ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НАГЛЯДНО-ОБРАЗНОЙ МОДЕЛИГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА В УЧЕБНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПЕДАГОГИКА

УДК 371.24+371.212

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НАГЛЯДНО-ОБРАЗНОЙ МОДЕЛИГЕОМЕТРИЧЕСКОГО

ПРОСТРАНСТВА В УЧЕБНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Е.Н. Пузырева

ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени акад. И.Г. Петровского»

В содержании наглядно-образной модели в системе пространственных образов и понятий геометрических фигур формируется образный уровень пространственного геометрического мышления, важной составляющей интеллекта человека. Проводится анализ определений классов геометрических фигур, преобразований, отношений, представленных в учебниках геометрии и в «Началах» Евклида.

Ключевые слова: учебная геометрическая деятельность, пространственное геометрическое мышление, наглядно-образная модель геометрического пространства.

Объектом изучения евклидовой геометрии является геометрическое пространство, представляющее собой математическую абстракцию, которая возникла как продукт мышления в процессе абстрагирования и идеализации определенных свойств окружающей действительности. Наблюдая реальный мир, человечество сталкивалось с различными пространственными формами при постройке зданий, изготовлении посуды и т.д., а затем постепенно пришло к идее сосредоточения внимания на форме и отвлечения от таких свойств предметов как цвет, вес или вещество, из которого они изготовлены. Понятия геометрии при всей своей отвлеченности и абстрактности исходят из реального мира:

• прообразом прямой является луч света, проходящий сквозь отверстие в стене; представление о плоскости дает хорошо отшлифованная поверхность металлической пластины;

• геометрические термины указывают на предметы домашнего обихода или окружающей среды («сфера» происходит от греч. «офагра», означающего «мяч», «куб» - от «киРо9> - «игральная кость», «конус» - от «кюуо^» - «сосновая шишка», трапеция - от «трале^юу» - «столик»).

В учебниках Л.С. Атанасяна и др. факт происхождения геометрических понятий из реального мира выступает исходным:

• геометрия «.. .возникла на основе практической деятельности людей и в начале своего развития служила преимущественно практическим целям» [2, с.3];

• «капли жидкости в невесомости принимают форму геометрического тела, называемого шаром, такую же форму имеет футбольный мяч, консервная банка имеет форму геометрического тела, называемого цилиндром» [2, с.307-308];

• форму прямоугольного параллелепипеда «.имеют многие предметы: коробки, ящики, комнаты и т.д.» [1, с.50];

• для определения расстояния от точки до плоскости приведен чертеж фонаря уличного освещения, где показано, что расстояние от лампочки до поверхности земли измеряется по перпендикуляру, проведенному от лампочки к плоскости земли [7, с.41];

• понятие скрещивающихся прямых формируется на примере двух дорог, одна из которых проходит по эстакаде, а другая - под эстакадой [1, с.15];

• в анализе преобразования симметрии в пространстве, замечается, что «.главное здание Московского государственного университета.. .имеет ось симметрии» [1, с.76].

Помимо абстрагирования, важным этапом зарождения абстрактного представления геометрического пространства стал процесс идеализации исходных форм - наделение геометрических объектов теми свойствами, которые в реальных телах (прообразах

геометрических фигур) не встречаются. Такими идеальными свойствами являются свойства бесконечности прямой, плоскости, отсутствие толщины линии, плоскости, свойство поверхности быть плоской и др. И.М. Яглом пишет: «Логическая система «геометрии-математики» первоначально строилась на пути идеализации свойств реальных тел, на пути предельного упрощения наблюдаемых в окружающем нас мире явлений, сохранения лишь самых фундаментальных...» [8].

Другим фундаментальным свойством геометрического пространства является тот факт, что не только его объекты, но и свойства геометрических объектов обобщены и идеализированы из реального мира. Так, например, физические предметы обладают свойством измеримости: используя приспособления или инструменты, человек может установить их длину, площадь, объем, величину угла. В рамках наследования свойства измеримости в физическом пространстве в геометрическом пространстве постулируется деятельность измерения.

Подобно тому, как в реальном пространстве предметы имеют различное пространственное положение друг относительно друга, в геометрическом пространстве задаются такие отношения как принадлежность, параллельность, перпендикулярность, располагаться справа, слева, взаимного расположения (вписанные, описанные фигуры). Иными словами, объектам геометрического пространства также присваиваются пространственные свойства, адекватные объектам реального физического пространства.

Факт геометрического наследования свойств подчеркивается в работе И.С. Якиманской: «Общее, что характеризует любой пространственный образ, - это отражение в нем объективных законов пространства» [9].

Геометрическим пространством называется возникшее из отражения формы, меры, взаимного расположения объектов реального пространства абстрактное математическое пространство, объекты которого, называемые геометрическими фигурами, наследуют систему свойств пространства, допускают преобразования движения, подобия, проектирования [3].

Геометрической фигура - объект геометрического пространства, обладающий системой характеристических свойств:

• «создается в отражении объектов физического пространства и наследует их свойства формы, меры, расположения по отношению к другим фигурам;

• представляет собой математическую модель объектов реального пространства;

• в целях создания субъектных образов, спроектированы в системе условных геометрических построений;

• создаются субъектом в процессе обобщения и абстрагирования, подчиненным содержанию учебной геометрической деятельности» [3].

Рассмотрим, как задаются основные определения геометрических фигур в авторских концепциях Погорелова А.В., Атанасяна Л.С. и в «Началах» Евклида (таблица 1).

Фундаментальными свойствами геометрического пространства, устанавливаемыми в процедуре геометрического отражения (репрезентации) закономерностей реального физического пространства, выступают:

• это «пространство с фиксированной либо подвижной системами отсчета, позволяющими устанавливать взаимное расположение геометрических фигур;

• трехмерное, его объекты могут располагаться на прямой, на плоскости, в пространстве;

• евклидово с метрическими свойствами длины, величины угла, площади, объема геометрических фигур в их взаимной связи;

• топологическое с геометрическими фигурами, очерченными границей, разделяющей внешнюю и внутреннюю области;

• инвариантное относительно преобразований движения, подобия, проектирования;

• структурировано классами геометрических фигур с общими пространственными, метрическими, конструктивными свойствами в понятийно-именных процедурах выделения, классификации, систематизации» [3].

Таблица 1

Анализ основных определений базовых геометрических фигур в учебниках _Погорелова А.В., Атанасяна Л.С. и в «Началах» Евклида_

Понятие фигуры Определение в учебнике Погорелова А.В. Определение в учебнике Атанасяна Л.С. Определение в «Началах» Евклида

Точка Одна из «.. .основных геометрических фигур на плоскости.. .Точки принято обозначать буквами А,В,С...На рисунке 3 вы видите точку А и прямую а.» [7,с.4] «Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость»[6,с.231] «Обычно...точки обозначают большими латинскими буквами. На рисунке 5 изображены.точки А,В,С и Б»[2,с.5] 11рям.йя и тонки «.основными фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости.» [2,с.3] «Точка есть то, что не имеет частей» (опр.1). «Концы же линии есть точки» (опр.6) [5,кн. 1,с.11]

Выводы

В деятельности представления авторские понятия точки в учебниках имеют описательный характер, опираются на графические образы, предоставляются учащимся на интуитивном уровне становления пространственных представлений. Понятие точки задается вместе с пространственным свойством принадлежности прямой, плоскости, прямая и плоскость задаются бесконечными множествами точек. Евклид формирует представление о точке как о границе линии, что помогает представить фигуру, сформировать ее зрительный образ. Описание точки Евклидом с ее свойством неделимости и свойством ограничения линии способствует формированию зрительного образа базовой геометрической фигуры.

Прямая Одна из «.основных геометрических фигур на плоскости.. .Прямые обозначаются строчными латинскими буквами а,Ь,е,ё,... На рисунке 3 вы видите точку А и прямую а.» [7,с.4] «Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость» [7,с.231] «.для изображения прямых на чертеже пользуются линейкой.Обычно прямые обозначают малыми латинскими буквами. На рисунке 5 изображены прямая а.» [2,с.5] Прямая и тонки «.основными фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости.» [2,с.3] «Линия же — длина без ширины» (опр.2). «Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней (опр.4) [5,кн.1].

