У *,
У* = СГ-(а) Г-(а) СГ (а) Ус,
g (а) =-1-,
СГ-(а) Г-(а)
СГ1(а) = 1 + Аа + Ва2 + Са3,
(53)
СГ (а) = (1 - 2а)2
1 + а
а
1 - а
+ Ь
а
2
1-а
А = 0.0321, В = -3.3363, С = 4.1160, а = 1.2575, Ь = 2.1250, имеем:
g (а) П Т = 3 1 - Ус* g (а) 8 Т/ = 2Л /..! У *
^ 1п 1 и с
(54)
Решение для энергии инициирования трещины приводит к формуле
У1
У* А(а )Т/ + Г
(55)
п
А(а) = g (а)Л(а).
При больших значениях модуля разрыва единицей в знаменателе уравнения (55) можно пренебречь, в результате чего получим:
1
У
-/ *
Ус ,
(56)
А(0)
А(а )Т/ =п " 12
Наличие обратно пропорциональной связи между энергией инициирования трещины У1п1 и модулем разрыва ТУ указывает на то, что в сильно вязких материалах страгивание трещины происходит позже, что согласуется с экспериментальными данными.
4. Заключение
В работе на основе степенного и экспоненциального законов аналитически описаны процессы много- и малоцикловой усталости (см. уравнения (17)). Нормирующая константа, на которую умножается безразмерная скорость усталостной трещины представлена в виде произведения трех характеристик материала (символ * опускается при а = 0): \ /
5* ^а (57)
Д* = А
Д*
А
ТГ,*
Д1п1
А
М„
или, если п — показатель степени деформационного
упрочнения и
= Д^ М = 1
р 0 = , к = , а = -
А
М
п +1
(58)
в более компактной форме:
Дс* =р0А(1 - 2а)5*(р0, к, а). (59)
Аналитически также получены численные значения 5-параметра, который равен отношению значения верхнего плато к пороговому уровню циклической Я-кривой (рис. 6). Отношение Д1п1 /А можно отождествить с параметром вязкости р0 ~£/£0, где £^ — пластическая компонента деформации разрушения и £0 — деформация начала текучести. Однако наиболее важная величина, имеющая принципиальное значение в изучении роста докритической трещины, а именно размер зоны процесса А, остается «неопределенной» в рамках предлагаемой теории. Ее удельное значение невозможно определить в рамках механики сплошных сред, поэтому решение может быть найдено либо экспериментальным путем, либо при рассмотрении микроструктуры с точки зрения мезомеханики, где уже достигнут некоторый успех [19, 20]. Таким образом, уравнения, полученные в работе на основе принципов механики разрушения, мо-
Рис. 6. Зависимость отношения 5* значения верхнего плато циклической кривой сопротивления от ее начального (порогового) уровня
Рис. 7. Сравнение оценок da/dN, полученных в модели J = const (внизу) и в модели JA = const (вверху). Даны три значения ^-отношения. Параметры k = 1.2, a = 0 и р 0 = 20 неизменны. Наклон всех кривых монотонно возрастает с увеличением Ay: при значении R-отношения 0.2 наклон нижней кривой (уравнение (44)) равен 2.2, 2.6 и 4.4 для Ay = 0.2, 0.5 и 0.8 соответственно, наклон верхней кривой (уравнения (11), (17)) равен 1.3, 1.8 и 3.4 для Ay = 0.2, 0.5 и 0.8 соответственно
гут служить своего рода «мостом», соединяющим континуальное описание отклика материала на разрушение и более фундаментальное, микроструктурное многоуровневое описание поведения материала.
Литература
1. DugdaleD.S. Yielding of steel containing slits // J. Mech. Phys. Solids. -
1960. - V. 8. - P. 100-106.
2. Wnuk M.P. Accelerating Crack in a Viscoelastic Solid Subject to Sub-critical Stress Intensity // Proceedings of the Int. Conf. on Dynamic Crack Propagation / Ed. by G.C. Sih. - Leyden: Noordhoff, 1972. -P. 273-280.
3. Wnuk M.P. Quasi-static extension of a tensile crack contained in a viscoelastic-plastic solid // J. Appl. Mech. ASME Trans. - 1974. -V. 41. - P. 234-242.
