РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ С ПОМОЩЬЮ ТЕОРИИ АНТИСИММЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.538.3

РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ С ПОМОЩЬЮ ТЕОРИИ АНТИСИММЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ

Косарева Алена Анатольевна,

студент

Научный руководитель — О. В. Бобылева, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математики и методики преподавания математики Хакасский государственный университет им. Н. Ф. Катанова (г. Абакан)

В статье рассматривается такой класс многочленов, как антисимметрические многочлены, а также метод разложения многочлена на множители с помощью теории антисимметрических многочленов. Приводится подробный алгоритм разложения многочлена на множители с помощью этой теории. Теория антисимметрических многочленов позволяет значительно упрощать ход решения математических задач ввиду отсутствия громоздких вычислений, уменьшает вероятность возникновения вычислительных ошибок.

Ключевые слова: многочлены, антисимметрические многочлены, симметрические многочлены, разложение на множители, математические задачи.

FACTORIZATION OF POLYNOMIALS USING THE THEORY OF ANTISYMMETRIC POLYNOMIALS

Kosareva Alyona Anatolyevna,

student

Scientific Supervisor — O. V. Bobyleva, PhD. in Physics and Mathematics, Associate Professor of the Mathematics and Methods of Teaching

Mathematics Department Katanov Khakass State University (Abakan)

This article discusses such a class ofpolynomials as antisymmetric polynomials, as well as a method for factoring a polynomial using the theory of antisymmetric polynomials. A detailed algorithm for factoring a polynomial using the theory of antisymmetric polynomials is given. The theory of antisymmetric polynomials makes it possible to significantly simplify the course of solving mathematical problems and, due to the absence of cumbersome calculations, reduces the likelihood of computational errors.

Key words: polynomials; antisymmetric polynomials; symmetric polynomials; factorization; mathematical problems.

Математика является одной из фундаментальных наук, включающей в себя множество математических операций, способов и методов решения задач. В школьном курсе математики уделяют внимание лишь некоторым основным методам решения задач, зачастую не являющихся наиболее рациональными.

Разложение многочлена на множители является одной из стандартных алгебраических задач. В общем случае для её решения применяются следующие методы (рис. 1).

Методы вынесения общего члена за скобки и группировки эффективны и

обоснованы при наличии повторяющихся переменных. Использование формулы разложения квадратного трёхчлена на множители позволяет перейти от квадратного трёхчлена к произведению вида а(х — х^х — х2), где а - коэффициент при х2; хх и Х2 - корни исходного многочлена. Необходимо отметить, что разложить на множители таким образом возможно только многочлен второй степени или многочлен чётной степени с использованием метода введения замены переменных. Данное ограничение сужает область применения этого метода.

Рис. 1. Методы разложения многочлена на множители, изучаемые в школьном курсе математики

Использование метода применения формул сокращённого умножения в случае многочлена высших степеней может привести к возникновению вычислительных ошибок, а также, поскольку формул сокращённого умножения достаточно много, есть вероятность частично или полностью забыть необходимую формулу. Каждый из перечисленных методов применяется в определённых случаях и имеет свои ограничения. Актуальность данной работы заключается в расширении методов разложения многочленов на множители. Одной из наиболее простых для понимания и лёгких в применении является в этом отношении теория антисимметрических многочленов.

Цель исследования: изучить метод разложения многочлена на множители, основанный на теории антисимметрических многочленов.

Задачи:

- рассмотреть основную теорему об антисимметрических многочленах;

- разработать алгоритм разложения многочлена на множители с помощью основной теоремы об антисимметрических многочленах;

- решить несколько задач на применение алгоритма разложения антисимметрического многочлена на множители.

Для дальнейшего представления результатов проведённого исследования рассмот-

рим основные определения и свойства антисимметрических многочленов.

Определение. Симметрические многочлены (симметрические функции) - это многочлены от нескольких переменных, которые не меняются ни при какой перестановке неизвестных [1].

К ним можно отнести многочлены вида:

х- ~Ь х 2 ~Ь хз -Ь • • • ~Ь х л, х2 ~Ь х2 ~Ь хз -Ь • • • Ч-

2

, и т.д.