_Выводы_

Понятия прямой в учебниках имеют описательный характер, в единстве со свойством принадлежности точек прямой, опираются на зрительные и конструктивные изображения, направлены на становление интуитивного уровня пространственных представлений.

Евклид определяет прямую как вид линии, устанавливая отношения «род-вид» между фигурами;указывается, что линия состоит из точек (конструктивное свойство фигуры);оговаривается, каким образом расположены точки прямой (конструктивное свойство прямой);подчеркивается абстрактный характер геометрического объекта.

ч

£

«Проведем через точку А какие-нибудь прямую Ь, отличную от а. Она разбивает плоскость на две полуплоскости.. .Полу--прямой или лучом, называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки...» [7,с.8]

Точка О на прямой а «разделяет прямую на две части, каждая из которых называется лучом,

исходящим из точки О (рис.11).. .Обычно луч

обозначают либо малой латинской буквой., либо двумя большими

латинскими.» [2 ,с.8]

Евклид не выделяет отдельно определения понятия луча, но в своих рассуждениях о лучах опирается на допущение - постулат 2:

«Ограниченную прямую <можно> непрерывно продолжать по прямой» [5,кн.1].

Под ограниченной

прямой понимается отрезок.

Выводы

Понятие луча в учебниках опирается на образное представление прямой, предполагается выбор на ней точки «отсчета», направления, т.е. предполагается определенная конструктивная деятельность.

Евклид от понятия прямой переходит к понятию отрезка заданием его начальной и конечной точки, вне фиксации отношения порядка «лежать между» путем. Допуская возможность бесконечного продолжения отрезка, приходит к понятию полупрямой.

к о

з

е тре

О

«Часть прямой,

которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя

данными ее точками. Эти точки

называются концами отрезка. Отрезок обозначается указанием его

концов .На рис. 7 вы видите отрезок АВ» [7,с.6].

«На рис. 7,а выделена часть прямой,

ограниченная двумя точками. Такая часть прямой называется отрезком. Точки,

ограничивающие отрезок, называются его концами. На рис. 7, б изображен отрезок с концами А и В.. .Такой отрезок содержит точки А и В и все точки прямой АВ, лежащие между А и В»[2,с.6]

Евклид не выделяет отдельно определения отрезка, но в своих рассуждениях он опирается на допущение - постулат 1: «.от всякой точки до всякой точки <можно>провести прямую линию» [5,кн.1]. Уже в Предл. 1 книги I и далее Евклид употребляет словосочетание «ограниченная прямая» по отношению к отрезку: «Пусть данная ограниченная прямая будет АВ

(черт.1):»

«Говорят, что прямая вставляется в круг, если концы её находятся на обводе круга» [5].

_Выводы_

Понятие отрезка в учебниках формулируются в спектре геометрических представлений, определенных действий:

• наличия прямой с бесконечным множеством точек;

• фиксации двух различных точек на прямой;

• существования точек прямой, лежащих между двумя фиксированными точками;

• мысленного охвата бесконечного множества точек в качестве нового геометрического объекта.

Евклид, формируя представление об «ограниченных прямых», идет не по пути ограничения прямой двумя точками, а по пути возможности проведения прямой через две точки.

л о

г Уг

«.фигура, которая состоит из точки -вершины угла - и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, - сторон угла...На рисунке 14 вы видите угол с вершиной О и сторонами а,Ь.» [7,с.9]

«Геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки...На рисунке 13 изображен угол с вершиной О и сторонами Н и£...»[2,с.8]

«Плоский же угол есть наклонение друг к другу двух линий, в плоскости встречающихся друг с другом, но не расположенных по <одной> прямой» [5,кн. 1]

л о

г

у

й о

м

я ряП

«Угол,

90°...»[7,с.23].

равный

«Угол называется прямым, если он равен 90°» [2,с. 19]

Прямой угол

«Когда же прямая,

восстановленная на <другой> прямой, образует рядом углы, равные между собой, то каждый из равных углов есть прямой, а восставленная прямая называется перпендикуляром к той, на которой она восставлена» [5,кн. 1, опрЮ].

Выводы

Понятие угла в учебниках формулируется в спектре свойств и условий:

• существование двух различных лучей, исходящих из одной точки;

• возможность построения угла выбором любых двух лучей с общим началом;

• наличия у угла градусной меры с фиксированной единицей;

• процедуры наложения, задающей отношение линейного порядка на множестве углов; Евклид в описании угла исходит из других его свойств, других условий:существования двух

пересекающихся прямых; фиксации точки пересечения прямых;фиксации одного из углов, образованных пересекающимися прямыми, наряду с другими углами;выделения одного из смежных углов для цели его сравнения данным;наличия процедуры сравнения смежных углов вне выделения величины угла.

Перечисленные фундаментальные свойства геометрического пространства устанавливаются и доказываются в учебной геометрической деятельности путем

исследования фундаментальных свойств геометрических фигур. При этом геометрическая фигура выступает ведущим средством изучения свойств геометрического пространства.

Фундаментальное в учебной геометрической деятельности понятие геометрического пространства развивается на последовательных уровнях математического абстрагирования. На начальном уровне абстрагирования от предметных свойств физического мира геометрическое пространство описывается в содержании его наглядно-образной, векторной и арифметической моделей, причем наглядно-образная модель, возникшая в «Началах» Евклида, в учебниках геометрии играет ведущую роль и в отсутствии сформированных во внутреннем плане субъекта векторной и арифметической моделей наглядно-образная модель отождествляется с представлением геометрического пространства.

Наглядно-образная модель геометрического пространства - субъектная конструкция геометрического пространства в системе наглядных, выполненных определенными конструктивными средствами геометрических образов его базовых объектов (геометрических фигур, преобразований геометрического пространства, отношений на множестве базовых геометрических фигур).

В «Началах» Евклида процесс формирования категорий «геометрическое пространство» и «геометрическая фигура» осуществляется в их взаимной связи, в следующей последовательности:

a) в книге 1 вводятся образные, конструктивные, аналитические представления следующих геометрических фигур: «точка» - «то, что не имеет частей», «линия» - «длина без ширины», «ромбоид (параллелограмм)» - «.из четырехсторонних фигур .имеющая противоположные стороны и углы, равные между собой, но не являющаяся ни равносторонней, ни прямоугольной» и так далее [5, кн.1];

b) вместе с понятиями геометрических фигур вводятся преобразования движения, подобия, проектирования - не столько в основе понятий геометрического пространства, сколько как способы преобразований, комбинирования, конструирования геометрических фигур. В книге 1 рассматривается движение как преобразование треугольника в теореме о доказательстве признака равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними: «. если треугольник АВС совмещается с треугольником DEF и кладутся точка А на точку D, прямая АВ на DE, то и точка В совместится с Е вследствие того, что АВ равна DE; а так как АВ совместилась с DE, то и прямая АС совместиться с DF вследствие того, что угол ВАС равен EDF; так что и точка С совместиться с точкой F вследствие того, что АС тоже равно DF»[5, кн.1, предл. 4];

c) наряду с расширяющейся системой геометрических фигур вводятся пространственные, метрические, конструктивные свойства геометрических фигур. Например, в книге 1 пространственные свойства фигур акцентируются, доказываются, исследуются. Так, в начале книги обращается внимание на параллельность как важное пространственное свойство основных геометрических объектов - прямых, дается определение параллельных прямых: «Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той ни с другой «стороны» между собой не встречаются» [5]. Далее в предложении 27 исследуется данное свойство прямых в его зависимости от метрических свойств накрест лежащих углов при секущей прямой и доказывается признак наличия этого пространственного свойства у прямых: «Если прямая, падающая на две прямые, образует накрест лежащие углы, равные между собой, то прямые будут параллельны друг другу» [5].

Фундаментальные понятия учебной геометрической деятельности «геометрическое пространство», «геометрическая фигура», «преобразования геометрического пространства» в определенной степени исследуются авторами базовых школьных учебников по геометрии.

