МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЭФФЕКТИВНЫХ ЭЛЕКТРОФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД С УЧЕТОМ МНОГООБРАЗНЫХ СТРУКТУРНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ. ОБЗОР Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕРИАЛЫ ЭЛЕКТРОНИКИ ELECTRONICS MATERIALS

Обзорная статья УДК 537.2

doi:10.24151/1561-5405-2023-28-4-403-430 EDN: TYTHFH

Методы вычисления эффективных электрофизических свойств неоднородных сред с учетом многообразных структурных особенностей. Обзор

И. В. Лавров

Национальный исследовательский университет «МИЭТ», г. Москва, Россия

iglavr@mail.ru

Аннотация. При создании неоднородных материалов с требуемыми функциональными характеристиками большое значение имеют теоретические методы прогнозирования их свойств в зависимости от состава и структуры. В настоящей работе предложен обзор методов вычисления эффективных электрофизических характеристик неоднородных сред, способных учитывать такие структурные особенности данных сред, как многокомпонентность, вероятностные распределения ориентаций и форм включений, несколько уровней вложенности. Подробно представлены приближение Максвелла Гарнетта и его обобщения для неоднородных сред матричного типа: формулы Фрике и Брэгга - Пиппарда для случаев эллипсоидальных однородных включений, а также авторские обобщения приближения Максвелла Гарнетта для случаев эллипсоидальных однородных анизотропных включений, ориентированных по вероятностному закону, и эллипсоидальных анизотропных включений с анизотропной оболочкой. Рассмотрены варианты приближения эффективной среды для сред с однородными включениями: приближение Бруггемана; обобщенный подход эффективной среды Д. Страуда; обобщенное сингулярное приближение. Изложен дифференциальный подход на основе обобщенного сингулярного приближения, с помощью которого получено уравнение с параметром, позволяющим варьировать степень дифференциальности приближения. Приведено описание авторского подхода для сред с включениями в многослойной оболочке: обобщенное приближение эффективного поля, которое можно считать обобщением обобщенного сингулярного приближения на среды с несколькими уровнями вложенности. Описаны методы учета вероятностных распределений ориентаций включений (использующие теорию представлений группы SO(3)) и форм включений. Установлено, что наибольшей степенью общности обладает обобщенное приближение эффективного поля для неоднородных сред с включениями в многослойной оболочке.

© И. В. Лавров, 2023

Ключевые слова: неоднородная среда, матрица, включение c оболочкой, обобщенное приближение эффективного поля, обобщенное сингулярное приближение, приближение Максвелла Гарнетта, приближение эффективной среды

Для цитирования: Лавров И. В. Методы вычисления эффективных электрофизических свойств неоднородных сред с учетом многообразных структурных особенностей. Обзор // Изв. вузов. Электроника. 2023. Т. 28. № 4. С. 403-430. https://doi.org/10.24151/1561-5405-2023-28-4-403-430. - EDN: TYTHFH.

Review article

Methods of calculating the effective electrophysical properties of heterogeneous media with account for various structural features. Review

I. V. Lavrov

National Research University of Electronic Technology, Moscow, Russia iglavr@mail.ru

Abstract. Upon designing a materials with the required functional characteristics, theoretical methods for predicting their properties depending on the composition and structure are a major asset. In this work, an overview of methods of calculating the effective electrophysical characteristics of heterogeneous media configured to consider such structural features of heterogeneous media as multicomponence, probabilistic distributions of orientations and forms of inclusions, and several levels of nesting, is proposed. The Maxwell Garnett approximation and its generalizations for heterogeneous matrix-type media are presented in detail, namely the Fricke and Bragg - Pippard formulas for cases of ellipsoidal homogeneous inclusions, and the author's generalizations of the Maxwell

Garnett approximation for cases of ellipsoidal homogeneous anisotropic inclusions oriented by probability law and of ellipsoidal anisotropic inclusions with anisotropic shell. Variants of the effective medium approximation for media with homogeneous inclusions are considered: Bruggeman approximation; generalized effective-medium approach by D. Stroud; generalized singular approximation. A differential approach based on a generalized singular approximation is exposed, with the help of which an equation was obtained with a parameter allowing the differentiality degree variation of the approximation. The description is given of author's approach for media with inclusions in a multilayer shell: a generalized effective-field approximation that can be considered a generalization of a generalized singular approximation to media with several levels of nesting. The methods of accounting for probabilistic distributions of inclusion orientations (using the theory of representations of the SO(3) group) and inclusion forms are described. It has been established that the most general of these approaches is the generalized effective-field approximation for heterogeneous media with inclusions in a multilayer shell.

Keywords: heterogeneous medium, matrix, inclusion with shell, generalized effective field approximation, generalized singular approximation, Maxwell Garnett approximation, effective medium approximation

For citation: Lavrov I. V. Methods of calculating the effective electrophysical properties of heterogeneous media with account for various structural features. Review. Proc. Univ. Electronics, 2023, vol. 28, no. 4, pp. 403-430. https://doi.org/ 10.24151/15615405-2023-28-4-403-430. - EDN: TYTHFH.

Введение. Неоднородные материалы, т.е. материалы, у которых тензоры материальных свойств являются функциями пространственных координат, широко используются как в научно-технических областях, так и в быту. В микро- и наноэлектронике, например, применяются пористые структуры на углероде, кремнии и его оксиде, на оксиде алюминия, тонкие поликристаллические и композитные пленки различного функционального назначения. В технике в качестве элементов конструкций, деталей и узлов механизмов используются композитные материалы на основе высокопрочных наполнителей и полимерных связующих, имеющие наряду с требуемыми механическими свойствами малую плотность и относительную простоту изготовления. Перечисленные виды неоднородных материалов - поликристаллы, композиты, пористые структуры -относятся к подклассу гетерогенных материалов, состоящих из однородных областей с четкой границей между ними. В настоящей работе под термином «неоднородные материалы» подразумеваются материалы именно из этого подкласса.

Создаются искусственные неоднородные материалы с требуемыми или максимально возможно приближенными к таковым функциональными, стоимостными и экологическими характеристиками. При освоении нанометровых масштабов для элементов ИС появляются новые специфические требования к совокупности физических характеристик используемых материалов, например высокая диэлектрическая проницамость у подзатворного диэлектрика и, наоборот, низкая у подложки в ИС. Управление светом на нанометровом масштабе откроет новые возможности для детектирования молекул, получения изображений биологических объектов и обработки информации на терагер-цовых частотах. Для создания соответствующих фотонных устройств может использоваться свойство металл-диэлектрических наноструктур, в которых возможно образование плазмонов, т. е. коллективных колебаний электронов [1-3]. Металл-диэлектрические нанокомпозиты вызывают большой интерес у исследователей, поскольку благодаря возникающим в них на определенных частотах плазмонным резо-нансам могут иметь свойства, отсутствующие у природных материалов [4-7].

В последнее время в радиотехнической, авиакосмической, автомобильной, нефтегазовой и других отраслях промышленности, на транспорте востребованы так называемые синтактные материалы, или сферопластики, - композиты, в которых в качестве наполнителей используются неоднородные включения, в основном сферической формы (микросферы) [8-11]. Например, для теплоизоляционного и антикоррозийного покрытия на внешней поверхности труб нефтегазопроводов, проложенных в зонах с повышенным риском коррозии, применяются сферопластики с микросферами со стеклянной оболочкой, наполненной воздухом. Данный материал устойчив к механическому, химическому и другим видам воздействия, а также имеет низкую теплопроводность и плотность [9-11]. Перспективным представляются сферопластики специального назначения, например, при изготовлении радиопрозрачных обтекателей и укрытий радиотехнических комплексов, где наряду с высокими механическими и антикоррозийными характеристиками требуются специфические диэлектрические свойства в определенном частотном диапазоне [8]. В узлах трения перспективно использовать самосмазывающиеся трибокомпозиты с микросферами, заполненными смазочным материалом [12].

Однако, чтобы создать материал с близкими к требуемым функциональными свойствами, необходимо, во-первых, подобрать качественный и количественный состав

компонентов материала и структуру, образуемую ими. Во-вторых, нужно разработать технологию создания материала с данными компонентами и структурой. При решении первой из указанных задач важно прогнозирование свойств проектируемого материала в зависимости от его состава и структуры с помощью теоретических методов. Это обусловлено значительными временными и материальными затратами, необходимыми для изготовления опытных образцов материалов и измерения их характеристик. Кроме того, при получении опытных образцов с приемлемыми характеристиками без предварительного теоретического исследования их свойств останутся открытыми вопросы: можно ли улучшить характеристики материала, является ли он оптимальным с точки зрения функциональных свойств?

Во многих процессах неоднородные материалы с большой точностью можно считать однородными с некоторыми усредненными эффективными характеристиками. Например, рассеивающие свойства неоднородного диэлектрика в электромагнитном поле при условии малости характерного масштаба неоднородности в нем по сравнению с длиной волны воздействующего поля определяются его эффективной диэлектрической проницаемостью [1].

Таким образом, потребность в разработке теоретических методов прогнозирования эффективных свойств неоднородных материалов, учитывающих наряду с их компонентным составом также качественные особенности и количественные характеристики их структуры, возрастает. К качественным особенностям структуры относится, например, наличие оболочки у включений в композите, к количественным характеристикам -относительная толщина оболочки, аспектное отношение и ориентация включений. При изготовлении реальных образцов материала посредством технологического процесса неизбежно возникают отклонения от «идеальной» структуры материала, например параметры, описывающие формы и ориентации включений, будут иметь некоторые разбросы вокруг желаемых значений, поэтому важно иметь инструмент для оценивания влияния таких разбросов на характеристики получаемого материала.

В настоящей работе рассматриваются методы вычисления эффективных диэлектрических и электропроводящих характеристик неоднородных сред, учитывающие такие структурные особенности данных сред, как концентрация, форма включений, наличие у них оболочек, а также вероятностные распределения форм и ориентаций включений, наличие в материале нескольких видов включений с различными материальными свойствами. В общем случае эффективная физическая характеристика неоднородной среды имеет тензорный вид. Например, тензор £* эффективной диэлектрической проницаемости образца неоднородной среды определяется уравнением (б) = £*( Е), где (б) , (е) - средние по образцу электрическая индукция и напряженность электрического поля соответственно. (Во всех случаях, рассматриваемых в настоящей работе, гипотеза эргодичности предполагается применимой, т. е. среднее по ансамблю реализаций неоднородной среды совпадает со средним по образцу неоднородной среды. )

Поскольку в стационарном случае распределения электрического, магнитного, температурного полей, а также концентрации частиц вещества описываются одинаковыми уравнениями, задачи вычисления эффективных диэлектрических, магнитных, электро- и теплопроводящих характеристик и эффективного коэффициента диффузии неоднородных сред математически эквивалентны [13]. Поэтому методы, разработанные для решения любой из перечисленных задач, и полученные результаты могут быть использованы и для решения остальных задач при условии структурного соответствия данных сред.

