Неустойчивость на ранних стадиях вязкого разрушения Текст научной статьи по специальности «Физика»

Неустойчивость на ранних стадиях вязкого разрушения

А. Рузбехани, М.П. Внук

Висконсинский университет, Милуоки, WI 53201, США

В идеально-хрупких телах существующие трещины либо остаются стационарными, либо (при некотором критическом уровне нагрузки) становятся неустойчивыми, что приводит к необратимому процессу катастрофического разрушения. Однако для тел, обладающих определенным запасом пластичности, характерна другая последовательность событий. Полную неустойчивость, равносильную глобальному разрушению, предваряет сигнал «раннего оповещения» в виде медленного роста трещин, называемого «докритическим» или «квазистатическим» ростом. Эта фаза может рассматриваться как проявление локальной неустойчивости в материале при деформации или нарушении связности. Итоговая вязкость разрушения, достигаемая в ходе этого процесса, не является более свойством материала. Она ограничивается нижним Кы и верхним Kss пределами переменной вязкости Kr, определяемой R-кривой сопротивления материала, и ее точное значение необходимо определять с помощью анализа перехода от устойчивого к неустойчивому росту трещины. Из этого анализа, кроме того, можно определить скорости подвода и поглощения энергии и вариации второго порядка этих энергий.

В данной работе предложен математический аппарат, позволяющий предсказывать подобные переходы при неупругом разрушении образцов различной геометрии для типичных конфигураций трещины. Показано, что необходимы дальнейшие исследования, которые целесообразно сфокусировать на R-кривой, учитывающей геометрию и размерные эффекты, наблюдаемые при сравнении данных об остаточной прочности больших и малых конструкций с трещинами.

Instabilities in early stages of ductile fracture

A. Rouzbehani and M.P. Wnuk

Department of Civil Engineering and Mechanics, University of Wisconsin, Milwaukee, WI 53201, USA

In perfectly brittle solids pre-existing cracks either remain stationary, or — at a certain critical load level — they become unstable leading to an irreversible process of catastrophic fracture. For solids endowed with a certain amount of ductility, though, a different sequence of events emerges. The terminal instability, tantamount to global fracture, is now preceded by an “early-warning” signal given off in the form of slow crack growth referred to as “subcritical” or “quasistatic” crack extension. This phase may be considered as manifestation of the local instability occurring within material subject to the deformation and decohesion process. The terminal fracture toughness attained during this process is no longer a material property. It is bracketed by the lower and upper bounds (K . and K , respectively) of the variable toughness, Kr, determined by the material resistance R-curve, and its precise value has to be established by an analysis of the transition from stable to unstable crack growth. The analysis involves, in addition to the rates of energy demand and supply, the second order variations of these energies.

In this work a mathematical procedure is proposed in order to predict such transitions occurring in non-elastic fracture for various specimen geometries and typical crack configurations. It is pointed out that further studies are needed and that they ought to focus on a geometry dependent R-curve, which would account for the correct trends in the size effects observed when the data concerning the residual strength of cracked structures are compared for small and large dimensions.

1. Прогнозирование полной неустойчивости при вязком разрушении

На ранних стадиях разрушения в неупругих материалах процессы деформации и разрушения происходят между двумя четко различимыми границами. Первая граница определяет момент страгивания трещины (кри-

вая А, рис. 1, а), вторая соответствует началу катастрофического роста (кривая В, рис. 1, а). Верхняя кривая С представляет данные для верхнего уровня вязкости разрушения материала, соответствующие установившемуся процессу квазистатического роста трещины. Для традиционно используемых образцов такой уровень до-

© Рузбехани А., Внук М.П., 2005

стигается редко, однако это возможно для геометрии образцов с нулевым K-градиентом.

Чем пластичнее материал, тем больше расстояние между тремя линиями, показанными на рис. 1, а. Нижняя кривая строится как геометрическое место точек с постоянной величиной вязкости разрушения в момент страгивания трещины, K ini = const. Для построения верхней кривой используется аналогичное уравнение Kss = const, где величины вязкости разрушения в момент страгивания трещины Kini и при установившемся росте трещины Kss рассматриваются как свойства материала, определяемые с помощью кривой сопротивления материала. Среднюю кривую, напротив, нельзя рассматривать просто как геометрическое место точек; она учитывает геометрию образца с трещиной и вид внешнего нагружения. Таким образом, кривая B сильно зависит от геометрии, и каждая точка на кривой определяется в результате довольно трудоемких вычислений. Все фазы раннего неупругого разрушения представлены на рис. 1, б, где показана зависимость внешней «равновесной» нагрузки от текущей длины трещины.

Отметим также, что в случае идеально хрупкого разрушения, подобного рассмотренному Гриффитсом [1], все три кривые A, B и C сливаются в одну кривую, описываемую хорошо известным уравнением K c = const. При этих условиях трещина либо остается стационарной, либо происходит катастрофическое распространение трещины. Предварительная фаза устойчивого роста отсутствует.