В учебниках Атанасяна Л.С. и др.[1], [2] не дается явного описания понятия «геометрическое пространство», хотя объекты этого пространства подробно изучаются на протяжении всего курса. Данное понятие задается неявно, а точнее - аксиоматически, то есть

через выполнение определенных свойств, описанных в аксиомах. В системе аксиом планиметрии 1-16 [2, с.344-347] и стереометрии 1-3[1, с.5-6] и происходит формирование понятия пространства геометрических фигур.

Говоря о геометрических фигурах, авторы используют неявные описательные определения, то есть приводятся примеры и чертежи уже знакомых геометрических фигур, выделяются отдельные существенные пространственные свойства, например, принадлежность плоскости или пространству, чем поясняется деление курса на планиметрию и стереометрию [2, с.3-5]. Отмечается абстрактный характер этих объектов: «Изучая свойства геометрических фигур - воображаемых объектов, мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов.» [1, с.3].

Определение понятия «преобразование геометрического пространства» также не дано в явном виде. Впервые с термином «преобразование» предполагается познакомить учащихся в 5 главе учебника для 10-11 классов [1, с.124], где речь идет о преобразовании подобия: «Преобразованием подобия с коэффициентом к > 0 называется отображение плоскости на себя, при котором любые две точки АиВ переходят в такие точки А/иВ/, что АВ = кАВ ».

Однако, несмотря на это, сама идея о преобразовании пространства как взаимнооднозначном отображении пространства на себя неявно прослеживается еще при изучении признаков равенства треугольников в главе 2, и конечно, признаков подобия треугольников в главе 7 учебника для 7-9 классов [2, с.138]. Говоря о подобии произвольных фигур, термин «преобразование» не употребляется: «Фигуры ¥ и ¥/ называются подобными, если каждой точке фигуры ¥ можно сопоставить точку фигуры ¥1 так, что для любых точек М/иМ

А ^ ММ V V

фигуры г выполняется равенство: -= к, где k - одно и то же положительное число для

ММ

всех точек» [2, с.152].

В учебнике Погорелова А.В. понятие-представление «геометрическое пространство» не дано в явном виде, а задается аксиоматически. Иными словами, первоначальные сведения о пространстве геометрических фигур, его простейших элементах, свойствах этих элементов, способах их исследования (измерение, откладывание) можно получить только из системы аксиом планиметрии ПК [6, с.5-16] и стереометрии С1-С3 [6, с.232].

Автор использует неявное описательное определение понятия «геометрическая фигура», приводит примеры и чертежи уже знакомых учащимся геометрических фигур (треугольник, квадрат, окружность). Указывается на составной и абстрактный характер любой геометрической фигуры: «Всякую геометрическую фигуру мы представляем себе составленной из точек» [6, с.3].

Впервые термин «преобразование» употребляется по отношению к геометрическим фигурам в смысле движения в §9: «Если каждую точку фигуры сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной. Преобразование одной фигуры в другую называется движением, если оно сохраняет расстояние между точками.» [6, с.137].

Далее, опираясь на введенное определение преобразования фигуры, приводится определение преобразования симметрии относительно точки: «Преобразование фигуры ¥ в фигуру ¥', при котором каждая точка X переходит в точку X', симметричную относительно данной точки О, называется преобразованием симметрии относительно точки О» [6, с.141]. После этого изучаются вопросы преобразования симметрии относительно прямой, преобразование фигур при повороте плоскости, а также параллельный перенос. При этом понятие параллельного переноса опирается на знание декартовых координат плоскости: «Преобразование фигуры ¥, при котором произвольная ее точка (х,у) переходит в точку (х+а;у+Ь), где а и Ь одни и те же для всех точек (х,у), называется параллельным переносом» [6, с.145]. Таким образом, определение понятия параллельного переноса как вида

преобразования дано без опоры на представления собственно пространства геометрических фигур.

В §11 используется определение преобразования подобия: «Преобразование фигуры Г в фигуру ¥' называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз.» [6, с.173].

Не ушел от внимания автора вопрос о преобразовании симметрии относительно плоскости: «Точка X' называется симметричной точке X относительно плоскости а, а преобразование, которое переводит точку X в симметричную ей точку X', называется преобразованием симметрии относительно плоскости а» [6, с.274].

Параллельный перенос в пространстве вводится, как и в случае с плоскостью, с использованием декартовой системы координат, то есть с опорой не на объекты пространства геометрических фигур, а на объекты трехмерного евклидова пространства: «Параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование, при котором произвольная точка (х;у;г) фигуры переходит в точку (х+а;у+Ъ;2+е), гдечислаа,Ъ,с одни и те же для всех точек (х;у;г) [6, с.278].

Определение понятия подобия пространственных фигур, напротив, опирается на представления пространства геометрических фигур в его глубокой связи с числовыми системами: «Преобразование фигуры F называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз...»[6, с.279].

Таблица 2

Анализ основных определений преобразований геометрического пространства

Определение преобразования

д и

со

В учебнике Погорелова А.В.

В учебнике Атанасяна Л.С.

В

«Началах» Евклида

и 8 Я

и

«Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной (рис.182)...такое преобразование одной фигуры в другую, которое сохраняет расстояние между точками, то есть переводит любые точки X и Y одной фигуры в точки X' и Y' другой фигуры так, что XY=X'Y'» [7,с. 122]

«.отображение плоскости на сохраняющее расстояния»

[2,с.295].

себя,

и

рк уч го

и ф

я и

о н ь

рл

т е

и

и

«Преобразование фигуры F в фигуру F', при котором каждая ее точка X переходит в точку X', симметричную относительно точки О» [7,с. 124]

«Точки А и А1 называются симметричными относительно точки О (центр симметрии), если О - середина отрезка АА1» [2,с.75]

с о н

е р

е п

й ы н ь

л е л

ар аП

«.такое преобразование, при котором произвольная точка (х,у^) фигуры переходит в точку (х+а,у+а^+а), где числа а, Ь, с одни и те же для всех точек (х,у,г)» [7,с. 128]

«Параллельный перенос на вектор а отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М1, что вектор

ММ = а » [2,с.123].

е и б

о

д

о оП

«.такое преобразование фигуры F в фигуру F', при котором расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз» [7]

Фигуры F и Fl называются подобными, если каждой точке фигуры F можно сопоставить точку фигуры Fl так, что для любых двух точек М и N фигуры F и

сопоставленных им точек М1 и N1 фигуры Fl выполнено равенство

ММ , ,

-= к, где к - одно и

М N1

то же положительное число для всех точек. Предполагается, что каждая точка фигуры Fl оказывается

сопоставленной какой-то точке фигуры F [2]._

н о а о и о С

«Поворотом плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из этой точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении...Преобразование фигур при повороте плоскости также называется поворотом» [7,с. 127]

«Поворотом плоскости вокруг точки О на угол а называется отображением плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М1, что ОМ=ОМ: и угол МОМ1 равен а» [2,с.301].

«

к н

<D

н о

о

1-н

«Пусть Б - данная фигура и О - фиксированная точка (рис.236). Проведем через произвольную точку X фигуры Б луч ОХ и отложим на нем отрезокОХ', равный к*ОХ, где к -положительное число. Преобразование фигуры Б, при котором каждая ее точка X переходит в точку X', построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О» [7,с. 154]

Выводы

Определение понятия симметричной относительно точки фигуры вводится Атанасяном Л.С. через метрическое свойство симметрии точек относительно центра (равенство расстояний до центра симметрии) и пространственное свойство положения точек и центра на одной прямой. При определении параллельного переноса автор вводит понятие вектора, которое также не является объектом пространства геометрических фигур. При определении параллельного переноса Погорелов А.В. вводит декартову систему координат, что не является объектом пространства геометрических фигур.

Определения понятия подобия вводятся авторами через метрическое свойство пропорциональности расстояний между линейными характеристиками фигур.

