О РЕГУЛЯРИЗАЦИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.633.9

О РЕГУЛЯРИЗАЦИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Джураев Х.Ш.

Таджикский национальный университет Мелиев Н.

Таджикский государственный педагогический университета им. С.Айни 1. Рассмотрим уравнение с ча

a(t)

д 2u

+ b(t)— = d(x)—— — e(x)--h (C2(x) — c\(t))u(x,t) (1)

д 2u

du

дг2 дг дх2 дх

которое соответствует уравнениям гиперболического типа, и учитывают, как свободные колебания движения материальных тел и электромагнитного поля, объяснившие многие физические явления (диффузионный, так и волновой перенос). При высокоинтенсивных

процессах, слагаемое

a(t)

я? д u

dt

2

играет существенное роль. Считая, что

r du(x,t) , Л

П1---+ У2и( x,t)

dn

у

Г

a(t) > a0 > 0,d(x) > d0 > 0, b(t) > 0, e(x) > 0, c1(t) > 0 , с2(x) > 0 непрерывные заданные на [0,tQ ] и [0,l] функции соответственно, будем искать решение уравнения (1) при

0 при x = 0 и x = l, p(x) при t = 0, (2)

Ц/(x) при t = t0 .

Здесь у 1 , у2 -числа, а р (х) и гр ( х) -заданные непрерывные функции на [0,l] . Если у 1 = 0 , то имеем первую краевую задачу, если у2 = 0 — вторую, а при у 1 Ф 0 и у2 Ф 0 третью. Уравнение (1) определяет класс гиперболических уравнений, для которых смешанная задача, в том чис

а Ад. -соответствующее ей собственное значение и Tk( t, Ад-) a(t )d-T(p- + b(t + с1(t )(1 + Я2 )T(t ) = 0>

dt

удовлетворяющее

П1

dt dT(t) dt

+ Y2T(t)

= Pk>

r dT(t) ^

П1-(t- + T2T(t)

t=0

v

dt

у

= Vk '

t=t0

то общее решение

u(x,t) = Z [PkTlk(t^k) + VkT2k(t,*k)] %Ak((ï,Àk\ (3) k=1 9k(t0,Ч-

где Pk и ¥k "ко

Фк (*0 Лк) = /? (Тк (0 )Т2к (*0) - Ш Оо )Т2 к (0))+/1/2 (Тк (0 )т2 к (*0)+ + Тк (0 )Т2к 00) - Т{к 00 )Т2к (0) - Тк 00 )т2>к (0))+/22 (Т2к О0 Тк (0) - тхк (10 ^ (0)).

Из вида (3) следует, что если существует такое к п, что ф , А^) = 0, то решения такого вида либо не существует, либо оно неединственное. Неустойчивость решения вида (3) возможно из-за того, что при к — оо ф к ( t п ,А^) может быть сколь угодно близка к нулю (например, это имеет место для уравнения колебания струны, так как в этом случае

Г

knt,

0

\

фк(г0 ,Лк) = я™ ,

V 1 У

Известно [1, стр.525], что если функции <р (х) и 0 (х) имеют непрерывную производную в промежутке [ 0, /] и удовлетворяют предельным условиям (2), то функция и ( х, вида (3)

удовлетворяет предельные условия (2), а также уравнение (1). Это означает, что имеет место почленное дифференцирование ряда (3) по t и х два раза и полученные ряды равномерно сходятся в промежутке [0, /1 при всяком фиксированном t . Следовательно, формула (3) дает точное решение задачи (1), (2).

В практических задачах коэффициенты a(t), b(t), ci(t), d(x), e(x), 02(х) и граничные условия (р(X) и \\(x) получаются в результате измерений, то есть вместо функций a(t), b(t), c(),

d(x), e(x), c2(x), ((X) и \(X) известно h и ô - приближения этих функций соответственно по

\a(t) - a(t)\\ < h, \b(t) - b(t)\\ < h, \\ег(t) - ~(t)\\ < h,

\d(x) - d(x)\\ < ô,\\e(x) - e(x)\\ < ô, ||c2 (x) - ~2 (x)\\ < ô, (4)

((x) - (a(x)\\ < ô, \(x) - ya(x)\\ < ô.

Тогда вместо нахождения и (x, t) можно ставить лишь задачу о нахождении приближенного решения. Если a(t), b(t), cj(t), d(x), e(x), c2(x), ((x) и x) непрерывно дифференцируемые

функции в [0,/] и /#,^/,соотвественно то формула (3) дает искомое решение задачи (1), (2). Однако можно указать приближенные начальные значения функций a(t), b(t), cj(t), d(x), e(x), c2(x), ((x) и \(x), которые не обладают свойством непрерывной дифференцируемости.

