CC BY
21
УДК 37
Верещагина Л. С. студент магистратуры 2 курс физико-математический факультет ОГУим. И.С. Тургенева Россия, г. Орел РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ Аннотация: Данная статья посвящена изучению темы «Разложение многочленов на множители». В работе рассмотрены различные методы разложения многочленов и приведены примеры решения задач. Статья будет полезна для учителей математики и студентов педагогических факультетов.
Ключевые слова: многочлены, деление многочленов, деление многочленов с остатком, наибольший общий делитель.
Vereshchagina L. S. master's student 2nd year, faculty of physics and mathematics
OGU them. I. S. Turgenev Russia, Orel
DECOMPOSITION OF POLYNOMIALS INTO FACTORS
Abstract: This article is devoted to the study of the topic "factorization of polynomials". Various methods of polynomial expansion are considered and examples of problem solving are given. The article will be useful for teachers of mathematics and students ofpedagogical faculties.
Keywords: polynomials, division of polynomials, division of polynomials with remainder, greatest common divisor.
Метод вынесения общего множителя за скобки
Этот метод заключается в следующем: данный многочлен заменяют произведением наибольшего общего делителя всех его членов на частное, полученное от деления данного многочлена на этот наибольший общий делитель. Этот общий делитель называется множителем, выносимым за скобки.
Пример.
Вынести за скобки общий множитель многочлена 6а5 — 7а3 + 8 а2 Решение. Переменная а входит в члены многочлены с показателями 5, 3, 2. Наименьшим из них является 2. Значит, за скобки можно вынести а2. Остающиеся в скобках члены равны частным от деления членов многочлена на а2.
Таким образом, 6 а5 — 7 а3 + 8 а2 = а2(6а3 — 7 а + 8).
Метод группировки
Если члены многочлена не имеют общего множителя, отличного от единицы, то следует попытаться разложить такой многочлен методом группировки, который заключается в следующем: члены многочлена
разбивают на две или несколько групп так, чтобы после вынесения общих множителей за скобки в каждой группе в скобках остался один и тот же многочлен. Вынося его за скобки, разлагаем заданный многочлен на множители.
Пример.
Разложить на множители многочлен 2х4 + 3х2 + 1
Решение. 2х4 + 3х2 + 1 = 2х4 + 2х2 + х2 + 1 = 2х2(х2 + 1) + (х2 + 1) = (х2 + 1)(2х2 + 1).
Использование формул сокращенного умножения
В тех случаях, когда многочлен имеет форму правой части какой -либо основной формулы сокращённого умножения, его разложение на множители достигается применением этой формулы, записанной в обратном порядке.
Пример.
Разложить на множители многочлен х 4 - 2х3 + 2х2 - 2х + 1
Решение. х4 — 2х3 + 2х2 — 2х + 1 = х4 + 2х2 + 1 — 2х(х2 + 1) =
(х2 + 1)2 — 2х(х2 + 1) = (х2 + 1) (х2 — 2х + 1) = (х2 + 1) (х — 1)2.
Метод выделения полного квадрата
Иногда многочлен можно разложить на множители, если сначала выделить полный квадрат, а затем воспользоваться формулой разности квадратов. Выражение 4х2 — 12ху + 8у2не является квадратом двучлена. Но первые два члена этого выражения совпадают с первыми двумя членами квадрата двучлена: 4х2 = (2х)2,12ху = 2 • 2х • 3у. Если добавить к этим двум членам слагаемое (3у)2, то есть 9у2, получится квадрат разности. Поэтому прибавляем к заданному выражению 9у2 = (3у)2 и одновременно вычитаем 9у2:
4х2 — 12ху + 9у2 — 9у2 + 8у2 = (2х — 3у)2 — у2.
Выполненное преобразование называется выделением полного квадрата из
трёхчлена. В результате этого преобразования трёхчлен записан в виде
разности квадратов, и его можно разложить на множители:
4х2 — 12ху + 8у2 = (2х — 3у)2 — у2 = (2х — 3у — у)(2х — 3у + у) =
(2х — 4у)(2х — 2у) = 4(х — 2у)(х — у).
Итак, чтобы выделить полный квадрат из трёхчлена, надо:
а) записать одно из слагаемых в виде квадрата некоторого выражения X;
б) разделить второе слагаемое на 2Х (если частное равно К, то это слагаемое равно 2X7);
в) прибавить и одновременно вычесть квадрат выражения К;
г) применить формулу квадрата суммы или разности.
Пример.
Разложить на множители трехчлен 49х8 — 70х4у3 + 16у6
Решение. 49х8 = (7х4)2. Здесь X = 7х4.
Далее получаем 70х4у3: (2 • 7х4) = 5у3 и потому У = 5у3.
Имеем 49х8 - 70х4у3 + 16у6 = (7х4 - 5у3)2 - 9у6 = (7х4 - 5у3 -3у3)(7х4 - 5у3 + 3у3) = (7х4 - 8у3)(7х4 - 2у3).
Использованные источники:
1. Новоселов С. И. Специальный курс элементарной алгебры. - М.: Высшая школа, 1967. - 536 с.
2. Прасолов В. В. Многочлены. — 3-е изд, исправленное. — М.: МЦНМО, 2003. —336 с.
УДК 37.022
Мажаева Т.В. студент 3 курс факультет «Институт педагогики» Научный руководитель: Кобыскан А. С., к.ф.н.
доцент
БГПУ им. М. Акмуллы Россия, г. Уфа
МЕТОД ПРОЕКТОВ КАК ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ТЕХНОЛОГИЯ
Аннотация: в данной статье рассмотрен вопрос о месте метода проектов в системе педагогических технологий. Представлен теоретический обзор педагогических исследований по данной тематике. Автором определены основные преимущества и недостатки изучаемого метода. Вместе с этим, акцентирование внимание на соответствие возможностей метода проекта требования федерального государственного образовательного стандарта.
Ключевые слова: метод проектов, педагогическая технология, проектная технология, достоинства и недостатки.
Mazhaeva T. V. student
The 3-rd course, faculty «Institute of education» Scientific supervisor: A. S. Cabiskan candidate of philological sciences, associate Professor
BSPU them. M. Akmulla Russia, Ufa
METHOD OF PROJECTS AS A PEDAGOGICAL TECHNOLOGY
Abstract: this article discusses the place of the project method in the system of pedagogical technologies. Presents a theoretical overview of educational research on the subject. The author defines the main advantages and disadvantages of the studied method. At the same time, the focus is on the compliance of the project method with the requirements of the Federal state educational standard. Key words: project method, pedagogical technology, project technology, advantages and disadvantages.
Педагогические технологии представляют собой особый комплекс методов и приемов, служащих достижению образовательной или учебной