Закономерностями деятельности определения преобразований движения, подобия выступают:

• это понятия геометрического пространства в целом, формируются в отражении свойств реального физического пространства, позволяют выделить не отдельные геометрические фигуры, а классы фигур в структурном представлении геометрического пространства;

• определения понятий чрезвычайно важны в представлении равенства, подобия геометрических фигур как отношения эквивалентности;

• характеристические свойства движения, подобия выступают базой для обоснования пространственных, метрических характеристик геометрических фигур и пространства в целом._

Понятия о базовых (элементарных) объектах геометрического пространства - точках, прямых, плоскостях задаются с помощью аксиом, однако аксиомы представляют собой часть теории пространства геометрических фигур. Погорелов А.В. акцентирует внимание учащихся на процессе геометрического отражения лишь в задачном материале, однако задачи такого рода встречаются в той части учебника, которую предполагается изучать лишь на последнем году обучения геометрии. большинстве задач учебника речь идет об объектах геометрического пространства, и лишь начиная с §21 «Объемы многогранников», предлагаемой к изучению в 11 классе, появляется больше задач о реальных физических объектах, например, задача 20 из §21 сформулирована так: «Деревянная плита в форме правильного восьмиугольника со стороной 3,2 см и толщиной 0,7 см имеет массу 17,3 г.

Таблица 3

Анализ основных определений плоских геометрических фигур в учебниках _Погорелова А.В., Атанасяна Л.С. и в «Началах» Евклида_

Понятие фигуры

Определение учебнике Погорелова А.В.

Определение в учебнике Атанасяна Л.С.

Определение

«Началах»

Евклида

к и н ь л о

г

у

е Тре

«.фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.. .На рисунке 21 вы видите треугольник с

вершинами А,В,С и сторонами

АВ,ВС,АС...»[7, с. 12]

«Отметим какие-нибудь три точки, не лежащие на одной прямой, и соединим их отрезками (рис.49,а). Получим геометрическую фигуру, которая называется треугольником...На рисунке 49,б изображен треугольник с вершинами А,В,С и сторонами АВ,ВС и СА...» [2, с28]

Треугольник представляет собой

трёхстороннюю фигуру, содержащуюся между тремя

прямыми [5,кн.1,опр19].

к и н ь л о

г

у

е £

й и н н

о р

о т с о н в а

Рч

«Треугольник, у которого все стороны равны...» [7, с.32]

«Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним (рис.63 б)». [2, с. 35]

«Из

трёхсторонних фигур

равносторонний треугольник есть фигура, имеющая три равные

стороны.» [5, кн. 1,опр. 20]

в

в

и к я

л п о 1-

<D £

5 S

3 я

л п о 1-

о «

«Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол» [7, с.48]

«Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называют прямоугольным.. .На рисунке 126,в изображен прямоугольный треугольник ABC» [2, с. 71]

«Кроме того, из

трёхсторонних

фигур

прямоугольный треугольник есть имеющий прямой угол.» [5, кн. 1,опр. 21]

Выводы

Понятие треугольника и его видов в учебниках формулируется на базе интуитивных, образных представлений базовых понятий учебной геометрической деятельности.

Образное представление треугольника как класса геометрических фигур выстроено в системе конструктивных свойств (выбор трех точек, не лежащих на одной прямой; построение трех прямых, проходящих через три пары различных точек), в спектре исполнительских и перцептивных действий (выбор внутренней части плоскости, которая является общей для полуплоскостей), с использованием пространственных, метрических свойств геометрического пространства.

Определение выстроено в родо-видовом подходе.

Треугольник - плоская геометрическая фигура, обладающая системой характеристических свойств:

• выделена тремя точками (вершинами) на плоскости, не лежащими на одной прямой;

• ограничена тремя отрезками (сторонами), соединяющими попарно три выделенных вершины;

• содержит внутреннюю часть плоскости, ограниченную сторонами треугольника;

• структурирована тремя внутренними углами (углами треугольника), образованными сторонами, исходящими из каждой вершины;

• характеризуется метрическими характеристиками длины отрезков, величины углов, площади, геометрического пространства;

• допускает преобразования движения, подобия, проектирования геометрического пространства;

• позволяет выделять свои конструктивные элементы (медианы, высоты, биссектрисы, средние линии и т.д.).

Далеко не все из характеристических свойств треугольника, его подклассов выделены авторами, но предполагаются очевидными.

Систематизация класса всех треугольников осуществляется введением новых характеристических свойств, позволяющих определять его важные в геометрической деятельности подклассы

Подход Евклида к определению прямоугольного треугольника, основанный на введении пространственных свойств угла треугольника и смежного с ним, на наш взгляд, способствует формированию адекватного мысленного образа этой фигуры и является надежным основанием для последующего исследования градусной или любой другой меры углов треугольников. Кроме того, именно на евклидовом понимании равенства сторон, углов треугольников основано понятие о равенстве треугольников, что и зафиксировано в признаках равенства, предлагаемых к изучению в рассмотренных учебниках.

тр

е м и

ани

л п(

е ы

м

я р

п

е ы н ь

л е л

ар аП

«Две прямые

называются параллельными, если они не пересекаются. На рисунке 24 показано, как с помощью угольника и линейки провести через данную точку В прямую Ь, параллельную данной прямой а» [7,с.13]

«Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются .На рисунке 98

изображены прямые а и Ь, перпендикулярные к прямой с.они параллельны» [2, с. 54]

«Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи

продолжены в обе стороны

неограниченно, ни с той ни с другой «стороны» между собой не

встречаются» [5, кн. 1, опр. 23]

рт

е м и

ани

л п

я р

п е ы

н р

я

л

лку

и

д

н

е

п р

е еП

«Две прямые

называются перпендикулярными, если они

пересекаются под прямым углом»

(рис.37)» [7, с.24]

«Рассмотрим две пересекающиеся прямые (рис.42). Они образующие четыре неразвернутых угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис. 42), то остальные углы тоже прямые. Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла» [2, с. 22]

«Когда же прямая, восстановленная на <другой> прямой, образует рядом углы,

равные между собой, то каждый из равных углов есть прямой, а восставленная прямая называется перпендикуляром к той, на которой она

восставлена» [5, кн. 1, опр. 10]

Выводы

Определения параллельных и перпендикулярных прямых в учебниках опираются как на графические изображения, так и на фиксацию их характеристических свойств.

Понятие прямой является родовым понятием для анализа их взаимного расположения в пространстве.

В описании свойств взаимного расположения прямых авторы используют не сформированное понятие принадлежности прямой плоскости, плоским углам ставят в соответствие точно определенную градусную меру, отсутствующую в субъектном плане. В результате определения параллельных и перпендикулярных прямых вне интуитивного зрительного образа не формируются.

Две прямые называются параллельными, если: • прямые имеют различное положение в пространстве; _•_прямые лежат в одной плоскости;_

• прямые не имеют общих точек.

Две прямые называются перпендикулярными, если:

• прямые имеют разное расположение в пространстве;

• прямые принадлежат одной плоскости;

• прямые имеют общую точку;

• образуемые пересечением прямых углы имеют одинаковую градусную меру. Евклид для определения параллельных корректно оговаривает, что они находятся в одной

плоскости. Для перпендикулярных употребляется слово «восстановленная», что указывает на наличие точки пересечения. В основе определения перпендикулярных прямых у Евклида лежит понятие равенства смежных углов. Таким образом, для введения понятий как перпендикулярных, так и параллельных прямых, Евклид фиксирует пространственные свойства прямых.

г

у

& ь,

т с о н

ж

у

рук О

«.фигура, которая состоит из всех точек плоскости,

равноудаленных от данной точки,

называемой центром окружности» [7, с.24]

Рис. 77

«Кругом называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, расстояние от которых до данной точки не больше данного» [7, с.203]

«.геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки» [2, с.43]

«Часть плоскости,

ограниченная окружностью, называется кругом» [2, с. 44]

«Круг есть плоская фигура, содержащаяся внутри одной линии, которая называется

окружностью, на которую все из одной точки внутри фигуры падающие прямые равны между собой» [5, кн1, опр15].