Краткий обзор теоретических исследований диэлектрических и транспортных свойств неоднородных материалов. Задача вычисления эффективных диэлектрических и транспортных характеристик неоднородных сред уже полтора века интересует

исследователей. Так, Дж. К. Максвелл [14] вычислил эффективное удельное электриче-

* ~ ^ ^

ское сопротивление р неоднородной среды, состоящей из проводящей матрицы с удельным сопротивлением р и погруженных в нее случайно распределенных проводящих шаров малого радиуса с удельным сопротивлением р2, в предположении, что шары не вносят возмущения в линии тока в матрице, не проходящие сквозь них. В итоге для эффективного сопротивления среды получен следующий результат:

Р =Pi

1 +

3f (Р2 "Pi )

2р2 + Pi "2f (Р2 "Pi)

(1)

где / - объемная доля шаров в неоднородной среде.

Эффективную диэлектрическую проницаемость среды, состоящей из диэлектрической матрицы с проницаемостью ^ и погруженных в нее шаров с диэлектрической

проницаемостью е2, в приближении Максвелла можно получить из (1), используя соответствие в ^ а = 1/ р:

*

8 =8,

1 +

3f (82 "81 )

281 +82 " f (82 "81 ),

(2)

Рэлей [15] рассмотрел задачи нахождения эффективной теплопроводности неоднородных матричных сред с регулярным расположением включений в двумерном и трехмерном случаях: в виде круговых цилиндров с параллельными друг другу осями, расположенных в узлах квадратной решетки, или в виде шаров в узлах кубической решетки. Он непосредственно учитывал влияние включений друг на друга, используя симметрии задач и разложение потенциалов полей, индуцированных включениями, на соответствующие гармоники. В частности, для эффективной теплопроводности среды в двумерном случае получено выражение

1 +

2f

v " f + 0,3058V1 f4

где

k

и

к2 - теплопроводности матрицы и включений соответственно;

V = (к2 + к1>/(к2 - к,).

Дж. К. Максвелл Гарнетт (названный в честь британского физика Максвелла Джеймса Клерка [16]) получил формулу для оптических характеристик стекла с шарообразными металлическими включениями при условии малости шаров по сравнению с длиной волны падающего излучения [17]:

~2 * 2 п =8 = У\

1 + 3f

2 2 f П2 " П

2 n2 + nl

2

-Л

1" f

2 tf + n2

2 J

(3)

где п2, //, и п - комплексные показатели преломления шаров, стекла и неоднородной среды соответственно; / - объемная доля шаров.

С учетом того, что п2 =г2, П (е2 и ^ - диэлектрические проницаемости шаров и стекла), формула (3) равносильна формуле (2), которую называют формулой Максвелла Гарнетта (МГ). Результаты Максвелла и Гарнетта получились одинаковыми (причины совпадения этих результатов в настоящей работе не обсуждаются), несмотря на то, что Максвелл при выводе своей формулы фактически пренебрег взаимодействием шаров между собой, считая, что действующее на отдельные шары поле равно внешнему приложенному полю вследствие малой концентрации шаров в среде, в то время как Гарнетт косвенно учитывал их взаимодействие, считая, что поле Е', действующее на включение, равно локальному полю Лорентц - Лоренца:

4л

Е' = Е0 + — Р, (4)

где Е - приложенное внешнее поле, равное среднему полю; Р - вектор поляризации.

О. Винер [18, 19] вычислил эффективную проводимость среды, состоящей из плоских однородных и изотропных слоев (толщина и номер составляющего слой компонента являются случайными величинами).

Бруггеман [20] получил уравнение для эффективной диэлектрической проницаемости среды, состоящей из смеси сферических частиц двух видов:

= о, (5)

28 28 +82

где V и у2 - объемные доли видов частиц в среде ( Уг = 1 - V ).

Уравнение (5) называют симметричным уравнением Бруггемана. Фактически с уравнения (5) берет начало приближение эффективной среды. Также в [20] Бруггема-ном были заложены основы дифференциального подхода эффективной среды и получено уравнение, называемое асимметричным уравнением Бруггемана:

*

8 — 8

= (1 — У2)(82 —81) . (6)

38 /81

Процедура его вывода заключается в добавлении малых порций компонента 2 вместо таких же по объему порций имеющейся неоднородной среды в данной области, которая в начальный момент была заполнена частицами компонента 1.

Результаты, полученные при исследовании двумерных систем (теорема Келлера [21], преобразования симметрии Дыхне [22], метод спектральных функций Д. Бергмана [23]), активизировали изучение подобных систем и систем со столбчатой структурой. В случае малого различия материальных характеристик составляющих неоднородной среды к хорошим результатам приводит корреляционное приближение метода случайных функций, состоящее в том, что тензор эффективного свойства неоднородного материала представляется в виде суммы среднего значения и корреляционных добавок, учитывающих многочастичные взаимодействия [24-26]. Хашин и Штрикман [27] разработали вариационный метод для определения границ эффективных значений констант неоднородной среды, физический смысл которого состоит в минимизации рассеиваемой энергии.

Рассмотрим некоторые методы вычисления эффективных физических свойств неоднородных сред и их обобщения.

Приближение Максвелла Гарнетта и его обобщения. Гарнетт [17] при выводе

формулы (3) вначале производил вычисления, считая, что шары погружены в матрицу с

диэлектрической проницаемостью, равной 1. Он учитывал взаимное влияние шаров

путем коррекции действующего поля, принимая, что оно равно локальному полю

Лорентц - Лоренца (4), а затем перешел к случаю реальной среды путем подстановки

* * 1 / 8 —> 8 /8 , 82 ,

используя однородность уравнений электростатики относительно 8 [28].

Покажем, что в данном случае напряженность поля Лорентц - Лоренца равна средней напряженности поля в матрице. Рассмотрим образец неоднородной матричной среды с шарообразными включениями с концентрацией N диэлектрические проницаемости матрицы и шаров равны 1 и в2 соответственно. Если к границе образца среды

приложено однородное поле напряженностью Е , вектор поляризации Р в среде как дипольный момент единицы его объема равен [29]:

Р = Жр = N -82—1 а3Е', (7)

2 + 82

где р - дипольный момент одного шара; Е' - напряженность поля Лорентц - Лоренца. Подставляя (7) в (4), выразим Е' через Е0:

E ' =

С 8 -1 У

1 - f ^ E0, (8)

2 + 82 )

где / = 4Л Жаъ - объемная доля шаров в среде.

В рассматриваемом случае средняя напряженность поля в образце равна Е0 [30], поэтому имеем уравнение

(Е) = (1 — /)(ЕИ) + / (Е2) = Ео, (9)

где (Ет) и (Е) - средняя напряженность поля в матрице и шарах соответственно.

Напряженность поля в шаре связана с напряженностью действующего поля формулой [29]

3

Е2 =--Е', (10)

2 + 82

поэтому, выражая Е0 из (8) и подставляя вместе с (10) в (9), получаем

Ю = Е'.

Последующие исследования [31] показали, что формула МГ (2) обеспечивает высокую точность прогнозирования эффективных свойств среды при объемной доле шаровых включений вплоть до 0,3.

Вследствие последнего равенства за обобщение приближения МГ на более сложные варианты матричных сред логично принимать методы и полученные с их помощью результаты, в которых в качестве действующего на включения поля принимается среднее

поле в матрице [1]. Х. Фрике [32] обобщил результат Гарнетта на матричную среду с хаотически ориентированными эллипсоидами одного вида, взяв в роли действующего поля среднее поле в матрице. Полученное им уравнение для эффективной проводимости имеет вид

1 х 3 *

« -и1 f ^Г а2 "а

а = ai л---/ -т-;-т

1 31 "f "1 + L, (0J0l " 1)

где / - объемная доля эллипсоидов; Ц, г = 1,2,3, - главные значения тензора геометрических факторов эллипсоида с полуосями а, а, а [1]:

Ц= -ТБ", г = 1,2,3; ^и=[(и + о?\и + «22)(и + а/)] . (11)

2 0 а +

У. Брэгг и А. Пиппард [33] обобщили формулу МГ на случай матричной среды с одинаково ориентированными эллипсоидами, предваряя свой вывод логическими рассуждениями, обосновывающими выбор среднего поля в матрице в качестве действующего. Среда в данном случае получается анизотропной, главные компоненты тензора £* эффективной диэлектрической проницаемости равны:

f (82 "80 1 + (1" f )81"1(82 "81)Lj

8* =81 + ,, , j=1,2,3.

Наиболее общая форма обобщения приближения МГ для матричных сред с изотропной матрицей и однородными анизотропными эллипсоидальными включениями

предложена в работе [34]. Выражение для тензора £* таких сред можно записать в виде

в* = [(1-/XI + /(к) ][(1-/)1 + /(X) Г1, (12)

где вт - диэлектрическая проницаемость матрицы; / - объемная доля всех включений в материале; I - единичный тензор 2-го ранга; X - тензор, связывающий напряженность Е1 электрического поля внутри конкретного включения и напряженность Е' действующего поля:

Е = ХЕ'.

В данном случае, если считать, что образец среды содержит N включений, для ^го включения тензор X имеет вид

Х(к) = [ + 8и-1Ь(к)(8(к)-втI)]-1, к = 1,...,N. (13)

Здесь Ь(к) - тензор геометрических факторов эллипсоидальных включений, главные компоненты которого определяются выражениями, аналогичными (11); £(к) - тензор

его диэлектрической проницаемости.

Тензор к ^го включения определяется формулой

к(к) = £(к) Х(к). (14)

Усреднение в (12) проводится по всем включениям образца и естественным образом может учитывать различные виды включений с точки зрения материальных характеристик, их разброс по форме и вероятностное распределение их ориентаций. В частности, если образец композита содержит п видов включений, которые могут различаться как материальными свойствами, так и вероятностными распределениями форм и ориентаций, формула (1 2) принимает вид

*

£ =

(15)

(1 Л)в(т)1+£Л(к') (1 -XЛ)I+£л(V)

р=1 р=1 _ _ р=1 р=1 _

где /р - объемная доля включений p-го вида; р = 1, п ; {%.р^, ^кр^ - средние значения

тензоров X и к по включениям p-го вида.