Если же при перестановке любых двух переменных многочлен изменяет только знак, то такой многочлен принято называть антисимметрическим.

Примерами антисимметрических многочленов являются: , х^хг. Рассмотрим один из примеров более подробно. Если в многочлене х^хз — х^х1 поменять местами и , получим многочлен вида . То есть при перестановке двух переменных получили изначальный многочлен с противоположным знаком.

Свойство 1. При возведении в квадрат антисимметрического многочлена получим многочлен, являющийся симметрическим.

Доказательство свойства следует из определения симметрического многочлена и правила возведения в квадрат многочлена.

Свойство 2. Произведение двух произвольных антисимметрических многочленов даёт симметрический многочлен.

Доказательство свойства следует из определения симметрического многочлена и правила умножения двух многочленов.

Свойство 3. Произведение симметрического многочлена на антисимметрический даёт антисимметрический многочлен [1].

При анализе литературы по теме исследования было выявлено, что антисимметрические многочлены обладают свойствами аналогичными свойствам симметрических многочленов и могут применяться для решения задач различного уровня сложности. Кроме того, антисимметрические многочлены можно применять для разложения многочлена на множители, доказательства тождеств и упрощения алгебраических выражений, что является основными задачами школьного курса математики [2]. Для решения этих задач используется основная теорема об антисимметрических многочленах.

Основная теорема об антисимметрических многочленах: любой антисимметрический многочлен от трёх переменных является произведением многочлена на некоторый симметрический многочлен д (х , у, г) от переменных х,у,г [1].

Следствие 1. Любой антисимметрический многочлен от трёх переменных х, у, ъ делится на многочлен .

Следствие 2. Любой антисимметрический многочлен можно разложить на множители:

f (х,у,г) = Т(х,у,г) ■ д(х,у,г), где симметрический многочлен,

который также может быть разложен на множители.

Для отыскания частного целесообразно применять метод частных значений, в частности:

fix.y.z)

g(x,y,z) =—--

Т(х, у, z)

Например, если дан антисимметрический многочлен третей степени, то частное будет являться многочленом нулевой степени, т.е. некоторой постоянной. Для нахождения этой постоянной достаточно переменным x,y,z придать попарно различные числовые значения.

Когда задан антисимметрический многочлен четвёртой степени, то частное будет равно произведению постоянного числа на элементарный симметрический многочлен первой степени

Аналогично, если f (x,y,z) - антисимметрический многочлен пятой степени, то частное будет иметь вид:

f (x,y,z) = Т (x,y,z) (к al + la2) , где - элементарный симметрический многочлен второй степени; l, к - произвольные постоянные, которые необходимо найти. Для этого неизвестным попар-

но различные числовые значения придаём два раза [1].

Таким образом, применение теории антисимметрических многочленов для разложения многочлена на множители сводится к нескольким несложным алгебраическим действиям.

Рассмотрим алгоритм разложения многочлена на множители:

1. Проверить, является ли многочлен антисимметрическим.

На этом шаге необходимо проверить, будет ли менять знак многочлен при перестановке любых двух переменных.

2. Определить степень многочлена.

Под степенью многочлена будем понимать наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Исходя из введённого определения, у многочлена 6 zx2y2 + 2 y4zx будет шестая степень.

3. Преобразовать исходный многочлен в соответствии с основной теоремой об антисимметрических многочленах.

На данном шаге алгоритма необходимо преобразовывать многочлен по формуле соответствующей степени многочлена, найденной на предыдущем этапе.

4. Определить коэффициент ( к) методом частных значений.

Переменным необходимо придать

попарно неравные числовые значения таким образом, чтобы нахождение коэффициента было наиболее рациональным.

Записать полученный многочлен, подставив значение коэффициента .

Далее приведем примеры применения разработанного алгоритма.

Пример 1. Разложить на множители многочлен:

х(у2 — г2) + у(г2 — х2) + г(х2 — у2)

Решение: для того чтобы проверить, является ли данный многочлен антисимметрическим, переставим местами в исходном многочлене переменные и , получим:

у(х2 — г2) + х(г2 — у2) + г(у2 — х2) = —у(г2 — х2) — х(у2 — г2) — г(х2 — у2) = —(х (у2 — г2) + у (г2 — х2) + г (х2 — у2)).