«.из всякого центра и всяким раствором <может быть> описан круг [5, кн. 1, постулат 3]

Выводы

Авторы учебников при определении понятий окружности и круга не используют родовое понятие геометрической фигуры, опираются как на интуитивные субъектные образы, так и на не сформированные понятия длины отрезка между точками, множества всех точек расстояние между которыми не больше фиксированного. В результате образы новых геометрических фигур и система их свойств в субъектном плане оказываются рассогласованными, воспринимаются вне контекста систематизации геометрических фигур геометрического пространства.

Окружностью называется геометрическая фигура, которая обладает характеристическими свойствами:

• является плоской геометрической фигурой; _•_характеризуется фиксированной точкой на плоскости и фиксированным

положительным числом;

• предполагает неограниченный выбор точек на плоскости, удалённых от фиксированной точки на расстояние, равное фиксированному положительному числу;

• образована множеством всех точек, удаленных от данной точки на данное расстояние;

• множество равноудаленных точек оказывается бесконечным, образует линию на плоскости, задаваемую определенным инструментом.

Аналогично в системе необходимых и достаточных свойств выборного, конструктивного, исполнительского планов может быть определен круг.

Евклид указывает на окружность как вид линий, то есть задает в качестве родового понятия линию, сформированную лишь на интуитивном уровне. При этом фиксация метрических, конструктивных свойств у окружности, круга не приводит к математическим определениям.

и т с о н

нжу р

к о к

н ь

л е

ате аас

«Прямая,

проходящая через точку окружности перпендикулярно к радиусу,

проведенному в эту точку, называется касательной. На рисунке 95 .прямая а является точкой касания» [7, с.59]

«Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. На рисунке 212 прямая р -касательная к окружности с центром О, А - точка касания» [2, с. 166]

«Утверждают, что прямая касается круга, если она встречает круг, но при продолжении не пересекает круга» [5, кн. 3, опр. 2].

Выводы

В задаче понятийной систематизации геометрических фигур значимую роль играют их различные комбинации. Понятие касательной к окружности возникает в задаче исследования взаимного расположения прямой и окружности в качестве одного из базовых пространственных свойств. Развитие зрительных пространственных образов различного расположения прямой и плоскости в понятийной форме базируется на фундаментальном понятии расстояния от точки до прямой.

Определение касательной в учебнике Атанасяна Л.С. дано через фиксацию пространственного свойства прямой и окружности (круга) - прохождение прямой через точку окружности (круга), вне задачи расположения прямой и окружности, не выходит за пределы визуальных геометрических представлений.

В понятийном плане касательная к окружности выступает граничным условием разделения совокупности прямых, пересекающих окружность в двух точках с отсечением хорды и стягиваемой ею дуги и совокупности прямых, не пересекающих окружность. Введению понятия должен предшествовать конструктивно устанавливаемый факт существования касательной к окружности, проведенной в определенной точке окружности.

Касательной к окружности называется прямая, которая характеризуется свойствами:

• находится в одной плоскости с окружностью;

• проходит через фиксированную точку плоскости, расположенную вне окружности;

• имеет с окружностью только одну общую точку;

• строится как перпендикуляр к радиусу, проведенному в точку касания;

• разбивает множество прямых плоскости, проходящих через фиксированную точку, на класс прямых. имеющих с окружностью две общие точки, и класс прямых, не имеющих с окружностью общих точек._

«Простая замкнутая (концы совпадают) ломаная называется многоугольником, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой (рис. 278)»

и к я

л

«

о 1-

о

(ч

О Я

« «

и

л и

и

S

я

л

«

о 1-

о

(ч

О Я

«Плоским многоугольником . называется конечная часть плоскости, ограниченная

многоугольником (рис.279)»

«Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости

относительно любой,

содержащей его сторону» [7, с.180]

Рассматривается фигура, составленная из отрезков AB, BC, CD,.,EF, FA так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек. «Такая фигура называется многоугольником (рис.150)»

«Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. На рисунке 154 многоугольник является выпуклым.» [2, с.98-99]

«Фигура есть то, что содержится внутри какой-нибудь или

каких-нибудь границ» [5,кн1,опр14]. «Прямолинейные фигуры суть те, которые содержатся между

прямыми,

трёхсторонние — между тремя,

четырёхсторонние же — четырьмя,

многосторонние же — которые содержатся между более чем четырьмя прямыми» [5, кн. 1, опр. 19].

к и н ь л о

г

у

х

е р

ы т е

«.фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой» [7, с.72]

«Каждый четырехугольник имеет 4 вершины, 4 стороны и 2 диагонали (рис.156)»

[2, с.99]

«.четырёхсторонние фигуры суть те, которые содержатся между

четырьмя. прямыми» [5, кн. 1, опр. 19].

а р

г о

л е л л

а ара

аП

«Четырехугольник, у которого противолежащие стороны

параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых» [7, с.73]

«.четырехугольник, у

которого противоположные стороны попарно

параллельны. На рисунке 157 изображен параллелограмм АВСБ...» [2, с. 101]

«Из четырёхсторонних фигур. ромбоид

(параллелограмм) есть та, которая имеет противоположные стороны и углы, равные между собой, но не являющаяся ни

равносторонней ни прямоугольной» [5, кн. 1, опр. 22].

«Четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. На рисунке 135 вы видите трапецию АВСБ...» [7, с.80]

я

и ц

е п

а £

«Четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны (рис.161)» с.103]

[2,

«.Остальные же

четырёхсторонники будем называть

трапециями» [5, кн. 1, опр. 22].

Выводы

Авторы учебников общеобразовательного курса геометрии дают определения понятий через фиксацию отношений классов фигур в схеме «род-вид», через указание характеристических признаков каждого вида четырехугольника, при этом указываются конструктивные свойства (составленность из точек, отрезков, невозможность принадлежности вершин одной прямой), пространственные (параллельность сторон, фигуры являются плоскими) и метрические отношения (равенство сторон фигуры, углов).

Методологически верным, идущим от Евклида, выступает формирование понятий в системе, с добавлением характеристических (пространственных, метрических, конструктивных) свойств вместе с исследованием их взаимных связей, свойств-следствий определений.

Существенным нарушением методологии определения и систематизации класса всех многоугольников выступает отдельное изучение подкласса треугольников - вне схемы «род - вид - определение - свойства».

Многоугольник (выпуклый) - плоская геометрическая фигура, обладающая системой характеристических свойств:

• выделена конечным упорядоченным множеством точек (вершин) на плоскости, любые три из которых не лежат на одной прямой;

• ограничена конечным числом отрезков (сторон), соединяющих попарно последовательные вершины;

• для любой прямой, соединяющей последовательные вершины, все остальные вершины находятся в одной полуплоскости;

• содержит внутреннюю часть плоскости, ограниченную ее сторонами;

• структурирована соответствующим множеством внутренних углов (углов многоугольника), образованных сторонами, исходящими из каждой вершины;

• характеризуется метрическими характеристиками (длины отрезков, величины углов, площади) геометрического пространства в их взаимной связи;_

• допускает преобразования движения, подобия, проектирования геометрического пространства;

• позволяет выделять свои конструктивные элементы, находиться в комбинации с другими геометрическим фигурами пространства._

Фундаментальные свойства формы, меры, пространственной расположенности, субъектной ориентации категории геометрического пространства проявляются в системе пространственных, метрических, конструктивных свойств геометрических фигур, преобразований геометрического пространства.

В математическом отражении свойства формы геометрическое пространство представлено плоскими и пространственными геометрическими фигурами. Плоские геометрические фигуры систематизируются на многоугольники, окружности и их комбинации. Пространственные геометрические фигуры разбиваются на классы призм, пирамид,цилиндров, конусов, сфер и их различных комбинаций.

В математическом отражении свойств меры геометрические фигуры обладают свойством измеримости - приписывания определенным конструктивным элементам фигуры соответствующих метрических величин: отрезкам прямых - понятия длины, плоским углам между прямыми - величины угла, плоским геометрическим фигурам - площади, пространственным геометрическим телам - объема. В наглядно-образной модели геометрического пространства на базовых геометрических фигурах (отрезки, углы между прямыми, многоугольники, многогранники) метрические величины задаются на наглядно-интуитивном уровне, на расширениях базовых классов геометрических фигур - в содержании метода предельного перехода.