В работе [35] проведено сравнение результатов модельных расчетов по формулам (12), (13) и конечноразностных расчетов для двумерных регулярных диэлектрических структур матричного вида с однотипными включениями в форме эллипса. Данная двумерная структура появляется при декомпозиции трехмерной задачи для матричного композита с включениями в виде регулярно расположенных параллельных эллиптических цилиндров. При реализации вычислений по формулам (12), (13) для приведения трехмерной модели к двумерной величина третьей полуоси эллипсоида принималась на несколько порядков большей, чем величины первых двух. Это соответствовало тому, что по форме эллипсоиды приближались к эллиптическим цилиндрам. Расчеты показали, что при объемных долях включений / < 0,4 относительная погрешность модельных вычислений по формулам (12), (13) для обеих главных компонент тензора £ * не превышает 1 % при любой контрастности включений. При этом размеры элементарной ячейки данной структуры должны быть согласованы с размерами полуосей эллипсов [35].

Обобщение приближения Максвелла Гарнетта для матричного композита с включениями в оболочке. Рассмотрим образец объемом V статистически однородной гетерогенной среды, состоящей из однородной изотропной матрицы с погруженными в нее неоднородными включениями общим количеством N, каждое из которых представляет собой однородное анизотропное эллипсоидальное ядро с однородной анизотропной оболочкой, внешняя граница которой, так же как и внутренняя, является эллипсоидальной. Предполагается отсутствие свободных зарядов, а также двойных заряженных слоев в образце среды. Диэлектрическую проницаемость матрицы обозначим гт, тензоры

диэлектрической проницаемости оболочки и ядра ^го включения обозначим £( к) и

£(k^ k = 1,N. Полуоси внешней S(k) и внутренней S(k) границ оболочки k-го включения обозначим а(\\ а^, а(к3\ j = 1,2. Пусть vk - объемная доля ядра в нем, V(k} - объем всего k-го включения, f - объемная доля всех включений в образце. Очевидно, что

o2iW 4*

я =

V« = a(k)a(k)a(k), к = 1,N.

к aft) ) a(k ^ 3 11 12 13 '

В работе [36] предложено обобщение приближения МГ на случай неоднородной среды данного типа. Развивая идею Борена и Хафмена [1], в [36] в качестве напряженности действующего поля принята средняя напряженность поля в матрице ,

а средние значения напряженности электрического поля в оболочке (Е(кЛ и ядре

^Е(2к^ конкретного включения с номером k связаны со средней напряженностью поля в

матрице так же, как и в таком же уединенном включении в бесконечной матрице с однородным приложенным полем, т. е.

Здесь Ь(к) - тензор геометрических факторов эллипсоида с поверхностью к) , главные компоненты которого определяются формулами, аналогичными (11); Ц(к), Ь2(к) - тензоры обобщенных геометрических факторов эллипсоидов с внешними границами ^(к), ) соответственно с учетом анизотропии оболочки ^го включения в исходной

декартовой системе координат х1х2 х3, связанные формулами

устраняющим анизотропию диэлектрических свойств оболочки ^го включения. Здесь г = (х1 х2 х3)г, = (х^ х\ х3к )г - вектор-столбцы текущей точки в данных системах координат.

При преобразовании (17) поверхности-эллипсоиды ), З(к) трансформируются соответственно в поверхности-эллипсоиды З' (к), З'(к), которые предполагаются софо-кусными; их полуоси обозначаются как а(кх), , а(к.) и а2у, а(к2}, а(к^ . Оси системы х\ х\ х3к направлены вдоль осей поверхностей-эллипсоидов З' (к), З'(к), тензоры Ь '(к), 7 = 1,2, в данной системе имеют диагональный вид с главными компонентами

(17)

(и) = |> + )2)(// + f)(,, + {a™ f)f.

' (k)

'ji

i' = l',2',3'; 7 = 1,2,

В итоге для тензора £* эффективной диэлектрической проницаемости данного образца неоднородной среды получаем выражение [36]

*

£ =

(1 - f KI + Z П ((1 - vt )£k) X(k) + Vk ) X ))

k=1

N

(1 - f )I + 2 ^k ( (1 - Vk )X 1k) + Vk X2k))

(18)

(19)

к=1

где щ = V(к V V - объемная доля ^го включения в образце. Введем обозначения:

X« = (1 - Гк )^к) + Гк X« К(к)=(1 -Гк)г(к)Х(к) + Гк4к)X2к), к=.

Тензоры Х(к) и к (к) по сути являются средними значениями соответствующих тензорных величин по ^му включению. Вводя средние значения тензоров X(к) и к (к) по всем включениям:

-I N 1 N

(X) = <к> = 7^к(к), (20)

/ к=1 / к=1

выражение (18) может быть переписано в виде

=[(1 - /ХД + /{к) ][(1-/)1 + /(X)]-1, (21)

аналогичном выражению (12) для тензора эффективной диэлектрической проницаемости текстурированного матричного композита с однородными анизотропными эллипсоидальными включениями. Отметим, что в данном случае тензоры X и к , усредняемые по всем включениям, имеют более сложный вид. Таким образом, обобщенным приближением МГ на случай неоднородной среды матричного типа с включениями в оболочке является выражение (21), тензорные величины в котором определяются формулами (16), (19), (20). В предельном случае однородных включений тензоры X(к) и к (к) вычисляются по формулам (13), (14), что соответствует предложенному в [34] варианту приближения МГ для матричной среды с однородными анизотропными эллипсоидальными включениями.

Рассмотрим частный случай среды с включениями с шарообразным анизотропным ядром в сферической изотропной оболочке. Будем также считать, что материальные характеристики и объемные доли ядер у всех включений одинаковы:

у = V, 8« =8!, = е2, к = .

В этом случае [36]

L« = L(k) = 3-11, k = 1, N,

и по формулам (16), (19) получим

X20 = 98,^ [(2s, +s1)(2e1I + е2) + 2v(Sl -s,)(е2-s1I)]^1, (22)

X = (3S1 )-1 ((2sJ + е2) - V - S1I)) X20, к = 3-1 [[I + е2) + 2v^ - S11)] X20.

Подставляя (22) в (21), получаем

8* [(1 - /)1 + 3 А ([(2е11 + 82) + 2у(82 - Б11)]

х [(2еи + 81 )(2в11 + 82) + 2у(81 -еи)(82 -М)]1} X (1 -/)1 + 38т/(((2811 + 82) -у(82-811)) х (23)

х[(28и +8!)(2е11 + 82 ) + 2у(8! - 8и )(82 - М)]"' ^

Усреднение в (23) проводится по всем ориентациям кристаллографических осей ядер включений.

Приближение эффективной среды и его обобщения. Формула МГ (2) несимметрична относительно параметров, характеризующих компоненты 1 и 2 смеси, что естественно, поскольку компонент 1 - матрица - непрерывный, а компонент 2 - включения, окруженные со всех сторон матрицей. Если оба компонента образуют статистическую смесь, т. е. зерна каждого компонента могут контактировать как с зернами одного, так и другого компонента, то в этом случае можно считать, что они погружены в некоторую усредненную эффективную среду с диэлектрической проницаемостью 8*. Действующее поле в этой эффективной среде принимается равным среднему полю в системе с напряженностью Е . Тогда напряженности поля Е1, Е2 и векторы поляризации Р1 и

Р2 внутри сферических включений 1-го и 2-го видов будут равны [38]

Ег Е, Рг =8' -8* Е, I = 1,2 .

2е +8 4 л 2е +8г

Средняя поляризация в неоднородной среде с объемными долями фаз ^ и 82 равна:

(Р) = 8 81 1 38 Е + 82 82 1 38 Е. 1 4л 28 +8 2 4л 28 +82

Так как (Р) = (4 л)-1 (е* - 1)Е, то для 8* после упрощения получим уравнение [38]

*

8 8^ ^ S2 Sj

1 = . (24)

3s* 2 2S* + S2

Уравнение (24) элементарно приводится к симметричному уравнению Бруггемана (5). Метод, с помощью которого получено это уравнение, называют приближением эффективной среды, или приближением Бруггемана. Для статистической смеси п изотропных компонентов получается обобщение уравнения (5):

*

8, -8

V = 0 .

£ ! 28* +8г

Одним из преимуществ приближения эффективной среды считается то, что оно в отличие от приближения МГ предсказывает порог перколяции при некотором граничном значении доли более проводящей фазы [39]. Среди попыток обобщения прибли-

n

жения эффективной среды следует отметить обобщенный подход эффективной среды Д. Страуда [30], который, используя идею вспомогательной однородной референтной среды, заимствованную у советских физиков-теоретиков [40], и метод функций Грина, получил интегральное уравнение и вывел из него свое приближение, имеющее большую степень общности. Итоговая формула для тензора эффективной проводимости неоднородной среды, состоящей из эллипсоидальных кристаллитов, имеет вид

о* = Оо + ((I - 5о Г)"1)-1 ((I - 8о Г)"15о), (25)

где о0 - проводимость референтной среды; 5о(г) = о(г) - о0; Г = Г - тензор, связанный с i-м кристаллитом:

Г!=-|Л'(У(](г-г'Рп'. (26)

я;

Здесь - поверхность /'-го кристаллита; п' - нормаль к .

Усреднение в формуле (25) проводится по всем кристаллитам образца. Тип аппроксимации в (25) зависит от выбора о0. Так, например, если о0 = о *, то из (25) получим

*

уравнение для о :

((I - (о - о*)Г)-1 (о - о*)) = 0. (27)

Данный тип приближения называют методом самосогласованного решения [19], который можно считать обобщением приближения эффективной среды в узком смысле. В случае статистической двухкомпонентной смеси с изотропными компонентами со сферическими частицами уравнение (27) приводит к симметричному уравнению Бруг-гемана. Для матричного композита с изотропными шаровыми включениями одного вида при о0, равной проводимости матрицы, формула (25) приводит к уравнению МГ для *

Уравнения (25) и (27) позволяют учитывать такие особенности структуры неоднородной среды, как разброс по ориентациям и формам кристаллитов, многокомпонент-ность среды. В связи с этим обобщенный подход эффективной среды впоследствии активно использовался для прогнозирования свойств неоднородных сред [41-43].

