CC BY-NC
36Основы системы развития и контроля визуально-алгоритмического мышления
Юрков Виктор Юрьевич
доктор технических наук
профессор, кафедра прикладной информатики и математики, Омский государственный педагогический
университет
644099, Россия, Омская область, г. Омск, наб. Тухачевского, 14, каб. 222
Статья из рубрики "Новые методики и технологии"
Аннотация.
Предметом исследования является метод и система контроля и развития визуально-алгоритмического мышления учащихся высших учебных заведений. Автор вводит понятия визуальный анализ и визуальный синтез, а также понятия активной, пассивной и мысленной визуализации задач из геометрии, анализа, механики. Визуальное и алгоритмическое мышление объединено в понятие визуально-алгоритмического мышления (ВАМ). Подробно описан эксперимент и результаты тестирования, целью которых являлось выявление уровня визуального и алгоритмического мышления у обучающихся университета. В основе метода развития и контроля ВАМ лежит соответствие между мыслимыми образами нечеткого пространства визуально-алгоритмического мышления и четкими геометрическими образами реального геометрического пространства. Для реализации метода построены геометрические модели нечетких фигур, преобразований, отношений, условий. Приведена классификация визуальных алгоритмов и оценка их сложности. Приведена блок-схема такого алгоритма. Основными выводом является то, что опыт применения метода развития визуально-алгоритмического мышления решения задач и разработанной системы показывает положительные моменты в процессе формирования ВАМ, но его внедрение в учебный процесс пока затруднительно, так как потребует перестройки процесса и дополнительных временных затрат.
Ключевые слова: визуальное мышление, алгоритмическое мышление, активная визуализация, пассивная визуализация, алгоритм, нечеткое условие, нечеткое множество, нечеткое преобразование, эксперимент, сценарный подход
DOI:
10.25136/2409-8736.2019.1.26453
Дата направления в редакцию:
08-06-2018
Дата рецензирования:
08-06-2018
Одной из целей любого образовательного процесса является развитие творческих способностей и творческого мышления, которые играют исключительную роль в
формировании и совершенствовании профессиональных компетентностей Доказано, что реализация принципа наглядности в процессе обучения способствует формированию образов, адекватно отражающих теоретические построения, способствует развитию способности образно мыслить [2, Можно утверждать, что визуальное мышление есть важнейший компонент профессиональной деятельности любого творческого человека -
математика, инженера, дизайнера Задача развития визуального мышления в процессе обучения является одной из главных составляющих образовательных технологий.
Существует множество определений понятия «визуальное мышление». Например, визуальное мышление есть особая форма деятельности, содержанием которой является оперирование и манипулирование наглядными образами, а результатом - порождение
новых образов, несущих смысловую нагрузку и делающих значение видимым 6].
В данной статье мы будем пользоваться следующими определениями. Под визуальным мышлением будем понимать умственную деятельность, направленную на обработку информации любой представленной формы и заключающуюся в визуальном анализе данных и синтезе визуальных образов. Визуальный анализ - это умственная деятельность, заключающаяся в визуальном восприятии данных, мысленном преобразовании их в образы, манипулирование образами и мысленное выявление их логических взаимосвязей и их свойств. Визуальный синтез - это умственная деятельность, заключающаяся в порождении образов, несущих смысловую нагрузку, оценке их свойств и параметров.
Введем также понятия мысленной, активной и пассивной визуализации. Под мысленной визуализацией будем понимать умственную деятельность, направленную на преобразование информации любой представленной формы в мысленную визуальную информацию. Активной визуализацией назовем преобразование информации любой представленной формы в визуальную информацию при помощи любых инструментальных средств. Пассивной визуализацией будем считать восприятие и умственный анализ визуальной информации, представленной знаковым материалом, овеществленным в виде символов, графиков, схем, чертежей и т. п.
Другим важнейшим компонентом профессиональной деятельности является алгоритмическое мышление или алгоритмический стиль мышления, под которым понимается четкая, целесообразная последовательность мыслительных процессов или мыслительных схем, способствующих видению проблемы в целом и решению её крупными блоками с последующей детализацией Структурные компоненты
алгоритмического стиля мышления приведены в К ним относятся следующие способности (перечислим важнейшие): оперирование образами, воспроизведение запечатленного и сохраненного в памяти, индуктивные и дедуктивные умозаключения, формализации и абстрагирования, анализ и декомпозиция, реализации элементарных алгоритмических операций.
