CC BY
103
Модель когезионной зоны с учетом параметра трехосности
М.П. Внук
Висконсинский университет, Висконсин, Милуоки, WI 53201, США
В работе предложен новый закон, описывающий распределение сил сцепления во внутренне структурированной нелинейной зоне впереди переднего фронта движущейся трещины в неупругом теле. Нелинейные эффекты моделируются узкими полосами, идущими от фронта трещины, которые имеют определенную внутреннюю структуру (в отличие от классических моделей Барен-блатта и Дагдейла). Однако при этом полагается, что объем материала ведет себя как линейно упругое тело. Математическая форма закона в чем-то схожа с формулой Планка, используемой для определения излучения, испускаемого абсолютно черным телом, с очень короткой длиной волны в видимой части спектра.
С помощью модифицированных соответствующим образом интегральных преобразований Снеддона был определен круг величин, существенных в нелинейной механике разрушения. В частности, рассмотрен так называемый «вездесущий эта-фактор», который связывается с микроструктурой посредством некоторого трансцендентного уравнения. Эта-фактор входит в выражение для удельной работы разрушения в образцах с различной геометрией при различных способах нагружения и пока известен только эмпирически. Обсуждаются стационарная и квазистационарная задачи о трещине.
Показано, что изменения микроструктурных параметров, наряду с соответствующей работой разделения, оказывают большое влияние на зону течения. В числе других факторов, влияющих на распределение когезионных напряжений и всех итоговых параметров разрушения, особенно тех, которые определяют переход от вязкого разрушения к хрупкому, находятся характеристики напряженного состояния в окрестности фронта трещины. Эти трехмерные явления наилучшим образом описываются параметром трехосности, который определяется как отношение среднего напряжения к эффективному напряжению Мизеса.
1. Предварительные замечания
Модель когезионной зоны, первоначально предложенная Баренблаттом [1] для квазихрупких твердых тел и Дагдейлом [2] для вязкого разрушения, а позднее использованная многочисленными исследователями, специализирующимися в области неупругой деформации и разрушения, имеет очевидные ограничения. Однако она является единственной моделью, которая предлагает приемлемое математическое объяснение и осуществимый подход к иным трудноразрешимым задачам. В этом смысле эта модель используется здесь как средство для более глубокого понимания процесса разрушения в диссипативных (неупругих) средах.
Одним очевидным недостатком предыдущих моделей являлась невозможность описывать с помощью используемого математического аппарата такие явления, как зарождение, рост и слияние несплошностей, которые предваряют развитие вязкого разрушения. Кроме того, не накоплено никаких данных о сильной геометрической зависимости кривых сопротивления, построенных в ходе квазихрупкого распространения трещины в образцах из одного и того же материала, но имеющих
различную геометрию. Например, хорошо известное дифференциальное уравнение, которое задает й-кри-вую в квазихрупких телах, подтверждает «универсальную» природу кривой сопротивления росту трещины независимо от геометрических ограничений и других особенностей, при которых строится й-кривая [3-5].
С другой стороны, модель когезионной зоны дает уникальную возможность выделить локальную энергию диссипации, необходимую на разделение материала, из общей пластической работы. На эту особенность в своей работе обратили внимание Гудьер и Филд [6], а позднее в более развернутой форме Зигмунд и Брокс [7]. Одно из основных требований, необходимых для корректного описания разрушения, заключается в том, что подобное описание должно различать энергию диссипации, вызванной общей пластической деформацией, и энергию диссипации, связанной с заключительным актом процесса деформации — разрушением. В неупругих средах разрушение вводится через конечную характеристическую длину микроструктуры, скажем А, связанную с «зоной разрушения». Эта длина входит в определяющие уравнения, предложенные для пластич-
© Внук М.П., 2001
ных материалов в модели Гурсона-Твергарда-Нидл-мана.
В настоящей работе мы будем опираться на модель Гурсона-Твергарда-Нидлмана и, в частности, попытаемся ввести параметр трехосности Т, определяемый как отношение между гидростатическим напряжением и эффективным напряжением Мизеса. Для двухосного напряженного состояния, где а2 приложено перпендикулярно плоскости трещины, а а1 направлено вдоль линии трещины, максимальное значение параметра трех-осности определяется как [7]
гг 1 + С I
Tmax = г- > а = а1/а 2-
V 3 (1 -а)
(1)
Если а обычно варьируется в диапазоне 0.55-0.75, то согласно уравнению (1) параметр трехосности будет меняться в пределах от 2 до 4. В модели когезионной зоны этот параметр, в свою очередь, соотносится с отношением £тах/ S 0, называемым коэффициентом перенапряжения, где Sm¡x обозначает когезионную прочность, а S о — так называемое исходное напряжение (одноосный предел текучести для упругопластических тел). Для большей точности следует упомянуть здесь соотношение между коэффициентом перенапряжения Smax/ S0 и параметром трехосности, записанное для пластичной ферритной стали (германский стандарт StE460) в виде эмпирической формулы Зигмундом и Броксом [7]:
k = -
■ = -4.8exp
(Tmax + 0-32)
0.52
+ 3.56.