Обобщенное сингулярное приближение. Обобщенное сингулярное приближение (ОСП) [24, 44] теории случайных полей, а также сингулярное приближение (более громоздкий метод, характерный для ранних работ [40, 45]) развиты на основе формального решения краевой задачи для стохастического дифференциального уравнения эллиптического типа

V- 8(г)Уф(г) = 0, ф|5 =-(Ео • Г) (28)

методом функций Грина. Учитывается также то, что вторая производная функции Грина является обобщенной функцией и может быть разложена на формальную О(/) и

сингулярную О составляющие [46]:

О (г) = ^ Чг) + )(г). (29)

В задаче (28) e(r) - тензор диэлектрической проницаемости неоднородной среды, являющийся случайной кусочно-постоянной функцией точки; ф(г) - скалярный электростатический потенциал; S - граница рассматриваемого образца неоднородной среды; E0 - напряженность приложенного электрического поля.

Формализм ОСП включает в себя наряду с (28) рассмотрение аналогичной краевой задачи для однородного тела сравнения такой же формы с диэлектрической проницаемостью ec = const, распределение потенциала в котором обозначим как фс (r) [44]. Вводя обозначения для разностей между величинами, относящихся к задаче (28) и задаче для тела сравнения

ф'(г) = ф(г) -фс (r), e'(r) = e(r) - ec, и вычитая из одной задачи другую, получаем краевую задачу

V • ec Уф'(г) = -V • e'(r) Уф(г), ф'|5 = 0, (30)

решение которой можно записать в виде [44]

ф (r) = J G (r, r )(V • e' (Г1) Vф(rl ))dr,, (31)

V

где G(r, r) - функция Грина, являющаяся решением краевой задачи

V-ecVG(r,r,) = -5(r-r), G(r,r1) = 0. (32)

Дальнейшие преобразования проводятся в пределе неограниченного тела (тогда G(r, r) = G(r - r) ), и для эффективной диэлектрической проницаемости образца неоднородной среды получается точное операторное выражение [44]

e* =( e(r) (I - Q(r)e' (r) ) ^ ((I - Q(r)e' (r) )-^-1,

где Q(r) - тензорный интегральный оператор, действующий по формуле

Q(r)f(r) = Jv1 0V1 G(r -r)f(r)dr,. (33)

Здесь V1 0 V1 G(r - r) - тензор вторых производных функции Грина, индекс 1 у оператора Гамильтона означает дифференцирование по r .

Разложение (29) выделяет у Q(r) локальную и нелокальную части: Q(r) = QIoc (r) + Qnonl (r), где локальная часть определяется сингулярной составляющей G(s), а нелокальная - формальной G(f), которая получается операцией формального дифференцирования. Сингулярная составляющая вычисляется по формуле [44]

Gif(r) = 8(r)j>GJ(r')n'jdS', (34)

S'

где интегрирование проводится по внешней границе S' включения (кристаллита). Подставляя (34) в (33), получаем, что действие локальной части оператора Q(r) сводится к умножению на постоянный тензор:

( Л

Q/oc(r)f(r) = j5(r1-r) §VG(r')®n'dS' i{r,)drx = g-f(r),

Vs" J

где

§ = |УС(г')®пУУ. (35)

Далее принимается, что Ог>.(г) «О(^(г), т. е. пренебрегаем нелокальной частью оператора О(г) и подставляем вместо О(г) постоянный тензор g. Основанием для этого является предположение об однородности поля в пределах конкретного однородного включения, форма которого считается эллипсоидальной. Таким образом, в ОСП выражение для тензора эффективной диэлектрической проницаемости принимает вид

8* =(8(Г) (I - g8'(r) ((I - g8'(г) . (36)

Компоненты тензора g в системе эллипсоида могут быть вычислены из следующих выражений:

п 2п

1 г7

gjj =--I I- sin adadp, i, j = 1,2,3 .

j Air J J n n

4г 0 0 nk8>1

где компоненты неединичной нормали к границе эллипсоида S' (^ , а2, а3 - полуоси) равны:

П = ^ 1 sin a cos p, n = а2 1 sinа sin Р, n = а3 1 cos а.

Несмотря на пренебрежение нелокальной частью оператора Q(r), ОСП позволяет учитывать межчастичные взаимодействия, но в некотором усредненном варианте [24]. ОСП, как и обобщенный подход эффективной среды Д. Страуда, способно учитывать разброс ориентаций и форм включений, многокомпонентность среды. Сравнение выражений для тензора эффективных характеристик в обобщенном подходе эффективной среды (25), (26) и в ОСП (35), (36) приводит к выводу, что оба приближения являются родственными. ОСП находит широкое применение для прогнозирования эффективных упругих и транспортных свойств неоднородных сред и распределения в них локальных полей [47-49].

Рассмотрим двухкомпонентную среду со скалярной диэлектрической проницаемостью и сферическими частицами обоих компонентов. Возьмем среду сравнения скалярной: sc =8cI. Компоненты тензора g частиц обоих компонентов равны:

gj =-(38ТЧ = g Sj, g = -(38с)Л (37)

где Stj - символ Кронеккера.

Усреднение в (36) в рассматриваемом случае сводится к вычислению среднего по объему, что с учетом (37) приводит к следующему выражению для эффективной диэлектрической проницаемости данной среды:

е*= У181 (1 - Е (81 - 8 1 + У282 (1 ~ g (82 ~ £С 1 (38ч

У>(1 - Е (81 -8е))-1 + У2(1 - Е (82-8е))-1 ' ( ;

где у, у г - объемные доли компонентов 1 и 2.

Варьируя 8е, можно получать различные виды приближений для 8*. В [44] показано, что при выборе 8е = 8 из выражения (38) получается уравнение МГ, в котором роль

матрицы играет компонент 1, а при выборе 8е =8*, т. е. применив идею самосогласования, можно получить симметричное уравнение Бруггемана. В [44] также показано, что из (38) или его обобщения на случай и-компонентной среды соответствующим выбором 8е могут быть получены верхние и нижние оценки Винера [18] и Хашина -Штрикмана [27]. Приближение МГ (12), (13) для матричной среды с эллипсоидальными анизотропными включениями также может быть получено как частный случай ОСП (36), если взять матрицу в качестве среды сравнения, т. е. положив 8е = 8т [44].

Дифференциальный подход на основе обобщенного сингулярного приближения. Рассмотрим дифференциальный процесс формирования образца объемом V двухфазного (двухкомпонентного) композита с изотропными компонентами с частицами шарообразной формы. Будем считать, что в начальный момент весь объем занимают частицы фазы 1, а также, что процесс происходит при постоянном объеме V образца. Вычисления будем проводить на основе формулы (38), в течение всего процесса композит будем считать статистически однородным и изотропным [47].

Пусть в некоторый момент из композита удаляется его объемная доля Ау и добавляется такая же доля фазы 2. При этом приращение объемной доли фазы 2 составляет

АУ

Ау2 =-+ = Ау(1 -у2) ,

где у2 - текущее значение объемной доли фазы 2.

Применим формулу (38) к измененному в результате указанного замещения объемной доли Ау композиту, считая, что композит после изменения состоит из однородной фазы 1* с диэлектрической проницаемостью 8*, по которой равномерно распределена объемная доля Ау фазы 2. При этом эффективная диэлектрическая проницаемость получит приращение А8*:

8 +As =

(1 - Ay) 8* (1 - g(8* - 8е ))-1 + Ay 82 (1 - g(82 - 8е ))-1

(1 - Ау)(1 -е(8* -8еГ + Ау(1-Е(82 -8е))-1 Выразим А8* с учетом того, что Ау = Ау2/(1- у2 ), и линеаризуем по Ау2 :

A8* =

Ay2 (82 - 8*)(1 - g(8* -8c ))

1 - У2 (1 - Е(82-8е )) откуда получим дифференциальное уравнение [47]

(1 - Е(82 -8е 8* _ ^У2

(82 - 8*)(1 - g(8*-8c )) 1 - У2

(39)

При решении уравнения (39) будем считать параметры среды сравнения подстраи-

^ ^ *

вающимися под изменяющуюся среду в виде линейной зависимости от 8 :

8е = (1 -аК +«8*, (40)

где 8е, а - некоторые постоянные.

Подставляя (40) в (39) и учитывая, что е = -3-1 ((1 -а)8е + а8*) , получаем дифференциальное уравнение

(2а8* + 2(1 -а)80 +82)й8* _ йу2 (8 - 8*)((2а +1)8* + 2(1 - а)8е) = 1 - у2 ,

интегрируя которое с начальным условием 8* =8,, имеем [47]

1у2=0 1

1

^(а +1/2)8* + (1 -а)80 1 82-8*

(а + V2)8! +(1 -а)80 J 1 -у2 82 -81 .

Уравнение (41) имеет еще более высокую степень общности, чем уравнение (38), на основе которого оно получено с помощью дифференциального процесса [47]. Полагая а = 0 в (41), получаем уравнение, равносильное (38), если а = 1, получаем асимметричное уравнение Бруггемана (6), если взять промежуточные значения 0 < а < 1, из (41) можно получать новые варианты приближений. В [47] показано, что при любых значениях 8 , 82, 8е, у, а, удовлетворяющих условию 8 > 0, 82 > 0, 8£ > 0, 0 < у < 1,

0 < а < 1, метод Ньютона [50] для уравнения (41) сходится к корню 8*, если в качестве начального приближения взять 80 =8 .

Поскольку асимметричная формула Бруггемана считается частным случаем дифференциального приближения эффективной среды, то можно сказать, что входящий в уравнение (41) параметр а является мерой дифференциальности приближения. В работе [31] на основе точных решений в форме кратных рядов смоделирована матричная среда с металлическими шаровыми включениями, размеры которых имеют логнор-мальное распределение с дисперсией а. Сходство результатов, полученных в [31], с результатами модельных расчетов по уравнению (41) свидетельствует о сильной корреляции между параметром а уравнения (41) и дисперсией а размеров шаровых включений в среде [47].

Обобщенное приближение эффективного поля для неоднородной среды с включениями в многослойной оболочке. Пусть образец объемом У с границей Б статистически однородной гетерогенной среды состоит из включений вложенной структуры, N - количество всех включений в образце. Конкретное включение с номером к считается состоящим из однородного ядра Уп(к), которое окружено оболочкой,

имеющей однородные слои Уп(к),...,у(к), к = 1,N, где У^') - ближайший к ядру слой, у(к) - самый внешний слой оболочки к-го включения. Максимальное количество однородных областей, составляющих конкретное включение среды, будем считать равным п. Область, занимаемую всем к-м включением, обозначим как У(к). Введем также обо-

значение f((k) для относительных объемных долей слоев оболочки и ядра в k-м включении:

j) = y(k у v <k >, j = ~n.

Обозначим s(k>, i = 1, n; k = 1, N, тензоры диэлектрической проницаемости областей V(k>. Будем также считать, что свободные заряды в среде отсутствуют.