Исследуем, каким образом в учебную геометрическую деятельность авторы школьных учебников вводят:

• систему пространственных свойств геометрических фигур (свойств, связанных с положением фигур относительно друг друга);

• систему метрических свойств геометрических фигур (свойств, связанных с такими характеристиками геометрических фигур как длины сторон, величины плоских углов, площади плоских граней, сечений, объемы);

• систему конструктивных свойств геометрических фигур (свойств, связанных со структурой фигур, отношением их частей друг к другу и последовательностью строения).

В учебнике Погорелова А.В. вначале на примере рисунков показано, каким образом могут располагаться на плоскости простейшие геометрические фигуры - точки и прямые. Затем пространственное свойство принадлежности точек и прямых на плоскости фиксируется с помощью аксиомы I планиметрии: «Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну». Далее фиксируется основное свойство расположения точек на прямой также в виде аксиомы: «Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими» [6].

Свойство параллельности является одним из наиболее значимым в геометрии. У Евклида свойство параллельности рассматривается одним из первых: «Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той ни с другой «стороны» между собой не встречаются»[5].

В учебнике Погорелова А.В. дается определение параллельных прямых: «Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются» [6, с.16]. Автор не уточняет, что рассматриваемые прямые находятся на плоскости (в пространстве оно теряет здравый смысл), однако, это подразумевается, поскольку тема изучается в разделе «Планиметрия» учебника. Затем, сразу же после введения определения дается основное свойство параллельных прямых, зафиксированное в качестве аксиомы планиметрии IX: «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной» [6].

Таблица 4

Анализ основных геометрических отношений в учебниках Погорелова А.В., Атанасяна Л.С. и в «Началах» Евклида

Отноше ние

Определение отношения в учебнике Погорелова А.В.

Определение отношения учебнике Атанасяна Л.С.

Определение отношения в

«Началах» Евклида

л

н о о

Я

*

<D

п

я я

£

«Посмотрите на рисунок 4. Вы видите прямые а,Ь и точки А,В,С. Точки А и С лежат на прямой а. Можно сказать также, что точки А и С принадлежат прямой а или что прямая а проходит через точки А и С» [7, с.5]

«Прямую, на которой отмечены две точки, например А и В, иногда обозначают двумя буквами: АВ или ВА. Для краткости вместо слов «точка А лежит на прямойа» используют запись Аеа, а вместо слов «точка В не лежит на прямой а» -запись Вёа» [2, с.6]

о и о

<D

£

<D

'S о

<D

(ч

о и н о Я

<D И Й Рч

«Два отрезка называют равными, если они имеют одинаковую длину. Два угла называют равными, если они имеют одинаковую угловую меру в градусах. Треугольники называют равными, если у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны» [2, с.12] «Две фигуры называются равными, если они движением переводятся одна в другую» [2, с.133]

«Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить

наложением»

«И совмещающиеся друг с другом равны между собой» [5,кн. 1,акс.7]. «Равные же и подобные телесные фигуры будут

заключённые между равными по количеству и по величине подобными

плоскостями» 11, опр.10].

[4,

кн.

«.если существует наложение (акс.11-17), при котором фигура Ф отображается на фигуру Ф1, то мы говорим, что фигуру Ф можно совместить наложением с фигурой Ф1 или что фигура Ф равна фигуре Ф1» [2, с.11]_

в

К ю о ч о С

«Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия» [7, с.156]

«В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Так, подобными являются любые два квадрата, любые два круга.. .Два треугольника

называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам

другого» [2, с.138-139]

«Подобные прямолинейные фигуры суть те, которые имеют углы равные по порядку и стороны при равных углах

пропорциональные» [5, кн. 6, опр.1]. «Подобными телесными фигурами будут заключённые между равными по количеству подобными плоскостями» [4, кн. 11, опр.9]_

Пространственные свойства постулируются в учебнике Погорелова А.В. и в аксиомах (1,2,4-9, С1-С3), и в различных теоремах.

Метрические свойства наиболее активно исследуются в учебнике Погорелова А.В., начинается знакомство с ними с вопроса об измерении отрезков. Оговаривается, что производить измерения можно с помощью различных инструментов, а основное свойство измерения отрезков фиксируется в III аксиоме: «Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой» [6, с.7]. Аналогично вводится основное свойство измерения углов, то есть сначала с описанием процесса измерения с помощью транспортира, а затем в виде аксиом учебника. Определение понятий длины, величины угла задается аксиоматически, а не в содержании представлений геометрического пространства.

Понятие площади вводится аксиоматическим определением: «Площадь - это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

1) равные фигуры имеют равные площади;

2) если фигура разбивается на части, являющиеся простыми фигурами, то площадь этой фигуры равна сумме площадей ее частей;

3) площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна единице» [6,

с.216].

Формирование систем пространственных, конструктивных, метрических свойств геометрических фигур происходит через теоретический и задачный материал учебника Погорелова А.В. как с опорой на образные представления, так и на представления теории, при этом указанные виды представлений «наслаиваются» друг на друга.

На первый план в преподавании геометрии у Погорелова А. В. выступает аксиоматика, которую он сразу же приводит. Происходит чередование представлений теории (евклидовой геометрии) и представлений геометрического пространства при изучении различных свойств фигур

В учебнике Атанасяна Л.С. и др. авторы предлагают рассмотреть важное пространственное свойство точек и прямых: «Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну». Данное утверждение авторы делают с опорой на рисунок, показывая, что через «точки А и В нельзя провести другую прямую, не совпадающую с прямой а» [2, с.5]. В отличие от учебника Погорелова А.В., здесь не наблюдается столь резких переходов от представлений пространства к представлениям теории этого пространства и наоборот. Изложение сопровождается множеством чертежей и рисунков, что говорит о том, что на первый план авторы выдвигают важность формирования пространственных представлений учащихся, осуществляемой посредством деятельности представливания.Говоря о длине отрезков, авторы опираются на аксиомы длины, хотя не

фиксируют их в этом качестве, а лишь выделяют жирным шрифтом важные для определения этого понятия утверждения: «Выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, то есть выразить его длину некоторым положительным числом», «равные отрезки имеют равные длины», «меньший отрезок имеет меньшую длину», «когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков» [2, с.14-15].

Аналогично изучается понятие градусной меры угла, выделяются необходимые для правильных представлений утверждения: «.положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле», «равные углы имеют равные градусные меры», «меньший угол имеет меньшую градусную меру», «когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов» [2, с.18-19].

Пространственные, конструктивные, метрические свойства геометрических фигур заданы как в аксиомах, так и в формулировках теорем. Данные свойства рассматриваются во взаимной связи. Формирование представлений о свойствах фигур осуществляется с опорой на рисунки и чертежи, то есть описание свойств происходит в пространстве геометрических фигур. Процесс геометрического отражения свойств реального пространства слабо акцентирован как при изложении материала учебника, так в задачах.

Таблица 5

Анализ основных определений пространственных геометрических фигур в учебниках _Погорелова А.В.,Атанасяна Л.С. и в «Началах» Евклида_

Понят ие

фигур

ы

Определение в учебнике Погорелова А.В.

Определение в учебнике Атанасяна Л.С.

Определение «Началах» Евклида

и 8 Я Я а а

и о и о я

«В стереометрии

изучаются геометрические тела, ограниченные

конечным числом плоских многоугольников, -

многогранники» [7, с.215]

1) «поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело» [2,с.309]

2) «тело, ограниченное многогранником» [2, с.310]

«Тело есть то, что имеет длину, ширину и глубину». Все многогранники Евклид называет «телесными фигурами» [4, кн. 11, опр. 1]

а

м з и

£

«Многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников» [7, с.215]

«Многогранник, составленный из двух равных многоугольников, расположенных в

параллельных плоскостях, и п параллелограммов,

полученных путем

соединения

соответствующих вершин многоугольников» [2, с.311]

«Призма есть телесная фигура, заключённая

между плоскостями, из которых две

противоположные равны, подобны и параллельны, остальные же

параллелограммы» [4, кн. 11, опр. 13].

