CC BY
6
УДК 51
Горбунова А.Е. студент
Иркутский национальный исследовательский
технический университет Россия, Иркутск
МЕТОДЫ ОТБОРА КОРНЕЙ ИЗ ЗАДАННОГО МНОЖЕСТВА В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ
Аннотация: статья посвящена отбору корней, принадлежащих числовому отрезку, в тригонометрических уравнениях. Рассмотрены три метода: геометрический, алгебраический, функциональный. В тексте статьи разобраны задачи, которые встречаются в едином государственном экзамене по профильной математике.
Ключевые слова: профильная математика, единый государственный экзамен, уравнения, тригонометрические уравнения, отбор корней.
Gorbunova A.E. student
Irkutsk National Research Technical University
Russia, Irkutsk
METHODS FOR SELECTING ROOTS FROM A GIVEN SET IN TRIGONOMETRIC EQUATIONS
Abstract: the article is devoted to the selection of roots belonging to a numerical segment in trigonometric equations. Three methods are considered: geometric, algebraic, functional. The text of the article contains the problems encountered in the unified state exam in profile mathematics.
Key words: profile mathematics, unified state exam, equations, trigonometric equations, root selection.
Тригонометрическое уравнение - это уравнение, содержащее тригонометрические функции неизвестного аргумента [1]. Множество всех корней данного уравнения обычно бесконечно. Но, если задан отрезок, интервал или полуинтервал, всегда можно отобрать конкретные корни тригонометрического уравнения. Рассмотрим три метода отбора корней из заданного множества: геометрический, алгебраический, функциональный.
Геометрический метод - это такой метод отбора корней, когда чертят единичную окружность, отмечают заданный промежуток и находят на нем корни данного уравнения. Рассмотрим геометрический метод при решении
тригонометрического уравнения в едином государственном экзамене по профильной математике в примере 1.
Пример 1:
'к
а). Решите уравнение соб2х = sm( х + - )
б). Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку: [-2п; - п] [2].
Решение:
а). Преобразуем правую часть уравнения с помощью формулы приведения: Бт( х + ^ ) = собх, тогда соб2х = собх
Для преобразования левой части необходимо применить формулу двойного угла: соб2х = (собх)2 — (бшх)2 = 2(соб х)2 — 1.
Получаем: 2(соб х)2 — 1 = собх.
Перенесем все в левую часть уравнения: 2(соб х)2 — собх — 1 = 0.
Обозначим собх = где — 1 < t < 1, тогда 212 - ? - 1 = 0.
Решаем данное квадратное уравнение: Б = Ь2 — 4ас = (—1)2 — 4 • 2 • (—1) = 1 + 8 = 9.
_—Ъ + 4й_ —(—1) +^9 _1 + 3 _
^ = 2а = 2Т2 = 4 = 1 _—Ъ — 4й —(—1)—^9 1 — 3 1 ^2 =
2а 2 • 2 4 2
Обратная замена: собх = 1, собх = —-
собх = 1 1
_ . СОБХ = --
х± = 2пп, где п - целое число 2
х2 = arccos (—1 ) + 2пк = ±~~ + 2пк, где к - целое число
б). Корни, принадлежащие отрезку [-2п; - п], найдем геометрическим методом с помощью единичной окружности (рис.1).
рис.1
п 4п х1 = —п — — = —— 1 3 3
х2 = —2п
2л
Ответ: а). х1 = 2пп, где n - целое число, х2 = ± — + 2пк, где k -
целое число. б). х1 = ——, х2 = -2п.
Часто множество корней тригонометрического уравнения задается некоторым алгебраическим выражением f(n) от одной переменной п Е Z , а заданное множество промежутком с концами a и b (a<b). Тогда, решая относительно n одно из четырех неравенств a(<,<)f(n)(<<)b, в зависимости от того, входят или не входят концы в заданный промежуток, находим, какие числа f(n) содержатся в этом промежутке [3]. Данный метод отбора корней из заданного множества называется алгебраическим. Разберем алгебраический метод на примере 2. Пример 2:
а). Решите уравнение 4(sin х )2 — 12sinx + 5 = 0
б). Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку: [-п; 2п].