Для построения средней кривой на рис. 1, а необходимо учитывать соотношение скоростей поглощения и подвода энергии в ходе устойчивого роста трещины. Кроме того, для математического описания перехода от устойчивого к неустойчивому росту трещины необходимы вторые вариации этих энергий. В качестве подхо-

дящей величины, описывающей эти скорости, мы выбрали длину Я когезионной зоны при вершине движущейся трещины. Согласно когезионной модели квази-статической трещины [2] эта величина прямо пропорциональна трещинодвижущей силе О или 3:

G = -

дП

~д£ ’

(1)

где П — полная потенциальная энергия системы, состоящей из тела с трещиной и приложенного набора внешних сил; 1 — длина трещины (для плоского образца с центральной трещиной 1 = 2а). В когезионной модели трещины принято считать, что

R = -

■ GE

8

(2)

Здесь сту — локальное значение предела текучести на фронте трещины; Е — модуль Юнга. Коэффициенты пропорциональности, отличные от %/ 8, рассмотрены в работе [3], где показано, что особый выбор распределения когезионных напряжений определяется выбором мезомеханических параметров.

Чтобы определить условия, которые контролируют устойчивый рост трещины вплоть до момента полной неустойчивости, будем использовать следующие производные:

dR

da

dR

da

= fog

app!

R/Rin:

app!

Q=const

d_

da

(3)

(4)

До тех пор пока скорость поглощения энергии, определяемая (dЯ/da)mat, выше скорости подведения, задаваемой уравнением (4), мы имеем дело с устойчивым

mat

а=const

Кп= СйП1|

Hiwiitaii naymSMrtiKtbH Нижчрй грплап

(нвы?п0 yrr-nfr-iHocim раэ^укки'ид ■

Длина грещльы а

С>

3

^ 5.5! ?

£ : jb

ai:

я

I

a«)

Фал угтй№шНпи

В тесте С »ОчТрОРУфуЧЧЫ*

4iUCTn*-ii!Rgr7T(H

ч

Начало уггтанчлвдго роста тше^лимы

2 1 5 Э Ю

БОДОЩртО* улл^чпмис трпщу-.ы X

Рис. 1. Верхний предел, итоговая неустойчивость и нижний предел для случая устойчивого роста трещины (а). Тонкие кривые — зависимость внешней нагрузки от текущей длины трещины. Фазы начальной стадии процесса разрушения в неупругом теле (б). Представленная кривая рассматривается как 2-кривая. Она показывает внешнюю нагрузку, которая находится в равновесии с растущей трещиной длиной а в фазе роста, при которой dQ|da положительно. Соответствующие параметры: т = 3, а0 = 10Я^, геометрия образца — бесконечная плита с центральной трещиной

ростом трещины, как это видно на так называемой Q-кривой, соединяющей кривые А и В (рис. 1, а). Символ Q представляет безразмерный параметр нагружения:

Q =

2стЛ

(5)

где о — внешнее приложенное напряжение. Здесь Q — некоторая, пока неизвестная функция текущей длины трещины а, которая рассматривается как «равновесная нагрузка» в задаче о квазистатической трещине. Комбинируя определение (5) со стандартной формулой для коэффициента интенсивности напряжений

(6)

и используя безразмерные переменные

К

- = У, —

КК

----= ю (относительное удлинение),

К1П1

а = X Ь ю ’

запишем уравнение (4) в виде:

(7)

дУ_

дХ

—=сопэ, _д_

дХ

= — \У 1

дх —=с0ш,;

X Q2( X )Ф2 (Х

2 ) ю

—2^ + Х Q2(2ФФ').

(8)

Поскольку выше выражение в квадратных скобках равно У (безразмерная переменная вязкость разрушения материала), мы можем записать (8) в следующем виде:

т =

аррі

щ = у+2уФ

ЗХ&арр1 X Ф

(9)

Здесь символ Ф' означает производную (Ф/(Х коэффициента формы Ф по безразмерной длине трещины X. Выражение (9) можно непосредственно сравнить с уравнением (3), записанным в безразмерной форме:

Тта‘ =( <Х "та, = 2і0§ і У

(10)

Параметр «увеличения» вязкости разрушения т определяется как отношение верхнего и нижнего пределов переменной вязкости разрушения

т = ■

К

К1п

(

К

(11)

Дифференциальное уравнение (10) определяет так называемую «универсальную» Я-кривую сопротивления материала, не зависящую от геометрии, предложенную Внуком [4] и независимо Райсом и Соренсеном [5]

и немного позднее Райсом и др. \6]. Три кривые, получаемые в результате численного интегрирования уравнения (10), показаны на рис. 2. Видно, что форма этих кривых зависит от свойств материала, особенно от К1п1 и параметра увеличения вязкости разрушения т = = К^ /К1п1. Все кривые, показанные на рис. 2, являются «универсальными» и представляют такую характерную черту материала, которая в условиях маломасштабной текучести не зависит от геометрии. Мы намерены показать, что такой результат может оказаться не всегда корректным и поэтому его следует рассматривать как грубое приближение рассматриваемой задачи.

Условие существования устойчивого роста трещины можно теперь выразить в форме неравенства

6Х

дУ_

дХ

аррі

или

1, * т" У _Ф'

-1оя| — |> — + 2У—.

2 ) У & X Ф

(12)

(13)

В качестве альтернативы мы можем определить безразмерную функцию

Х(У, т, Х0, ю) = 2^

- У - 2У

У & Х

Ф.

"ф '

(14)

Отметим, что при положительном X трещина распространяется в устойчивом режиме в условиях контролируемой нагрузки. Другими словами, положительное значение X гарантирует положительный наклон dQ/(X, и мы имеем дело с восходящей ветвью Q-кривой, показанной на рис. 1, б. В точке максимума такой Q-кривой, когда dQ/dX равно нулю, трещина становится неустойчивой и ее распространение невозможно более контролировать изменениями внешней нагрузки.