Аналогичный результат получаем при перестановке местами х и г, у и г:

г(у2 — х2) + у(х2 — г2) + х(г2 — у2) = —г(х2 — у2) — у(г2 — х2) — х(у2 — г2) = —(х (у2 — г2) + у (г2 — х2) + г (х2 — у2)),

х(г2 — у2) + г(у2 — х2) + у(х2 — г2) = —х(у2 — г2) — г(х2 — у2) — у(г2 — х2) =

).

Данный многочлен антисимметрический и имеет третью степень, следовательно, необходимо использовать формулу вида

, где

(х — у) (х — г) (у — г).

х(у2 — Z2) + y(z2 — х2) + z(x2 — у2) =

к(х — у)(х — z)(y — z) Для нахождения коэффициента к придадим неизвестным переменным x,y,z значения х = 1 , y = 0 , z = 2 , тогда — 2 = 2 к, к = — 1 . Получив значение коэффициента к, запишем конечный вид исходного многочлена, разложенного на множители: х(у2 — z2) + y(z2 — х2) + z(x2 — у2) =

-(x-y)(x-z)(y-z) Решая тот же пример стандартными методами, необходимо раскрыть скобки, получив многочлен вида

. Разложение данного многочлена на множители стандартными методами вызывает трудности.

Разложение многочлена на множители с помощью теории антисимметрических многочленов позволяет избежать громоздких и сложных алгебраических вычислений, не требует раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых, а также в ходе решения используются несложные для запоминания формулы.

Пример 2. Разложить на множители многочлен:

/(х,у, z) = yz(y2 — z2) + xz(z2 — x2) + xy (x2 — y2).

Решение: проверим, является ли данный многочлен антисимметрическим. Для этого переставим местами переменные и , и

, и соответственно: xz(x2 — z2) + yz(z2 — y2) + yx(y2 — X2) = —xz(z2 — x2) — yz(y2 — z2) — xy(x2 — y2) = —(yz(y2 — z2) + xz(z2 — X2) + xy (x2 — y2) ),

yx(y2 — x2) + zx(x2 — z2) + zy(z2 — y2) = —xy(x2 — y2) — xz(z2 — x2) — yz(y2 — z2) = —(yz(y2 — z2) + xz (z2 — x2 ) + xy (x2 — y2)),

гу(г — у2) + ху(у2 — х2) + хг(х2 — г2) = —уг(у2 — г2) — ху(х2 — у2) — хг(г2 — х2) = ~(уг(у2 — г2) + хг (г2 — х2) + ху (х2 — у2 )) . Данный многочлен антисимметрический и имеет четвёртую степень, следовательно, необходимо применить формулу вида

, где

(х — у) (х — г) (у — г) , аг = (х + у + г) .

уг(у2 — г2) + хг(г2 — х2) + ху(х2 — у2) = к(х + у + г)(х — у)(х — г)(у — г) Для нахождения коэффициента положим х = 0 , у = 1 , г = 2 . Таким образом, получим, что , следовательно [1]: уг(у2 — г2) + хг(г2 — х2) + ху(х2 — у2) = (х + у + г)(х — у)(х — г)(у — г) Применяя теорию антисимметрических многочленов, удалось свести сложное решение к более простому, при этом вероят-

ность возникновения вычислительных ошибок свелась к минимуму.

Таким образом, был разработан подробный алгоритм разложения многочлена на множители с помощью основной теоремы об антисимметрических многочленах, на основе данного алгоритма приведено решение нескольких задач. Теория антисимметрических многочленов не требует фундаментальных знаний высшей математики и может быть изучена обучающимися старших классов, к тому же может быть применена к решению других типов и видов алгебраических задач. Кроме того, стоит отметить, что применение теории антисимметрических многочленов может заинтересовать обучающихся отличным от стандартных способом разложения многочленов на множителии.

Библиографический список

1. Болтянский В. Г., Виленкин Н. Я. Симметрия в алгебре. 2-е изд. М.: МЦНМО, 2002. 240 с.

2. Курош А. Г. Курс высшей алгебры: учебник для вузов. 22-е изд., стер. СПб.: Лань, 2021. 432 с. © Косарева А. А., 2021