(2)
Те же авторы предложили интересное уравнение, которое связывает Tmax и удельную работу разрушения для той же марки стали:
Gf = Sq A[0.57exp(rmax + 0.169)] + 0.24. (3)
Используя эти соотношения и результаты испытаний, связанных с экспериментальным построением кривых сопротивления Jr -Aa, они предложили следующие численные оценки, которые обеспечивают «наилучшую подгонку» результатов, полученных в рамках модели когезионной зоны, к экспериментальным данным:
k = S _/ Sq = 3.36,
(4)
Gf = 0.567(S0 A).
Примечательно то, что ни модель когезионной зоны Ба-ренблатта, ни модель Дагдейла не учитывают коэффициент перенапряжения 3.36 и п0 -фактор 0.567, которые появляются в уравнениях (4). Это одна из многих особенностей, учтенных в обобщенной .S'-модели, обсуждаемой в настоящей работе.
Если размер зоны течения A будет порядка величины раскрытия в вершине трещины, скажем 8t, мы можем переписать второе уравнение (4) как
J = По^ о§,). (5)
Эти уравнения, и в частности п0 -фактор в уравнении (5), будут тщательно изучены в следующих разделах этой работы. Также будет проведено сравнение с результатами других работ в этой области [8, 9]. В дальнейшем будет показано, что корректность значения п0 -фактора может определяться двумя «переменными состояния» — микроструктурными параметрами, которые определяют вид распределения когезионных напряжений.
Также можно говорить о некоторой отдаленной связи этой работы и численных моделей, предложенных в работах [10-14]. Определенное сходство связывает эту модель и с работами [15-17].
2. Распределение когезионных напряжений
Одно из основных допущений, лежащих в основе всех моделей когезионной зоны, используемых для описания неупругого разрушения, связано с видом распределения когезионных сил. Точная форма этого распределения неизвестна, но некоторые полезные сведения можно получить из экспериментальных работ по исследованию разрушения в области границ раздела [18]. В принципе, его можно получить из рассмотрения молекулярных сил между двумя соседними плоскостями атомов в процессе их разделения вдоль границы раздела.
Более полное представление о S (х1) -распределении можно получить из исследования разрушения, происходящего на границе раздела двух различных материалов, которые либо непосредственно склеены друг с другом, либо соединены тонкой связующей пленкой. Предполагается, что модель обладает двумя основными характерными чертами. Во-первых, напряжение £ должно достигать максимума на определенном расстоянии D от фронта трещины. Это максимальное напряжение Smax в некоторых случаях может быть значительно больше, чем исходное напряжение S0. Предполагается, что Smax достигается где-то внутри зоны течения (области интенсивной локализации деформаций и нарушения связей), вероятнее всего у ее внешнего края, х1 = А (рис. 1, а). Левее этой точки напряжение £ быстро падает до нуля, чтобы соответствовать условиям отсутствия напряжений на поверхности трещины в точке х1 = 0. Правее этой точки напряжение £ вновь падает и выравнивается на внешней кромке когезионной зоны, х1 = R. Это означает монотонное снижение когезионного напряжения (¿-напряжения) на небольшом расстоянии порядка размера зоны разрушения А и возникновение эффекта перенапряжения, который отсутствует в модели Дагдейла, но наблюдается экспериментально. Для того чтобы учесть такое поведение, рассмотрим двухпараметрическую, сильно нелинейную функцию, которая используется для того, чтобы представить распределение ¿-напряжений в концевой зоне. Эта функция состоит из степенной и экспоненциальной функций:
4.0
3.2
2.4
1.6
0.8
V I S(к, 2, 1) S(k, 2, 0.2) S(k, 2, 0.5) S(k, 0, 1)
: ^ \ 1 / \ : / : / : / : / : / - ■ ” : 1 ^ ;1 У— 1 X [1 / ¡1 / { / 1 / 1 / / 1 1 1 1 1 I I I I
0.2
0.4
0.6
0.8
Рис. 1. Распределение когезионных напряжений в нелинейной концевой зоне, 0 < Х1 < R (а); четыре примера возможного распределения когезионных напряжений (б)
R
exp
а
i-—
R ,
V У-1
(6)
£ (Л, п, а) = Я0 Лп ехр[ а (1 — Л)], Л = х1/ R.
Характерное ¿-распределение, описываемое этой функцией, показано на рис. 1. Символ х1 используется для обозначения расстояния до фронта трещины, R — протяженность когезионной зоны (в следующем разделе будет показано, что R имеет отношение к коэффициенту интенсивности напряжений К т), £ 0 — исходное напряжение, а и п — пока еще не определенные параметры когезионной зоны (или, если использовать терминологию термодинамики, переменные состояния). Согласно уравнениям (6) ¿-напряжения возрастают от исходного напряжения до максимального уровня £тах; это факт, который согласуется с наблюдаемым влиянием трехос-ности на локальное распределение напряжений раскрытия трещины. Легко можно показать, что максимальное когезионное напряжение достигается в точке
[ Х1 ]тах =А (7)
и оно равно
Smax S0
А
R
v J
exp
а
1-А
R
(8)
Соотношение ^А (показатель пластичности), предложенное в работах [19, 20], связано с деформацией при разрушении как
Р:
R
А
:1 + е pi/е 0.