Будем рассматривать функцию X в качестве «показателя устойчивости». Она зависит от набора переменных,

Рис. 2. Я-кривые сопротивления материала согласно уравнению (10). Кривые геометрически независимы и их форма определяется только свойством материала — параметром увеличения вязкости разрушения т

а

Ь

>

та,

т

О

Я

£0.4й--------------------------------------------------

| '

5 я 36-------------------------------------------------

Я 10 11 и 13 й Е*

® Б&]рй5ИегЭкая ДЛИН0 трнщиш Я

Рис. 3. Q-кривые согласно уравнению (15). Верхняя кривая соответствует образцу бесконечной ширины, средняя кривая — плоскому образцу с центральной трещиной, нижняя кривая — образцу с одним боковым надрезом. Толщина образцов — 100Я^, начальная длина трещины для всех образцов — 10Ящ, параметр увеличения вязкости разрушения т = 1.6 для всех кривых

Рис. 4. Возрастающие кривые — графики подвода энергии для образцов с одним боковым разрезом, имеющих различную толщину. В точках пересечения этих кривых и графика поглощения энергии (убывающая кривая) происходит переход от устойчивого к неустойчивому разрушению. Самая нижняя кривая соответствует образцу бесконечной толщины. Кружками отмечены критические точки

таких как текущая вязкость разрушения У = Я/Я1Ш, начальная длина трещины Х0 = а0/ Я1П1, параметр увеличения вязкости разрушения т = Я^/ Я1П1 и безразмерная толщина образца ю = Ь/Я1П1. Поскольку У является функцией текущей длины трещины X, показатель устойчивости X также зависит от длины трещины. Естественно, наличие члена Ф'/Ф в уравнении (14) обусловливает независимость показателя устойчивости от выбора геометрии. Применение функции X для исследования неустойчивостей, возникающих при вязком разрушении, будет показано ниже после обсуждения Q-кривых.

Чтобы построить Q-кривую, воспользуемся дифференциальным уравнением (подробности изложены в Приложении А)

(15)

Примеры интегральных кривых уравнения (15) приведены на рис. 3 для плоского образца с центральной трещиной и образца с одним боковым надрезом. Легко заметить, что для образца бесконечной ширины, когда коэффициент формы равен единице и производная Ф' = = 0, приходим к известному уравнению:

dQ<x

1оЯ

2т

XQl

- а

—. (16)

¿X 2QШX

Это уравнение использовалось в работе Омидвара и Внука [7]. Пример решения данного уравнения приведен на рис. 3.

Для графического представления глобальной неустойчивости, равносильной катастрофическому разру-

шению, можно использовать два математически эквивалентных способа.

Первый способ заключается в построении зависимостей ТтЛ(У) и Гарр1(У) (ср. уравнения (9) и (10)). Эта процедура проиллюстрирована на рис. 4 для образцов с боковым надрезом. Толщина образцов ю варьировалась. Видно, что для образцов с меньшей толщиной катастрофическое разрушение начинается раньше (проявление меньшего Xг) и при меньших величинах вязкости разрушения Уf. По-видимому, это вывод противоречит предположениям, основанным на «размерном эффекте», наблюдаемом при исследованиях разрушения конструкций большого и маленького размера. Согласно результатам этих исследований, можно было бы ожидать, что конструкции большего размера будут менее прочными, чем маленькие. Мы полагаем, что это расхождение в результатах, скорее всего, вызвано излишне упрощенным представлением не зависящей от геометрии Я-кривой, таким как в уравнении Внука-Райса-Со-ренсена (см. уравнение (10)). Будянский [8] сделал попытку ввести поправку на зависимость от геометрии в существующее и поныне определяющее уравнение Я-кривых. Аналогичный подход был предложен Бробер-гом [9]. Эта проблема требует дальнейшего рассмотрения.

Вторую альтернативу иллюстрирует рис. 5. Здесь вместо построения двух функций, описывающих поглощаемую Тта (У) и подводимую Тарр1 (У) энергию, строится только одна функция. В качестве этой функции используется коэффициент устойчивости X, определяемый уравнением (14), который задается как функция текущей длины трещины X. Чтобы перейти от У к X, проинтегрируем уравнение (10):

а о

■Ü.2

В

I

С

а:

О*

5^5 чТ-_

■Ч. > ■Чш "**■! - .. _ -к ... ■■ „ ;

"7- -

\ = л

\ ICO ■олинмэ

V

10 И 13 13 Ы

Безразмерна* длина гращнны X

Рис. 5. Графическое определение глобальной неустойчивости с помощью зависимости показателя устойчивости X от безразмерной длины трещины. Точки пересечения кривых с нулем определяют переход от устойчивого к неустойчивому росту трещины для образцов различной толщины с одним боковым разрезом (верхняя кривая соответствует образцу бесконечной толщины). Сравните эти графики с зависимостями, представленными на рис. 4. Кружки соответствуют критическим состояниям. Обратите внимание на нижнюю сплошную линию для малого образца (ю = 20), где трещина растет неустойчиво, все величины X отрицательны

X(Y, m, Xо) = X0 +J-

2dz

(17)

Таким образом, основные результаты этих исследований могут быть представлены как функция У или X. Отметим, что каждый раз, когда кривая Х(Х) пересекает ноль, мы можем точно указать положение полной неустойчивости, определяемой следующим набором переменных

У = уг, X = Xf, в = &. (18)

Результаты этих численных исследований обобщены в табл. 1-3 и на рис. 6-11. Для определения критических значений У, Xи в было использовано уравнение, в котором в значительной степени учитывается рассматриваемая геометрия:

