МЕТОДЫ РАЗЛОЖЕНИЯ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА НА ЛИНЕЙНЫЕ МНОЖИТЕЛИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

conditions and coordination of the regularization parameter of boundary value problems for the hyperbolic equation are used.

Keywords: resistance, matrix method, puzzle, heat, temperature, boundary state, model, wave, electromagnet.

Сведения об авторе:

Джураев Хайрулло Шарофович - Таджикский национальный университет, доктор физико-математических наук, доцент кафедры вычислительных машин, систем и сетей. Адрес:734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, проспект Рудаки 17. Тел: (+992) 917307060. E-mail: hayrullo [email protected] Мелиев Нуралй Норбоевич - Таджикский государственный педагогический университета имени Садриддин Айни, ассистент кафедры информационной и коммуникационной технологии математического факультета. Адрес:734003, Республика Таджикистан, г.Душанбе, проспект Рудаки 121. Тел: (+992) 917969901. E-mail: [email protected]._

About the authors:

Khayrullo Sharofov Dzhuraev- Tajik National University, doctor of physics and mathematics. Associate professor of the Department of Computing Machines, System and Networks. Address: 734025, Republic Tajikistan, Dushanbe, Rudaki Avenue, 17. Phone: (+992) 917307060. Email: hayrullo [email protected]

Meliev Nurali Norboevich - Tajik State Pedagogical University imr Sadriddin Aini, Assistant Professor of the Department of Information and Communication Technology Mathematics. Address: 734003, Republic of Tajikistan, Dushanbe, 12 Rudaki Ave. 121. Phone: (+992) 917969901 E-mail: [email protected]

УДК 51(075.3)

МЕТОДЫ РАЗЛОЖЕНИЯ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА НА ЛИНЕЙНЫЕ МНОЖИТЕЛИ

Махкамов М.

Таджикский государственный педагогический университет им. С.Айни

Разложения многочленов на множители - это его представление в виде двух и более простых многочленов. Этот процесс можно осуществлять с помощью нескольких способов группировки, а также посредством известных формул разложения многочленов, который используется для удобств при решения различных математических задач, в том числе при решении уравнений и неравенств.

Заметим, что разложение квадратных многочленов в 8-ом классе выполняется с помощью методов группировки и использованием формул сокращенного умножения, а в 9-ом классе используются формулы разложения квадратного трехчлена на линейные множители.

Сначала рассмотрим квадратного трехчлена вида x2 + bx + c.

Теорема 1. Квадратный трехчлен х2 + bx + c разлагается на линейные множители тогда, если его коэффициенты имеют вид b = m + n и c = m ■ n , при этом x2 + bx + c = (x + n\x + m).

Доказательство. Если b = m + n и c = m ■ n, то для разложения на линейные множители квадратного трехчлена x2 + bx + c, его запишем в следующем виде

x2 + bx + c = x2 + (m + n)x + m ■ n.

Умножая x на m un, получим

V F t_î *_t

Первая и вторая множители содержать общую множитель x, а третья и четвертая общую множитель n . Поэтому соответствующие множители запишем в отдельных скобках и выполняя некоторых выкладок имеем.

Значит, при Ь = т + п и с = т • п квадратный трехчлен х2 + Ьх + с преобразуется в следующий вид

х2 + Ьх + с = (х + т) • (х + п) /\ /\ т + п т • п

Следовательно, для разложения трехчлена на множители, необходимо, чтобы были выполнены следующин условия:

Ь = т + п, с = т • п . Разложим на множители многочлены: Пример 1. х2 + 7х + 12.

х2 + 7 х + 12 = (х + 4)-(х + 3)

„ /\ /\ (х + т)(х + п)

Решение.

4 + 3 4 • 3

т + п т • п

2

Пример 2. х + 9х - 22 .

х2 + 9х - 22 = (х +11) • (х - 2) Решение. Л Л

11 - 2 11 •(- 2) Пример 3. х2 - 11 х +18 .

х2 - 11 х +18 = (х - 9)- (х - 2) Решение. Л Л

-9-2 -9•(-2) Пример 4. х2 - 8х - 9.

х2 - 8х - 9 = (х-9^(х +1) Решение. /\ /\

- 9 +1 - 9 4

Если коэффициенты квадратного трехчлена иррациональны, то прменение вышеприведенный способ становится будет неодобным, так как многочлены не всегда имеют рациональных корней. Это обстоятельство приводит к поиску других спосов разложения трехчленов. Но с другой стороны, некоторые многочлены не легко поддаются к разложению. И в таких случах также следует использовать другие способы, т.е. исскуственные способы разложения многочленов на множители. В некоторых случаях, группировка слагаемых многочлена предоставляет возможность найти общую множитель и вывести ее из скобки.

Пример 5. Разложить квадратный трехчлен на линейные множители.

