CC BY
5НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ
НАУКА И МИРОВОЗЗРЕНИЕ
МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ С ПОЗИЦИЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Кыясова Гульджемал Чарымырадовна
Преподаватель, Туркменский государственный университет имени Махтумкули г. Ашхабад Туркменистан
Дурдыев Акмурат Гурбанович
Преподаватель, Пограничный институт Туркменистана г. Ашхабад Туркменистан
Аналитическая геометрия - раздел геометрии, который исследует простейшие геометрические объекты средствами элементарной алгебры на основе метода координат. Основная задача аналитической геометрии заключается в изучении геометрических фигур с помощью соотношений между координатами точек, из которых эти фигуры образованы. Начертательная геометрия - раздел геометрии, в котором пространственные фигуры изучаются при помощи построения их изображений на плоскости, в частности построения проекционных изображений, а также методы решения и исследования пространственных задач на плоскости.
Цель начертательной геометрии - развитие пространственного представления и воображения, конструктивно-геометрического мышления, способности к анализу и синтезу пространственных форм и отношений на основе графических моделей пространства, практически реализуемых в виде чертежей конкретных пространственных объектов и зависимостей.
Задача изучения начертательной геометрии сводится к изучению способов получения определенных графических моделей пространства, основанных на ортогональном проецировании и умении решать на этих моделях задачи, связанные пространственными формами и отношениями.
Рассмотрим на примерах метрических задач связь аналитической и начертательной геометрии.
Метрическими называются задачи, решение которых связано с нахождением характеристик геометрических фигур, определяемых (измеряемых) линейными и угловыми величинами.
Все метрические задачи, в итоге, сводятся к решению двух задач, которые называются основными метрическими задачами:
1. Первая основная метрическая задача - построение угла между прямой и плоскостью.
2. Вторая основная метрическая задача - определение расстояния между двумя точками. В данной статье рассмотрим построение прямого угла с аналитической точки зрения.
1. Перпендикулярность прямых в плоскости.
Две прямые на плоскости перпендикулярны, если при пересечении образуют 4 прямых угла.
Рисунок 1. Перпендикулярность двух прямых
В плоскости проекций П2 заданы две перпендикулярные прямые I и t (рис.1).
Из подобия треугольников С2ОА2 и В2ОС2 следует:
ai/ci = 0.2/02 или ai/ci - 02/02 =0.
Формула (1) является аналитическим выражением перпендикулярности двух прямых в плоскости.
2. Перпендикулярность прямой и плоскости.
X
Z
У1
Рисунок 2. Перпендикулярность прямой и плоскости
Из курса стереометрии известно, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна хотя бы к двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости.
Дана прямая I перпендикулярная плоскости S, заданной следами (рис.2). Плоскость S задана уравнением:
Прямая проходит через две точки с координатами (а1, 0,0) и (0, - Ъ1, -су). В соответствии с
Из подобия треугольников Оас и Оа1с1 следует: а/с=с1а1 или аа1=сс1.
Из подобия треугольников ОаЬ и Оа1Ы следует:
а/Ъ=Ъ1а1 или аа1=ЪЪ1.
Окончательно:
аа1= ЪЪ=сс1.
Полученное выражение является условием перпендикулярности прямой и плоскости. 3. Перпендикулярность двух прямых в пространстве.
Прямые перпендикулярны, если через одну из прямых можно провести плоскость, перпендикулярную к другой прямой.
Допустим: прямая I проходит через две точки 1(Хг,Уг,11) и 2(Х2;У2;7<2); прямая * через две точки 3(Хз;Уз;2з) и 4(Х4;У4;24).
Представим прямую 1 аналитически:
=У~Уа =
получим уравнение прямой I:
х/ а1=(у+ Ъ) Ъ=(2+ с1)/ с1
или:
Таким образом, сравнивая
и x/ а=(у+ Ь) а)/ cl получим для прямой l:
a=X2 - Х1; Ь=У2 - У1;
С=22 - 21.
Заключим прямую * в плоскость:
А(Х4-ХЗ) +В (У4-У3) +С (24-2З) =0.
Если прямые I и * перпендикулярны, то выполняется условие перпендикулярности прямой и плоскости:
сц/А=Ь1В=а/С
или (Х2-Х1)/А = (У2-У1)/В = (22-21)/С
Отсюда А=В(Х2-Х1)/(У2-У1), и С= В(22-21)/(У2-У1).
Подставив эти выражения в (7) и умножив каждый член на ^2-У1)/В, получим аналитическое условие перпендикулярности прямых.
(Х2-Х1) (Х4-ХЗ)+ (У2-У1) (У4-У3) + (22-21) (24-2З)=0 4. Перпендикулярность двух плоскостей.
Плоскости перпендикулярны, если одна из них содержит прямую перпендикулярную другой плоскости.
Заданы две плоскости:
А1Х + ВУ + С12 + 0=0; В: АХ + В2У + С22 + 02=0.
Допустим, что прямая I проходит через две точки 1(Хг,Уг,21) и 2(Х2;У2^2) плоскости S. Условие принадлежности прямой I плоскости S:
А1(Х2-Х1)+В1(У2-У1)+С1(22-21)=0.
Отсюда перпендикулярность прямой I и плоскости D, принимая в расчет (7) выразиться:
(Х2-Х1)/ А2+(У2-У1)/ В2+(22-21)/ С2 или (Х2-Х1)= А2(У2-У1)/ В2;
(22-21)= С2(У2-У1)/ В2.
Подставляя полученные выражения в () и деля все члены на (У2-У1)/ В2, окончательно получим условие перпендикулярности двух плоскостей:
АА2= В1В2= С1С2=0.
В отличие от аналитических определения метрических характеристик, геометрические решения довольно-таки приблизительны, хотя с математической точки зрения, являются геометрически точными.