Х(У, т, Х0, ю) = 0. (19)

Если все параметры, кроме У, остаются неизменными, это уравнение позволяет определить критическую

Таблица 1

Численные значения X^ и их приращение АХ^ для образцов с различной геометрией

Геометрия S 1 1 4 О S = 80 S = 120 S = 160 S = 200

CCP m X f О4 £ Xf О4 £ Xf О4 £ Xf О4 £ Xf О4 £

1.4 9.911 -0.889 10.688 6.882 10.882 8.819 10.955 9.552 10.990 9.903

1.6 10.387 3.869 11.304 13.036 11.531 15.309 11.641 16.409 11.685 16.852

1.8 10.693 6.932 11.737 17.372 12.013 20.132 12.119 21.187 12.192 21.921

2.0 10.916 9.161 12.079 20.791 12.404 24.043 12.532 25.321 12.594 25.942

2.2 11.092 10.919 12.355 23.547 12.717 27.173 12.861 28.610 12.931 29.310

SEN S = 20 S = 60 S = 100 S = 140 S = 180

m Xf О4 £ Xf О4 £ Xf О4 £ Xf О4 £ Xf О4 £

1.4 8.947 -10.53 10.229 2.292 10.610 6.098 10.768 7.679 10.849 8.490

1.6 9.358 -6.423 10.766 7.661 11.222 12.218 11.407 14.065 11.499 14.994

1.8 9.616 -3.841 11.139 11.387 11.652 16.520 11.868 18.685 11.980 19.805

2.0 9.799 -2.011 11.426 14.263 11.992 19.916 12.241 22.407 12.372 23.720

2.2 9.934 -0.658 11.646 16.455 12.266 22.662 12.540 25.405 12.686 26.860

DEN 1.4 10.104 1.039 10.931 9.310 11.009 10.094 11.031 10.313 11.040 10.404

1.6 10.600 6.000 11.610 16.101 11.709 17.094 11.737 17.374 11.749 17.489

1.8 10.927 9.268 12.083 20.834 12.221 22.214 12.255 22.554 12.270 22.695

2.0 11.166 11.658 12.489 24.888 12.628 26.281 12.668 26.677 12.684 26.841

2.2 11.352 13.517 12.812 28.121 12.969 29.693 13.014 30.140 13.033 30.326

3PB 1.4 9.322 -6.777 10.997 9.970 11.285 12.852 11.320 13.200 11.301 13.011

1.6 9.739 -2.607 11.616 16.156 12.022 20.218 12.079 20.793 12.067 20.671

1.8 10.001 0.009 12.075 20.748 12.558 25.575 12.641 26.412 12.635 26.346

2.0 10.191 1.907 12.435 24.348 12.982 29.822 13.089 30.889 13.088 30.876

2.2 10.330 3.298 12.723 27.229 13.339 33.390 13.467 34.674 13.471 34.714

Примечание: Здесь и в табл. 2, 3 CCP — плоский образец с центральной трещиной; SEN — образец с одним боковым надрезом; DEN — образец с двумя боковыми надрезами; 3PB — образец для испытаний на трехточечный изгиб; отрицательные величины соответствуют неустойчивому росту трещины

Таблица 2

Геометрия ю = 40 ю II 8 О ю = 120 ю = 160 ю = 200

ССР т 7г < 7г О4 < 7f О4 < 7г О4 А 7г О4 А

1.4 0.985 -1.529 1.098 6.882 1.121 12.097 1.129 12.899 1.133 13.273

1.6 1.083 8.289 1.230 13.036 1.259 25.862 1.272 27.153 1.277 27.659

1.8 1.174 17.376 1.356 17.372 1.393 39.304 1.406 40.631 1.415 41.524

2.0 1.259 25.917 1.477 20.791 1.524 52.395 1.541 54.097 1.549 54.897

2.2 1.340 34.045 1.593 23.547 1.649 64.861 1.669 66.890 1.678 67.846

ЗЕК ю = 20 ю = 60 ю = 100 ю II 4 О ю = 180

т 7f О4 А 7f о4 ¡¿г А 7f о4 ¡¿г А 7f О4 ¡¿г А 7f О4 ¡¿г А

1.4 0.761 -23.86 1.036 3.645 1.089 8.88 1.108 10.798 1.117 11.730

1.6 0.820 -17.98 1.151 15.090 1.219 21.914 1.243 24.332 1.255 25.482

1.8 0.875 -12.49 1.261 26.071 1.344 34.357 1.374 37.400 1.389 38.882

2.0 0.927 -7.340 1.366 36.631 1.464 46.383 1.501 50.110 1.520 51.954

2.2 0.974 -2.638 1.465 46.473 1.579 57.880 1.622 62.240 1.644 64.407

БЕМ 1.4 1.017 1.703 1.126 12.638 1.135 13.475 1.137 13.705 1.138 13.799

1.6 1.123 12.251 1.268 26.797 1.279 27.93 1.282 28.241 1.284 28.369

1.8 1.221 22.132 1.402 40.193 1.419 41.875 1.423 42.277 1.424 42.443

2.0 1.314 31.420 1.535 53.528 1.553 55.329 1.558 55.825 1.560 56.030

2.2 1.402 40.183 1.662 66.209 1.684 68.361 1.690 68.955 1.692 69.200

3РВ 1.4 0.863 -13.68 1.133 13.345 1.162 16.204 1.165 16.526 1.164 16.352

1.6 0.934 -6.553 1.269 26.861 1.312 31.221 1.318 31.785 1.317 31.666

1.8 1.000 0.028 1.401 40.084 1.456 45.649 1.465 46.523 1.465 46.454

2.0 1.063 6.310 1.528 52.807 1.596 59.561 1.607 60.746 1.607 60.731

2.2 1.120 12.025 1.649 64.941 1.730 73.048 1.746 74.560 1.746 74.606

величину переменной вязкости разрушения 7Г = = 7f(m, X0, ю). Поскольку это значение соответствует точке на Л-кривой, этот результат эквивалентен определению критической длины трещины Хг. Для этого используется уравнение (17):