Например, исходные функции a(t), b(t), cj(t), d(x), e(x), c2(x), ((x) и \(x) задаются в виде ломанных линий. Поэтому в качестве приближенного решения задачи (1), (2) с приближенными исходными данными вида (4) нельзя брать точное решение и ( x, t) этой задачи в виде (3). Такое решение может не существовать, а если существует, то оно не обладает свойством устойчивости к малым отклонениям a(t), b(t), ci(t), d(x), e(x), c2(x), ((x)

и \(x).

С другой стороны, численное суммирование ряда Фурье, когда коэффициенты известны приближенно в метрике / 2, является неустойчивым (см. стр. 19 в работе [3]). Так как решение и (x, t) вида (3) есть ряд Фурье, то численное суммирование так же не обладает свойством устойчивости при малом отклонении коэффициентов (k и ■

Отсюда следует, что краевая задача (1), (2) является некорректно поставленной. В простейшем случае, когда (1) является уравнением колебания струны и y-i = 0 , как показано в [4, стр.17], решение может не существовать, быть неединственным или неустойчивым по отношению к изменению исходных данных. Для этого простейшего случая в [5, 6] построены регуляризирующие алгоритмы решения задачи (1)-(2) (в [5] при x = 0 и x = / рассматриваются краевые условия первого рода, а в [6] краевые условия первого и второго рода). В [5] в качестве приближенного решения берется конечный отрезок ряда, который при точном задании данных является решением. При этом количество членов в отрезке ряда определяется погрешностью задания исходных данных. В [7-9] регуляризованным решением является функция, которая определяется в результате применения обобщенного метода суммирования типа Тихонова [3] к соответствующему ряду.

Для решения задачи (1), (2) используют в основном методы регуляризации, из которых наибольшее применение (в силу своей универсальности) получили метод приближенно-аналитических и специальных рядов. Каждый из этих методов имеет свои преимущества и недостатки, причем их реализация требует своего, как правило, сложного и дорогостоящего математического обеспечения [7-91.

В связи с этим представляет интерес объединение методов решения задачи (1), (2) на основе использования общего математического подхода в доступной для инженерных расчетов форме - теория обратное и некорректное задачи.

Считая, что для точно заданных исходных данных решение в виде (3) существует, в заметке строится семейство регуляризирующих алгоритмов (РА) задачи (1), (2), обладающих свойством устойчивости к малым изменениям исходных данных. При этом используются условия стабилизации и согласование параметра регуляризации для задачи (1), (2). Эти понятия можно вести следующим образом [8,9]:

Определение 1. R ( <р , 0, х, t, а) называется регуляризуемым решением для задачи (1), (2), если существует функционал s ( а, х, t) , удовлетворяющий условию

|R ( <р ,0, х, t, а) — и( х, t )| <s ( а, х, t) для любого а, принадлежащего ( 0, а 0 ] и для всякого х £ [О, Z] и 0 < t < ti , R ( <р , 0, х, t, а) — и (х, t) , s ( а, х, t) — 0 при а — 0 .

Определение 2. R ( ф, 0, х, t, а) называется вполне регуляризуемым решением для задачи (1), (2), если существует функционал с ( а, 5, Л, х, t) , удовлетворяющий условию

|й(<р, 0,х, t, а) — R ( <р ,0, х, t, а)| < с ( а, 5, Л, х, t) для любого а, принадлежащего ( 0, а 0] и для всякого х £ [ 0, / ] и 0 < t < t 1, й( <р, 0, х, t, а) — и (х, t) , с ( а, 5, Л, х, t) — 0, а ( 5, Л) — 0 при 5 — 0 и Л — 0.

2. Сначала предположив, что a(t), b(t), cjft), d(x), e(x), c2(x) точно, а <p ( х) и 0 ( х) приближенно заданные функции, строим приближенные решения. Следуя [91, в качестве приближенного решения (1), (2) с приближенными исходными данными будем брать значение однопараметрического семейства операторов

оо

R( ф.ф.х^.а) = = ^г( /с,а) ■ [фк ■ 7\ к( t,Afc) + фк ■ Г2 fc( t,Afc) ] ■^¡Т^ (4)

где г ( к, а) -стабилизирующие множители, определенные для всех а > 0 и к = 1, оо, причем а = а ( 5) . Кроме этого, предположим, что они еще удовлетворяют условиям: 1) 0 < г ( к, а) < 1 для любых а > 0 и к = 1° оо; 2) г ( к, 0) = 1 ; 3) дл я всякого а {г ( к, а) } е / 2; 4) 1 1 т о г ( к, а) = 0 равномерно для любого ае( 0, а 0 ], где а 0-любое фиксированное положительное число; 5) для всякого к 1 1 т„ _о г ( к, а) = 1 не возрастает; 6) для любого к г ( к, а) -монотонно убывающая по а функция и 1 1 та _ т г( к, а) = 0; 7) для каждого а >

0 {г ( к , а) ■ -^гт^Фт] и {г ( к, а) ■ -^т^г^] принадлежат I2 при всяком фиксированном С е [ 0, Г]. Если положить, например, г ( к, а) = ( 1 + _ 5, где { последовательность положительного чисел, порядок роста которых при к _ оо не ниже, чем к, где я > -, то условия 1)-7) выполняются.

