Отбор корней тригонометрических уравнений методом спирали Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 26. № 1. C. 100-109. ISSN 2079-6641

DOI: 10.26117/2079-6641-2019-26-1-100-109 УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

УДК 51-8

ОТБОР КОРНЕЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ СПИРАЛИ

Л. Д. Островерхая, О.,К. Жданова

Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4 E-mail: kafmat@mail.ru

В работе предложен эффективный метод спирали для отбора корней, принадлежащих заданному промежутку (длинной большей 2п) при решении тригонометрических уравнений.

Ключевые слова: тригонометрические уравнения, отбор корней, метод спирали

© Островерхая Л. Д., Жданова О. К., 2019 TEACHING AND METHODOLOGICAL MATERIALS

MSC 97A90

SELECTION OF ROOTS OF TRIGONOMETRIC EQUATIONS BY THE SPIRAL METHOD

L. D. Ostraverhaya, O. K. Zhdanova

Vitus Bering Kamchatka State University, 683031, Petropavlovsk-Kamchatsky, Pogranichnaya st., 4, Russia E-mail: kafmat@mail.ru

In this paper, an effective spiral method is proposed for selecting the roots belonging to a given interval (longer than 2n) when solving trigonometric equations.

Key words: trigonometric equations, root selection, helix method

© Ostroverkhaya L. D., Zhdanova O. K., 2019 100

Введение

При решении тригонометрических уравнений часто требуется произвести отбор корней, принадлежащих заданному промежутку. Это можно сделать несколькими способами, а именно: с помощью графика тригонометрических функции; перебором значений переменной п(п е Z), содержащейся в периоде найденного решения; путем отбора этих значений п с помощью неравенства [1]-[3].

Можно предложить ещё один способ отбора корней - метод спирали.

Методика

Обычно положение точки, полученной при повороте точки Ао(1,0) на угол:

а + 2пп (п е Т)

на единичной (тригонометрической) окружности, изображается одной и той же точкой Аа+2пп,п е Т (рис. 1).

а X А0

V 0

Рис. 1

Эта окружность представляет собой бесконечное множество одинаковых окружностей, наложенных друг на друга, которые получаются, когда точка Ао поворачивается на угол, кратный 2п.

Эти окружности можно изобразить в виде витков спирали.

Будем точки Аа+2П,Ар на спирали также обозначается как а + 2п, в соответственно. Точка Ао, соответствующая углу поворота на 0 радиан (0°) - отправная точка (рис. 2).

Положительный угол изображается точкой спирали, полученной при повороте точки Ао на этот угол против часовой стрелки, а отрицательный - при повороте точки Ао по часовой стрелке.

Множество углов вида а + 2пп,п Е изображаются точками спирали, расположенными на луче ОМ, независимо от значения а (рис. 3).

А множество углов вида а + пп,п Е изображается на спирали точками, расположенными на двух лучах ОМ и ОЫ, т.е. на прямой МЫ (рис. 4).

Примеры.

Рис. 3

1. а) Решить уравнение 2sin2x — 3cosx + 8sinx — 6 = 0.

\N

Ча+Зя^--""-

/' u t "----

/ /\p-jt_.—_

/ / / \2i3jr

XaAiJ J j J

/ /

Ха+2л/

У\а+4п

М

Рис. 4

б) Найти все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение.

а) Решим уравнение 2sin2x — 3cosx + 8 sinx — 6 = 0 ^ 4 sinxcosx — 3cosx + 8 sinx — 6 = 0 ^ (4 sinxcosx + 8 sinx) — (3cosx + 6) = 0 ^ 4sinx(cosx + 2) — 3(cosx + 2) = 0 ^ (4 sinx — 3)(cosx + 2) = 0 ^

7п; 5п

T'T

4 sin x - 3 = 0, . 3

, 0 n ^ sin x = - ^ cos x + 2 = 0. 4

x = arcsin 3 + 2nn, n e Z; x = п — arcsin 4 + 2nn, n e Z.

б) Отбор корней произведем методом спирали. Выделим участок спирали, соот-

7п 5п] ,

(рис. 5).

ветствующий отрезку

22

Таким образом, отрезку

7п' 5п

Т'Т

принадлежат следующие корни уравнения:

3 3 3

1) На луче OM^ arcsin4 — 2п; arcsin4' arcsin4 + 2п.

3 ( 3 \ 3

2) На луче OM2: п — arcsin4' ( п — arcsin^ — 2п = —п — arcsin4'

п — arcsin Л — 4п = — arcsin 3 — 3п.