Yf (т, Xо, ю)

Х^т, Хо, ю) = Хо + |

2dz

(20)

1 1оя(т^)'

Зная обе переменные 7Г и Хг, можно оценить критическую нагрузку, используя выражения из уравнения (8):

1;

г

I

“I

а

X

5

а

30

10

я

,й

Р. ■- » - » _ 77 Г

4 / „ ^ ■ I*- ' , — " “ а-!-/" "

4 ■ - ьь_ -

У ** Т . у и- ”* "

у. “ ™ ™ — гА ■» 11 5 — т - 1 а — П = 2 0 ■-т *12

40 НО 120 160

Относнтег^нги ]ЧГЫН?Н№! ЛЬ

200

Рис. 6. Плоский образец с центральной трещиной. Влияние относи- Рис. 7. Образец с одним боковым надрезом. Влияние относительного

тельного удлинения ю и параметра увеличения вязкости разрушения удлинения ю и параметра увеличения вязкости разрушения т на из-

т на приращение длины устойчивой трещины АХ менение вязкости разрушения Д7

Таблица 3

Геометрия ю = 40 ю = 80 ю = 120 ю = 160 ю = 200

ССР т Qf О4 Qf % % Qf % % Qf % % 1 Qf % % 1

1.4 0.377 0.025 0.434 0.806 0.445 1.178 0.449 1.325 0.451 1.396

1.6 0.379 0.506 0.444 3.166 0.457 3.891 0.462 4.164 0.464 4.293

1.8 0.384 1.773 0.456 5.864 0.470 6.874 0.475 7.248 0.478 7.426

2.0 0.389 3.285 0.467 8.567 0.483 9.826 0.489 10.292 0.491 10.512

2.2 0.395 4.855 0.479 11.177 0.496 12.662 0.502 13.212 0.504 13.472

ЗЕК О 2 II ю ю = 60 ю = 100 ю = 140 ю = 180

т Qf AQf, % Qf AQf, % Qf % % 1 Qf AQf, % Qf AQf, %

1.4 0.193 8.244 0.383 0.110 0.418 0.649 0.431 0.943 0.437 1.103

1.6 0.184 3.416 0.388 1.486 0.427 2.864 0.441 3.459 0.449 3.763

1.8 0.181 1.322 0.396 3.451 0.438 5.461 0.454 6.290 0.461 6.710

2.0 0.179 0.390 0.404 5.551 0.449 8.086 0.466 9.116 0.474 9.635

2.2 0.178 0.043 0.412 7.638 0.459 10.632 0.477 11.841 0.486 12.449

БЕМ 1.4 0.396 0.029 0.448 1.277 0.452 1.434 0.453 1.479 0.453 1.497

1.6 0.401 1.065 0.460 4.075 0.465 4.363 0.466 4.444 0.467 4.477

1.8 0.407 2.728 0.474 7.125 0.479 7.522 0.480 7.632 0.481 7.678

2 0.414 4.554 0.487 10.138 0.493 10.631 0.494 10.768 0.495 10.825

2.2 0.422 6.388 0.500 13.030 0.506 13.613 0.508 13.774 0.508 13.841

3РВ 1.4 0.326 3.163 0.461 1.503 0.454 2.203 0.444 2.256 0.438 2.196

1.6 0.318 0.707 0.474 4.361 0.469 5.590 0.459 5.707 0.452 5.626

1.8 0.316 -0.001 0.487 7.409 0.484 9.086 0.475 9.271 0.467 9.179

2.0 0.316 0.009 0.501 10.389 0.499 12.471 0.490 12.724 0.482 12.627

2.2 0.317 0.373 0.514 13.233 0.514 15.691 0.504 16.012 0.496 15.914

У = X Q2( X )Ф2 ) £).

В критической точке это приводит к

Qf(m, Xо, ю) = 1 ТУг

(21) Сравнивая критические значения У, X и Q со значениями, измеренными в начале устойчивого роста трещины, можно оценить в процентах увеличение вязкости

(22) разрушения, длины трещины и приложенной нагрузки:

f

Рис. 8. Образец с двумя боковыми надрезами. Влияние относительного удлинения ю и параметра увеличения вязкости разрушения т на приращение нагрузки ДQ

Рис. 9. Образец для испытаний на трехточечный изгиб. Влияние параметра увеличения вязкости разрушения т и относительного удлинения ю на приращение длины устойчивой трещины Д¥"

Рис. 10. Образец с двумя боковыми надрезами. Влияние параметра увеличения вязкости разрушения т и относительного удлинения ю на изменение вязкости разрушения ДУ

Рис. 11. Плоский образец с центральной трещиной. Влияние параметра увеличения вязкости разрушения т и относительного удлинения ю на приращение нагрузки ДQ

AУf = (у -1) -100%,

= Xf - Xо . 100%,

AQf =

X 0 & -Qiш

(23)

-100 %.