в

а ч к

1 а к С

«Многогранник, который состоит из плоского многоугольника-основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания,-вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания» [6, с.76]

«.многогранник, составленный из п-угольника и п

треугольников, полученных путем соединения некоторой

точки отрезками вершинами этого угольника» [1, с.69]

с n-

«Пирамида есть телесная фигура, заключённая

между плоскостями <и> восставленная от одной плоскости к одной точке» [4, кн. 11, опр. 12].

и

е к еи

л

н

Л

«

и в

а р

н н

а р

г о г о н

Выпуклый многогранник, грани которого являются правильными

многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине

многогранника сходится одно и то же число ребер

Ж_

Выпуклый многогранник, у которого все грани - равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер [1].

Все правильные

многогранники Евклид описывает как «телесные фигуры», заключающиеся между равными и равносторонними плоскими фигурами [4].

Выводы

Авторы учебников Атанасян Л.С. и Погорелов А.В. выстраивают изложение материала о многогранниках и его видах с опорой на их визуальные условные изображения, способы конструирования, систематизация в схеме «род-вид».

В качестве многогранников изучаются не всевозможные, а лишь три типа - призмы, пирамиды, правильные многогранники, отражающие соответствующие фундаментальные преобразования пространства (параллельное проектирование, центральное проектирование, симметрию).

Общей задачей учебной геометрической деятельности, со времен Евклида, выступает исследование пространственных, конструктивных, метрических свойств многогранников в их взаимной связи.

Многогранником в геометрическом пространстве называется геометрическая фигура (класс фигур), обладающая системой характеристических свойств:

• выделенная конечным множеством упорядоченных точек, любые три из которых не лежат на одной прямой;

• ограниченная в пространстве плоскими многоугольниками (гранями), попарно пресекающимися по прямым (ребрам), в точках (вершинах) при пересечении трех плоских многоугол ьников;

• отражающая фундаментальные преобразования геометрического пространства - симметрию в форме класса правильных многогранников, параллельное проектирование в форме класса призм, центральное проектирование в форме класса пирамид;

• для любой плоскости, определенной вершинами многоугольника любой из граней, все остальные вершины находятся в одном полупространстве;

• содержащая внутреннюю часть геометрического пространства, ограниченную гранями;

• обладающая определенным пространственным образом в форме условного изображения, выполненного определенными конструктивными средствами, средами;

_•_расширяющая спектр метрических характеристик многоугольников целостной

характеристикой пространственных фигур (объемом), системно связанной с метрическими характеристиками плоских фигур; • допускающая преобразования движения, подобия, проектирования геометрического пространства; • позволяющая выделять свои конструктивные элементы, находиться в комбинации с другими геометрическим фигурами геометрического пространства.

Конус «.тело, которое состоит из круга -основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания» [6, с.93] «Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L.Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов» [1, с. 135] ^основание «Конус будет если при неподвижности одной из сторон прямоугольного треугольника, <прилежащих>к прямому углу, вращающийся треугольник снова вернётся в то же самое <положение>, из которого он начал двигаться, то охваченная фигура <и есть конус>. И если неподвижная прямая будет равна другой, вращающейся, [той, что] при прямом угле, то конус будет прямоугольным, если же меньше, то тупоугольным, если же больше, то остроугольным» [4, кн. 11, опр. 18].

Шар «.тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки.Шар.получае тся вращением полукруга вокруг его диаметра» [6, с.96] «Тело, ограниченное сферой» [1,с. 141].

а р

е ф

и

«Граница шара или шаровая поверхность. Точками сферы

являются все точки шара, которые

удалены от центра на расстояние, равное радиусу» [6, с.96].

«.поверхность, всех точек расположенных расстоянии от называемой сферы.. .Сфера получена полуокружности

состоящая из пространства, на данном данной точки, центром может быть вращением вокруг ее

диаметра» [1, с. 140-141]

«Сфера будет; если при неподвижности диаметра полукруга, вращающийся полукруг снова вернётся в то же самое <положение>, из

которого он начал двигаться, то охваченная фигура <и есть сфера>»[4, кн. 11, опр. 14].

и л и

«.тело, которое

состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов» [6, с.90]

«Тело, ограниченное

цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L1. Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника

вокруг одной из его сторон» [1, с.131]

«Цилиндр будет: если при неподвижности

одной из

сторон прямоугольного параллелограмма, <прилегающих>к прямому углу,

вращающийся параллелограмм снова вернётся в то же самое <положение>, из

которого он начал двигаться, то охваченная фигура <и будет цилиндром>» [4, кн. 11, опр. 21].

Итак, в мысленной конструкции геометрического пространства совокупность геометрических фигур представлена в виде определенных пространственных геометрических образов. Их формирование осуществляется в системах условных геометрических изображений. В отличие от натуральных вещественных физических моделей, изображения геометрических фигур передают не только внешние особенности рассматриваемого предмета, но и способствуют передаче скрытых от непосредственного восприятия его свойств. В методическом плане для правильного восприятия образа по чертежу или, наоборот, создания таких геометрических условных изображений необходима специальная система знаний и приемов, которые опосредуют процесс формирования образа.

Кроме того, для мысленного создания адекватных геометрических образов недостаточно выделения формы физического объекта и построения его условно-графических изображений. Важно также выяснить метрические, пространственные, конструктивные

свойства исследуемой геометрической фигуры. Дело в том, что именно они, в сочетании со свойством формы, однозначно определяют саму геометрическую фигуру (класс) в бесконечном пространстве геометрических фигур. Установление всех этих свойств - процесс не одномоментный. Он осуществляется в результате исследования образа, подвергая его различным преобразованиям: подобия, движения, проектирования. Данные виды преобразований являются фундаментальными, поскольку именно в результате преобразований подобия, движения, проектирования могут быть в полной мере установлены свойства геометрической фигуры. «Пространственные свойства и отношения, - пишет И.С. Якиманская, - могут быть выявлены, изучены лишь в ходе активной преобразующей деятельности субъекта, направленной на трансформацию объектов» [9].

Создание образов геометрических фигур, оперирование образами осуществляется в отдельном виде учебной геометрической деятельности - деятельности представливания с главной задачей формирования пространственных геометрических представлений. Деятельность представливания является основным механизмом пространственного мышления и обеспечивает восприятие заданных пространственных соотношений, их мысленную переработку и создание на этой основе новых пространственных образов. По И.С. Якиманской, результатом деятельности представливания выступают представления или образы фигур.

Образ, в свою очередь, на данном этапе формирования пространственного мышления лежит в основе геометрических понятий. Иными словами, пространственный образ первичен в данном случае по отношению к понятийному образу.

В.А. Гусев утверждает, что в «.развитых формах пространственное мышление выступает как интеграция понятийного и образного видов мышления». Основными оперативными единицами указанных видов мышления выступают понятие и образ, которые связываются между собой в процессе выполнения учебной деятельности. Значит, в процессе учебной геометрической деятельности пространственные образы геометрических фигур, преобразований, отношений, свойств связываются с соответствующими им понятиями.

Результатом деятельности представления выступают следующие пространственные образы или представления: представление геометрического пространства (как целостного образа в системе характеристических свойств, в образах геометрических фигур и их преобразований, в процедурах классификации, систематизации геометрических фигур); представление (образное и понятийное) классов геометрических фигур, объединенных понятием «геометрическая фигура» (трапеция, пирамида, конус и т.д.) в геометрическом пространстве.

Формирование пространственного образа геометрической фигуры во внутреннем плане субъекта происходит в спектре закономерных этапов:

1. Выделение из всей совокупности реальных тел некоторого определенного физического предмета. На этом этапе исследуется положение предмета, конструктивная форма предмета (не только с точки зрения внешнего строения, но и обнаруженных внутренних особенностей, компонент и взаимного их расположения в составе предмета), размер, внешний вид в различных системах отсчета. Понятие «конструктивная форма предмета» означает те признаки, которые присущи каждому предмету действительности (сферическая или граненая поверхность, пропорции и пространственная взаимосвязь отдельных частей предмета), при этом исключаются такие несущественные признаки как цвет, фактура поверхности, степень прозрачности, материал. Результатом прохождения этого этапа становится физическая модель реального предмета.