4. Wnuk M.P. Stable phase of ductile fracture in two and three-dimensions // J. Appl. Mech. ASME Trans. - 1981. - V. 48. - P. 500-508.
5. Kfouri A.P., Miller K.J. Crack separation energy rates in elastic-plastic
fracture mechanics // Proceedings Inst. Mech. Engrs. - 1976. -V. 190.- P. 571-584.
6. Kfouri A.P., Rice J.R. Elastic/Plastic Separation Energy Rate for Crack Advance in Finite Growth Steps // Proceedings of ICF4 / Ed. by D.M.R. Taplin. - Canada: University of Waterloo Press, 1977. - V. 1. -P. 43-60.
7. Kumar V., German M.D., Shih C.F. An Engineering Approach for Elas-
tic-Plastic Analysis Fracture // EPRI Topical Report NP-1931, Electric Power Research Institute, Palo Alto, CA, July 1981.
8. Rice J.R., Sorensen E.P. Continuing crack-tip deformation and fracture
for plane-strain crack growth in elastic-plastic solids // J. Mech. Phys. Solids. - 1978. - V. 26. - P. 163-186.
9. Smith E. The invariance of J vs. Ac curve for plane strain crack growth in ductile materials // Int. J. Fracture. - 1980. - V. 17. - P. 373-380.
10. McClintock F.A. Effects of root radius, stress, crack growth and rate on fracture instability // Proc. Royal Society A. - 1965. - V. 285. -P. 58-72.
11. Черепанов Г.П. О распространении трещин в сплошной среде // ПММ. - 1967. - Т. 31. - № 3. - С. 476-488.
12. Wnuk M.P. Subcritical growth of fracture (Inelastic fatigue) // Int. J. Fract. - 1971. - V. 7. - P. 383-407.
13. Wnuk M.P. Prior-to-failure extension of flaws under monotonic and pulsating loadings // Eng. Fract. Mech. - 1973. - V. 5. - P. 379-396.
14. Radon J.C. Predicting Fatigue Crack Growth Rate at Very Low Levels of K-factor // Proceedings of 4th Int. Summer School on Fracture Mechanics, Dubrovnik, Yugoslavia / Ed. by S. Sedmak. - Belgrade: RO Institute GOSA, 1986. - P. P13-1-P13-14 (in Serbo-Croation).
15. Miller K.J. Fatigue at Notches // Proceedings of NATO Advanced Study Institute on «Advances in Fatigue Science and Technology» / Ed. by C.M. Branco, L.G. Rosa. - Alvor Beach, Portugal, 1988.
16. Yates J.R., Miller K.J. Non-Propagating Fatigue Cracks: The True Fatigue Limit // Proceedings of NATO Advanced Study Institute on «Advances in Fatigue Science and Technology» / Ed. by C.M. Branco, L.G. Rosa. - Alvor Beach, Portugal, 1988.
17. Hunsacharoonroj I. Quasi-Static Crack Extension in Ramberg-Os-good Strain Hardening Solids / Ph. D. Dissertation. - University of Wisconsin-Milwaukee, 1987.
18. Paris P.C., et al. A Treatment of the Subject of Tearing Instability // U.S. Nuclear Regulatory Commission Report NUREG-0311, available through National Technical Information Center, Springfield, Va., 1977.
19. Деревягина Л.С., Панин В.Е., Гордиенко А.И. Самоорганизация пластических сдвигов в макрополосах локализованной деформации в шейке высокопрочных поликристаллов и ее роль в разрушении материала при одноосном растяжении // Физ. мезомех. -2007.- Т. 10. - № 4. - С. 59-71.
20. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Панин А.В. Полевая теория многоуровневого пластического течения в шейке деформируемого твердого тела // Физ. мезомех. - 2007. - Т. 10. - № 5. - С. 5-16.
21. Sneddon I.N. Crack Problems in the Theory of Elasticity // Department of Mathematics, Engineering Research Report, North Carolina State College, Rayleigh, NC. - 1965.