(9)
Используя последнее уравнение и уравнение (8), получим коэффициент перенапряжения k = ¿тах /£0 как некоторую функцию показателя пластичности р. Объединяя два последних уравнения, получим
к — Р-n exp
Гр- 1 ]
a
l Р J
(10)
Чтобы определить обе константы когезионной зоны а и п, дополнительно к (10) нам потребуется еще одно уравнение. Возьмем производную от (6)
4s — S 0 nkn-1exp[a(1 -Л)] + d Л
(11)
+ ЛП (-a) exp[a(1 -Л)] и приравняем ее к нулю, что дает корень
Л—Л max — П а —А R — 1/ Р . (12)
Подставив полученное выражение в уравнение (6),
имеем
а
exp[a- n].
(13)
Разрешая относительно а, получим
а = п + 1п^ (а/ п)п ]. (14)
Комбинируя это выражение и уравнение (12), т.е. заме-
няя а на рп, будем иметь
рп - п = 1п^(а/п)п], а/п = р (15)
или
1п[kрп ] — п(р — 1) = 0, а = рп. (16)
Рис. 2. ^-кривая как функция расстояния Л (а); ^-кривая как функция раскрытия (б). Обе кривые получены для а = 2.4031 и п = 0.2403
Для заданного набора параметров материала, таких как коэффициент перенапряжения k и показатель пластичности р, теперь можно рассчитать переменные когезионной зоны а и п. Проиллюстрируем это утверждение численным примером. Предположим, что нам известны, в качестве исходных данных, эти свойства материала:
р = 10,
* = 5. (17)
Найдем константы а и п. Вначале подставим заданные значения р и k в уравнение (16). Это приводит к трансцендентному уравнению
1п[5(10)п ] - 9п = 0,
(18)
которое можно решить численно. Его корнем является п = 0.2403, в то время как другая микроструктурная константа а легко находится из второго уравнения (16):
а = рп = (10)(0.2403) = 2.4031. (19)
Итоговая ¿-кривая, полученная из уравнения (6), приведена на рис. 2, а. На рисунке 2, б показано то же самое распределение ¿-напряжений, но построенное как зависимость от величины раскрытия V. Напомним, что где-то внутри ^-зоны ¿-напряжения достигают максимальной величины 5тах.
Для того чтобы показать все эти тонкости количественно, следует подробнее рассмотреть профиль трещины в пределах ^-зоны. Этот профиль получим в виде решения смешанной краевой задачи, формулируемой как
а,
0 < X < с,
а-¿(X), с <X < а,
(20)
V (X) = 0 для X > а.
Горизонтальная ось X направлена вдоль трещины. Точка X = 0 соответствует центру трещины, точка X = с принад-
лежит вершине физической трещины, а точкаX = а (где а = с + R) обозначает вершину подросшей трещины. Заметим, что переменная х1, используемая в уравнении (6), связана с вершиной физической трещины. Таким образом, эти переменные связывает простое преобразование
х1 = X - с
или, в безразмерной форме,
х_ Я=X
Я а а
Х--
а - с
(21)
(22)
Обозначим соотношения х1/R и X/а через Л и х, а отношение С а через т и получим окончательное выражение, связывающее переменные Л и х1, а именно:
Л = -
1 - т
(23)
3. Длина когезионной зоны. ^-интеграл
Чтобы установить связь между изменением размера когезионной зоны и приложенной нагрузкой и конфигурацией образца, которая характеризуется коэффициентом интенсивности напряжений, используем граничные условия (20) и зададим условие конечности для растущей трещины в следующем виде:
0 = Ктот(а, £) = 2
[а
Мґа
р( X ^ X = 4а 2 - X2
I-
а d X
I
а- 5 (X ^ X п 1 0 Vа 2 - X2 С л/а2 - X2
п а - 5 (X М X
а
Л г
Т + !-
I 2
л/а -
Если распределение напряжений S(X) нормируется исходным когезионным напряжением £ 0, скажем S(X) = = £0G(X), тогда уравнение (24) сводится к
и
Q=1
G (X ^ X = па
УІа 2 - X2 ’ 250
(25)
Если переменную Xзаменить на х1, X = х1 + с, уравнение (25) имеет вид:
Я
Q=1
G( х^ х1
0 д/а2 - (х1 + с)2
или
Q=1
G(Л)(1 - m)d X
о д/1 - [(1 - т)Х + т]2
(26)
(27)
В дальнейшем ограничимся рассмотрением случая Я << с, или т ^ 1. Это ограничение имеет отношение к условию «маломасштабной текучести», которое используется в анализе разрушения квазихрупких тел. В этом предельном случае, если рассматривать (1 - т) в качестве малой величины, интеграл в уравнении (27) можно свести к виду:
№)]
т ^1
(28)
Заменяя (1 - т) на Я/с и используя определение функции ^(Л) в соответствии с уравнением (6), получим
а (т)=,Я Гх" ехр[аа- Х)их.
V 2с 0 л/1 -X
(29)
Если интеграл в этом выражении обозначить как Ж (диссипация энергии), можно записать его в конечном виде:
Ж(а, п) =
1
г(3/2 + п) (30)
х[л/п ехр(а)Г(п +1)+1^1(1 + п, 32 + п, - а)].