Объединим визуальное и алгоритмическое мышления следующим определением. Визуально-алгоритмическое мышление (ВАМ) - это умственная деятельность,
представляющая собой целесообразную последовательность визуально-мыслительных процессов, направленных на обработку информации любой представленной формы, включающих мысленный визуальный анализ и синтез образов, способствующих решению проблемы.
На основании этих определений был проведен констатирующий эксперимент, целью которого было выяснение уровня мысленной, активной и пассивной визуализации информации, а также уровня алгоритмического мышления у студентов.
Эксперимент состоял из трех этапов.
Первый этап состоял из трех частей и заключался в следующем. Начиная с 2007 г., автор проводил тестирование студентов художественного (дизайнеры, педагоги), гуманитарного (историки, психологи, филологи), технического (конструкторы, технологи) направлений. Целью тестирования было выявление уровня их визуального мышления. Тестирование обычно проводилось в конце первого семестра, после изучения математики, основ математической обработки информации или инженерной графики. Методика тестирования была следующей. В каждой студенческой группе нескольким студентам, как правило, самым успевающим, предлагались пять элементарных задач с предварительными устными пояснениями. Задачи подбирались из разных дисциплин, в основном из математического анализа, геометрии, механики. Время не ограничивалось.
Примеры тестовых задач.
1. Представить на плоскости декартову систему координат и точку (80, 20) (могут быть любые другие значения). Повернуть мысленно точку на 30 градусов вокруг начала координат против часовой стрелки. Какие координаты будет иметь точка?
2. Представить график параболы, проходящей через точки (0, 3), (3, 5) и (7, 4). Какие координаты имеет вершина параболы?
3. Представить точку, на которую действуют три одинаковые силы. Первая - под углом 10 градусов к оси абсцисс, вторая - под углом 30 градусов, третья - под углом -45 градусов. Под каким углом к оси абсцисс будет двигаться точка?
В процессе работы с тестом студент имел право задавать преподавателю любые вопросы, способствующие наилучшему пониманию задачи. Ежегодно тестировалось от двадцати до сорока человек. Результат оценивался по количеству правильных ответов. Правильным считался приближенный ответ, данный в терминах нечеткой логики или интервальной математики. Так, правильный ответ на первую задачу был бы таким: «Примерно (60, 60)» или «Значения обеих координат будут находиться в промежутке от 50 до 70». Но как бы ни звучал ответ, он считался правильным, если названные тестируемым значения координат попадали в промежуток от 50 до 70. Ответы остальных задач оценивались аналогично.
В первой части первого этапа проверялся уровень мысленной визуализации. При этом пользоваться какими-либо инструментами (карандашом, ручкой, бумагой) и вычислительными средствами было запрещено. Предлагалось даже мыслить с закрытыми глазами. Максимальный процент правильных ответов не превышал 6 % (рис. 1).
Во второй части проверялся уровень активной визуализации. Тестируемым предлагалось воспользоваться инструментами (карандаш, линейка, бумага) и изобразить фигуры, описанные в тех же задачах. После этого дать ответ. Оценивалось также качество активной визуализации.
Процент справившихся с заданием колебался в пределах 26 - 45 %.
В третьей части проверялся уровень пассивной визуализации. Тестируемым предъявлялись готовые изображения фигур, описанных в этих же задачах и после этого предлагалось дать ответ. В этом случае правильные ответы давали более 80 % тестируемых.
На втором этапе эксперимента у тех же студентов определялся уровень алгоритмического мышления. Методика тестирования была следующей. Студентам предлагались пять заданий из математического анализа, геометрии, механики. Например, такие:
1. Предложить алгоритм вычисления корней квадратного уравнения;
2. Зная, как вычислять площадь прямоугольного треугольника, предложить алгоритм вычисления площади неправильного выпуклого четырехугольника;
3. Зная, как вычислить центр тяжести прямоугольника, предложить алгоритм вычисления центра тяжести фигуры, состоящей из конечного числа прямоугольников.
Тестируемый имел право задавать вопросы, способствующие наилучшему пониманию задачи. Время не ограничивалось. Алгоритм должен был быть представлен в текстовой или словесной форме в самом общем виде, без введения обозначений и без записи конкретных формул. Если студент не справлялся с заданием, ему предлагалось решить это задание как задачу с конкретными числовыми параметрами или нарисовать необходимые геометрические фигуры. Ответ оценивался по числу предложенных а лгоритмов .