22. Constable T. New steels for railway wheels // Rail CRC Report, UK, Project 41, July 2005.
Приложение A. ^-кривая для одного цикла нагружения и уравнения для d а/ dN
За один цикл нагружения параметр нагружения Q изменяется в интервале
Qmm < Q < Qmax ' (A1)
Аналогичным образом изменение величин R и J происходит в интервалах: ^ < R < R
тат _ _ max'
Jmin < J < Jmax •
(A2)
Так как R = R[a, Q(а)] и J = J[a, Q(а)], зависимость приращения dQ от dЯ и/или № можно записать в виде:
dR = dR , dR dQ da
da +-
da q dQ da a
dR dQ , --da, dQ da
dJ = J , J dQ da "
da +
da q dQ da a
single cycle
(A3)
single cycle
J dQ dQ da
da.
Поскольку длина трещины меняется лишь незначительно за один цикл (a ~ const, da = 0), первыми членами в квадратных скобках пренебрегаем. Для условий маломасштабной текучести находим: dR _ 2R J _ 2J
dQ = Q ' dQ = Q • (A4)
В результате имеем следующее соотношение: 2R da '
_L J
„2J da
Переписав уравнение (34), получим:
Q da
single cycle
(A5)
KdQ
Q da
2±2
3 2 -ZQ 2 ф
2 Z2Q4Ф4
3 Jc Jc - J
(A6)
12 2У У
Напомним, что группа (1/2)<;22ф2 равна квадрату коэффициента интенсивности напряжений, разделенному на квадрат значения верхнего плато КД - кривой, т.е.:
2
K2=2 ZQ V.
тогда
K2
-KdK
cycle Z« const
= ZQф2dQ =
2K2 QKc
dQ
1dQ
Q da
cycle
1 dK
K da .
R
(A7)
(A8)
(A9)
то
Если умножить данное уравнение на (Дс/аа) = (1/К)(ак/ас) и первое выражение в уравнении (А6) примет вид:
1 dK 3 2 Kc2 - K2 ■ = — K2 c
K dZ 2
K4
(A10)
AK = Kmax - Kmin =
= K - rK = K (1 - r)
max max max
Используя Kmin = rKmax, найдем:
K
Kmin =-AK •
1-r
1-r
(A13)
(A14)
Подставим в уравнение (A12), получим: da =
dN =
- - Rc
3c
1-
1 AK2
1 + r AK2 (1 - r)2 Kc2
---r + log--^
1 - r Kc2
1-
AK 2
(1 - r)2 K2
, (A15)
которое тождественно первому выражению в уравнении (43).
Чтобы вывести второе выражение (43), воспользуемся уравнением (38), где Я заменяется на У/Ус Дс:
Rc dQ _ 3 Jc Jc - J
(A16)
д аа 2 2У У
Если левую часть найденного равенства записать в виде (1/2У) (аУ/аа) (см. (А5)), циклическая Д-кривая примет
вид:
RcdJ = 2 Jc J-J• c da 2 c J
(A17)
Решая данное уравнение для da и интегрируя по J в пределах одного цикла, находим:
da| per cycle 3 Rc J ' r r\ r ' ()
J„
per cycle 3 J ( Jc - J) Jc
Поскольку используемые интегралы являются элементарными, в итоге можно записать:
=- 2 rc
dN 3 c
J - J J - J
u max u min + jog _ c m
Jc
J - J
О n О ГУ
• (A19)
Чтобы найти величину прироста трещины за один цикл, разрешаем полученное уравнение для а затем проинтегрируем по К в пределах от Кш1п до Кшах:
2 K max
dZ per cycle = 7 1
K dK
er cycle 3 /mfa(Kc2 - K2)Kc2'
Интеграл в (A11) является элементарным и, значит:
(A11)
dZ
cycle
K 2 - K 2 K 2 - K 2 max min_ + log max
л
K2
K 2 - K 2 c min
• (A12)
Подставляя АК вместо Кшах - Кш1п и используя г-от-ношение в форме г = Кш1п/Кшах , исключим Кш1п и Кшах. Найдем зависимость между Кшах, АК и г-отно-шением:
Исключим Jmax и Jmin, применив очевидные соотношения
r2 =
Jmin J = r2 J
min max
J
AJ Jmax Jmin Jmax (1 r ).
откуда следует
j J . =
max 0 ' mm
2 min 2
1 - r2 1 - r2
AJ •
(A20)
(A21)
Подстановка в (A19) приводит к искомой формуле:
^=1 r dN 3
f AJ , (1 - r2) Jc - AJ ^ -—■+ log -— ' c .— Jc (1 - r 2)Jc - r 2AJ
(A22)
которая тождественна второму выражению в уравнении (43).