Детали расчетов, используемых здесь, особенно касающихся коэффициента формы для выбранной геометрии образца с трещиной, изложены в Приложении Б. Если любое из приращений Xf, Qf или У^ имеет отрицательную величину, это означает отсутствие устойчивого роста трещины перед достижением состояния катастрофической (полной) неустойчивости. Это явление понимается как катастрофическое распространение трещины, которое не предваряется никаким медленным устойчивым растрескиванием. Другими словами, для этих диапазонов значений рассматриваемых параметров материал не подает никакого «сигнала раннего оповещения», предшествующего глобальному разрушению.

2. Заключение

В работе для квазихрупких и пластичных тел продемонстрировано, что докритический рост трещины замедляет возникновение глобального разрушения, определяемого как «полная неустойчивость». Это позволяет отличать это явление от устойчивого роста трещины. Последнее рассматривается как последовательность состояний локальной неустойчивости. Это отличие в чем-то аналогично «локальному короблению» оболочечной конструкции в противоположность глобальному выпучиванию. Понимание таких переходных явлений требует соответствующей математической трактовки.

Ранние стадии вязкого разрушения подвергнуты тщательному математическому анализу. Значимые результаты представлены в виде в виде таблиц и графиков и представляют собой оценку докритических приращений вязкости разрушения, длины трещины и приложенной нагрузки.

Набор этих параметров необходим для правильного понимания медленного устойчивого растрескивания. Найдены определенные интервалы геометрических параметров и характеристик материала, для которых процесс медленного растрескивания не существует и начало распространения трещины сопровождается немедленным переходом к необратимому неустойчивому росту трещины. Эти данные могут иметь большое значение для предотвращения разрушения и повышения безопасности сварных конструкций, где используемые материалы часто проявляют ограниченную пластичность.

Благодарности

Авторы выражают признательность доктору Б. Омидвару за его консультации, а также Ф. Рузбехани за его вклад в расчет точных производных и К. Рузбе-хани за помощь в подготовке иллюстраций.

Приложение А

Если записать основное уравнение (2) в безразмерной форме, мы получим

У = IXQ 2Ф2.

2

(А1)

В этом уравнении параметры У, Q и Ф являются некоторыми функциями текущей длины трещины X. Прежде всего, рассмотрим случай бесконечного образца, для которого Ф = 1. Тогда, используя (А1), для Q2 будем иметь

(А2)

Возьмем производную й/йК от обеих частей этого уравнения:

= йУ/¿X - УIX ¿X Q2X ' 1 ;

Если ¿У/йX заменить ТтаХ = (1/2)1од(т/У), уравнение (А3) сводится к виду

dQK

log

* 2m_ "

XQ2

- Q<x

—. (А4)

¿X 2Q2 X

Это идентично уравнению (16), справедливому для образца бесконечной ширины. Теперь мы можем вывести уравнение (15), которое определяет функцию Q = = Q(X), применимую для произвольной геометрии образца. Напомним, что влияние геометрии учитывается посредством коэффициента формы Ф^/ю). Из уравнения (А1) видно, что Q2 и Q связаны как

02 (X)

Q( X) = ■

ф( X)

(A5)

Возьмем производную d/dX от обеих частей этого

уравнения:

^ dQx „dФ dQ _ dX dX

dX

(A6)

Если выражение (A3) заменить на dQM/ dX, тогда (A6) принимает вид:

dQ

dX

log

2QXS

(A7)

Это дифференциальное уравнение (15), которое определяет функцию Q = Q(X) для произвольной геометрии. Символ Ф' обозначает йФ/ ¿X.

Для расчета Q(X) можно использовать другой способ: взять интеграл (17) и затем подставить результаты в выражение (А1).

Приложение Б

Коэффициент формы

Для четырех различных геометрий функция Ф(а/Ь), так называемый коэффициент формы, приведена согласно работе [10]. Все эти функции основываются на следующей формуле для коэффициента интенсивности напряжений К р

K! = ст>/ПзФ

(Б1)

Для использования в расчетах эти функции нормируются таким образом, чтобы всегда выполнялось условие Ф(0) = 1.

Б1. Плоский образец с центральной трещиной (center crack panel (CCP)). Это выражение является модификацией формулы секущей Феддерсона, выполненной Тада в 1973 году [10] (рис. 12):

Ф1

1 - 0.025 I ~j~\ + 0.06 * у

1

Ф1^, ю) =

а

cos I л — b

1 - 0.025 I + 0.06 *—

ю \ ) ю

G1(X, ю) = dX фц^, ю) =

X

X

ю

X 2 X 4

1 1 - 0.1—— + 0.96—— * X "

1 ю2 ю4 • I X "п

+------------ ----------- ------Sin I П-

2 , 1

1

X

cos I п—

ю

2

X

2

(Б2)

Б2. Образец с одним боковым надрезом (single edge notch (SEN)). Эта формула также взята из работы Тада [10] (рис. 13):

а

b

а

b

1

со

1

+

со

п.Зй

Рис. 12. Плоский образец с центральной трещиной. Зависимость коэффициента формы Ф1 от безразмерной длины трещины X для трех значений относительного удлинения ю

2 .і

I

I г їй

і 110

LX

5 1.«

х

а „

¥ ТС4

£

1.W

IV ■= 40 1* = М а -

J /

/

JT* “ ~ ____

І * 5 Б

ДІЛІМО трСІ_ІННЕґ. К.