х2 + 2л/б • х -10 =

Здесь преобразование число 10 на множители некоторых выражений требует особого подхода. Так как коэффициент при х является иррациональным, то следует преобразовать его в виде иррациональных выражений. Значит преобразование число -10 приводит к выражению

-10 = 6 -16 = (л/б )-42 =(Тб - 4)(л/б + 4). Следовательно, с помощью последнего, данный трехчлен принимает следующий вид

х2 + 246 • х -10 = X2 + 246 • X +(6 -16 )= х2 + 246 • х 42 ^ =

+ 76^2-Х +(^6-4^/6+4) =

/ V

_/

■л/б —4 — -75+4 -/6-4x^-4 = (х + (л/б-4))-(х + (л/б+4))= (х + л/б-4)-(х + л/б+4). Таким образом, х2 +

2л/6 • х -10 = (х + 46 - 4)-(х + 46 + 4).

Пример 6. Разложить х2 +480 • х +11 на множители.

480 • х+11=х2+24200 • х+20 - 9 = х2 + 2420 • х + (л/20 ^ - 32 = 2^/20 • х + [420 - 3^20 + з) =

Л( /\

-У20 - 3 + л/20 + 3 л/20 - 3 х л/20 + з

= (х + (л/20 - 3))(х + (л/20 + 3))= (х ^л/20 - 3^(х + л/20 + 3). Пример 7. Разложить трехчлен х

- 2л/2 • х - 1 - 242 на множители.

Решение. х2 - 242 • х -1 - 242 =

ь(- 242)• х + !•(-1 - 242) =

х2 + •

= х +.

= х +1 • (-

1+(-1-^/2) 1х(-1-^л/2)

= (х + 1^(х -1 - 242).

Свободного члена трехчлена следует преобразовать в виде двух таких выражений, что их сумма была равна второму коэффитциенту. В данном примере имеем

1 + (- 242 -1)= 1 - 242 -1 = -2л/2 .

Поэтому

х2 - 242 • х -1 - 242 = (х +1) • (х -1 - 242).

Теорема 2. Квадратный трехчлен ах2 + Ьх + с разлагается на линейные множители, если его коэффициенты представимы в виде а = т • п, Ь = т • р + п • q, с = р • q, при этом имеет место

ах2 + Ьх + с = т • пх2 + (т • р + п • q)х + р • q . (*) Умножив х на т • р и п • q получим ах2 + Ьх + с = т • п • х2 + (т • р + п • q)x + р • q =

Если из первого и второго слагаемых вывести за скобкой тх , а из третьего и четвертого q, то последнее выражение принимает следующий вид

или

= (пх + р)- (тх + q).

Значит, ах2 + Ьх + с = (пх + р) • (тх + q).

Таким образом, для разложения квадратного трехчлена ах2 + Ьх + с на множители, сначала необходимо его пердствить в виде затем разложить на соответствующие множители.

II V

<г /.\ ч- Ъэс-+- с = {тис-/ А - (

тэс-+-

тэс

Для разложение квадратного трехчлена ах2 + Ьх + с на множители, необходимо чтобы было выполнено условие щх + трх = Ьх .

Аналогично можно разложить квадратного трехчлена ах2 + Ьх + с на множители. Пример 8. Разложить 4х2 +17х + 4 на множители. Решение. Рассморим два случая

1) 4х2 + 17х + 4 = 2) 4х2 + 17х + 4 = = 4х • х + 17х + 4-1 = = 4х • х + 17х +1-4 =

Отсюда 8х ф 17 х 17 х = 17 х

В первом случае условие щх + трх = Ьх ( (17х ф 4х -1 + 4 • х) не выполняется, ибо

4х2 +17 х + 4 ф (4х + 4)(х +1).

Во втором случае, условие 17 х = 4х • 4 + х -1 выполняется и 4х2 +17 х + 4 = (4х + 1)(х + 4).

Таким образом, заключаем, что для разложение трехчлена ах2 + Ьх + с на множители, должно выполняться следующее условие

пх _ р

тх

пх

д + тх • р = (гщ + тр )„г

Пример 9. Разложить трехчлен 2х2 + 15х + 25 на множители. Решение. Заданное выражение запишем в следующий вид

+Ьх+с=тг&+1. и д+т^х+р -д=[т+р) д I.

2х2 + 15х + 25 = 2х • х + 15х + 5 • 5 = 2 х 5

х

5

2х • 5 + х • 5 = 15 х 2х2 +15 х + 25 = (2х + 5)(х + 5) . Пример 10. Разложить 3х2 — 16х + 5 на множители. Решение. 3х2 —16 х + 5 = 3х2 —16 х + (— !)• (— 5) =

х

— 1

— 5

3х •(— 5) + х •(— 1) = —16 х

3x2 -16x + 5 = (3x - l)(x - 5).

Пример 11. Разложить трехчлен 2x2 — 15x -17 на множители.