Результаты второго этапа были следующие. С написанием общего алгоритма решения задачи справились менее 2% тестируемых. Однако с решением этой же задачи с конкретными числовыми параметрами справились 60 - 85 % тестируемых. Снижение или увеличения процента правильных ответов из год в год не наблюдалось. Наблюдалось незначительное увеличение числа правильных ответов у студентов технических направлений, по сравнению с гуманитарными. Бросается в глаза значительный разрыв между умением решать задачу в конкретной постановке и умением создавать алгоритм решения задачи в общей постановке. При этом опрос показал, что дисциплина «Информатика» изучалась всеми тестируемыми без исключения.
Третий этап эксперимента имел целью выяснить степень нечеткости визуального мышления. Заключался он в следующем. Тестируемому давали лист нелинованной бумаги с двумя проведенными взаимно перпендикулярно прямыми и говорили, что эти прямые являются осями декартовой системы координат. Предлагалось «на глаз» отметить карандашом точку с конкретными значениями координат. Затем давали другой такой же лист, но прямые были проведены уже в другом месте. Предлагалось «на глаз» отметить карандашом точку с теми же самыми значениями координат. Эта процедура повторялась несколько раз (обычно 8 - 10 раз).
Рис.1. Процент верных ответов на первом этапе тестирования
При обработке эксперимента координаты на нос илис ь в о дно й сис те ме ко о р дина т. представлен на рис. 2. У были в диаметрах облаков 3).
всех отмеченных точек измерялись и точки Полученный результат в виде облака точек такая же картина, но отличия различных направлениях (рис.
всех тестируемых получалась точек и смещении облаков в
Интересно отметить две особенности. Первая, когда на листе отмечалась точка начала координат, но оси не проводились. Условия задания были теми же. Тестируемые ставили точку примерно в нужном месте и вопроса о положении осей координат у большинства не возникало. Оказалось, что они домысливали оси координат: ось абсцисс - всегда горизонтально вправо, ось ординат - всегда вертикально вверх. То есть наблюдался стандартный подход к пониманию системы координат. Вторая, когда оси координат проводились не перпендикулярно. Большинство тестируемых не могли правильно отметить точку. Обе особенности свидетельствуют о выработанной в процессе обучения привычке к «стандартному», перпендикулярному (горизонтально-вертикальному) расположению осей координат.
Рис. 2. Результат десяти попыток одного тестируемого отметить «на глаз» точку (80, 20).
Рис. 3. Результат трех тестируемых, отмечавших «на глаз» точку (80, 20). Выводы из результатов эксперимента можно сделать следующие.
1. Ожидалось, что студенты технических направлений, изучающие начертательную геометрию, инженерную графику, математику, механику покажут более высокий уровень визуального мышления по сравнению со студентами гуманитарных направлений. Однако результат отрицательный. Корреляции между профессиональными направлениями и уровнем визуального мышления студентов не наблюдалось.
2. Способности мысленной и активной визуализации студентов из года в год снижаются. Способность мысленной визуализации информации в к 2017 году снизилась примерно в восемь раз по сравнению с 2008 годом. Способность активной визуализации информации за этот же период снизилась почти в два раза.
3. Наблюдается значительный разрыв между уровнями способностей активной и мысленной визуализации. Мысленная визуализация примерно в 10 раз слабее активной.
4. Наблюдается огромный разрыв между умением решать задачу и умением составлять алгоритм её решения. Умение составлять алгоритм примерно в 30 - 40 раз меньше умения решать задачу.
5. Можно утверждать, что визуальное мышление имеет нечеткий или интервальный характер. Другими словами, соответствие между мыслимыми образами пространства визуального мышления и геометрическими образами некоторого реального пространства носит нечеткий или интервальный характер.
Таким образом, существует проблема слабого формирования уровня ВАМ в образовательном процессе и, соответственно, проблема создания основанного на формальной математической модели и достаточно эффективного метода развития и контроля ВАМ.
Обратимся к теоретическим основам такого метода развития. В области искусственного интеллекта существует принцип формализации и моделирования свойств человеческой мыслительной деятельности, основанный на теории нечетких множеств. Эта теория представляет формальный математический аппарат обработки информации, содержащей
неопределенности различного характера [9, 10]. В свете теории нечетких множеств наша задача состоит в установлении соответствия между мыслимыми образами нечеткого пространства визуально-алгоритмического мышления и четкими геометрическими образами реального геометрического пространства, в данном случае - евклидовой плоскости.