PÚ

Рис. 13. Образец с одним боковым надрезом. Зависимость коэффициента формы Ф2 от безразмерной длины трещины X для трех значений относительного удлинения ю

Q 2 4 щ щ 15

Безразмерная діли-ії ’ртщины X

Рис. 14. Образец с двумя боковыми надрезами. Зависимость коэффициента формы Ф3 от безразмерной длины трещины X для трех значений относительного удлинения ю

Й = W

трешмнм *

Рис. 15. Образец для испытаний на трехточечный изгиб. Зависимость коэффициента формы Ф4 от безразмерной длины трещины X для трех значений относительного удлинения ю

Ф2

1

1.122

0.265

1 - I

4 0.857 + 0.2651 -

+ b

Ф2(X, ю) =

1

1.122

X

0.265 I 1 -

X

ю

4 0.857 + 0.265 —

+--------

1 - X

ю

3/2

G2(X, ю) = — Ф2(X, ю) =

= -0.94

1 - X

0.24

ю I 1 - X

3/2

0.86 + 0.27 X __________________ю_

1 - X 15/2 ю

(Б3)

+1.34

Б3. Образец с двумя боковыми надрезами (double edge notch (DEN)). Эти формулы были предложены Ирвином в 1957 году [10] (рис. 14):

Ф3

1 * а

------tg I па-----) b

п — v b

Ф3(X, ю) =

1 * X)

X

1 п—

ю

(Б4)

G3(X, ю) = — Ф3(X, ю) =

2

1/2

1/2

-1 * 1 X1 1

2 ю^| 1+—

“X

2 ю & 2 X

Б4. Образец для испытаний на трехточечный изгиб (three point bend (3PB)). Формулы выведены Сроули в 1976 году [10] (рис. 15):

Ф4

1.99 - -11 - -b) b

V“

Ф4(X, ю) =

1 + 2 - )[■ - -

3/2

X * X) X * X )2 /

1.99 1 1 2.15 - 3.93 — + 2.7 — I

1ю ) ю& ю )ю&

1+2 X 1*1 - X

ю ю

3/2

(Б5)

G4(X, ю) = — Ф4(X, ю) =

= 0.5

ю

2.15 - 3.93 X + 2.7 X

2 )

ю

1+2 X 1*1 - X

ю А ю

Ъ/2

-

b

х

2

X

-

b

2

3

1

ю

+

+

-

b

+

1 1

fl

Ti i.j

2

3 1 i

tt

£ 1.1

jj 1 a

I Fl DLfl

3

CCP SEh DEN 3PE

>

j..-“

_ _ 1 l\ РЧ-rtTгГСТ*-

2 4$$

Безразмерная дпиьД трещлны X

fcü

Рис. 16. Зависимость коэффициента формы Ф от безразмерной длины трещины X для различной геометрии образцов, ю = 40. CCP — плоский образец с центральной трещиной; SEN — образец с одним боковым надрезом; DEN — образец с двумя боковыми надрезами; 3PB — образец для испытаний на трехточечный изгиб

( X X 2 "

2.15 - 3.93 — + 2.7^-

) юю2 &

3/2

X (1 - X + 5.4-X

1 + 2 X||1 - X |

ю

X

32

ю&

-1.005-

1.99 - X (1 - X

ю ) ю

2.15 - 3.93 X + 2.7

ю

X

2'

.+2 X f (1 - X f

+ 0.75-

1.99 - X (1 - X

ю ) ю

2.15 - 3.93 X + 2.7 X

2'

52

ю

Зависимости коэффициентов формы Ф(Х, ю) от безразмерного параметра длины X для различных геометрий при ю = 40 приведены на рис. 16.

Приложение В

Для квазихрупких материалов, таких как большинство металлов при комнатной температуре, началу катастрофического разрушения предшествует образование некоторого числа медленных стабильных трещин. Если величину сопротивления материала разрушению обозначить Я, а текущую длину трещины а, тогда для квази-статической трещины взаимосвязь этих величин можно выразить с помощью нелинейного дифференциального уравнения, полученного Внуком [2, 4] из критерия окончательного удлинения при разрушении:

— — M -da 1+ Х 2

1 1, * 1+ Х

-

(В1)

Появляющаяся в уравнении (В1) дополнительная константа материала, безразмерный модуль разрыва М, связана с константой окончательного удлинения 5. Критерий предполагает существование структурированной зоны при вершине трещины длиной Я, которая содержит так называемую «зону процесса», или частицу Ней-бера, А, расположенную непосредственно на фронте передней кромки трещины. Таким образом, в зоне при вершине трещины мы имеем два физически различных объекта: частицу Нейбера, где происходит сильное уменьшение площади поперечного сечения, и остаток концевой зоны, где пластическая деформация превышает упругую. Окончательное разрушение происходит в этой меньшей по размерам зоне длиной А.

Модуль разрыва определяется как отношение некоторой критической длины Яс и размера частицы Ней-бера А:

EGc

K С

8Д

(В2)

В случае квазихрупкого разрушения длина частицы Нейбера достигает Я. Очевидно, что л достигает нуля, в то время как М становится равным 1, приводя к нулевому наклону Я-кривой, определяемой уравнением (В1). Положим Ос равным 2у, как в случае трещины Гриффитса, и заменим Я выражением (п/8) К:2 /ст ^ в уравнении Я = Яс, тогда напряжение текучести сту исчезает, предполагается, что трещина растет неустойчиво, и мы получаем результат Гриффитса для напряжения начала разрушения, т.е.