Приложение Б
Чтобы получить выражение для da/Ш в виде функции диапазона напряженности внешнего поля Л/, г-от-ношения и коэффициента деформационного упрочнения а, необходимо сначала найти выражение для отрывного смещения в концевой зоне у вершины трещины для упругопластического сильноупрочненного тела. Распределение напряжения возврата в концевой зоне задается уравнением (1). Используя безразмерную переменную £ = хх/R , уравнение для 5 (х1) можно записать в виде:
5© = аоГа, Л/* <£< 1. (Б1)
Интегральное представление отрывного смещения согласно [21] подразумевает сложную комбинацию несобственных интегралов, которую нельзя свести к известному аналитическому решению. Однако, считая Л << Я, что позволяет записать напряжение возврата во всем интервале 0 < £ < 1 в форме (Б1), в работе [17], используя преобразование переменных
£^£1 = £1-а =
Я
1-а
(Б2)
5(£) ^ 5(£1) = а0£-а(1-а),
найдено очень точное выражение для смещения иу (х1, а), которое справедливо для показателя степени упрочнения п, изменяющегося от 4 до бесконечности, что соответствует 0 < а < 0.2:
и у (Х1, а) =
(
•Шр
(а)
^ "Ьк Ш
или
иу (х1 , а) = ^^Щ^).
Здесь к = 1 - 0.5а,
и«р(а) = иЙр(0^(а),
и*,(0) = % Я(0),
пЕ
(Б3)
(Б4)
(Б5)
CF2 (а) = CF1(а)CF (а),
а CF1(a) и CF(а) известны из предыдущих расчетов (см. (53)). Выражение (Б3) справедливо в условиях маломасштабной текучести при максимальной погрешности менее 4 % и обнаруживает явное сходство с иу (х1) в случае неупрочненного материала (см. (23)). На следующем шаге вычислим частные производные диу!да и диу!дQ, входящие в уравнение, которое определяет приращение 8иу в зависимости от приращения 8а (см. (26)). Рассмотрим двучленное выражение
для 8иу:
8иу = (8иу )Q + (8иу )а
(Б6)
где
(8иу )Q =
(8иу ) а =
( диу ^
да
V у ( диу ^
da
Q
дв
в йа
( йиу ^ йиу
--^(-йхО ^й£ъ
йх1 й£
11
(Б7)
йа.
Выразим производную диу/дв через переменную £,. Параметр нагружения Q в неявном виде присутствует в выражении для протяженности концевой зоны Я и, следовательно, фигурирует в переменной £, = = (х,/ Я)1-а. Переписав уравнение (Б3) относительно Я и £,, имеем:
иу (х,, £) = С,(а)Я/1(£1), Я = Я(а). (Б8) пЕ
Применим цепное правило и очевидное соотношение
ЯЖ = ЯМЯ I 1 = -<1-а>£1. <»)
-а
Х1 I I Х1
чтобы получить формулу:
( диу ^
дв
4^0 пЕ
(
-С,
4^0 С дЯ пЕ 1 дв
+ Я / дЯ
дв/1 й£ дЯ дв
/
/1 (£1) - (1 -а)^ £1 1 1 ё£1 1
(Б10)
которая подставляется в уравнение, описывающее рост трещины:
- 2} 5 (Х1)8иу = Jс (а).
(Б11)
При замене дЯ/дв на 2Я/в da равно -ёх1 и при йх1 = = (1-а)-1 Я£а ё£1 уравнение (Б11) записывается как
Я Я
Jс (а) = -2|5(Х1)(8иу )в - 2}5(х0(8иу )а = 00
= + ^ х
0 й£ йа в
5(£1)
/1 (£1) - (1 -а)^ £1 ё£1
Я
£а(1-а)й£1. (Б12)
1-а
Первый интеграл в (Б12) представляет собой /-интеграл для тела с деформационным упрочнением:
йи.
Да) = -2} 5 (хО^сХ = -2иЙр(а)| 5 (£1)-|1^£1 =
0 йх1
^(а)^-^1-^^1-^ = 2иф(а)ст0^(а). (Б13) 0 й£1
! ssy — маломасштабная текучесть, Я а << 1.