Пусть к границе данного образца гетерогенной среды приложено постоянное электрическое поле напряженностью E0. Начало процедуры вычисления тензора s образца данной среды аналогично используемой в ОСП: рассматривается краевая задача (28) для скалярного электрического потенциала ф(г) в образце неоднородной среды, а также аналогичная задача для однородного тела сравнения такой же формы и размеров. Вычитая из первой задачи вторую, получаем краевую задачу (30), решение которой записывается в виде интеграла (31). Преобразовав (31) по частям и взяв градиент от левой и правой частей, получим

E'(r) = J V1 ® V1 G(r — r) s'(r )E(r )dr,. (42)

Интеграл в (42) подразумевается в смысле главного значения с вырезанным бесконечно малым шаром вокруг точки r [46]. Поскольку E'(r) = E(r) — Ec, где Ec = const -напряженность электрического поля в теле сравнения, из (42) получим уравнение для напряженности электрического поля в образце неоднородной среды:

E(r) = Ec + Q(r)(s(r) — sc)E(r) , (43)

где Q(r) - тензорный интегральный оператор, определяемый формулой (33).

Пусть текущая точка r лежит внутри k-го включения. Разложим оператор Q(r) на внешнюю и внутреннюю составляющие по отношению к k-му включению: Q(r) = Q£) (r) + Q^ (r), тогда (43) примет вид

E(r) = Ec + Q(x (r)(s(r) — sc )E(r) + Q« (r)(s(r) — sc )E(r), r eV(k). (44)

Первые два члена в (44) можно назвать напряженностью эффективного поля в данной точке k-го включения, которое формируется в результате приложения к образцу композита внешнего поля и наличия в образце других включений [51]:

Ef (r) = Ec + Q(kJ (r)(s(r) — sc )E(r), r e V(k).

С учетом того, что

n r

Qk(r)(s(r) — sc)E(r) = 2 J V1 ®V1G(ri — r)(s;k) — scЖг^,

j=1 yf)

выражение (44) для напряженности поля в точке k-го включения запишем в виде

n с

E(r) = E(k)(r) + 2 J V1 ®V1G(r — r) (s(k) — sc )E(r )dr,, r eV(k).

j=1 y (k)

После громоздкой вычислительной процедуры, изложенной в [51], в итоге для тензора £* данного образца неоднородной среды в предположении эллипсоидальности границ всех слоев оболочек включений получим выражение

^(¿Л К]^((¿л к]^ , (45)

где Хи0, \п,г = 1,...,п — 1, - тензоры, связанные с конкретным включением.

Тензор Х(пд> связывает среднюю напряженность поля в ядре к-го включения и среднюю напряженность эффективного поля:

<Е>«> = Х П?( Е,# >"',

а тензор Х(к> - среднюю напряженность поля в /-м слое оболочки к-го включения со средней напряженностью поля в ядре этого же включения:

(е)= хп><ег>, /=тт—г,

причем [51]

\(k) _ X м -

¿f(k) (I - - )) X n)

(46)

Тензор g1(¿>, используемый в (46), определяется формулой

(г)<3г . (47)

V »>

Усреднение в (45) проводится по всем включениям, составляющим образец (матрицу также можно считать состоящей из включений). В предельном случае однородных включений выражение (45) в обобщенном приближении эффективного поля упрощается до выражения (36) в ОСП [51]. Также можно показать, что для матричной среды с включениями в однослойной оболочке обобщенное приближение МГ, реализуемое формулами (16), (19)-(21), является частным случаем обобщенного приближения эффективного поля при выборе матрицы в качестве среды сравнения. В целом следует отметить, что обобщенное приближение эффективного поля является подходом с большой степенью общности, который учитывает такие особенности структуры неоднородных сред, как несколько уровней ее вложенности, разбросы по ориентациям и формам включений, а также наличие нескольких видов включений.

Рассмотрим случай матричного композита с однотипными сферическими включениями со сферическими изотропными слоями оболочки. Выражения для электрического потенциала в оболочках и ядре изолированного включения, помещенного в бесконечную среду сравнения с однородным приложенным полем напряженностью Е , имеют вид ( к - орт в направлении Е0) [52]:

(к • г>

ф,(r) - A(k • r) + B,^, i -1,n-L r

Фп (г) = А (к • г),

где Д, В - постоянные коэффициенты, определяемые из граничных условий. Функция Грина, определяемая задачей (32), имеет вид [53]

О(г) = ( 4пл/ ёе18е ^ гт (8е )-1 г ) 1. (48)

Приняв, что 8е = 8 е I, и проведя вычисления по формулам (47), (48), получим

gf) =-(38с)-11, к = .

Для тензоров включений \п, i = 1, п, имеем \п = (Д / Д )1. Тогда, считая частицы

матрицы сферическими без оболочки, получаем в итоге для эффективной диэлектрической проницаемости композита выражение [51]

п

2/ [(1 -/)28е8п + /(28е +8М)8г ]А 8* = 8. -.

2/ [(1 - /)(28е +8г ) + /(28е +8п)]Д

i=1

Метод учета вероятностного распределения ориентаций включений. Рассмотрим случай матричного композита с однотипными однородными эллипсоидальными включениями, ориентации которых распределены по некоторому вероятностному закону. В обобщенном приближении МГ выражение для вычисления тензора 8* имеет вид (12), где тензоры к и к определяются формулами (13), (14). Усреднение в (12) в данном случае - это вычисление средних значений тензоров 2-го ранга к и к по всем ори-ентациям включений в некоторой фиксированной системе координат хух (целесообразно ее связывать с текстурой образца). Введем системы координат ^(к )^(к )^(к), к = 1, N N - количество включений в образце композита), связанные с включениями, оси которых совпадают с осями соответствующих эллипсоидов V(к). Ориентации систем ^(к )^(к )^(к) относительно хух (повороты от хух к ^(к )^(к )^(к)) обозначим как 2 <к )(у<к), 0'(к), ф'(к)), где ^'(к), 9'(к), ф'(к) - углы Эйлера. Будем также считать, что ориентации системы главных осей тензора 8^) диэлектрической проницаемости к-го включения и системы ^(к)^(к)^(к) совпадают у всех включений. В этом случае тензоры к(к), к(к) к-го включения в системе координат ^(к)^(к)^(к) диагональные, их главные компоненты

к;(к) =ц= (1+8т1Ц{г1 -8т))-1, <к) =< =81, ]=1,2,3,

где 8{. и Ь'у (у = 1,2,3 ) - главные компоненты тензоров диэлектрической проницаемости и геометрических факторов включений, одинаковые для всех включений.

В системе хуг компоненты тензоров к(к), к(к) зависят от ориентации ^к). Поэтому, чтобы получить выражение для тензора 8* в системе хуг, нужно найти компоненты

тензоров X(k^ к(k) в системе xyz как функции параметров, описывающих ориентацию g'k}, а затем выполнить их усреднение по ориентациям.

Пусть р(у ', 0', ф') - плотность распределения ориентаций включений с учетом множителя инвариантной меры sin 0 ' [54]. Если Xy (у ', 0 ', ф '), l, j = 1,2,3 , - выражения для компонент тензора X конкретного включения в системе xyz, то их средние по ориентациям в системе xyz значения будут вычисляться по формуле

2 К К 2 К

(Xj) = J dФ jd0 'J dу 4j(У ' 0 ',Ф')р(У ',0 ',ф'), l, j = 1,2,3. (49)

0 0 0

Средние значения^к^ вычисляются по аналогичной формуле.

Поскольку тензор X симметричный, для вычисления X¿.(y ', 0 ', Ф') можно применить метод, где используется теория представлений группы SO(3) [54]. Данный метод применялся К. А. Валиевым и его учениками для описания вращательных стохастических процессов [55, 56]. Идея применить данный метод для усреднения по ориентациям включений в композите принадлежит Е. Н. Иванову [57]. Разложим X на тензоры, преобразующиеся по неприводимым представлениям группы SO(3) весов 0 и 2:

Xj =Xj + X/, (50)

где

Xj = (X +Х2 +Х3 )5j/3, X/ =Xj-(X! +Х2 +Х3 )5j7 3. (51)

Тензор Ху - кратный единичному и не меняется при вращениях системы координат, тензор Х1}И - симметричный с нулевым следом, преобразуется по неприводимому представлению веса 2. Введем тензор 1-го ранга X с пятью компонентами

Х±2 = (X/ - Х22/7 )/2+/' Х12я, Х±1 = +Х137/ + 7 Х2", Х0 = ф/2 Х3". (52)

Выражения для компонент тензора в системе с учетом (50)-(52) и того, что в ней тензор X диагональный с компонентами X' (j = 1,2,3), имеют вид [34]

Х±2 =(Х{-Х2)/2, X+j = 0, XÓ =(2Хз-х;-Х2)/л/б .

При переходе от c,r|¿¡ к xyz компоненты X преобразуются по формулам [34]

2

К = ТТ»Лё'К, Ш = - 2,-1,...,2, (53)

где £ = £(у', 0 ', ф') - поворот от ху1 к ^^ в системе ху1; Тш(g'(у ', 0' , ф' )) - обобщенные сферические функции веса 2 [54]. Для средних по ориентациям включений значений компонент Хт по аналогии с (49) с учетом (53) имеем

271 71 271

(х,„)=ZK¡dx\,'\dV¡d^'Tl(gW), m = -2,...,2.

s=-2 0

0 0

Выражая обратно усредненные по ориентациям компоненты тензора (\{]л ^ в системе xyz через , используя (52) и подставляя в (50), получаем усредненные по ориентациям включений компоненты (к^ в системе xyz. Усредненные по ориентациям включений компоненты (к^ вычисляются аналогичным образом. Данный способ

особенно удобен, если плотность распределения ориентаций включений представлена в виде ряда Фурье по обобщенным сферическим функциям [58, 59].

Данный метод использовался для вычисления эффективных характеристик неоднородных сред в зависимости от разброса в ориентациях включений (кристаллитов) в работах [7, 34, 41, 57, 60].

Методы учета вероятностного распределения форм включений. Рассмотрим матричный композит с однотипными эллипсоидальными включениями, форма которых является случайной величиной, оставаясь в рамках эллипсоидальной формы. Также для простоты будем считать, что ориентация и форма включений не зависят друг от друга. Обобщенное приближение МГ (12) в данном случае может быть переписано в виде

s* = [(1 - f )sj+/( (к> f — f )I+/(( x) o)fr\

где нижние индексы «o» и «f» означают усреднение по ориентациям и формам включений соответственно.