—

2Ey

na

(В3)

Уравнение (В1) можно проинтегрировать численно, если принять во внимание начальное условие Я = Я1П1 при а = а0 и если предположить, что константа М превышает предельную величину модуля разрыва М т1П (ниже которой рост трещины неустойчив), определяемую выражением

1

1

(

■ + ylog

л

(В4)

R„

Д

— Pi.

Константа р1 описывает пластичность материала и достигает 1 при хрупком поведении материала. Это означает, что А приближенно равно Я1П1, тогда как для предела вязкого разрушения частица А мала по сравнению с длиной Я. Итоговая Я-кривая простирается от

+

71

71

СО

СО

СО

СО

2

ю

+

ю

ю

СО

начальной величины вязкости разрушения Я1П1 до ее верхнего предела, так называемого предела установившегося состояния Я55. Отношение этих двух предельных величин вязкости разрушения будем обозначать т, а именно т = Я^ / Я1П1, как и в уравнении (3). Заметим, что при хрупком поведении материала константы Я1П1, Я55 и Яс совпадают (они равны длине частицы Нейбе-ра А). Это приводит к нулевому наклону Я-кривой. Этот результат может быть получен либо из уравнения (В1) при X ^ 0 и М ^ 1, либо из уравнения (3) при т ^ 1.

Особый интерес представляют две предельные формы уравнения (В 1). Первая форма получается разложением функции в левой части в обобщенный степенной ряд по X при Д/Я ^ 1 (или X ^ 0), приводя к Я-кривой, справедливой для случая почти хрупкого разрушения:

dR—M -1 -*1 -Д|+2 *1 -Af +....

da ) R & 3) R &

(В5)

Здесь следует принять, что модуль разрыва несколько больше чем его минимальная (пороговая) величина

M min — 1 +

Pi.

1 - J-

. Pi.

(В6)

Другой предельный случай получается, если считать, что величина Я много больше чем А, или X ^ 1. Это случай вязкого разрушения в пределах маломасштабной текучести, и уравнение записывается как

— — M -1 - 1log (4R |.

da 2 2 ) Д 1

(В7)

Фактически, это уравнение Внука-Райса-Соренсена [2, 4-6]. Покажем, что оно идентично уравнению (3), рассмотренному выше. Заметим, что медленный устойчивый рост описывается уравнением (В7) только для значений модуля разрыва М, превышающих пороговую величину

M min — 1 + TlOg(4Pi).

(В8)

2 2

Модуль М можно исключить из уравнения (В7), заменив его установившимся пределом меры вязкости разрушения Я55, используя отношение т = Як;./Я1П1.

В стационарном состоянии скорость dЛ/ da достигает нуля, поскольку мы движемся вдоль горизонтальной асимптоты. Приравняв нулю функцию в правой части уравнения (В7) и заменив Я на Я55, получим

^ 1 1, * 4Rss

M — — + — log | ——

2 2 ) Д

Подстановка в уравнение (В7) дает

^—iiog * Rda 2 ) R

(В9)

(В10)

Эта форма эквивалентна использованной в тексте (см. уравнение (3)). В заключение отметим, что выражение (В9) представляет собой полезное соотношение, которое связывает верхний предел вязкости разрушения с модулем разрываМи размером частицы Нейбера:

Rss —-4-exp(2M -1).

(В11)

Это уравнение предполагает довольно сильную зависимость верхнего предела вязкости разрушения материала от модуля разрыва и, тем самым, от пластичности материала р1 (см. уравнение (В8)). Обозначим соотношение М/Мmin как к, тогда, комбинируя уравнения (В8) и (В11), получим Rs.

— (4e)k-1P f

Д

(В12)

где коэффициент f можно оценить следующим образом:

2M

f — -

(В13)

10§(4ер;)

Таким образом, используя константы материала к и р 1, начальный наклон Я-кривой можно определить как

da

— 2e(f - 1)Pi.

(В14)

Литература

1. Griffith AA. The phenomena of rupture and flow in solids // Phil. Trans. Royal Society London. - 1921. - A221. - P 163-198.

2. WnukM.P. Accelerating Crack in a Viscoelastic Solid Subject to Sub-critical Stress Intensity // Proc. of the Int. Conf. on Dynamic Crack Propagation / Ed. by G.C. Sih. - Leiden: Nordhoff, 1972. - P. 273280.

3. WnukM.P., Legat J. Work of fracture and cohesive stress distributions resulting from triaxiality dependent cohesive zone model // Int. J. Fracture. - 2002. - V. 114. - P 29-46.

4. Wnuk M.P. Quasi-static extension of a tensile crack contained in a viscoelastic-plastic solid // J. Appl. Mech. - 1974. - V. 41. - P. 234242.

5. Rice J.R., Sorensen E.P. Continuing crack-tip deformation and fracture

for plane-strain crack growth in elastic-plastic solids // J. Mech. Phys. Solids. - 1978. - V. 26. - P. 263-286.

6. Rice J.R., Drugan W.J., Sham T.L. Elastic-plastic analysis of growing cracks // ASTM-STP 700, Philadelphia, PA, 1980. - P. 189-221.

7. Omidvar B., Wnuk M.P. Local and global instabilities associated with continuing crack extension in dissipative solids // Int. J. Fracture. -

1998. - V. 84. - P. 237-260.

8. BudianskyB. Private Communication at a Seminar at Harvard Univer-

sity, 1997.

9. Broberg K.B. Cracks and Fracture. - New York: Academic Press,

1999. - 752 p.

10. TadaH., ParisP.C., Irwin G.R. The Stress Analysis of Cracks Handbook. - New York: ASME Press, 2000. - 677 p.