Решение:
а). Обозначим sinx = t, где — 1 < t < 1, тогда 4t2- 12t +5 = 0. Решаем данное квадратное уравнение: D = Ь2 — 4ас = (—12)2 — 4 •
4^5 = 144 — 80 = 64.
_—Ъ + 40_ —(—12) + V64 _12 + 8 _20 _5 _ ll = 2а = 1~4 = 8 =~8=2 = 2'5
ti - не является корнем уравнения, так как не принадлежит промежутку [-1; 1].
_—b — VD_ —(—12) — V64 _12 — 8 _ 4 _ 1
t2 = 2а = Т~4 = 8 = 8 = 2 Обратная замена: sinx = 1
х1 = arcsin (1) + 2пп =~ + 2пп, где n - целое число
х2= п — arcsin (1 ) + 2пк = п — - + 2пк = — + 2пк , где k - целое \2 J 6 6
число.
б). Найдем корни уравнения, принадлежащие промежутку [-п; 2п], алгебраическим методом.
л
Решаем неравенство —п<~ + 2пп <2п
п п
—п — — < 2пп <2п — — 66 7п 11п
—— < 2пп <—— 66
Разделим это неравенство на получим:
7 11
--<п< —
12 12
и
Так как n является целым числом, то n=0. Отсюда находим х1 = - +
6
2п • 0 =-.
6
5п
Аналогично решаем следующее неравенство —п<--+ 2пк <2п
6
5п 5п
—п —— < 2пк <2п —— 6 6 11п 7п
— —- < 2пк < — 66
Разделим это неравенство на -, получим:
112 7
--< к < —
12 12
5п
Так как k является целым числом, то k=0. Отсюда находим х2 =--+
6
2п • 0 =—.
6
Ответ: а). х1= -+ 2пп, где n - целое число. х2= —+ 2пк , где к -
я 5п
целое число. б). х1 = —, х2 = —
Зачастую формула корней тригонометрического уравнения является линейной возрастающей функцией f(n) от одной переменной n 6 Z, а промежуток представляет из себя отрезок [a;b], где a<b. Тогда если 1). f(0)< а, то находим поочередно f(1), f(2), ... и определяем, какие из чисел f(i) (i 6 N U 0) удовлетворяет неравенству a < f(i) < b. Если же 2). a < f(0) < b, то находим поочередно f(1), f(2), ... , f(-1), f(-2), ... и определяем, какие из чисел f(i) (i 6 Z) удовлетворяют неравенству a < f(i) < b. Наконец, если 3). b<f(0), то во множестве чисел f(-1), f(-2), ... находим такие числа f(-i) (i 6 N), что a < f(—i) < b [3]. Данный метод отбора корней из заданного множества называется функциональный. Рассмотрим данный метод на примере 3. Пример 3:
а). Решите уравнение 7 cos + х) — 2cos2x = 0
б). Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие отрезку [5п; 6п] [4].
Решение:
а). Воспользуемся формулой приведения и формулой двойного угла cos2x = 1 — 2(sinx)2 для преобразования левой части данного уравнения:
—7sinx — 2(1 — 2(sinx)2) = 0 —7sinx + 4(sinx)2 — 2 = 0 4(sinx)2 — 7sinx — 2 = 0
Обозначим sinx = t, где —1 < t < 1, тогда 4t2 - 7t -2 = 0 Решаем данное квадратное уравнение: D = b2 — 4ас = (—7)2 — 4 • 4 • (—2) = 49 + 32 = 81.
_—Ъ+40_ —(—7) + ^81_7 + 9 _16_
ll = Та = Т~4 = 8 =~8= 2
t1 - не является корнем уравнения, так как не принадлежит промежутку [-1; 1].