Будем считать, что средняя форма включений сфероидальная с отношением полуосей a : a : c. Величина третьей полуоси у всех включений считается фиксированной: a3 = c = fixe, а полуоси a и a2 случайно отклоняются от среднего значения, равного a,

т. е. {a^j = (a2) = a. В этом случае форма каждого включения задается случайным вектором, компоненты которого - относительные отклонения e, e полуосей a, a2 от их средних значений: e = (a - a)/a, j = 1,2 ; (e) = (e2) = 0. Дисперсии отклонений e, e2 считаются малыми: = ^2 << 1, j= 1,2, также считается, что e и e2 независимы.

В работе [60] предложен метод усреднения по формам включений, основанный на моделировании неоднородного материала с несколькими видами включений.

Пусть материал содержит M видов включений, каждый со своими параметрами и распределением ориентаций, тогда тензор s* будет вычисляться по формуле, аналогичной (19). В данном методе непрерывное распределение e, e аппроксимируется дискретным распределением путем разбиения квадрата —1 < e, e < 1 на (2n +1)2 ячеек и задания каждой ячейке относительной доли включений с отклонениями полуосей, лежащими внутри данной ячейки. При этом, если ячейка ( k, &2 ) содержит относительную долю f включений, принимается, что все они имеют относительные отклонения, равные координатам центра ячейки, т. е.

e = 2 k / (2n + 1), e = 2k2 /(2n +1). (54)

n n

Сумма относительных долей включений по всем ячейкам равна 1: ^ ^ f^k = 1.

k=—nk=—n

Применение формулы (15) к данной модели приводит к следующему выражению

для s :

*

s =

(1 -/)sj+f z S Л„ (i -f)i+f S Z

k, =-n k~ =- n

n n

k =- n k-

n k =-n

(55)

где к*1 '*2 и к*1' - тензоры включений с относительными отклонениями полуосей (54). Усреднение в (55) проводится по ориентациям включений.

В работе [60] вычислены частотные диэлектрические характеристики пористого кремния слоистой и волокнистой структур с учетом разброса форм включений, моделирующих волокна или слои. Данный метод может быть развит и для учета разброса форм неоднородных включений, при этом, очевидно, потребуется большее количество случайных величин, описывающих форму включения с оболочкой.

Заключение. Подходом с наибольшей степенью общности, который может учитывать такие структурные особенности неоднородных сред, как многокомпонентность, несколько уровней вложенности, вероятностные распределения ориентаций и форм включений, является обобщенное приближение эффективного поля для неоднородных сред с включениями в многослойной оболочке. При этом вероятностное распределение ориентаций включений может быть учтено с помощью метода, использующего теорию представлений группы 80(3), а вероятностное распределение форм включений - на основе модели композита с несколькими видами включений.

*

Литература

1. Борен К., Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми частицами / пер. с англ. З. И. Фейзулина и др. М.: Мир, 1986. 660 с.

2. Сарычев А. К., Шалаев В. М. Электродинамика метаматериалов. М.: Научный мир, 2011. 221 с.

3. Астапенко В. А. Электромагнитные процессы в среде, наноплазмоника и метаматериалы. Долгопрудный: Интеллект, 2012. 584 с.

4. Займидорога О. А., Самойлов В. Н., Проценко И. Е. Проблема получения высокого показателя преломления и оптические свойства гетерогенных сред // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 2002. Т. 33. № 1. С. 99-157.

5. Моисеев С. Г., Пашинина Е. А., Сухов С. В. К проблеме прозрачности металлодиэлектрических композитных сред с диссипативными и усиливающими компонентами // Квантовая электроника. 2007. Т. 37. № 5. С. 446-452. EDN: TTEUMP.

6. Agranovich V. M., Shen Y. R., Baughman R. H., Zakhidov A. A. Linear and nonlinear wave propagation in negative refraction metamaterials // Phys. Rev. B. 2004. Vol. 69. Iss. 16. Art. No. 165112. https://doi.org/ 10.1103/PhysRevB.69.165112

7. Завгородняя М. И., Лавров И. В. Моделирование оптического фильтра на основе текстурирован-ного пленочного нанокомпозита // Наноматериалы и наноструктуры - XXI век. 2015. Т. 6. № 1. С. 3-7. EDN: TUFBDB.

8. Трофимов А. Н. Высокотехнологичные эпоксидные связующие, полимерные композиты и инновационные технологии получения радиопрозрачных изделий специального назначения из конструкционных стеклопластиков: дис. ... д-ра техн. наук. М., 2018. 304 с.

9. Зарубин В. С., Кувыркин Г. Н., Савельева И. Ю. Математическая модель теплопереноса в сферо-пластике // Математика и математическое моделирование. 2016. № 4. С. 42-58. https://doi.org/10.7463/ mathm.0416.0846276

10. Чухланов В. Ю., Селиванов О. Г. Исследование диэлектрических свойств синтактических пен на основе кремнийорганического связующего // Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2014. № 8-1. С. 26-29. EDN: SFWCBB.

11. Сферопластики как термоизолирующие защитные материалы промышленного назначения / Т. В. Яковенко, Г. К. Яруллина, И. В. Гарустович и др. // Успехи в химии и химической технологии. 2016. Т. 30. № 8 (177). С. 71-73. EDN: XEBLUF.

12. Бардушкин В. В., Сорокин А. И., Сычев А. П. Моделирование эксплуатационных упругих свойств полимерных композитов с наполненными смазкой сферическими микрокапсулами и дисперсными включениями бесщелочного стекла // Трение и смазка в машинах и механизмах. 2015. № 10. С. 43-47. EDN: VWRWPH.

13. Milton G. W. The theory of composites. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2002. 748 p.

14. Максвелл Дж. К. Трактат об электричестве и магнетизме: в 2 т. М.: Наука, 1989. Т. 1. 416 с.

15. Rayleigh J. W. S. LVI. On the influence of obstacles arranged in rectangular order upon the properties of a medium // London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 1892. Vol. 34. Iss. 211. P. 481-502. https://doi.org/10.1080/14786449208620364

16. Карцев В. П. Максвелл. 2-е изд., испр. М.: Молодая гвардия, 1976. 333 с.

17. Garnett J. C. M. XII. Colours in metal glasses and in metallic films // Phil. Trans. R. Soc. Lond. 1904. Vol. 203. P. 385-420. https://doi.org/10.1098/rsta.1904.0024

18. Wiener O. Die Mittelwertsätze für Kraft, Polarisation und Energie // Die Theorie des Mischkörpers für das Feld der stationären Strömung. 1. Abh. Leipzig: Teubner, 1912. S. 509-604.

19. Фокин А. Г. Макроскопическая проводимость случайно-неоднородных сред. Методы расчета // УФН. 1996. Т. 166. № 10. С. 1069-1093. https://doi.org/10.3367/UFNr.0166.199610d.1069

20. Bruggeman D. A. G. Berechnung verschiedener physikalischer Konstanten von heterogenen Substanzen. I. Dielektrizitätskonstanten und Leitfähigkeiten der Mischkörper aus isotropen Substanzen // Ann. Phys. 1935. Bd. 416. S. 636-664. https://doi.org/10.1002/andp.19354160705

21. Keller J. B. A theorem on the conductivity of a composite medium // J. Math. Phys. 1964. Vol. 5. Iss. 4. P. 548-549. https://doi.org/10.1063/1.1704146

22. Дыхне А. М. Проводимость двумерной двухфазной системы // ЖЭТФ. 1970. Т. 59. Вып. 7. С. 110-115.

23. Bergman D. J. The dielectric constant of a composite material - A problem in classical physics // Phys. Rep. 1978. Vol. 43. Iss. 9. P. 377-407. https://doi.org/10.1016/0370-1573(78)90009-1

24. Шермергор Т. Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука, 1977. 399 с.

25. Beran M. Use of the vibrational approach to determine bounds for the effective permittivity in random media // Nuovo Cim. 1965. Vol. 38. Iss. 2. P. 771-782. https://doi.org/10.1007/BF02748596

26. Fokin A. G. Macroscopical dielectric permittivities of nonhomogeneous media // Phys. Stat. Sol. 1983. Vol. 119. P. 741-754. https://doi.org/10.1002/pssb.2221190237

27. Hashin Z., Shtrikman S. A variational approach to the theory of the effective magnetic permeability of multiphase materials // J. Appl. Phys. 1962. Vol. 33. Iss. 10. P. 3125-3131. https://doi.org/10.1063/L1728579

28. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: в 10 т. Т. 8: Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1992. 651 с.

29. Топтыгин И. Н. Современная электродинамика. Ч. 2: Теория электромагнитных явлений в веществе. М.; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2005. 848 с.

30. StroudD. Generalized effective-medium approach to the conductivity of an inhomogeneous material // Phys. Rev. B. 1975. Vol. 12. Iss. 8. P. 3368-3373. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.12.3368

31. Spanoudaki A., Pelster R. Effective dielectric properties of composite materials: The dependence on the particle size distribution // Phys. Rev. B. 2001. Vol. 64. Iss. 6. Art. No. 064205. https://doi.org/10.1103/ PhysRevB.64.064205

32. Fricke H. A mathematical treatment of the electric conductivity and capacity of disperse systems. I. The electric conductivity of a suspension of homogeneous spheroids // Phys. Rev. 1924. Vol. 24. Iss. 5. P. 575-587. https://doi.org/10.1103/PhysRev.24.575

33. Bragg W. L., PippardA. B. The form birefringence of macromolecules // Acta Cryst. 1953. Vol. 6. No. 11-12. P. 865-867. https://doi.org/10.1107/S0365110X53002519

34. Лавров И. В. Диэлектрическая проницаемость композиционных материалов с текстурой: эллипсоидальные анизотропные кристаллиты // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009. Т. 6. № 1. С. 52-58. EDN: KASCSL.

35. Завгородняя М. И., Лавров И. В. Эффективные диэлектрические характеристики двумерных регулярных матричных структур: сравнение модельных и сеточных расчетов // Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения. 2017. Т. 17. № 3. С. 668-672. EDN: YWNZLA.

36. Обобщенное приближение Максвелла Гарнетта для текстурированных матричных композитов с включениями в оболочке / В. И. Колесников, И. В. Лавров, В. В. Бардушкин и др. // Доклады Российской академии наук. Физика, технические науки. 2021. Т. 498. № 1. С. 11-16. https://doi.org/10.31857/ S268674002103010X

37. Лавров И. В., Яковлев В. Б. Анизотропное эллипсоидальное включение с анизотропной оболочкой в изотропной среде с приложенным однородным электрическим полем // ЖТФ. 2017. Т. 87. № 7. С. 963-972. https://doi.org/10.21883/JTF.2017.07.44663.1964

38. Böttcher C. J. F., Bordewijk P. Theory of electric polarization. Vol. 2: Dielectrics in time-dependent fields. Amsterdam; Oxford; New York: Elsevier, 1978. 562 p.