В таблице 1 представлены образы некоторых фигур нечеткого пространства визуально-алгоритмического мышления, разделенные на классы, и соответствующие им реальные образы. Строгое определение существует только для нечеткой точки. Нечеткой точкой называется любая замкнутая, ограниченная и выпуклая область пространства, для каждой точки которой, кроме граничных точек, существует ненулевое значение функции принадлежности. Если для всех точек области значение функции принадлежности равно единице, то имеем интервальную точку. Для всех остальных образов строгих определений не существует. Можно сказать, что нечеткая фигура - это непрерывное множество точек, лежащих внутри некоторой области неопределенности.
Аналитически нечеткая (интервальная)точка А представляется множеством:
A(xA, yA) --> A([xAmin, xAmax], [yAmin, yAmax]).
Нечеткая окружность - нечетким центром и/или нечетким радиусом:
circle (O(xO, yO), R) --> circle (O([xOmin, xOmax], [yOmin, yOmax]), [Rmin, Rmax]).
Остальные фигуры - аналогично.
Следующими должны быть представлены образы преобразований фигур нечеткого пространства ВАМ. К ним можно отнести нечеткие движения, нечеткие отражения, нечеткие гомотетии, нечеткие подобия. Нечеткое движение можно определить как примерно изометрическое преобразование пространства, сохраняющее ориентацию фигуры. Нечеткая гомотетия - это преобразование плоскости с нечетким центром и/или нечетким коэффициентом. Нечеткое подобие - преобразование плоскости, представляющее собой композицию нечеткого движения и/или нечеткой гомотетии. Более сложные преобразования применять нецелесообразно.
Далее необходимо представить образы геометрических условий - принадлежности, параллельности, перпендикулярности, касания. И кроме них - образы отношений: находиться на данном расстоянии, лежать между, делить в заданном отношении и т.п.
Более подробные сведения можно найти в [11].
Что касается нечетких алгоритмов, то можно утверждать, что алгоритм будет нечетким, если хотя бы на одном из его шагов будет присутствовать элемент нечеткости. Любой визуальный алгоритм, не реализованный в знаках и символах методом активной визуализации, можно представить как упорядоченное и целесообразное множество двух мыслительных операций: а) представление и фиксация нечеткой линии и б) представление и фиксация нечеткой точки. Блок-схема такого алгоритма представлена в
Таблица 1.
Класс визуально
мыслимых образов
Реальный образ
Изображение (модель)
Число
Нечеткое число,
инте рв а льно е ч ис ло
Точка
Нечеткая точка,
интервальная точка
Линия
Множество линий, определенных необходимым числом нечетких точек
Многоугольник
Мно ж е с тв о многоугольников, определенных конечным числом п нечетких точек или упорядоченными 2п нечеткими числами.
Окружность
Мно ж е с тв о окружностей, определенных тремя нечеткими точками или тремя нечеткими
числами (нечетким центром и нечетким радиусом).
Визуальные алгоритмы (ВА) классифицированы нами следующим образом (рис 4).
Простым ВА называется алгоритм, в котором на каждом шаге мысленно генерируется только один визуальный образ и только один визуальный образ, сгенерированный на предыдущем шаге, удерживается в памяти. Сложным ВА называется алгоритм, в котором на каждом шаге мысленно генерируются несколько визуальных образов и несколько визуальных образов, сгенерированных на предыдущем шаге, удерживается в памяти.
Линейным ВА называется алгоритм, в котором на каждом шаге используются только те визуальные образы, один или несколько, которые были сгенерированны на предыдущем шаге и которые удерживаются в памяти. Нелинейным ВА называется алгоритм, в котором на любом шаге используются визуальные образы, мысленно сгенерированные на любом из предыдущих шагов.
Планиметрические ВА - алгоритмы, в которых все образы и все операции мысленно воспроизводятся в одной плоскости. Стереометрические ВА - алгоритмы, в которых мысленно воспроизводится хотя бы один пространственный визуальный образ или хотя бы одна пространственная визуальная операция.
Метрические ВА - алгоритмы, в которых мысленно генерируется хотя бы одна метрическая операция или метрический результат. Позиционные ВА - алгоритмы, в которых определяются отношения между мысленными визуальными образами.