Здесь используются стандартные обозначения для гамма-функции Г и гипергеометрической функции 1^. Численный расчет интеграла Ж(а, п) не представляет проблем. На рисунке 3 приведен расчет для ^-интегра-ла, определяемого уравнением (29). Для сравнения рядом приведены точные графики. Эти кривые построены с помощью уравнения (26) и справедливы для произвольных величин т. Для представленного на рис. 3 диапазона изменения т наблюдается необычайное совпадение результатов. Рассматриваемому здесь диапазону изменения т, 0.7 < т < 1, соответствует изменение полу-длины трещины от нуля до 43 %.
0.795
0.663
0.531
0.398
0.266
0.133
чЧ СЮ(т)
Р0(т)
**♦^4 (Ж(т)
- рК(т)
- 4
\ \ : '""-Л
і і і і і і , , ,\
0.700 0.756
0.812 0.868
0.924
пл
Рис. 3. Точные ^-интегралы (обозначены прописными буквами) и интегралы, полученные в приближении маломасштабной текучести, (обозначены строчными буквами); модели Дагдейла (D) и Кнаусса (К)
Теперь в центре нашего внимания находятся два случая распределения S-напряжений, а именно:
1. модель Дагдейла, а = п = 0;
2. модель Кнаусса, а = 0, п = 1.
Первая из этих моделей применима для описания вязкого разрушения, вторая связана с хрупким разрушением. Интересно, что интеграл Q можно вычислить в конечном виде для обоих случаев. Для произвольного т получим:
1 - т
Дагдейл, , Кнаусс
(31)
№)],
т ^1
д/2(1 - т), Дагдейл,
2і--------- (32)
— д/2(1 - т), Кнаусс.
Далее, заменяя произведение соотношением
К1/50, получим
=-ЛКг = 4яж (а, п).
(33)
Это выражение позволяет связать длину Я с энергией диссипации Ж(а, п) и коэффициентом интенсивности напряжений Кт. В итоге имеем
Я (а, п) =
2Ж2 (а, п)
К
2
(34)
Покажем, как работает эта формула, используя два предельных случая I и II. Легко видеть, что интеграл Ж сводится к виду
п
Таблица 1
Коэффициент преобразования в(а, п) в зависимости от параметров когезионной зоны а и п
\ а \ 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
0.0 0.3927 0.367044 0.34244 0.31891 0.29643 0.27501 0.25465 0.23534 0.21707 0.19981 0.18356
0.1 0.44105 0.41398 0.38792 0.36288 0.33885 0.31586 0.29389 0.27295 0.25303 0.23412 0.21622
0.2 0.48967 0.461336 0.43396 0.40756 0.38213 0.3577 0.33426 0.31181 0.29036 0.26991 0.25045
0.3 0.5385 0.509028 0.48047 0.45283 0.42613 0.40037 0.37558 0.35175 0.32888 0.30699 0.28607
0.4 0.58749 0.556994 0.52736 0.4986 0.47073 0.44377 0.41773 0.39262 0.36845 0.34521 0.32292
0.5 0.63662 0.605189 0.57457 0.54479 0.51586 0.4878 0.46061 0.43431 0.40892 0.38444 0.36087
0.6 0.68585 0.653575 0.62207 0.59135 0.56144 0.53236 0.50412 0.47673 0.45021 0.42456 0.39981
0.7 0.73518 0.702124 0.6698 0.63822 0.60742 0.5774 0.54818 0.51978 0.49221 0.46549 0.43962
0.8 0.78458 0.750813 0.71773 0.68537 0.65373 0.62285 0.59273 0.56339 0.53485 0.50712 0.48021
0.9 0.83405 0.799622 0.76585 0.73276 0.70036 0.66867 0.63772 0.60757 0.57806 0.54939 0.52151
1.0 0.88357 0.848536 0.81412 0.78035 0.74725 0.71482 0.68309 0.65207 0.62178 0.59224 0.56345
Ж =
і лА—а ■ АёА, і лЛ — А
= 2, случай I,
= 4/3, случай II,
(35)
а это приводит к хорошо известным результатам
Я» =
Як =
\
п
V8,
9пЛ
32
V У
(К ,/50)2 = 0.3927( к ,/ So)2,
(К :/ 5о)2 = 0.8836( К,/ 5 о)2.
(36)
В таблице 1 приведены результаты, полученные численно для коэффициента |3(а, п), который можно использовать, чтобы преобразовать соотношение (Кт/£0) в длину R, используя формулу
в(а, п) = - Ж_ 2 (а, п).
(37)
Изменения коэффициента в в некотором диапазоне изменения а и п приведены в таблице 1 и на рисунке 4. Следует отметить, что в момент начала разрушения, когда К достигает критической величины К1С, длина R принимает свое максимальное значение
Я =
Ятах
К
іс
(38)
Эта величина рассматривается как свойство материала. Действительно, если делается поправка на влияние трехосности, то длина ^тах может использоваться в качестве характерной длины материала, находящегося в определенном напряженном состоянии.
4. Раскрытие трещины в пределах когезионной зоны
Чтобы решить смешанную краевую задачу, определенную уравнениями (20), воспользуемся методом ин-
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
і і \
^ ^ і і і і і і (3(0, п, 0.9) (3(4, п, 0.9) Р(1,п, 0.9) І І I
0.2
0.4
0.6
0.8
Рис. 4. Коэффициент преобразования в(а, п, т) как функция параметров п (а) и а (б)
п
тегральных преобразований Снеддона [21]. Поскольку Снеддон использовал в качестве переменной х, а не А, следует переписать уравнение (6) следующим образом:
о/ ч і х —т
5 (х, а, п, т) = |-------------------| ехр
1 — т
а
1—х
1—т
(39)
т < х < 1.