К сожалению, дальнейшее преобразование этого интеграла путем интегрирования по частям невозможно, так
как граничный член (1-а)/1]| становится неопределенным при ^ 0. Поэтому необходимо применить прямой метод и решить задачу «обходным путем». Определив /1(^1) с помощью уравнений (Б3), (Б4), находим:
df1 _
Ф&) _
_ J_
_ 2T
т ^ л/т-^7.
К log K"1i+T - T log К — -1
1 - т
1-T
(Б14)
Оценим численно интеграл
-}Ф№а/ (1-а)^ = г-(а) 0
для нескольких значений а, а затем с помощью метода подгонки кривой придем к окончательному виду:
2 (Б15)
F1 (а) _ 1 + 0.6743758а + 15.36945а2,
довательно,
2
J(а) _ —0 C1(a)F1(a). nE
(Б16)
Далее преобразуем два других интеграла, входящих в уравнение (Б12):
I1 _ — J 5 (Ш^)^0-"^ _J
а
0 0
I2 _
T0 0 dS1 0 dS1
(Б17)
Интегрируя I2 по частям, получим
12 _ /1)10 -J /1(^1 )d^1 _-11.
(Б18)
Таким образом, коэффициент, на который умножается скорость а(аа в уравнении (Б12), принимает вид:
2utip (а)а0
Q
1
1 -а
I1 +11
R(a) _
_ 2R(a)2U'ip(a)"0j^ 11,
Q
1 -а
(Б19)
где интеграл 11 определяется первым выражением (Б17). И вновь численно оценим интеграл 11 для нескольких значений а и методом подгонки кривой получим
I1 _ F2(a) _ 3(1 + 0.2217а).
(Б20)
Теперь уравнение (Б12), описывающее непрерывный рост докритической трещины, можно записать как
2R(a) J(а) (2 -a)F2(a)
J (а)+f
da
Q (1 -a)F1(a)
_ Jс(а) (Б21)
и преобразовать в известное дифференциальное уравне-
ние
—dQ _A-1(„)l JJ),
Q da 2 J(a)
(Б22)
где масштабный коэффициент Л(а) определяется следующим образом:
Л(а) _
1 - 0.5а 3F2 (а) 1 - а F1 (а)
(Б23)
и У* = Ус(а), тогда как Д* = Д(а). Причем Л(0) = 1. Ниже показано, что уравнение (Б22) действительно преобразуется к виду (45). Сначала перепишем выражение для Д*\
_ R* _ J(а) R _— Rc _-Rc.
Rc* Jc*
Используем тождество (ср. с выражением (A5))
(Б24)
da ~ ~2J dZ ' Z_ R*' чтобы преобразовать уравнение (Б22) к виду:
2J (a)
J*
1 dJ
_ 3 Л-1 J* - J(a) 2 J (a) .
(Б25)
(Б26)
(Б27)
2 У (а) ^ Отсюда следует, что
У (а) = 32 Ус* Ус* - У (а) ¿с = Л(а) У (а) Найденное уравнение описывает УД - кривую в случае материала с деформационным упрочнением, как показано выше (см. уравнение (51)). Очевидно, что для а ^ 0, Л ^ 1, У* ^ Ус, У(а) ^ У мы вновь получаем уравнение (40), справедливое для идеального упругопласти-ческого (неупрочненного) тела. В итоге, путем разделения переменных и интегрирования по У в пределах одного цикла приходим к выражениям для аа/Ш, приведенным в тексте.
Приложение В. Частный случай, позволяющий получить аналитическое решение для скорости развития усталостной трещины в зависимости от приложенной нагрузки и текущего размера трещины
Для коэффициента формы Ф = 1 скорость распространения усталостной трещины ас/&Ы, описываемую уравнением (41), можно оценить в замкнутом виде. Проинтегрируем выражение (41) в пределах одного цикла и найдем:
£2д3
dN
K
к
_ k _
ßmn2 -ZQ' £
dQ,
(B1)
Q.
