CC BY
193
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
Л.М. Кожевникова, д-р физ.-мат. наук, профессор А.К. Багаутдинова, магистрант
Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета (Россия, г. Стерлитамак)
DOI: 10.24411/2500-1000-2020-11565
Аннотация. Одной из сложных тем, рассматриваемых в заданиях ЕГЭ по математике профильного уровня, является тема «Логарифмические неравенства». В работе представлены нестандартные методы их решения: графический метод, метод интервалов, метод рационализации, метод замены переменных, метод мажорант. Каждый прием демонстрируется на конкретных примерах. В статье приводятся рекомендации по выбору способа решения логарифмических неравенств. Удачно выбранный метод позволяет значительно облегчить, а в некоторых случаях и ускорить процесс нахождения решения.
Ключевые слова: логарифмические неравенства, графический метод, метод интервалов, метод замены переменных, метод рационализации, метод мажорант.
Модернизация среднего образования, проводимая в России, предполагает итоговую аттестацию выпускника школы в форме Единого государственного экзамена. В число основных предметов ЕГЭ входит, конечно же, математика. В 2015 году ЕГЭ по математике был разделен на два уровня. С этих пор существуют базовый и профильный уровни.
Успех написания выпускной работы ЕГЭ по математике напрямую зависит от степени и правильности решения заданий именно повышенного уровня сложности, которые являются наиболее трудными и, следовательно, оцениваются наибольшим количеством баллов. Эти задачи предъявляют к математической подготовке выпускников школ очень высокие требования.
Одной из таких сложных тем, рассматриваемых в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ, является тема «Логарифмические неравенства». Эта тема представлена в профильном уровне, в задании 15 второй части.
Данная статья посвящена технологии решений задач по теме «Логарифмические неравенства».
В работе рассмотрим такие методы решений логарифмических неравенств:
1) классический (стандартный) подход;
2) графический метод;
3) метод интервалов;
4) метод рационализации;
5) метод замены переменных;
6) метод мажорант (метод оценок).
Вне зависимости от того, каким методом вы решаете то или иное логарифмическое неравенство, начинать всегда нужно с области допустимых значений.
1) Рассмотрим классический подход решения логарифмических неравенств. Как правило, в школе учат решать логарифмические неравенства только с помощью определения логарифма, поэтому данный метод называется классическим.
Данный метод основан на переходе от неравенства \о§а(х)/(х) > \о§а(х)д(х) (на месте знака > может стоять любой из знаков <, >, <) при а(х) >1 к равносильной ему системе неравенств
fix) > О, g(x) > О,
1/00 > g(x),
( /(*)> О,
а при 0 < а ( х) <1 - к равносильной системе неравенств ч g ( х) > 0, [9].
(Дх) < д(х)
Первые два неравенства каждой из этих систем определяют область допустимых значений переменной для неравенства 1 0 ёа (х)/ О) > 1 о ёа(х)0 (х) , а знак последнего неравенства каждой из систем либо совпадает со знаком неравенства
1 о ёа (х)/ М > 1 о ёа (х)5 (х) - в случае, когда а (х) > 1 , либо противоположен знаку неравенства - в
случае, когда 0 < а ( х) < 1.
Пример 1. Решите неравенство 1 о ё4 (х — 5) < - .
1
Решение. Используя свойства логарифмов, представим число - справа в виде логарифма с основанием 4. Тогда неравенство примет вид:
1 о ё4 ( х — 5 ) < -1 о ё4 4 = 1 о ё4 2 <=> 1 о ё4 ( х — 5 ) < 1 о ё4 2 . Приведем полученные неравенства к равносильной системе
|х — 5>0 х>5^5<х<7. (-х - 5 < 2 х < 7,
Ответ. х £ ( 5 ; 7 ) . Пример 2. Решит
Решение. Найдем ОДЗ:
Пример 2. Решите неравенство 1 о ё! ( 7 — 6х) ■ 1 о ё 2 - х_ > 1.