Ответ. а)

x = arcsin 3 + 2пn, n e Z' x = п — arcsin 4 + 2пn, n e Z.

. 3 о . 3 ^ -3 .3 .3

б) — — 3п; — 2п; — аг^т- — п; arcsln-; п — arcsln-;

. 3 ^ arcsln - + 2п. 4

2. а) Решить уравнение 4sinх + 6cosх = 2tgх + 3.

б) Найти все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [—3п;2п). Решение.

а) Решим уравнение 4sinх + 6cosх = 2tgх + 3 ^

2

3je 2

Рис. 5

sin x \

4sinx- 2- +(6cosx- 3) = 0 &

ч cosx)

2 sin x 2

1

cos x

+ 3(2cosx - 1) = 0 &

sin x

2(2cosx- 1) + 3(2cosx - 1) = 0 & cos x

(2cos x - 1) ( + 3) &

cos x

(2cosx- 1)(2tgx + 3) = 0 &

1 n ■ cos x = 0.5 2cos x - 1 = 0,

2tg x + 3 = 0.

x = ± 3 + 2n n, x = - arctg1.5 + nn, n G Z

tg x = -1.5 ^ cos x = 0

б) Отберем корни уравнения, принадлежащие промежутку [—3п;2п] (рис. 6). 1) Множество корней x = — arctg1.5 + nn,n e Z задается формулой, содержащей период nn, поэтому отметим их на прямой MiN и получим:

— arctg1.5 — 2п, — аг^1.5 — п, — аг^1.5, — arctg1.5 + п, — arctg1.5 + 2п.

п п

2) Множество корней х = — — + 2пп, п Е ^ и х = — + 2пп, п Е ^ находятся на лучах

ОМ2 и ОМ3. Это следующие корни:

п „ 7п п п „ 5п п ^ 5п п

^ — 2п = ——, —, —- + 2п = —, - — 2п = —— , -. 3 3 ' 3' 3 3 ' 3 3 ' 3

Ответ. а)

x = ± 3 + 2п n, x = - arctg 1, 5 + nn, n G Z

^ч , _ 5n , _ n , _ n

б) -- arctg 1.5 - 2n, - —, - arctg 1.5 - n, -—, - arctg 1.5, —,

3

5n

3

3

3

- arctg 1.5 + n, —, - arctg 1.5 + 2n.

Рис. 6

3. а) Решить уравнение 2sin2 ^ + (л/3 — 4) cos ^ + 2( V3 — 1) = 0.

б) Найти все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку Решение.

а) Решим уравнение

2 sin2 - + (>/3 — 4) cos — + 2(л/3 — 1)= 0 ^

x x

2 — 2cos2 2 + (л/3 — 4)cos 2 + 2^ — 2 = 0 ^

x x

—2cos2^ + (>/3 — 4)cos2 + 2v^ = 0 ^

—4п

23п\

' 4"J

cos x = -(y5-4)-(y5+4) _ cos2 = -(V3-4)+(V3+4) П

-4

cos x = f, _ cos 2 = -2,

x П

^ - = ±— + 2nn, 2 6

п Е % ^ х = ±3 + 4пп, п Е %.

б) Применим метод спирали для отбора корней, принадлежащих промежутку

Л 23п\ . —4п(рис. 7).

Этому промежутку принадлежит множество корней, заданных формулой:

п

x = - 3 + 4nn, n G Z,

п п ^ 11п

которые изображены точками спирали, лежащими на луче ОМ1: — —, — — + 4п = -3—.

Так как множество корней задается формулой вида <р + 2пп ■ к,п Е %,к Е N, то ищем корни на каждом к-ом витке спирали.

п 11п п п 13п

Точки спирали на луче ОМ2: — — 4п = ——,—, — + 4п =

3

п

x = — + 4пn, n G Z принадлежат промежутку

33

23п -4п ^

из множества

п

Ответ. а) x = ±3 + 4пn, n G Z.

б) -

11п п п 11п 13п

3

3 3 3

3

Рассмотрим как можно отобрать корни, принадлежащие заданному промежутку,

п п

если множество корней задается формулой а + —, п е %,п = о,к е n.

к

4. а) Решить уравнение sin9x + sinx — v/2cos4x = 0.

^ n * (

б) Отобрать корни, принадлежащие промежутку —— ; —

\ 4 16

Решение.