2. Создание абстрактного объекта геометрического пространства -геометрической фигуры. Вводится понятие-имя рассматриваемой фигуры, которое на самом деле описывает целый класс геометрических объектов подобного рода.

3. Получение условных геометрических изображений геометрической фигуры. Построение изображения должно осуществляться различными конструктивными

средствами, средами, учитывая особенности проектирования и требования наглядности, удобства для последующего исследования фигуры.

4. Исследование свойств (конструктивных, пространственных, метрических) геометрической фигуры в ходе активной преобразующей деятельности человека, направленной на становление пространственных представлений, пространственного воображения:

a) производится «выделение, аналитическое описание пространственных, метрических, конструктивных свойств геометрической фигуры в их взаимной связи и обусловленности с позиции создания внутреннего пространственного образа;

b) осуществляется конструирование, аналитическое описание фундаментальных преобразований движения, подобия, проектирования на множестве геометрических фигур с целью освоения методов преобразований в геометрическом пространстве;

c) выполняется словесное и конструктивное оперирование изображениями геометрических фигур в процедурах их комбинирования, преобразований по форме, структуре, пространственному положению для обеспечения динамичности внутренних пространственных образов;

ё) реализуется преобразование, проектирование, масштабирование во внутреннем плане образов геометрических фигур в процессе создания новых физических моделей, их целостных конструкций» [3].

5. Формирование адекватного мысленного пространственного образа в представлении геометрической фигуры, преобразование образа по форме, положению в деятельности воображения. В основе представлений на данном этапе - образы, содержанием которых является воспроизведение и преобразование пространственных свойств и отношений объектов действительности, в основе воображения - творческая деятельность субъекта.

Закономерностью понятийного формирования геометрических фигур, преобразований геометрического пространства выступает общая схема «наглядное изображение геометрической фигуры - пространственный геометрический образ геометрической фигуры - понятие геометрической фигуры в полной системе свойств».

1. «Трапеция - плоский четырехугольник с парой параллельных и парой непараллельных сторон. Данная геометрическая фигура является отображением многих моделей реального пространства, используется в человеческой практике. Ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме, что вытекает из свойства параллелограмма в дополнительном построении. По численным значениям оснований, высоты может быть вычислена ее площадь - на основе теоремы о площади треугольника. Возможно установление новых свойств трапеции, если в нее можно будет вписать окружность. Трапеции возникают во многих сечениях пирамид, тогда свойства трапеции позволяют изучать свойства пирамид».

2. «Пирамида - пространственная фигура, многогранник, который состоит из плоского многоугольника-основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания -вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания. Данная фигура является отображением многих моделей физического пространства, часто используется в человеческой практике. Если в основании пирамиды находится правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника, то данную пирамиду называют правильной. У такой пирамиды боковые ребра равны, а боковые грани -равные равнобедренные треугольники. По численному значению полупериметра основания и апофемы можно вычислить площадь боковой поверхности правильной пирамиды. А зная площадь основания и высоту, можно узнать объем любой пирамиды. Если пересечь пирамиду плоскостью, параллельной основанию, то получится пирамида, подобная исходной и усеченная пирамида. Возможно установление новых свойств пирамиды, если вписать ее в конус. Если все грани треугольной пирамиды - равносторонние треугольники, то такая фигура обладает пространственной симметрией»

3. «Сфера - пространственная фигура, поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки, называемой центром сферы. Сфера является шаровой поверхностью. Данная фигура является отображением многих моделей физического пространства, часто используется в человеческой практике. Если пересечь сферу плоскостью, то в сечении получим окружность, по метрическим свойствам которой можно получить метрические свойства сферы. Зная радиус сферы можно вычислить объем шара, ограниченного этой сферой. Данная фигура обладает пространственной симметрией. По значению радиуса сферы может быть вычислена площадь ее поверхности. С помощью сферы, в процедурах вписывания и описывания, можно также исследовать свойства других пространственных фигур - многогранников».

4. «Подобие - это такое преобразование фигуры F в фигуру F', при котором расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз. Подобие как явление наблюдается в природе и человеческой практике. Подобие переводит прямые в прямые, отрезки в отрезки, полупрямые в полупрямые, а также сохраняет углы между полупрямыми. Подобие фигур транзитивно. С помощью данного вида преобразований можно устанавливать метрические свойства геометрических фигур, например, треугольников».

Список литературы

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия, 10-11: учеб.для общеобразоват. Учреждений: базовый и профил.уровни. - 18-е изд. - М: Просвещение, 2009. - 255c.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия, 7-9: учеб.для общеобразоват. учреждений. - М: Просвещение, 2010. - 384с.

3. Горбачев В.И. Закономерности исследования геометрических фигур в евклидовом пространстве // Ученые записки Брянского государственного университета. -2016. - № 4. - С. 18-29.

4. Евклид, Начала. Книги VII-X. Пер. с греч. и коммент. Д. Мордухай-Болтовского. - М., Л.: ГИТЛ, 1948.

5. Евклид. Начала. Книги I-VI. Перевод с греческого Д. Д. Мордухай-Болтовского по изд. Гейберга при редакционном участии И. Н. Веселовского и М. Я. Выгодского. 2-е изд. - М., Л.: ГИТЛ, 1950. - 447с.

6. Погорелов А.В. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и профил.уровни. - 13-е изд. - М.: Просвещение, 2014. - 175с.

7. Погорелов А.В. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2014. - 240с.

8. Яглом И. М. Математика и реальный мир. - М.: Знание, 1978. - 64с.

9. Якиманская И. С. Развитие пространственного мышления школьников. - М.: Педагогика, 1980. - 240 с.

Сведения об авторе

Пузырева Елизавета Николаевна - аспирант кафедры математического анализа, алгебры и геометрии Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского, e-mail;[email protected].

REPRESENTATION OF A VISUAL-FIGURATIVE MODEL OF GEOMETRIC SPACE IN EDUCATIONAL GEOMETRIC ACTIVITIES

E.N. Puzyreva

Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky

In the content of a visual-figurative model in the system of spatial images and concepts of geometric figures, a figurative level of spatial geometric thinking, an important component of human intelligence, is formed. An analysis is made of the definitions of classes of geometric figures, transformations, relations presented in geometry textbooks and in Euclid's Elements.

Keywords: educational geometric activity, spatial geometric thinking, visual-figurative model of geometric space.

References

1. Atanasyan L.S., Butuzov V.F. et al. Geometry, 10-11: studies.for general education. Institutions: basic and profile.levels. - 18th ed. - Moscow: Enlightenment, 2009. - 255 p.

2. Atanasyan L.S., Butuzov V.F. et al. Geometry, 7-9: studies.for general education. institutions. - Moscow: Prosveshchenie, 2010. - 384p.

3. Gorbachev V.I. Regularities of the study of geometric figures in Euclidean space // Scientific notes of Bryansk State University. - 2016. - No. 4. - pp. 18-29.

4. Euclid,The Beginning. Books VII-X. Translated from Greek. and comment. D. Mordukhai-Boltovsky. - M., L.: GITL, 1948.

5. Euclid. Beginnings. Books I-VI. Translated from the Greek by D. D. Mordukhai-Boltovsky according to ed. Geiberg with the editorial participation of I. N. Veselovsky and M. Ya. Vygodsky. 2nd ed. State Publishing House of Technical and Theoretical Literature. Moscow-Leningrad, 1950. - 447 p.

6. Pogorelov A.V. Geometry. Grades 10-11: studies. for general education. organizations: basic and profile.levels. - 13th ed. - M.: Enlightenment, 2014. - 175 p.

7. Pogorelov A.V. Geometry. Grades 7-9: studies. for general education. Organizations. -2nd ed. - M.: Enlightenment, 2014. - 240 p.

8. Yaglom I. M. Mathematics and the real world. - M.: Knowledge, 1978. - 64 p.

9. Yakimanskaya, I. S. Development of spatial thinking of schoolchildren. - M.: Pedagogy, 1980. - 240 p.

About author

Puzyreva E.N. - postgraduate student of the Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry of the Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: puzyreva-knysh@yandex. ru.