Следующий шаг требует вычисления вспомогательной функции
F(t, а, п, т) = Q(а, и, т) + |
5(и, а, п, т)
П2 2
■уі — и
йи,
(40)
т < і < 1.
Затем эта функция подставляется в интеграл Снеддона, описывающий раскрытие в концевой зоне,
^ ч ^ 1 F(і, а, п, т)і .
V(х, а, п, т) = С01-------, — йі:
/.2 2 х \і — М
(41)
= Со
ТГТ^а, п, т) — } п,т)і йі
х У І2 — х2
Здесь С0 = (4£ 0 а/ пЕ) — константа, а вспомогательная функция Fl определяется следующим образом:
F1 (і, а, п, т) = |
5(и, а, п, т)
Гг Г
•уі — и
йи.
(42)
Опуская довольно громоздкие выкладки численного метода (см. Приложение А), продолжим обобщение существенных результатов. Прежде всего, отметим, что можно получить решения в конечном виде для двух предельных случаев, описываемых моделями Дагдейла и Кнаусса. При маломасштабной текучести (т ^ 1), используя безразмерную координату А, эти решения можно записать как
V (А) = ■45оа|и(1 — т)[/ пЕ
А1 1 + V1 — А
— — 1п
1 — V1 — А
1 — А —
случай I,
(43)
Л Л 450а I л ч V (А) = —— \ т(1 — т)
пЕ I
■Л
А2 , | 1 + л/ 1 — А
— — 1п
случай II.
Функции от т, появляющиеся перед круглыми скобками в уравнении (43), являются «остатками» следующих выражений, справедливых для произвольной величины т:
С(0, 0) = т 1п| — |, случай I, т
С(0,1) = т
т +1
1—т
т
(44)
случай II.
Удобно использовать нормированную величину раскрытия трещины vn (А) = V(А)/^¡р . Поскольку vtip получено из уравнения (43) при А = 0, имеем необходимые константы для обоих случаев
45 0 Я пЕ
(45)
Используя эту константу для определения нормированного раскрытия в нелинейной зоне Я, придем к окончательной форме уравнений, описывающих профиль трещины в когезионной зоне, а именно:
А
л/1 —А ——1п 2
1 + лЯ—А 1 — •>/ 1 —А
= Л 0 (А),
л/1 — А| 1 —
А
— *1п
4
1 + У 1—А 1 — лЯ—А
(46)
= Л1(А).
Обе функции, заданные уравнением (46), приведены на рис. 5. Численные данные, полученные для других комбинаций параметров когезионной зоны а и п, наводят на мысль о том, что функции Л0 и Л1 могут использоваться как «координатные функции» в общей интерполяционной формуле, которая учитывает все существенные результаты, полученные в этой работе. Предложенное приближенное выражение имеет вид:
vn (А, а, п) = [Л1(А)](а+п) —
а +1
п —1 а +1
[Л0(А)](а+1).
(47)
Легко видеть, что эта форма сводится к Л0 (А) при а = = п = 0 и к Л1 (А) при а = 0, п = 1. Промежуточные значения находятся в ограниченном интервале изменения параметров когезионной зоны а и п, каждый из которых меняется в интервале (0, 1). Следовательно, для значений этих параметров, лежащих вне указанных интервалов, следует использовать интеграл Снеддона, определяемый уравнением (4). Никакого общего решения в конечном виде, справедливого для произвольного распределения ¿-напряжений (т.е. для любых а и п), не найдено.
Рис. 5. Профили распространяющейся трещины в концевой зоне для четырех случаев: 1 — модель Дагдейла; 2 — модель Кнаусса; 3 — а = 2, п = 0.2; 4 — а = 2.4031, п = 0.2403. Все кривые построены, используя уравнение (47)
5. Удельная работа разрушения
Как и во всех других моделях когезионной зоны, скорость локальной диссипации энергии, или так называемая энергия разделения, приписываемая разрушению, вычисляется с помощью следующего интеграла:
Gf(a, n) ■
:2j 5 (x,)
0
dv (x,)
dx,
d x1.
(48)
Поскольку производная от V по х1 сингулярна в точке х1 = 0, уравнение (48) следует видоизменить, используя интегрирование по частям. Получим
Gf (a, n) = -2[ (x,)v (x,)]] +
+ 2
R
J v(x,)
dS ( x1) dx,
(49)
d x,
Для классической модели Дагдейла имеем S (xx) = S 0 = = const, а значит, второй член равен нулю, в то время как первый член 2S0vtip, как и предполагалось, идентичен У-интегралу. Однако для модели Кнаусса распределение S (xj) = (xj R) S0 равно нулю в точке Xj = 0, тогда как v(R) = 0, следовательно, исчезает первый член. В результате имеем
І Ґ о \
5о
VRy
f(a, П) = 2vtip |Л!(Я)
о
1
= 2S0 vtip J Л1 (X)dX
R d A:
или
Gf (a, n) = [n(a, n)](a=о, n=1) J = 0.4444 • J.