_—Ъ — 4й —(—7) — ^81 7 — 9 2 1 12 =
2а 2 • 4 8 8 4
Обратная замена: sinx = —1
х1 = arcsin (— 1) + 2пп = — arcsin (1) + 2пп , где n - целое число х2= п — (—arcsin (1 )) + 2пк = п + arcsin (1) + 2пк , где k - целое
число.
Полученные корни уравнения можно представить следующим
образом: х = (—1)т+1 • arcsin (1) + пт, где т Е Z.
б). Найдем все корни данного уравнения, принадлежащие отрезку [5п; 6п], функциональным методом.
Запишем множество х = (—1)т+1 • arcsin (1) + пт, где т Е Z в виде
двух множеств: х1 = — arcsin (1) + 2пп, где n - целое число.
х2 = п + arcsin (1 ) + 2пк , где k - целое число.
Функция х1 является линейно возрастающей функцией от n и при
n=0 принимает отрицательное значение — arcsin (1) . Поэтому все
значения х1 при n = 0; -1; -2 ... будут меньше 5п и в заданный промежуток не попадают.
Находим значение х1 при n=1. Получаем число 2п —
arcsin (1). 2п — arcsin (1) < 5п. То есть значение х1 при n=1 не входит в
заданный промежуток.
Находим значение х1 при n=2. Получаем число 4п —
arcsin (1). 4п — arcsin (1) < 5п. То есть значение х1 при n=2 не входит в
заданный промежуток.
Находим значение х1 при n=3. Получаем число 6п — arcsin (j) .
5п < 6п — arcsin (1) < 6п. То есть 6п — arcsin (1) попадает в заданный промежуток.
Далее убеждаемся, что значение х1 при п=4 больше 6п. Получаем
число 8п — агсБт (1) > 6п . То есть значение х1 при п=4 не входит в
заданный промежуток.
Единственное значение при х, = 6п — агсзт§ попадает в
заданный промежуток.
Аналогично рассуждая, получаем, что функция х2 является линейно возрастающей функцией от к и при к=0 принимает положительное
значение п + агсБт (1 ), меньшее 5п. Поэтому все значения х2 при к = 0; -
1; -2 ... будут меньше 5п и в заданный промежуток не попадают.
Находим значение х2 при к=1. Получаем число 3п +
агсБт (1). 3п + агсБт (1) < 5п. То есть значение х2 при к=1 не входит в
заданный промежуток.
Находим значение х2 при к=2. Получаем число 5п + агсБт (1) .
5п < 5п + агсБт (1) < 6п. То есть 5п + агсБт (1) попадает в заданный промежуток.
Теперь убеждаемся, что значение х2 при к=3 больше 6п. Получаем число 7п + агсБт (1) > 6п. То есть значение х2 при к=3 не входит в заданный промежуток.
Значит, единственное значение при х2 = 5п + агсБт (1) попадает в заданный промежуток.
Ответ: а). х = (—1)т+1 • а^т (1) + пт, где т Е 1 б). х1 = 6п —
агсБт (1) , х2 = 5п + агсБт (1) .
Таким образом, отобрать корни в тригонометрическом уравнении из заданного множества можно, как минимум, тремя методами: геометрически, алгебраически, функционально. Для конкретного множества можно подобрать более рациональный способ. Эти методы можно использовать при решении задач единого государственного экзамена по профильной математике.
Использованные источники:
1. Словари и энциклопедии на Академике [Электронный ресурс] - Режим доступа: https://dic.academic.ru/dic.nsf/enc3p/297118 (дата обращения: 24.07.2021).
2. Решу ЕГЭ [Электронный ресурс] - Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/problem?id=507595 (дата обращения: 24.07.2021).
3. Математика. ЕГЭ. Алгебра: задания с развёрнутым ответом: учебно -методическое пособие / под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. -2-е изд., перераб. и доп., - Ростов-на-Дону: Легион, 2019. - 448 с. - (ЕГЭ).
4. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2020. Профильный уровень. 40 тренировочных вариантов по демоверсии 2020 года: учебно -методическое пособие / под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. - Ростов-на-Дону: Легион, 2019. - 416 с. - (ЕГЭ).