На основе определения доказываются следующие теоремы:

Теорема 1. Если стабилизирующий множитель г ( к, а) ограничен свойством 1)-6), то для каждого фиксированного С>0 оператор й ( ф , 0 , х, С, а) вида (4) является регуляризирующим для задачи (1)-(2) и имеет место оценка |й ( ф , 0 , х, С, а) — и( х, С) | < я ( а, х, С) , (5)

где и (х, С) -точное решение задачи (1)-(2) вида (3), я ( а, х, С) = С ■ со ( а) , со ( а) -функции корректности задачи.

Теорема 2. Пусть вместо ф (х) и 0 (х) известны их -приближения ф ( х) и 0 ( х) из Ь2( 0 , /) и С заданное число из ( 0, С •) ) . Тогда имеет место оценка

|й( ф,ф,х,; а) — й (ф,0, х, ;а)| < с (а, 5,х, С). (6) Здесь с (а, 5, х, С) = С ■ 5 ■ (Т с1 (а,;) + Т<с 2(а, С)). Так как

|й( ф,гр,х, С,а) — и ( х,С )| < |й(<р,0,х,С, а) — й( ф, 0,х, С, а)| + + |й ( ф , 0, х, С, а) — и ( х, С)|, то, используя неравенства (5) и (6), получаем, что

|й( <р,0, х, С, а) — и (х, С)| < с ( а, 5,х, С) + я ( а, х, С) . (7) Пусть а = а ( 5) есть корень уравнения

тссао + тссао = = (8)

Здесь обозначено:

оп 2 00 ~

Г1 /с ( С Лк) , ^ V Г „ Г2 /с ( С Лк)

it)-.

к=1 фк (to,4:)J k=i

Тогда

— у/б

|r( ф,ф,х, i:, а) — R (<;о,0,хД,а)| =—, поэтому

ф к ( :о

H т|й( ф, ф, х, t, а) — й ( <р ,1, х, t, а)| = 0 .( 9 )

Кроме того, из свойств последовательности (г ( /с, а) } и (8) при 5-0 видно, что

Иш а(<5) = 0. (10)

Тогда из неравенства (7) с учетом свойства модуля непрерывности и свойств последовательности (г ( /с, а) } вытекает, что при выполнении соотношений (9) и (10) справедливо равенство

1 i т|й( ф,гр, х, t, а) — и ( х, t ) | = 0 .

Значит, выполняется соотношение

1im й(ф,ф,х, t, а) = и (х, t) . ( 1 1 )

Таким образом, справедливость согласования параметра регуляризации с погрешностью 5 для задачи (1), (2) доказана, то есть имеет место.

Теорема 3. Если а = а ( 5) есть корень уравнения (8), то выполняется равенство (11). В заключение отметим, что полученные результаты совпадают с результатами работ [101 и [111 по управлению скоростью сигналов в линии одновременном и последовательном способами.

ЛИТЕРАТУРА

1. Смирнов В.И. Курс высшей математики, изд.2, т. IV. / В.И. Смирнов - М.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1951, 804 с.

2. Левитан Б.М. Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. / Б.М.Левитан, Саргсян - М.: Наука, 1988, 432 с.

3. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. / А.Н.Тихонов, В.Я. Арсенин - М.: Наука, 1986, 288 с.

4. Иванов В.К., Теория линейных некорректных задач и ее приложения. / В.К.Иванов, В.В.Васин, В.П. Танана - М.: Наука, 1978, 206 с.

5. Мельникова И.В., Фрейберг А.Ю. - Журнал вычисли. матем. и матем.физики, 1985, т.25, №5, с.783-788.

6. Джураев Х.Ш. Разработка методов решения некорректно поставленных задач прикладного значения. Автореферат дисс. на соиск.учен. степ. канд.физ.матем.наук. - Душанбе, ТГУ, 1989, 16 с.

7. Джураев Х.Ш. - Дифференциальные уравнения, 2007, т.43, №5, С.721-725.

8. Джураев Х.Ш. Некорректно поставленные задачи математической физики (монография) //Издатель: Германия. LAP LAMBERT Academic Publishing, 2012, -156 с.