(50)
(51)
Символ J используется для интеграла Райса, причем поправочный коэффициент п зависит от конкретного выбора параметров когезионной зоны а и п. В общем виде выражение для поправочного коэффициента записывается как
1
П(а, п) = | Vп (А, а, п, т)/ (А, а, п^А, (52)
0
где символ vn обозначает нормированное раскрытие трещины, Vп (А) = V (Ау Vйр , а /ДА) — размах ¿-распределения:
fs(A ) =
1 dS{X) =An-1[n -aA]exp[a(1 -X)]. (53)
d A
Коэффициент п является безразмерной величиной и легко отождествляется с «вездесущим эта-фактором», (см. работы Тернера1 [8, 9] и Внука с соавторами [22]. На рис. 6 приведена теоретическая зависимость эта-фактора от а и п.
Напомним, что для модели Кнаусса, если а = 0 и п = 1, безразмерный размах / равен единице и тогда выражение для п-фактора сводится к следующему виду:
11 П = | vn (А, 0,1, т)й А = |л1 (АМ А = 1/2.25. (54)
00
Такая величина п0 использована в уравнении (51).
В завершение отметим, что большое число экспериментальных исследований вязкого разрушения, проведенных в последние годы, позволило создать численную базу данных для п0 -фактора. Эти данные в сочетании с предложенной в этой работе моделью можно использовать в качестве связующего звена между макро- и микрохарактеристиками материала в процессе деформации и разрушения. Уравнение (52) можно использовать как вполне убедительную проверку адекватности предложенного распределения когезионных напряжений.
В некоторых моделях когезионной зоны [23] величина £ не равна нулю в точке х1 = 0, а равна некоторой постоянной величине £ * (в чем-то аналогичной £ тах в настоящей работе). В этом случае удельная работа разрушения, согласно уравнению (49), записывается следующим образом:
1 Согласно определению Тернера «вездесущий п-фактор» определяется выражением J = п и/ВЬ, где и — общая работа, затраченная во время испытаний; В — ширина образца и Ь — расстояние от вершины трещины до края образца. Коэффициенты п0 и п взаимосвязаны; к сожалению, это соотношение зависит от геометрии и способа нагружения. Например, в случае образца на трехточечный изгиб это соотношение записывается как п0 = п^/4г, где L — коэффициент стеснения при пластичности, а г — коэффициент поворота. Во многих экспериментальных исследованиях величина п-фактора приблизительно равна 2 для образцов с глубоким надрезом, работающих на изгиб, и 2.2 для образцов на компактное растяжение.
Рис. 6. Эта-фактор как функция экспоненты п для трех значений параметра когезионной зоны а = 0, 0.5, 1
Gf = 2v tip S* + 2v tip Sо J Vn (X, a, n, mfX, a, n)d X(55)
или
Gf =no(a, n) J + 2vtipS*
(56)
Здесь, в дополнение к мультипликативному члену п 0 , корректирующему J-интеграл, появляется новый член 8 йр £ *. Однако этот случай будет рассмотрен в другой работе.
В заключение более подробно рассмотрим два физически важных предельных случая, касающиеся возникновения вязкого и хрупкого разрушения. Вооружившись нашей моделью когезионной зоны с «тонкой структурой», мы должны обнаружить четко выраженное отличие между соответствующими значениями удельной энергии разрушения для этих предельных явлений.
Прежде всего напомним [20], что для хрупкого тела А и Я сливаются в одну величину, скажем А. Для вязкого тела справедливо обратное, здесь зона течения мала по сравнению с протяженностью всей когезионной зоны Я, тогда отношение А, которое служит мерой плас-
тичности, много больше единицы. Теперь используем полученные сведения, чтобы вычислить энергию разделения:
4 Sо R nE
R
4SоД ,0 ,
= П brittle ^ = П brittle (2YX
nE
^ductile _ e
Gf “ '1 ductile S о
4Sо R
nE
(57)
R >>Д
4Sq Д IT R nE Д
Скомбинировав эти два выражения, получим
frtik = T1ductile (2у )(j + g pl Д 0 ).
П brittle
(58)
Заметим, что отношение А заменено на (1 + 8р1/80), в то время как член 4£^А/пЕ исключен, используя первое уравнение из (57). Уравнение (58) означает, что энергии разделения для обоих случаев, как хрупкого
brittle
, так и вязкого (3^исЫе разрушения, фактически связаны простым линейным соотношением. Для оценки п0 -фактора, который появляется в уравнении (58), будем использовать модель Дагдейла для вязкого разрушения и модель Кнаусса в случае хрупкого разрушения. В этом процессе, для обобщения оценки, влиянием трехосности пренебрегаем. Из предыдущего раздела имеем:
(59)
П ductile 1
П brittle = (2.25)-1 = 0.4444.
Эти значения с учетом уравнения (58) приводят к прос
тому результату:
ductile
= 2.25(1 + е р1/е 0)(2у).