Решение. 2x2 —15 x —17 = 2x2 —15 x +1 • (—17 ) =

2 x —17

X,

2 x-1 + x •(—17)=—15x 2x2 —15 x —17 = (2x —17 )(x +1).

Пример 12. Разложить квадратный трехчлен 5x2 + 8x — 36 на множители.

Решение. 5x2 + 8x — 36 = 5x2 + 8x + 2 • (—18) =

5 x 18

x_—2

5 x •(— 2) + x-18 = 8x 5x2 + 8x — 36 = (5x +18 )(x — 2).

Предложенный нами способ разложения трехчленов на линейные множители, позволяет учащимся больше заниматься устными вычислениями.

Таким образом, разложение многочлена на множители используется для решения квадратных уравнений, преобразования числовых и алгебраических выражений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра: Учебник для 8 класса. Под редакцией С.А.Теляковского. / Ю.Н. Макарычев - М.: Просвещение, 1989. 239 с

2. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра: Учебник для 8 класса. Под редакцией С.А.Теляковского. / Ю.Н. Макарычев - М.: Просвещение, 2014. 271 с.

МЕТОДЫ РАЗЛОЖЕНИЯ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА НА ЛИНЕЙНЫЕ МНОЖИТЕЛИ

В статье рассматривается один приём разложения квадратного трехчлена на линейные множители, где он использован в зависимости поведение коэффициентов при неизвестных. Предложенный в статье приём полезен при разложения многочлена, которые используются при решение квадратных уравнений и преобразование алгебраических выражений.

Ключевые слова: Приём, преобразования, разложения квадратного трехчлена, множители, коэффициенты.

METHODS FOR THE EXPANSION OF A SQUARE TRINIMUM TO LINEAR MULTIPLIERS

The article discusses one technique of decomposing a square three-term into linear factors, where it is used depending on the behavior of coefficients under unknowns. The technique proposed in the article is useful in decomposing a polynomial, which are used to solve square equations and transform algebraic expressions.

Keywords: Take, transform, decompose a square three-member, factors, coefficients.

Сведение об авторе:

Махкамов М. - кандидат педагогических наук, доцент кафедры методики преподования математика Таджикский государственный педагогический университет им. С.Айни. Тел.: (+992) 935851055. E-mail: [email protected]

About the author:

Makhkamov M. - Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor - Tajik State Pedagogical University named after S. Aini. Phone: (+992) 935851055. E-mail: mahkamov_M51@mail. ru

УДК 517.956.2

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛЬ ТРЕТЕЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Мелиев Н.Н.

Таджикский государственный педагогический университета имени С.Айни Рассмотрим

8 u(x, t) _ 8 2u(x,t) .> x e (0, L), t e (0,T), (1)

I , t )

8t2

8x2

непрерывной

u(x,0) = р(х), и(х,Т) = \(х) , (3)

где <р(х) и \( х) непрерывные на [0,Ь] заданные функции.

Решим задачу (1) - (3) формально, методом разделения переменных (методом Фурье), п

2 l

(Pk = — \ф( T)sin

L 0

(f)2 -

Ит 2 L

d ' Wk = — Sw( T)sin

L 0

4

Ш2 -

d T

-коэффициенты Фурье функций р(х), \(х) соответственно. Из выражения для решения (4) следует, что если

™fJ - i

рациональное

число, то решение в виде ряда, либо не существует, либо неединственное, так как существует

I-^--\

k е N такое, что

^ (f- г - i

. Если

= о

T ,

f \ 2 lj -

иррациональное число,

тогда решение вида (4) существует, но неустойчиво по отношению к исходными данными,

^ 1-^--\

так как

T

(f_ V -

при к^ да может находиться близки ноль.

,. . — 1

"ч L )

С другой стороне (см. [6, 7]), задача суммирование область Фурье не обладает свойством устойчивости к малым изменениям в метрике ^ коэффициентов Фурье, если уклонение суммы иметь значение в метрике С(0,Ь). Отсуда суммирования ряда (4), для любого фиксированного t £ 0,Т] не является устойчивым к малым изменениям исходным данным в С(0,Ь)

(Ь2 (0, Ь) ). Поэтому задачи (1) - (2) является некорректно поставленной задачей.

Мы ограничимся рассмотрением задачи (1)-(4) при случае, когда

T

Ш2 -

иррациональное число, и, что для точных краевых условий р(х), \(х) решение в виде ряда (4) существует.

Так как в (2) заменым р(х) и \(х) заданы их приближения р(х)

||р(х) — р(х)||Ь <6, \(х) — \(х)||Ь <6, (5)

При этих случай, согласно [6, 7], построить класс прочный решений задачи (1) - (3). В качество приближать решение задачи (1)-(4) с приближенными исходными данными р(х), \(х) будем брать значения однопараметрического содружес

1

т

1

1

sin

1