39. StroudD. The effective medium approximations: Some recent developments // Superlattices and Microstructures. 1998. Vol. 23. Iss. 3-4. P. 567-573. https://doi.org/10.1006/spmi.1997.0524

40. Фокин А. Г. Диэлектрическая проницаемость смесей // ЖТФ. 1971. Т. 41. № 6. С. 1073-1079.

41. Лавров И. В. Эффективная проводимость поликристаллической среды. Одноосная текстура и двуосные кристаллиты // Изв. вузов. Электроника. 2010. № 3 (83). С. 3-12. EDN: MNGZDF.

42. Diaz-Guilera A., Tremblay A.-M. S. Random mixtures with orientational order, and the anisotropic resistivity tensor of high-7C superconductors // J. Appl. Phys. 1991. Vol. 69. Iss. 1. P. 379-383. https://doi.org/10.1063/1.347725

43. Bergman D. J., StroudD. G. High-field magnetotransport in composite conductors: Effective-medium approximation // Phys. Rev. B. 2000. Vol. 62. Iss. 10. P. 6603-6613. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.62.6603

44. Об объединении методов оценки эффективных диэлектрических характеристик гетерогенных сред на основе обобщенного сингулярного приближения / В. И. Колесников, В. Б. Яковлев,

B. В. Бардушкин и др. // Доклады Академии наук. 2013. Т. 452. № 1. С. 27-31. https://doi.org/10.7868/ S0869565213260083

45. Фокин А. Г. О границах для эффективной диэлектрической проницаемости неоднородных материалов // ЖТФ. 1973. Т. 43. № 1. С. 71-77.

46. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Гос. изд-во физ.-матем. лит., 1958. 440 с.

47. Бардушкин В. В., Лавров И. В., Яковлев В. Б., Яковлева Е. Н. Моделирование диэлектрических свойств поликристаллов и композитов // Оборонный комплекс - научно-техническому прогрессу России. 2013. № 1 (117). С. 58-65. EDN: PXIFWB.

48. Колесников В. И., Яковлев В. Б., Бардушкин В. В., Сычев А. П. О прогнозировании распределений локальных упругих полей в неоднородных средах на основе обобщенного сингулярного приближения // Вестник Южного научного центра РАН. 2015. Т. 11. № 3. С. 11-17. EDN: UHJSZF.

49. Метод оценки распределений локальных температурных полей в многокомпонентных композитах / В. И. Колесников, И. В. Лавров, В. В. Бардушкин и др. // Наука юга России. 2017. Т. 13. № 2.

C. 13-20. https://doi.org/10.23885/2500-0640-2017-13-2-13-20

50. Березин И. С., ЖидковН. П. Методы вычислений. 2-е изд., стер. М.: Физматгиз, 1962. Т. 2. 640 с.

51. Лавров И. В., Бардушкин В. В., Яковлев В. Б. Обобщенное приближение эффективного поля для неоднородной среды с включениями в многослойной оболочке // ЖТФ. 2022. Т. 92. № 11. С. 1632-1642. https://doi.org/10.21883/JTF.2022.11.53435.133-22

52. Shivola A., Lindell I. V. Solution for the effective permittivity of mixtures with multilayer scatterers by transmission line approach // 1988 IEEE AP-S International Symposium, Antennas and Propagation. Syracuse: IEEE, 1988. Vol. 1. P. 388-391. https://doi.org/10.1109/APS.1988.94086

53. Giordano S., Palla P. L. Dielectric behavior of anisotropic inhomogeneities: Interior and exterior point Eshelby tensors // J. Phys. A: Math. Theor. 2008. Vol. 41. No. 41. Art. No. 415205. https://doi.org/10.1088/ 1751-8113/41/41/415205

54. Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро З. Я. Представления группы вращений и группы Лоренца, их применения. М.: Физматгиз, 1958. 368 с.

55. Валиев К. А., Эскин Л. Д. О вращательной диффузии молекул и рассеянии света в жидкостях // Оптика и спектроскопия. 1962. Т. 12. Вып. 6. С. 758-764.

56. Валиев К. А., Иванов Е. Н. Вращательное броуновское движение // УФН. 1973. Т. 109. Вып. 1. С. 31-64. https://doi.org/10.3367/UFNr.0109.197301b.0031

57. Иванов Е. Н., Лавров И. В. Теория диэлектрической проницаемости композиционных материалов с текстурой. Ч. 1 // Оборонный комплекс - научно-техническому прогрессу России. 2007. № 1. С. 73-78. EDN: KAMCZZ.

58. Боровков М. В., Савелова Т. И. Нормальные распределения на SO(3). М.: МИФИ, 2002. 93 с.

59. Савёлова Т. И., Иванова Т. М., Сыпченко М. В. Применение нормальных распределений на группе SO(3) в текстурном анализе. М.: НИЯУ МИФИ, 2010. 104 с.

60. Завгородняя М. И., Лавров И. В. Методы учета случайности формы включений при вычислении эффективных диэлектрических характеристик гетерогенных текстурированных материалов // Изв. вузов. Электроника. 2015. Т. 20. № 6. С. 565-575. EDN: VAYMMP.

Обзор поступил в редакцию 20.02.2023 г.; одобрен после рецензирования 29.03.2023 г.;

принят к публикации 31.05.2023 г.

Информация об авторе

Лавров Игорь Викторович - кандидат физико-математических наук, доцент Института физики и прикладной математики Национального исследовательского университета «МИЭТ» (Россия, 124498, г. Москва, г. Зеленоград, пл. Шокина, 1), iglavr@mail.ru

References

1. Bohren C. F., Huffman D. R. Absorption and scattering of light by small particles. Weinheim, Wiley-VCH Publ., 1998. 544 p.

2. Sarychev A. K., Shalaev V. M. Electrodynamics of metamaterials. New Jersey, London, Singapore, World Scientific Publ., 2007. 260 p.

3. Astapenko V. A. Electromagnetic processes in medium, nanoplasmonics and metamaterials. Dolgoprudnyi, Intellekt Publ., 2012. 584 p. (In Russian).

4. Zaimidoroga O. A., Samoilov V. N., Protsenko I. E. The problem of realization of high refractive index and optical properties of heterogeneous media. Fizika elementarnykh chastits i atomnogo yadra = Physics of Elementary Particles and Atomic Nuclei, 2002, vol. 33, no. 1, pp. 99-157. (In Russian).

5. Moiseev S. G., Pashinina E. A., Sukhov S. V. On the problems of transparency of metal-dielectric composite media with dissipative and amplifying components. Quantum Electron., 2007, vol. 37, no. 5, pp. 446-452. https://doi.org/10.1070/QE2007v037n05ABEH013294

6. Agranovich V. M., Shen Y. R., Baughman R. H., Zakhidov A. A. Linear and nonlinear wave propagation in negative refraction metamaterials. Phys. Rev. B, 2004, vol. 69, iss. 16, art. no. 165112. https://doi.org/ 10.1103/PhysRevB.69.165112

7. Zavgorodnyaya M. I., Lavrov I. V. Modelling of optical filter based on textured film nanocomposite. Nanomaterialy i nanostruktury - XXI vek = Nanomaterials and Nanostructures - XXI Century, 2015, vol. 6, no. 1, pp. 3-7. (In Russian). EDN: TUFBDB.

8. Trofimov A. N. High-tech epoxy binders, polymer composites and innovative technologies for the production of special-purpose radio-transparent products from structural fiberglass, diss. for the Dr. Sci. (Eng.). Moscow, 2018. 304 p. (In Russian).

9. Zarubin V. S., Kuvyrkin G. N., Savelyeva I. Yu. A mathematical model of heat transfer in spheroplastic. Matematika i matematicheskoe modelirovanie = Mathematics and Mathematical Modeling, 2016, no. 4, pp. 42-58. (In Russian). https://doi.org/10.7463/mathm.0416.0846276

10. Chukhlanov V. Y., Selivanov O. G. The dielectric properties of sintactic foams based on silicon binder. Mezhdunarodnyy zhurnal prikladnykh i fundamental'nykh issledovaniy, 2014, no. 8-1, pp. 26-29. (In Russian). EDN: SFWCBB.

11. Yakovenko T. V., Yarullina G. K., Garustovich I. V., Shishilov O. N., Mel'nikov N. O. Spheroplastics as thermal insulating protective materials for industrial applications. Uspekhi v khimii i khimicheskoy tekhnologii, 2016, vol. 30, no. 8 (177), pp. 71-73. (In Russian). EDN: XEBLUF.

12. Bardushkin V. V., Sorokin A. I., Sychev A. P. Modeling of performance elastic properties of polymer-based composites with lubricated spherical microcapsules and dispersed inclusions of e-glass. Trenie i smazka v mashinakh i mekhanizmakh, 2015, no. 10, pp. 43-47. (In Russian). EDN: VWRWPH.

13. Milton G. W. The theory of composites. Cambridge, Cambridge Univ. Press, 2002. 748 p.

14. Maxwell J. C. A treatise on electricity and magnetism. Oxford, Clarendon Press, 1873. Vol. 1. xx, 431 p.

15. Rayleigh J. W. S. LVI. On the influence of obstacles arranged in rectangular order upon the properties of a medium. London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 1892, vol. 34, iss. 211, pp. 481-502. https://doi.org/10.1080/14786449208620364

16. Kartsev V. P. Maxwell. 2nd ed., rev. Moscow, Molodaya gvardiya Publ., 1976. 333 p. (In Russian).

17. Garnett J. C. M. XII. Colours in metal glasses and in metallic films. Phil. Trans. R. Soc. Lond., 1904, vol. 203, pp. 385-420. https://doi.org/10.1098/rsta.1904.0024

18. Wiener O. Die Mittelwertsätze für Kraft, Polarisation und Energie. Die Theorie des Mischkörpers für das Feld der stationären Strömung. 1. Abh. Leipzig, Teubner, 1912, S. 509-604.