Рис. 4. Классификация визуальных алгоритмов.
Сложность ВА определяется через количество образов, удерживаемых в памяти, количество визуальных операций и количество образов, генерируемых в результате этих операций.
Приведем несколько примеров заданий различной сложности, решаемых методом ВАМ.
1. Человек вышел из пункта А в северо-западном направлении и шел 5 часов со скоростью 2 км/ч. Затем он повернул на север и шел 3 часа со скоростью 3 км/ч. Далее он повернул на восток и шел 2 часа со скоростью 5 км/ч. После этого он повернул на юг и шел 2 часа со скоростью 2 км/ч. Последний участок он шел на запад 3 часа со скоростью 4 км/ч. На каком расстоянии от пункта А он оказался в результате?
Это пример задачи с простым, линейным, планиметрическим и метрическим ВА решения. Если решать её мысленно, то в памяти необходимо фиксировать только начальную точку, направление движения и конечную точку каждого очередного участка. Все предыдущие участки при этом можно «удалить» из памяти. Пункт А естественно принять за начало о тс ч е та . Н а пра в ле ние на в ос ток е с те с тв е нно приня ть з а ос ь а бс цис с , а на пра в ле ние на север - за ось ординат. Правильным будет считаться ответ: «Примерно или около 13 км».
2. Представьте произвольный треугольник ABC и прямую. Из вершин треугольника опустите перпендикуляры на эту прямую. Через основание перпендикуляра, опущенного из вершины А, проведите прямую, перпендикулярную стороне ВС. Через основание перпендикуляра, опущенного из вершины В, проведите прямую, перпендикулярную стороне АС. Через основание перпендикуляра, опущенного из вершины С, проведите прямую, перпендикулярную стороне АВ. Какова особенность взаимного расположения
этих трех прямых?
Это пример задачи со сложным, нелинейным, планиметрическим и позиционным ВА решения. В памяти необходимо удерживать десять образов и шесть отношений между ними. Правильным будет считаться примерно такой ответ: «Скорее всего, эти три прямые должны проходить через одну точку (пересекаться в одной точке)».
После получения правильного ответа, алгоритм задачи можно сделать метрическим, если указать координаты исходных точек. Например: А(0, 0), В(10, 0), С(0, 10). Исходная прямая определяется точками (0, 7) и (15, 0). Тогда можно задать вопрос о примерных значениях координат точки пересечения. Правильный ответ: «Примерно (-1, 2)».
3. Сумма квадрата первой переменной и единицы за вычетом произведения первой и второй переменной равна нулю. Представить график этой зависимости и описать его словами.
Ход рассуждений вкратце может быть примерно таким: «Если первую переменную обозначить через икс, а вторую через игрек, то получим икс квадрат минус иск игрек плюс единица равно нулю. Если выразить игрек, то получим сумму двух функций - икс плюс единица, деленная на икс. График первой - биссектриса первого и третьего координатного угла, график второй - гипербола с ветвями в первой и третьей четверти. Их пересечение - точки (1, 1) и (-1, -1). К ординатам ветви гиперболы в промежутке от нуля до единицы прибавляются ординаты величиной от нуля до единицы, а к ординатам ветви в промежутке от единицы до бесконечности прибавляются ординаты величиной от единицы до нуля. В третьей четверти все это же самое. График симметричен относительно начала координат». Следовательно, правильный ответ может быть примерно таким: «Ветвь графика, лежащая в третьей четверти идет асимптотически к биссектрисе и к отрицательной полуоси ординат и проходит через точку (-1, 2). Ветвь графика, лежащая в первой четверти идет асимптотически к биссектрисе и к положительной полуоси ординат и проходит через точку (1, 2)».
Задача с простым, линейным, планиметрическим и позиционным ВА решения. В памяти необходимо зафиксировать два графика и две точки их пересечения.
Система развития ВАМ основывается на трех принципах. Первый - принцип периодического контроля и количественной оценки уровня ВАМ. Второй - решение задач постепенно повышающейся сложности методом ВАМ. Третий - принцип сценарного подхода разбиения каждой задачи со сложным ВА на задачи с простым ВА и их структурированной последовательностью. Сценарный подход описан во многих работах, например в -Ш1.