Отчетливо видно, что коэффициент растяжения
(60)
MFr
ductile/brittle
+ єpl/є о),
П brittle (61)
2.25(1 + єp1 /єо), оценка
много больше единицы. Ясно, что этот коэффициент не является просто константой материала, он также зависит от степени трехосности во фронте трещины. Полученные экспериментально значения соотношения
G ductile /r'tbrittle m лл 1 с
f / G f [7] варьируются в пределах от 20 до 15 в ходе квазистатического роста трещины, наблюдаемого для С(Т)-образцов (для которых параметр трехосности T равен примерно 3). В то же время, они заметно увеличиваются для идентичных испытаний с М(Т)-образ-цами, где параметр трехосности равен всего лишь 1.9. Увеличение коэффициента растяжения MF при таком уменьшении величины параметра трехосности было довольно заметным, оно изменялось от 100 до 40 при ква-зистатическом распространении трещины в М(Т)-об-разцах. В этих экспериментах наблюдалось монотонное уменьшение коэффициента растяжения с момента устойчивого роста трещины. Этот факт находится в хорошем согласии с теоретическими исследованиями, включающими так называемый «эффект экранирования» [24-26].
В заключение приведем следующее замечание. В первых модификациях теории Гриффитса типа Ирвина-Орована [27] исходное уравнение Гриффитса подверглось корректировке, которая схематически показана ниже
ПС
2Ey 2E(у + p) _ 2Ep
ПС
ПС
(62)
а crit
В то время никто не оспаривал отбрасывание поверхностного натяжения у в виду его малости по сравнению с «пластической работой» р. Тогда никто не подозревал, что эти две величины в действительности связаны. По-
сколькуp есть ни что иное как 0.5Gductile, а у идентично
о.5&
brittle
то, посмотрев на уравнение (60), любой убе-
дится, что р пропорционально у. Следовательно, полагая у равным нулю, мы делаем недействительной в целом модифицированную теорию Гриффитса, так как в этом случае р также будет равно нулю, что необоснованно приводит к нулевым критическим напряжениям.
Приложение А
Для двух предельных случаев, которые соответствуют моделям Дагдейла и Кнаусса, можно точно вычислить ^-интегралы, вспомогательные функции F и нормированное раскрытие в когезионной зоне. Эти решения затем используются в качестве «эталона» для проверки точности численного интегрирования, используемого в процессе вычислений.
Вид этих решений достаточно громоздок, но в приближении маломасштабной текучести он значительно упрощается. Рассмотрим некоторые из них.
Модель Дагдейла
Примем, что а = п = 0, тогда из уравнения (6) получим постоянное ¿-распределение, £ = £тах для всех значений А. Таким образом, ^-интеграл, определенный уравнением (25), сводится к
Q(m) = cos 1(m).
(А1)
Подставляя полученное выражение в (40), получим вспомогательную функцию
F(t, о, о, m) = cos l(m) - cos 1(m/t).
(А2)
Если подставить это выражение в модифицированное уравнение (41), получим уравнение раскрытия трещины в интервале изменения А от 0 до 1:
. , 4ЯоR I . f 1
v(X, m) =1 —о— m lnl — |х nE I I m
(A3)
х -j m tgh 1
1 -X2 + m(1 -X)2
1 + m
+ zLG(X, m)!
где
z = m + X(1 - m),
LG(X, m) = ln
VZ2^
m
zV 1 - m2 + mV1 - z2
(A4)
Приближенная форма выражения в конечном виде, справедливого для условия маломасштабной текучести,
[v(X, m)]
ASR. nE
x-j Л(X) - — ln
1 + Л(X) 1-ЛМ
(A5)
где Л(А) = V1 - А2.
Соответствие между точной формулой (А3) и приближением (А5), полученным в предположении о маломасштабной текучести, оказалось настолько большим, что линию на рис. 3, которая представляет оба результата, сложно разделить на две различные кривые. Когда т достигает единицы, оба результата практически неразличимы.
Модель Кнаусса
Для модели Кнаусса возьмем а = 0, п = 1 и выполним описанную выше процедуру. Точная формула для ^-ин-теграла имеет вид:
Q(m) =
VT-
m - m cos
4(m)
1-m
о < m < 1.
(А6)
F-функция определяется как
F(t, о, 1, m) =
1
л/Т-
m2 - m cos 1(m)
1 - m
1-m
4s~-
2 -1f m
m - m cos 1
t
(A7)
Отметим, что т < і < 1, в то время как 0 < т < 1. На первый взгляд может показаться, что Q становится сингулярным при т ^ 1, но разложение в ряд Тейлора при т ^ 1, дает
[Q(m)]
2л/2
л/1-
m +_
(А8)
записывается как
Таким образом, функция Q(m) и вспомогательная функция F(t, 0, 1, m) работают нормально, так как обе они достигают нуля, когда m достигает единицы. Точные выражения для величины раскрытия трещины в когезионной зоне в виде функции от А и m достаточно громоздки. А поскольку они уже опубликованы в работах [28-30], то приводить их здесь нет никакого смысла.
Литература
1. Barenblatt G.I. Mathematical theory of equilibrium cracks in brittle fracture // Advances in Applied Mechanics. - Academic Press, 1962. -V. 7. - P. 55-79.
2. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits // J. Mech. Phys.
Solids. - 1960. - V. 8.
3. WnukM.P. Quasi-static crack extension of a tensile crack contained in a visco-elastic-plastic solid // J. Appl. Mech. - 1974. - V. 41. - P. 234242.
4. Rice J.R., Sorensen E.P. Continuing crack-tip deformation and fracture
for plane-strain crack growth in elastic-plastic solids // J. Mech. Phys. Solids. - 1978. - V. 26. - P. 263-286.