9. Джураев Х.Ш. Регуляризация краевых задач для гиперболического уравнения (статья) Математические заметки, -2013, выпуск 2, -№2. -С.202-208.

10. Джураев Х.Ш. О регуляризации скорости сигналов в линии при одновременном управлении (статья) // Док. АН РТ, 2009, т.52, №1, С.23-29.

11. Джураев Х.Ш. - Тез. док. научно-теорет. конф. «Проблемы физики конденсированных сред» посвященной 80-летию академика А.А.Адхамова. - Душанбе, ТНУ,15 ноября 2008, С.59-62.

О РЕГУЛЯРИЗАЦИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

В данной статье приведены результаты фундаментальных исследований по изучению процессов свободные колебания движения материальных тел и электромагнитного поля, объяснившие многие физические явления (диффузионный, так и волновой перенос). Считая, что для точно заданных исходных данных решение существует, строится семейство регуляризирующих алгоритмов (РА) краевых задач для гиперболического уравнения, обладающих свойством устойчивости к малым изменениям исходных данных. При этом используется условия стабилизации и согласование параметра регуляризации краевых задач для гиперболического уравнения.

Ключевые слова: сопротивление, матричный метод, головоломка, тепло, температура, граничное состояние, модель, волна, электромагнит

ON REGULARIZATION OF BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR THE HYPERBOLIC EQUATION

This note presents the results o f basic research on the processes o f free oscillations o f the motion o f material bodies and the electromagnetic_ field, which explained many physical phenomena (diffusion and wave transport). Assuming that there exists a solution for precisely given initial data, a family of regularizing algorithms (RA) of boundary value problems for a hyperbolic equation with the property of resistance to small changes in the initial data is constructed. In this case, stabilization

conditions and coordination of the regularization parameter of boundary value problems for the hyperbolic equation are used.

Keywords: resistance, matrix method, puzzle, heat, temperature, boundary state, model, wave, electromagnet.

Сведения об авторе:

Джураев Хайрулло Шарофович - Таджикский национальный университет, доктор физико-математических наук, доцент кафедры вычислительных машин, систем и сетей. Адрес:734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, проспект Рудаки 17. Тел: (+992) 917307060. E-mail: hayrullo [email protected] Мелиев Нуралй Норбоевич - Таджикский государственный педагогический университета имени Садриддин Айни, ассистент кафедры информационной и коммуникационной технологии математического факультета. Адрес:734003, Республика Таджикистан, г.Душанбе, проспект Рудаки 121. Тел: (+992) 917969901. E-mail: [email protected]._

About the authors:

Khayrullo Sharofov Dzhuraev- Tajik National University, doctor of physics and mathematics. Associate professor of the Department of Computing Machines, System and Networks. Address: 734025, Republic Tajikistan, Dushanbe, Rudaki Avenue, 17. Phone: (+992) 917307060. Email: hayrullo [email protected]

Meliev Nurali Norboevich - Tajik State Pedagogical University imr Sadriddin Aini, Assistant Professor of the Department of Information and Communication Technology Mathematics. Address: 734003, Republic of Tajikistan, Dushanbe, 12 Rudaki Ave. 121. Phone: (+992) 917969901 E-mail: [email protected]

УДК 51(075.3)

МЕТОДЫ РАЗЛОЖЕНИЯ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА НА ЛИНЕЙНЫЕ МНОЖИТЕЛИ

Махкамов М.

Таджикский государственный педагогический университет им. С.Айни

Разложения многочленов на множители - это его представление в виде двух и более простых многочленов. Этот процесс можно осуществлять с помощью нескольких способов группировки, а также посредством известных формул разложения многочленов, который используется для удобств при решения различных математических задач, в том числе при решении уравнений и неравенств.

Заметим, что разложение квадратных многочленов в 8-ом классе выполняется с помощью методов группировки и использованием формул сокращенного умножения, а в 9-ом классе используются формулы разложения квадратного трехчлена на линейные множители.

Сначала рассмотрим квадратного трехчлена вида x2 + bx + c.

Теорема 1. Квадратный трехчлен х2 + bx + c разлагается на линейные множители тогда, если его коэффициенты имеют вид b = m + n и c = m ■ n , при этом x2 + bx + c = (x + n\x + m).

Доказательство. Если b = m + n и c = m ■ n, то для разложения на линейные множители квадратного трехчлена x2 + bx + c, его запишем в следующем виде

x2 + bx + c = x2 + (m + n)x + m ■ n.

Умножая x на m un, получим

V F t_î *_t

Первая и вторая множители содержать общую множитель x, а третья и четвертая общую множитель n . Поэтому соответствующие множители запишем в отдельных скобках и выполняя некоторых выкладок имеем.