Применение сценарного подхода покажем на примере известной геометрической задачи. Дана проекция треугольной пирамиды (тетраэдра) и по одной точке на трех его ребрах. Найти точку пересечения четвертого ребра с плоскостью данных трех точек. Обобщенная схема сценария решения задачи методом ВАМ представлена на рис. 5.
Рис. 5. Блок-схема сценария задачи, решаемой одним из способов методом ВАМ.
Рис. 5(продолжение). Блок-схема сценария задачи, решаемой одним из способов методом ВАМ.
На блок-схеме (рис. 5) намеренно не показаны многие блоки сравнения, проверки условий и альтернативные пути решения задачи. Их добавление приведет к неоправданному усложнению рисунка 5.
Наблюдения показывают, что обучающийся, набравший некоторый опыт с ВАМ, выбирает точки так, чтобы максимально упростить ВА. Например, выбор точек А(хА, уА) = А(0, 0), В(хВ, уВ) = В(10, 0), С(хС, уС) = С(0, 10), D(xD, yD) = D(4, 4) значительно упрощает ВА и, соответственно, упрощает выбор точек Е, F, G. Так для выбора координат точки F ему достаточно сообразить, что изменение ординаты на единицу ведет к изменению абсциссы на 1,5 единиц. Следовательно, лучше выбрать точки F(5,5; 3), F(7, 2), F(8,5; 1). Если выбрана точка F(7, 2), то лучше выбрать Е(5, 0) и задача упрощается, так как прямые EF и AD становятся параллельными. Выбор точки G(2, 7) сводит задачу к тривиальной в силу симметрии и сразу приводит к ответу - М(0, 5). Однако начинающие не способны на
такие упрощения ВА.
Опыт применения метода ВАМ решения задач и разработанной системы показывает положительные моменты в процессе формирования ВАМ, но его внедрение в учебный процесс пока затруднительно, так как потребует его перестройки и дополнительных временных затрат.
Библиография
1. Гудков В. В., Назарова И.Р. Роль визуального мышления в формировании проектно-конструкторских компетенций инженера // Инженерный вестник. 2016. № 6. С.1001
- 1007.
2. Михайлова Т.С. Формирование понятия «производная функции» на основе развития взаимосвязи теоретического и визуального мышления // Вестник Алтайской государственной педагогической академии. 2010. № 2. С. 121 - 125.
3. Далингер В.А. Формирование визуального мышления у учащихся в процессе обучения математике. Омск: ОмГПУ, 1999. 157 с.
4. Щербакова Е. Е. Формирование педагогической креативности студентов вуза в условиях профессиональной подготовки: диссертация ... кандидата психологических наук / Е. Е. Щербакова. - Нижний Новгород, 2000. - 221 с.
5. Молодцова Н. Г. Развитие визуального мышления у детей младшего школьного возраста на материале произведений живописи: диссертация ... кандидата психологических наук [Электронный ресурс] / Н. Г. Молодцова. - Нижний Новгород, 2001. - 219 с.
6. Зинченко В. П., Мунипов В. М., Гордон В. М. Исследования визуального мышления // Вопросы психологии, 1973. - № 2. - С. 3 - 14.
7. Лебедева Т. Н. Формирование алгоритмического мышления школьников в процессе обучения рекурсивным алгоритмам в профильных классах средней общеобразовательной школы: дис. ... канд. пед. наук: 13.00.02 Екатеринбург, 2005. 219 с.
8. Стась А. Н., Долганова Н. Ф. Развитие алгоритмического мышления в процессе обучения будущих учителей информатики // Вестник ТГПУ (TSPU Bulletin). 2012. 7 (122). С.241 - 244.
9. Орлов А. И., Луценко Е. В. Системная нечеткая интервальная математика (СНИМ) -перспективное направление теоретической и вычислительной математики // Научный журнал КубГАУ, 2013. - №91(07). Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2013/07/pdf/15.pdf
10. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. - М.: Мир, 1976. - 166 с.
11. Лукина О. В., Юрков В. Ю. Геометрия нечетких множеств. - Омск: ОГИС, 2008. -135 с.
12. Юрков В. Ю. Проектирование автоматизированной интеллектуальной системы обучения на основе алгоритма развития визуального мышления // Омский научный вестник, 2010. №2(90). С. 177 - 181.
13. Числова А. С. Педагогический сценарий - как усиление обучающего и воспитывающего эффекта мультимедийных программ // Educational Technology & Society. 2008. 11(2). PP. 439 - 451.