9 3
х<-6
Г7 — 6х > 0,
2 —х>0 « ]х<2, ^х£(—оо;1)и(1;^).
Упростим исходное неравенство:
^1оё1(7 - 6х) ■ 1оё2—х \ > 1 <=> 1оё2-х(7 - 6х) > 2 <=>
^ з 5
<=> 1 о ё 2-х ( 7 — 6х) > 1о ё2-х ( 2 — х) 2.
При х £ ( 1 (1) основание 2 — х < 1 , тогда неравенство равносильно: ( 7 — 6х) <
(2 — х)2 <=> х2 + 2х — 3 > 0 (х + 3) ■ (х - 1) > 0
<=> х £ (—оо ; — 3 ] и [ 1 ; + оо ). Учитывая условие (1), получаем х £ ( 1 .
При основание , тогда неравенство равносильно:
. Учитывая условие , получаем .
Ответ. х £ [—3 ; 1 ) и ( 1 .
2) Графический метод основан на по-
строении графиков функций. Данный метод решения неравенства применяется лишь тогда, когда функции, отвечающие
частям неравенства, довольно простые в
плане построения графиков. Это одна из особенностей графического метода решения неравенств.
Правую и левую части неравенства рассматриваем как две отдельные функции и , их графики строим в
одной системе координат и смотрим, какой из графиков располагается выше другого, и на каких промежутках. Оцениваются промежутки следующим образом:
- решениями неравенства /(х) > д(х) являются интервалы, где график функции /(х) не ниже графика функции д(х);
- решениями неравенства /(х) < д(х) являются интервалы, где график функции /(х) не выше графика функции д(х);
Другая особенность - результаты, полученные по графикам. Их можно считать лишь приближенными. Бывает, что определенные по графикам значения корней оказываются точными значениями, в чем дает убедиться проверка подстановкой. В других случаях, есть возможность уточ-
4
— __^ )
2 p
14 2 10 В * 4 2 0 0 2 4
-is
Рис. 1. Графики функций f(x) = log3(2x — 4) и д(х) = log3(14 — х)
нить значения корней до требуемой степени точности, для этого существуют специальные методы уточнения значений корней. В некоторых случаях по графикам невозможно определить количество корней, их значения. В таких ситуациях стоит отказаться от графического метода.
Пример 3. Решить неравенство 1оёз(2х — 4)>1оёз(14 — х).
Решение. В одной системе координат построим два графика: /(х) = 1оg3(2х — 4) и д(х) = 1о§3(14 — х) (рисунок 1).
По рисунку 1 видно, что абсциссой точки пересечения двух графиков является 6. Так как имеем неравенство /(х) > д(х), тогда выбираем интервал, где график функции /(х) выше графика функции д(х). Получаем интервал (6; 14).
Ответ: х Е (6; 14).
Пример 4. Решить неравенство 1о%в(12х + 1) <2.
Решение. Рассмотрим две функции: /(х) = 1о§5(12х + 1) и д(х) = 2. Построим графики данных функций в одной прямоугольной системе координат (рис. 2).
¿.3
/f{? >
5 2 i 1 -0.5 0 0 s 9 5 2.
Рис. 2. Графики функций f(x) = logs(12x + 1) и д(х) = 2 International Journal of Humanities and Natural Sciences, vol. 12-2 (51), 2020
Абсцисса точки пересечения двух графиков равна Так как в рассматриваемом примере , тогда решением не-
равенства являются интервалы, где график функции не выше графика функции
д ( х) . По рисунку 2 видно, что промежуток 1
( — — ;2 ] является приближенным решением данного неравенства, так как по рисунку невозможно точно определить к какому
значению слева стремиться функция . 1
Ответ: х £ (--; 2 ] .
4 ю 1
3) Метод интервалов принято считать универсальным для решения неравенств. Часто этот метод также называют методом промежутков. Суть метода в определении ОДЗ и знака сомножителей. Следующая
задача решается с помощью метода интервалов.
