О методе рационализации при решении показательных неравенств Текст научной статьи по специальности «Прочие технологии»

СИМВОЛ НАУКИ ISSN 2410-700X № 5 / 2018.

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 510

Бенгина Татьяна Алексеевна

канд.техн.наук, доцент СамГТУ, г. Самара, РФ E-mail: bengina1@mail.ru

О МЕТОДЕ РАЦИОНАЛИЗАЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ

Аннотация

В статье рассмотрен метод рационализации, позволяющий упростить решение показательных неравенств.

Ключевые слова

Показательные неравенства, показательная функция, метод рационализации, метод интервалов.

Впервые о методе рационализации было заявлено более пятидесяти лет назад, однако и по сей день, этот метод используется не так широко, как он заслуживает. Довольно часто при решении показательных и логарифмических неравенств допускаются ошибки, связанные с применением свойств логарифма, логарифмической и показательной функций, неумением применять метод равносильных преобразований, при решении заданий повышенного и высокого уровней сложности. Использование метода рационализации позволяет избежать ряда сложностей при работе с неравенствами.

Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x), на более простое выражение G(x), при котором неравенство F(x)v0 равносильно неравенству G(x)v0 в области определения выражения F(x).

D a(х)f (х) > a(x)g(x)

Рассмотрим показательные неравенства вида: .

Причем a(x) f (x) g(x) - некоторые функции.

Традиционное решение такого неравенства приводит к двум случаям. В первом основание степени положительно, но меньше единицы (знак неравенства меняется на противоположный), во втором случае основание степени больше единицы (знак неравенства сохраняется). Однако, решение можно упростить, применив теорему:

Показательное неравенство равносильно следующей системе неравенств:

a(х) > 0,

< a(х) Ф 1,

(a(х) -1)( f (x) - g(х)) > 0. a(x)f(х) > a(x)g(х)

Полученное неравенство решается методом интервалов.

Выделим некоторые выражения и соответствующие рационализирующие выражения, позволяющие исключительно эффективно решать многие показательные неравенства, которые можно отнести к разряду повышенной сложности.

1) a(x)f (x) > a(x)g(x) « (х) - g(х)Xa(х) - 1) >

\a(х) > 0;

2) ía(х)f (х) > Кх), « (f (х) - loga(x) b(x))(a(х) - 1) > 0, I b(х) > 0,

a(x)fl(x) - a(x)Sl(x) л

3) f ( )- ( ) > 0

a(x)f2(x) - a(x)g2(x)

fl(x) - Sl(xK 0 f2( x ) - S2( x ) ' a(x) > 0, a(x) ^ l.

<

Í « }

СИМВОЛ НАУКИ ISSN 2410-700X № 5 / 2018.

Пример.

(*2 - л - 2)(2*2"*-1) > (*2 - л - 2)(9"*2)

Решить неравенство Решение.

Составим систему неравенств:

х - х - 2 > 0, х2 - х - 2 ф 1,

((х2 - х - 2) -1)((2х2 - х -1) - (9 - х2)) > 0.

Решив два первых неравенства, найдем ОДЗ исходного показательного неравенства

* < -1 или * > 2, 1 ±Vi3

* ф-

2

н - пт / .1^/13 п 1^/13. ,1

Найдем ОДЗ методом интервалов х е (-да,—-—) ^ (—-—,-1) ^ (2,—-—) ^ (—-—,+да) .

2 2 2 Далее рассмотрим основное неравенство: ((х - х - 2) - 1)((2х - х -1) - (9 - х )) > 0, которое упрощается

(х2 - х - 3)(3х2 - х -10) > 0 „ к виду 4 ' . Корни первого множителя этого неравенства нашли ранее,

1 ±л/Г3 1 ±л/ш 5

х1 2 =-. Корни второго множителя равны х3 4 =-, х3 = — , х4 = 2. Выполним

2 '63

упорядочение корней, так как 3 <л/Г3 < 4, то х3 < х1 < х4 < х2 . Применив метод интервалов, получим

, 5Ч д-лЯэ ^ д+ 713 ч _ „

следующее решение основного неравенства х е (-да,—) ^ (—-—,2) ^ (—-—,+да). Учитывая найденное

ОДЗ, получим окончательный ответ: х е (-да,-5) ^ (1—,-1) ^ (1 + ,+да) .

п , 5. Д -л/1з 1 + 713

Ответ: х е (-да,-—) ^ (—-—,-1) ^ (—-—,+да).

Преобразованное таким образом неравенство всегда равносильно исходному в области определения последнего. По внешнему виду неравенства легко определяется возможность применения метода рационализации.

Метод рационализации позволяет сократить время при решении такого типа неравенств. Этот способ распространяется и на решение других неравенств (показательных, иррациональных и неравенств, содержащих модули). В тренировочных материалах для подготовки к единому государственному экзамену достаточно часто встречаются задания, в которых рассмотренный метод значительно упростил бы ход решения, а также время выполнения работы.

Список использованной литературы:

1. ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. 36 вариантов. Типовые тестовые задания от разработчиков ЕГЭ и 800 заданий части 2 / под ред. И.В. Ященко. - М.: Издательство «Экзамен», издательство МЦНМО, 2018 - 299.

2. Тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ по математике: учебное пособие / Составители: В.В. Липилина, В.П. Кузнецов, Самара, ГОУ СИПКРО, 2017-156.

3. Использование метода рационализации при решении логарифмических, показательных неравенств и их систем/ Составители: С.Г.Афанасьева, Т.А.Бенгина, Самара, ГОУ СИПКРО, 2017-35.

©Бенгина Т.А., 2018