5. Rice J.R., Drugan W.J., Sham T.L. Elastic-plastic analysis of growing cracks // ASTM STP 700. - Philadelphia: ASTM. - 1980. - P. 189— 221.
6. Goodier J.N., FieldF.A. Plastic energy dissipation in crack propagation // Fracture of Solids / Ed. by D.C. Drucker. - New York: John Wiley and Sons, 1963.
7. Siegmund T., Brocks W. The role of cohesive strength and separation energy for modeling of ductile fracture // ASTM STP 1360. - 2000. -P. 139-151.
8. Turner C.E. A re-assessment of ductile tearing resistance. Part I. The Geometry dependence of J-R curves in fully plastic bending. Part II. Energy dissipation rate and associate R-curves on normalized axes” / / Proc., Fracture Behavior and Design of Materials and Structures, 8th European Conf. on Fracture / Ed. by D. Firrao. - EMAS, Warley, UK, 1990. - P. 933-949, 951-968.
9. Turner C.E. Ubiquitous eta factor in ductile fracture // George R. Irwin Symposium. - Indianapolis, 1996. - P. 107-122.
10. Xia L., Shih C.F, Hutchinson J.W. A computational approach to ductile crack growth under large scale yielding // J. Mech. Phys. Solids. -1995. - V. 42. - P. 21-40.
11. Needleman A. An analysis of decohesion along an imperfect interface // Int. J. Fracture. - 1990. - V. 42. - P. 21-40.
12. Tvergaard V., Hutchinson J.W Effect of strain-dependent cohesive zone model on predictions of crack growth resistance // Int. J. Solids and Structures. - 1996. - V. 33. - Nos. 20-22. - P. 3297-3308.
13. Kolednik O., Shan G., Fisher F.D. The energy dissipation rate — a new tool to interpret geometry and size effects // Fatigue and Fracture Mechanics, ASTM STP 1296 / Eds. by R.S. Piascik, J.C. Newman, N.E. Dowling. - 1997. - V. 27. - P. 126-151.
14. Tvergaard V, Hutchinson J.W Effect of T-stress on mode I crack growth resistance in a ductile solid // Int. J. Solids and Structures. -1994. - V. 31. - P. 823-833.
15. Tvergaard V. Relations between crack growth resistance and fracture process parameters under large scale yielding // Nonlinear Analysis of Fracture / Ed. by J.R. Willis. - Kluwer Academic Publishers, 1997. -P. 93-104.
16. Gao H., Klein P. Numerical simulation of crack growth in an isotropic solid with randomized internal cohesive bonds // J. Mech. Phys. Solids. - 1998. - V. 46. - No. 2. - P. 187-218.
17. Faleskog J., Shih C.F Micromechanics of void coalescence. I. Synergetic effects of elasticity, plastic yielding and multi-size-scale voids / / J. Mech. Phys. Solids. - 1997. - V. 45. - No. 1. - P. 21-50.
18. Hutchinson J. W. The role of plasticity in toughening of ductile metals and interfaces // Seminar at Northwestern University in the series “Co-lloquia on Modern Mechanics”, March 1997, Evanston, IL, 1997.
19. Wnuk M.P, Mura T. Comparative study of models for quasi-static tensile fracture // Special Volume on Recent Contributions to Mechanics of Solids / Ed. by Eringen. - 1981.
20. Wnuk M.P, Mura T. Effect of microstructure on the upper and lower limit of material toughness in elastic-plastic fracture // J. Mech. of Materials. - 1983. - V. 2. - No. 1. - P. 33-46.
21. Wnuk M.P Mathematical modeling of nonlinear phenomena in fracture mechanics / Ed. by M.P. Wnuk. - CISM Colloquia Series, Springer Verlag, 1990. - P. 359-451.
22. Wnuk M.P, Omidvar A., Choroszynski M. Relationship between the CTOD and the J-integral for stationary and growing cracks. Closed form solutions // Int. J. Fracture. - 1998. - V. 87. - P. 331-343.
23. Hunsacharooj F. Resistance curves in ramberg - osgood strain hardening solids // Unpublished Ph.D. Thesis. - U. of Wisconsin - Milwaukee, 1987.
24. Broberg K.B. On the treatment of the fracture problem at large scale yielding // Proc. of Int. Conf. “Fracture Mechanics and Technology” / Eds. by G.C. Sih, C.L. Chow. - 1977. - V. 2. - P. 837-859.
25. Broberg K.B. Cracks and fracture. - Academic Press, 1999.
26. Wnuk M.P, Read D. Essential work of fracture vs. energy dissipation rate in plane stress ductile fracture // Int. J. Fracture. - 1986. - V. 31.-P. 161-171.
27. Yokobori T. Strength, fracture and fatigue of materials. - The Netherlands, Noordhoff, Groningen, 1965.
28. Ungsuwarungsri T, Knauss W.G. The role of delayed-softened material behavior in the fracture of composites and adhesives // Int. J. Fracture. - 1987a. - V. 35. - P. 221-241.
29. Ungsuwarungsri T., Knauss W.G. A nonlinear analysis of equilibrium craze. Part I. Problem formulation and solution // J. Appl. Mech. -1987A. - V. 110. - P. 44-51.
30. Ungsuwarungsri T., Knauss W.G. Part II. Simulation of craze and crack growth // Ibid. - 1987. - P. 52-58.