Пример 5. Решить неравенство
Решение. Всегда решение логарифмического неравенства начинаем с области допустимых значений. Выражение под знаком логарифма должно быть положи-
2 — Зх
тельным, то есть > 0 . Это условие
обязательно должно выполняться, и к нему мы вернемся. Рассмотрим пока само неравенство. Запишем левую часть как логарифм по основанию 3:
Ш
Правую часть тоже
можно записать как логарифм по основанию 3, а затем перейти к алгебраическому неравенству:
iog3 - iog4
х 1
<=>-> -.
3 2 — Зх 3
Видим, что условие
2 — Зх
> 0, то есть ОДЗ, теперь выполняется автоматически. Это уп-
рощает решение неравенства.
х
2 — Зх 3
1 Зх - 1
- > 0 <=>-> 0
2 — Зх
Решаем неравенство методом интервалов:
Ответ: х £
Пример 6. Решить неравенство 1о ё 0,2 (х2 + 6х + 8) > 1 оё0,2 ( 5х + 1 0) . Решение. Найдем ОДЗ:
|х2 + 6х + 8>0,^х£(—2;+оо).
I 5 х + 1 0 > 0 . ^ )
Поскольку основание у нас 0, 2 < 1 , то знак неравенства меняем. Получим:
х2 + 6х + 8 <5 х + 1 0 . Упростим полученное неравенство: х2 + х — 2 < 0 . Применим метод интервалов. Корни уравнения х2 + х — 2 = 0: х 1 = — 2 ; х2 = 1.
Наносим найденные точки на числовую ось и вычисляем знаки на каждом интервале:
2 1
х £ (—2; 1).
Окончательное решение неравенства - пересечение ОДЗ с только что полученным множеством. Получим:
Ответ: х £ (—2 ; 1 ) .
4) Метод рационализации заключается в замене сложного выражения на более простое выражение.
Неравенство вида 1 og_f(X) (х) )V lo g^- (Х) (Л. (х) ) , в области его допустимых значений, можно заменить равносильным неравенством
(/(х) - 1 )(g(x) - h(x))V0. Здесь знак V означает любой из знаков <, >, < или >. Пример 7. Решите неравенство 1 o gx+х (х — 1) > 0. Решение. Найдем область допустимых значений:
х + 1 > 0
х + 1^1<=>х>1. х - 1 > 0
По методу рационализации: на ОДЗ
logx+1(x - 1) > 0 <=> (ж + 1 - 1) • (ж - 1 1) > 0 х • (х - 2) > 0. Так как на ОДЗ х > 1 , то на ОДЗ последнее неравенство равносильно неравенству: ( х — 2 ) >0<=>х>2 . С учетом ОДЗ, получим: х £ [ 2 ; + оо ) . Ответ: .
Рассмотри более сложное неравенство.
Пример 8. Решите неравенство
(х2 + Зх - 10) ■ log0,5(x2 - 1) log(x2_1}(x + 2) < 0.
Решение.
Выпишем ОДЗ неравенства: х2 - 1 > 0,
х + 2 > 0, ^х£ (—2; —л/2) U (—л/2; — l) U (l; л/2) U (л/2; +оо). х2 - 1 * 1;
Решим неравенство на ОДЗ.
Заметим, что по формуле 1 o g а Ъ ■ 1 o gb с = 1 o g а с неравенство можно переписать в виде:
(х2 + Зх - 10) ■ logo,5 (х + 2) < 0. По методу рационализации данное равенство равносильно:
(х2 + Зх - 10) ■ (0,5 - 1) (х + 2 - 1) < 0, (х + 5)(х - 2)(х + 1) > 0.
Решая данное неравенство методом интервалов, получим:
х £ [—5; —1] и [2; +оо). Пересечем ответ с ОДЗ и получим окончательный ответ
х £ (-2; -л/2) и (-л/2; 1)и[2;+оо). Ответ: х е ( -2 ; —л/2) и ( - л/2; - 1) и [2 ; + оо) .
На наш взгляд, данный метод является экономичным по времени, так как легко преобразовать логарифмическое неравенство к нужному рациональному неравенству.