Если принять, что величина £ постоянна в течение цикла, вышеупомянутый интеграл приводит к аналитическому решению
йИ 3 I
1 - к 2
1 - (Дк + к,™)2
-(Лк + кт1п)2 + ^
(В2)
На рис. В1 показаны пять последовательных циклов распространения трещины при ее начальной длине £ 0 = 100. В данном случае отношение между максимальной и минимальной нагрузкой принималось равным 8, причем на минимальную нагрузку вт1п приходилась десятая доля критической пороговой величины всг = 2Д^0~- Соответствующее приращение длины трещины приведено на рис. В2. Отметим, что указанные приращения выражены в единицах характерной длины Яс. Согласно модели Внука, описывающей процесс распространения докритической трещины, эта длина зависит от размера зоны процесса Л как
Яс =
1 + -
8
Л.
(В3)
Данная формула вытекает из основных предположений модели распространения докритической трещины Внука [2-4] (рис. В3).
Чтобы проиллюстрировать порядок величины рассматриваемых параметров, воспользуемся оценкой, полученной в рамках молекулярной физики и модели Внука структурированной когезионной трещины. При условии, что отношение пластической компоненты деформации разрушения к деформации начала текучести приближается к нулю (хрупкое поведение материала), находим:
Рис. В1. Пять последовательных циклов распространения трещины, определенные в соответствии с аналитическим решением (В2). Начальная длина трещины равнялась 100Яс, отношение между максимальной и минимальной нагрузкой — 8, причем на минимальную нагрузку приходилась десятая доля критической разрушающей нагрузки
Рис. В2. Приращение длины трещины за первые четыре цикла роста усталостной трещины как характерная длина материала, которая рассчитывалась как Яс = (1 + 8^180)Л в соответствии с моделью Внука структурированной когезионной зоны. Отношение между максимальной и минимальной нагрузкой равнялось 8, на минимальную нагрузку приходилась десятая доля критической разрушающей нагрузки. Все расчеты проводились для начальной длины трещины 100Яс. Размер зоны процесса Л определялся исходя из принципов молекулярной физики, Л - 30Ь. Символом Ь обозначено межатомное расстояние, или кристаллографический параметр
Яс ~ Л = 306 - 6 нм. (В4)
Здесь Ь — межатомное расстояние и уравнение (В4) справедливо для хрупкого тела, например стекла или керамики. Порядок величины приращения длины трещины на рис. В2 лежит в нанометровом диапазоне. Однако при изучении других материалов длину Яс необходимо пересчитывать заново. Таким образом, рассмотрение следует проводить на разных масштабных уровнях, что, в свою очередь, может потребовать изменения математической модели.
Наконец, отметим, что в интервале коэффициентов интенсивности напряжений Лк меньше единицы выражение (В2) преобразуется к виду:
= 3[(Лк + ктп)4 - ктт].
(В5)
Для тестового условия, когда ктп приближается к нулю, формула преобразуется в классический закон Париса:
= V )4.
йИ 8
(В6)
Рис. В3. Схематическое изображение процесса докритического разрушения согласно модели Внука структурированной когезионной зоны [2-4, 12, 13]. Приращение отрывного смещения 88 на внешней границе зоны процесса (Р) за время 8t = Л/а остается постоянным в течение всего периода роста трещины
8
Как видно, для промежуточного интервала независимой переменной Лк этот закон выполняется и входит в более общее выражение (В2). Однако для наноразмер-ных трещин и, что интересно, для Лк, близкого к критическому значению (Лк ^ 1), закон Париса недействителен. Согласно недавним экспериментальным данным, полученным для бейнитно-мартенситных сталей, используемых в колесах железнодорожных вагонов [22],
двойная логарифмическая кривая скорости изменения усталости имеет выраженную сигмоидальную форму, что нашло подтверждение в многочисленных экспериментах. Чтобы корректно учесть сигмоидальную форму зависимости йа/йИ от ЛК/Кс, построенной в двойных логарифмических координатах, необходимо использовать полное уравнение (В2) или любое подходящее уравнение, приведенное в тексте статьи.
Поступила в редакцию 13.05.2008 г.
Ceedeuua 06 aemopax
Michael P. Wnuk, Professor, Department of Civil Engineering and Mechanics, College of Engineering and Applied Science, University of Wisconsin-Milwaukee, Milwaukee, WI 53201, USA, mpw@uwm.edu
Anousheh Rouzbehani, PhD Candidate, Department of Civil Engineering and Mechanics, College of Engineering and Applied Science, University of Wisconsin-Milwaukee, Milwaukee, WI 53201, USA, rouzbehania@asme.org