19. Fokin А. G. Macroscopic conductivity of random inhomogeneous media. Calculation methods. Phys.-Usp., 1996. vol. 39, no. 10, pp. 1009-1032. https://doi.org/10.1070/PU1996v039n10ABEH000173

20. Bruggeman D. A. G. Berechnung verschiedener physikalischer Konstanten von heterogenen Substanzen. I. Dielektrizitätskonstanten und Leitfähigkeiten der Mischkörper aus isotropen Substanzen. Ann. Phys., 1935, Bd. 416, S. 636-664. https://doi.org/10.1002/andp.19354160705

21. Keller J. B. A theorem on the conductivity of a composite medium. J. Math. Phys., 1964, vol. 5, iss. 4, pp. 548-549. https://doi.org/10.1063/L1704146

22. Dykhne A. M., Shepherd P. J. (transl.). Conductivity of a two-dimensional two-phase system. Sov. Phys. JETP, 1971, vol. 32, iss. 1, pp. 63-65.

23. Bergman D. J. The dielectric constant of a composite material - A problem in classical physics. Phys. Rep., 1978, vol. 43, iss. 9, pp. 377-407. https://doi.org/10.1016/0370-1573(78)90009-1

24. Shermergor T. D. Micromechanics of inhomogeneous medium. Moscow, Nauka Publ., 1977. 399 p. (In Russian).

25. Beran M. Use of the vibrational approach to determine bounds for the effective permittivity in random media. Nuovo Cim., 1965, vol. 38, iss. 2, pp. 771-782. https://doi.org/10.1007/BF02748596

26. Fokin A. G. Macroscopical dielectric permittivities of nonhomogeneous media. Phys. Stat. Sol., 1983, vol. 119, pp. 741-754. https://doi.org/10.1002/pssb.2221190237

27. Hashin Z., Shtrikman S. A variational approach to the theory of the effective magnetic permeability of multiphase materials. J. Appl. Phys., 1962, vol. 33, iss. 10, pp. 3125-3131. https://doi.org/10.1063/L1728579

28. Landau L. D., Lifshitz E. M. Theoretical physics, in 8 vol. Vol. 8: Electrodynamics of continuous media. Moscow, Nauka Publ., 1992. 651 p. (In Russian).

29. Toptygin I. N. Modern electrodynamics. Part 2: Theory of electromagnetic phenomena in materials. Moscow, Izhevsk, Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika Publ., 2005. 848 p. (In Russian).

30. Stroud D. Generalized effective-medium approach to the conductivity of an inhomogeneous material. Phys. Rev. B, 1975, vol. 12, iss. 8, pp. 3368-3373. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.12.3368

31. Spanoudaki A., Pelster R. Effective dielectric properties of composite materials: The dependence on the particle size distribution. Phys. Rev. B, 2001, vol. 64, iss. 6, art. no. 064205. https://doi.org/10.1103/ PhysRevB.64.064205

32. Fricke H. A mathematical treatment of the electric conductivity and capacity of disperse systems. I. The electric conductivity of a suspension of homogeneous spheroids. Phys. Rev., 1924, vol. 24, iss. 5, pp. 575-587. https://doi.org/10.1103/PhysRev.24.575

33. Bragg W. L., Pippard A. B. The form birefringence of macromolecules. Acta Cryst., 1953, vol. 6, no. 11-12, pp. 865-867. https://doi.org/10.1107/S0365110X53002519

34. Lavrov I. V. Permittivity of composite materials with texture: Ellipsoidal anisotropic inclusions. Ekologicheskiy vestnik nauchnykh tsentrov Chernomorskogo ekonomicheskogo sotrudnichestva = Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation, 2009, vol. 6, no. 1, pp. 52-58. (In Russian).

EDN: KASCSL.

35. Zavgorodnyaya M. I., Lavrov I. V. Effective dielectric characteristics of two-dimensional regular matrix structures: Comparison of model and finite-difference calculations. Fundamental'nye problemy radioelektronnogo priborostroeniya, 2017, vol. 17, no. 3, pp. 668-672. (In Russian). EDN: YWNZLA.

36. Kolesnikov V. I., Lavrov I. V., Bardushkin V. V., Sychev A. P., Yakovlev V. B. The generalized Maxwell Garnett approximation for textured matrix composites with coated inclusions. Dokl. Phys., 2021, vol. 66, iss. 5, pp. 123-128. https://doi.org/10.1134/S1028335821050049

37. Lavrov I. V., Yakovlev V. B. Anisotropic ellipsoidal inclusion with an anisotropic shell in an isotropic medium subjected to a uniform electric field. Tech. Phys., 2017, vol. 62, iss. 7, pp. 979-988. https://doi.org/ 10.1134/S106378421707009X

38. Böttcher C. J. F., Bordewijk P. Theory of electric polarization. Vol. 2: Dielectrics in time-dependent fields. Amsterdam, Oxford, New York, Elsevier, 1978. 562 p.

39. Stroud D. The effective medium approximations: Some recent developments. Superlattices and Microstructures, 1998, vol. 23, iss. 3-4, pp. 567-573. https://doi.org/10.1006/spmi.1997.0524

40. Fokin A. G. Permittivity of mixtures. Sov. Phys. Tech. Phys., 1971, vol. 16, pp. 849-855.

41. Lavrov I. V. Effective conductivity of a polycrystalline medium. Uniaxial texture and biaxial crystallites. Semiconductors, 2011, vol. 45, iss. 13, pp. 1621-1627. https://doi.org/10.1134/S106378261113015X

42. Diaz-Guilera A., Tremblay A.-M. S. Random mixtures with orientational order, and the anisotropic resistivity tensor of high-Tc superconductors. J. Appl. Phys., 1991, vol. 69, iss. 1, pp. 379-383. https://doi.org/ 10.1063/1.347725

43. Bergman D. J., Stroud D. G. High-field magnetotransport in composite conductors: Effective-medium approximation. Phys. Rev. B, 2000, vol. 62, iss. 10, pp. 6603-6613. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.62.6603

44. Kolesnikov V. I., Yakovlev V. B., Bardushkin V. V., Lavrov I. V., Sychev A. P., Yakovleva E. N. Association of evaluation methods of the effective permittivity of heterogeneous media on the basis of a generalized singular approximation. Dokl. Phys., 2013, vol. 58, iss. 9, pp. 379-383. https://doi.org/10.1134/ S1028335813090012

45. Fokin A. G. On bounds for the effective permittivity of inhomogeneous materials. Sov. Phys. Tech. Phys., 1973, vol. 18, p. 44.

46. Gel'fand I. M., Shilov G. E. Generalized functions and operations on them. Moscow, Gos. izd-vo fiz.-matem. lit. Publ., 1958. 440 p. (In Russian).

47. Bardushkin V. V., Lavrov I. V., Yakovlev V. B., Yakovleva E. N. Simulation of dielectric properties of polycrystals and composites. Oboronnyy kompleks - nauchno-tekhnicheskomu progressu Rossii = Defense Industry Achievements - Russian Scientific and Technical Progress, 2013, no. 1 (117), pp. 58-65. (In Russian). EDN: PXIFWB.

48. Kolesnikov V. I., Yakovlev V. B., Bardushkin V. V., Sychev A. P. On the prediction of local elastic fields' distributions in non-uniform media on the basis of a generalized singular approximation. Vestnik Yuzhnogo nauchnogo tsentraRAN, 2015, vol. 11, no. 3, pp. 11-17. (In Russian). EDN: UHJSZF.

49. Kolesnikov V. I., Lavrov I. V., Bardushkin V. V., Sychev A. P., Yakovlev V. B. A method of the estimation of the local thermal fields distribution in multicomponent composites. Nauka yuga Rossii = Science in the South of Russia, 2017, vol. 13, no. 2, pp. 13-20. (In Russian). https://doi.org/10.23885/2500-0640-2017-13-2-13-20

50. Berezin I. S., Zhidkov N. P. Calculation methods. 2nd ed., stereotype. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1962. Vol. 2. 640 p. (In Russian).

51. Lavrov I. V., Bardushkin V. V., Yakovlev V. B. Generalized effective-field approximation for inhomogeneous medium with inclusions in multilayered shell. Tech. Phys., 2022, vol. 67, iss. 11, pp. 1405-1415. http://dx.doi.org/10.21883/TP.2022.11.55169.133-22

52. Shivola A., Lindell I. V. Solution for the effective permittivity of mixtures with multilayer scatterers by transmission line approach. 1988 IEEE AP-S International Symposium, Antennas and Propagation. Syracuse, IEEE, 1988, vol. 1, pp. 388-391. https://doi.org/10.1109/APS.1988.94086

53. Giordano S., Palla P. L. Dielectric behavior of anisotropic inhomogeneities: interior and exterior point Eshelby tensors. J. Phys. A: Math. Theor, 2008, vol. 41, no. 41, art. no. 415205. https://doi.org/10.1088/1751-8113/41/41/415205

54. Gel'fand I. M., Minlos R. A., Shapiro Z. Ya. Representations of the rotations ' group and Lorenz group, their applications. Moscow, Fizmatgiz, 1958. 368 p. (In Russian).

55. Valiev K. A., Eskin L. D. On a rotational diffusion of molecules and scattering of light in liquids. Optika i spektroskopiya = Optics and Spectroscopy, 1962, vol. 12, iss. 6, pp. 758-764. (In Russian).

56. Valiev K. A., Ivanov E. N. Rotational Brownian motion. Sov. Phys. Usp., 1973, vol. 16, pp. 1-16. https://doi.org/10.1070/PU1973v016n01ABEH005145

57. Ivanov E. N., Lavrov I. V. Theory of permittivity of composites with texture. Part 1. Oboronnyy kompleks - nauchno-tekhnicheskomu progressu Rossii = Defense Industry Achievements - Russian Scientific and Technical Progress, 2007, no. 1, pp. 73-78. (In Russian). EDN: KAMCZZ.

58. Borovkov M. V., Savelova T. I. Normal distributions on SO(3). Moscow, MEPhI, 2002. 93 p. (In Russian).

59. Savyolova T. I., Ivanova T. M., Sypchenko M. V. Applications of the normal distributions on SO(3) group in the texture analysis. Moscow, NRNU MEPhI, 2010. 104 p. (In Russian).

60. Zavgorodnyaya M. I., Lavrov I. V. Methods of accounting for inclusion-shape randomness in calculating the effective dielectric characteristics of heterogeneous textured materials. Semiconductors, 2016, vol. 50, iss. 13, pp. 1708-1715. https://doi.org/10.1134/S1063782616130121

The review was submitted 20.02.2023; approved after reviewing 29.03.2023;

accepted for publication 31.05.2023.

Information about the author

Igor V. Lavrov - Cand. Sci. (Phys.-Math.), Assoc. Prof. of the Institute of Physics and Applied Mathematics, National Research University of Electronic Technology (Russia, 124498, Moscow, Zelenograd, Shokin sq., 1), iglavr@mail.ru