5) Перейдем к методу замены переменных. Суть метода в том, чтобы от неравенства, содержащего в качестве множителей сложные логарифмические выражения, перейти к равносильному ему более простому рациональному неравенству. Данный метод чаще применяется при решении неравенств, содержащих квадрат логарифма и квадрат выражения, в котором содержится логарифм.
Пример 8. Решите неравенство:
(\ogjx - 2 х)2 < \l\oglx -2 2 1 о %2 х — 2 4.
Решение. Перепишем данное неравенство в виде:
(1о- 2 \о%2 х)2 - 11(1о-21 о %2 х) + 24 < 0.
Применим метод замены переменных. Пусть , тогда имеем
равносильное неравенство (равносильными называются неравенства, множества решений которых совпадают):
г;2-Ш + 24<0 <=> (*;-3)(г;-8)< , с решением .
Вернемся к переменной х:
3 < log^x - 2 log2 х < 8 <=>
[log|x llogix
2 log2 x 2 log2 x
3 > 0, 8 < 0.
В результаты замены приходим к системе неравенств
У
2y-3 >0, _ f(y + l)(y — 3) > 0,
ly2 — 2y — 8 < 0, l(y + 2)(y-4) < 0,
Обратная замена приводит к системе
У < -i. [у >3, 2 < у < 4.
log2x < -1, . log2 x > 3, <=> 2 < log2 x < 4,
log2x < log2-, ,log2x > log2 8,
log2- < log2x < log2 16,
0 < x < -,
2
x > 8, < x < 16,
откуда х е и ( 8 ; 1 6). Здесь мы учли, что основание логарифма 2 > 1. Ответ. хе(^)и ( 8 ; 1 6).
5) Рассмотрим метод мажорант (другое название - метод оценок).
Метод мажорант основан на том, что множество значений некоторых функций ограничено. При использовании данного метода нужно выявить точки ограниченности функции, то есть в каких пределах изменяется данная функция, а затем ис-
пользовать эту информацию для решения неравенства.
Основной признак неравенств, в которых нужно применить метод мажорант: имеется смешанное неравенство, то есть в задании присутствуют разнородные функции, например, линейная и логарифмическая.
Пример 9. Решить неравенство: 7 1 х 3 1 ■ 1 о %2( 6х — х2 — 7 ) > 1.
Решение. Преобразуем данное неравенство:
1о%2( 6х —х2 —7) > 7 I 3 I .
Рассмотрим левую часть получившегося неравенства 1 о % 2 ( 6 х — х2 — 7 ) . Преобразуем подлогарифмическое выражение:
6х — х2 — 7 = — (х2 — 6х + 9) + 2 = — (х — 3 ) 2 + 2.
Получаем, что подлогарифмическое выражение 6х — х2 — 7 < 2. Так как у = 1 о %2 t возрастает при , то:
1 о %2( 6х — х2 — 7 ) < 1 о %2 2 <=> 1 о %2(6х — х2 — 7) < 1.
Рассмотрим правую часть 7 1 х _ 3 1 . Известно, что у = 7 1 возрастает. Так как | х — 3 | > 0 , то .
Получаем, что левая и правая части равны 1. Следовательно, неравенство 1о%2(6х — х2—7)> 7х— 3 равносильно системе:
ПО§2(6х-Х2-7) = 1,
( у|х-3| _
Решив первое уравнение системы, по- Значит, х = 3 является решением неравен-лучаем . Проверим первое уравне- ства .
ние, подставив значение х = 3 . Получаем Ответ: х = 3 .
верное равенство .
Пример 10. Решить неравенство:
4д/(3х - I)2 + /log2 х2 + 161og4x < 4-12х.
Решение.
1. Упростим первый корень неравенства:
4 | 3 х —1 |+ ^ 1 о % 22х2 + 1 61 о %4 х < 4 — 1 2 х.
2. Заметим, что оба слагаемых в левой При этих значениях х подмодульное
части неравенства неотрицательны, следо- выражение отрицательно, следовательно,
вательно, правая часть также должна быть раскрываем модуль с противоположным
неотрицательна, то есть знаком: х<±.
3
4 ( 3 х — 1 ) + I 1 o g2 х2 + 1 61 o g4 х < 4 — 1 2 х,
1 o g 2 х2 + 1 61 o g4 х < 0.
Так как квадратный корень - величина неотрицательная, следовательно, неравенство выполняется, если только левая часть равна нулю [10].
3. Решим уравнение: 1 о %
. Приведем второй логарифм к основанию 2: log22 х2 + 8 \о§2 х = 0
V2 +
\2 _
Легко проверить, что только число 1
х = - является решением исходного неравенства. Так как мы не находили ОДЗ, проверку нужно сделать обязательно.
Ответ: х = -.
4
В работе представлены нестандартные методы решения логарифмических неравенств. Рассмотренные на конкретных примерах способы позволяют значительно облегчить, а в некоторых случаях и ускорить процесс решения неравенств. Примеры подобраны из работ [1-10].
Данная статья может быть использована обучающимися для повторения и систематизации материала по теме «Логарифмические неравенства», а также учителями математики для элективных курсов.
Преобразуем первое слагаемое:
log22x2 = (log2x2)2 = (2 log2|x|) ( 2 1 о g 2 х) 2 - раскрыли модуль с тем же знаком, так как х > 0 по ОДЗ исходного неравенства.
Теперь введем замену переменной: 1 о g2 х = t (метод замены рассматривался выше). Получим уравнение: 4t2 +8 t = 0. Решая данное уравнение, получим: t = 0 или t = — 2 . Вернемся к исходной переменной: 1 о g 2 х = 0 или 1 о g 2 х = — 2. От-i 1 сюда х = 1 или х = -
4
Библиографический список
1. Глухов М.М. Задачник-практикум по алгебре / М.М. Глухов, А.С. Солодовников. -М.: Просвещение, 2019. - 276 с.
2. Егерев В.К. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / В.К. Егерев, Б.А. Зайцев и др. - 6-е изд. - М.: ОНИКС-ЛИТ, 2018. - 608 с.
3. Сканави М.И. Логарифмические уравнения и неравенства. Полный сборник решений задач для поступающих в вузы. - М.: Мир и Образование, 2019. - 912 с.
4. Солодовников А.С. Задачник-практикум по алгебре / А.С. Солодовников, А.М. Родина. - М.: Просвещение, 2018. - 127 с.
5. Ткачук В.В. Математика - абитуриенту. - 14-е изд. - М.: МЦНМО, 2017. - 976 с.
6. Открытый банк заданий ЕГЭ по математике. - [Электронный ресурс]. - Режим доступа: mathege.ru
7. Яковлев И.В. Материалы по математике: подготовка к олимпиадам и ЕГЭ. - [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://mathus.ru
8. Решу ЕГЭ. - [Электронный ресурс]. - Режим доступ: https://math-ege.sdamgia.ru/
9. Школково - образовательный портал для подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам. -[Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://shkolkovo.net
10. Фельдман И.В. Репетитор по математике. - [Электронный ресурс] - режим доступа: https://ege-ok.ru/
METHODS FOR SOLVING LOGARITHMIC INEQUALITIES
L.M. Kozhevnikova, Doctor of Physical and Mathematical Sciences Professor A.K. Bagautdinova, Graduate Student Sterlitamak branch of Bashkir State University (Russia, Sterlitamak)
Abstract. One of the difficult topics considered in the tasks of the unified state exam in mathematics at the profile level is the topic "Logarithmic inequalities". The paper presents nonstandard methods for solving these problems: the graphical method, the interval method, the rationalization method, the variable replacement method, and the majorant method. Each technique is demonstrated with specific examples. The article provides recommendations for choosing a method for solving logarithmic inequalities. A well-chosen method can significantly facilitate, and in some cases speed up the process of finding a solution.
Keywords: logarithmic inequalities, graphical method, interval method, variable replacement method, rationalization method, majorant method.