а) Решим уравнение

sin9x + sinx — v^2cos4x = 0 ^

2sin5x-cos4x—-\/2cos4x = 0 ^

2cos4x | sin5x —— I = 0 ^

cos4x = 0,

. « V2 ^

sin5x = ——, 2

71

4x = — + nn,

2 . 5x = — + 2nn,

4п

5x = — + 2пn, n g Z 4

п nn

x = 8 + T

п 2nn

x=2o+7",

3п 2пп

x = 20 + I",n G Z

б) Отберем корни уравнения, принадлежащие промежутку ( —;3П-

4 16

п пп

Сначала рассмотрим множество корней, заданных формулой х = — + ——, п € ¿2 , то

8 4

пп

есть 4х = — + пп, п € 2. Обозначим 4х = у, получим у = — + пп, п € 2 и произведем

отбор методом спирали, увеличив промежуток в 4 раза (рис. 8).

Рис. 8

п / 3п

Такие корни из множества у = — + пп,п € 2, принадлежащие промежутку —3п; —

2

соответствуют точкам спираи, лежащим на вертикальном диаметре:

5п , 5п 5п

Итак, у = — —-, тогда 4х = ——-, т.е. х = — —-.

2 2 8 3п 3п 3п

У = — ^т-, тогда 4х = — —, т.е. х = ——. 2 2 8 п п п

У = — х, тогда 4х = — —, т.е. х = — —. 2 2 8 п п п

у = -, тогда 4х = -, т.е. х = -. 2 2 8

5п

"Т'

4

3п п п

Т' - 2 ' 2

Теперь рассмотрим множества п 2пп х " + -5",

3п 2nn

Х = 20 + Т'П 6 Z •

то есть

Заменив 5x = y, отберем из множества

15п 15п

п „ 5x = — + 2nn,

4п .

5x =--+ 2nn, n 6 Z,

4

п „

y = —+ 2nn, 4

3П значения, принад-

y = — + 2пn, n 6 Z, 4

лежащие промежутку 3п 3п"

4 16

который в 5 раз больше заданного промежутка

4 ' 16

(рис. 9).

п п 7п

Эти корни на луче OM1: 4, 4 — 2п = — —

л

Рис. 9

3п 3п „ 5п 3п , 13п

а на луче OM2: —-, —— 2п = ——, —— 4п =--—.

J 2 4' 4 4 4 4

к к к

Итак, y = —, следовательно 5x = —, а x = —;

7п „ 7п 7п

y = —j, тогда 5x = —j, а x = — 20;

3п „ 3п 3п

y = -J-, тогда 5x = -J-, а x = 20;

5п 5п п

У = —г-, тогда 5x = ——, а x = ——; 4 44

13п „ 13п 13п

y = —4-, тогда 5x = —4-, а x = —20. л ч п пп п 2пп 3п 2пп.

Ответ.а) 8 + Т, 20 + Т, 30 + Т(n G Z).

13п 5п 7п 3п п п п 5п 3п

б)--,--,--,--, —, —, —, —, —.

7 20 8 ' 20 8 ' 4' 8' 20' 8 ' 20

Задачи для самостоятельного решения

1. Решить уравнение 2cos2x + sin2 = 4cos ^ ■ cos ^^ — x) и отобрать корни, принад-

лежащие промежутку

3п „ - т;3п

5п „ 7п _ ^ I 3п п 5п 7п ..

(x = -j+2пп x = -j+2ппnGZ;< —-j; -j; -j ¡0.

2. Решить уравнение sin2x — 2sinx■ cosx = 3cos2x и отобрать корни, принадлежащие

промежутку

3п

т;5п

к

(x = — - + пn, x = arctg 3 +

^ /7п „ „ 11п „ „ 15п , 19п ..

+ пп,n G Z;\ —; arctg3 + 2п; -j-; arctg3 + 3п; —arctg3 + 4п; J>).

x

x

3. Решить уравнение 25sin - + 100cos- = 89 и отобрать корни, принадлежащие про-

межутку

„ 17п

-2п ;—— л 2

4

(x = ±3 arccos 5 + 6пп,

f 4 4 4 4 1

n е Z;<3arccos5 — 2п; —3arccos-5; 3arccos-5 + 4п; —3arccos-5 + 6п >).

4. Решить уравнение sin9x = 2sin3x и отобрать корни, принадлежащие промежутку

■ п \ . п п п ^ ( 5п 2п

— —;п (x = — n,x = ±— + —n,n е Z;\ ——, —777,

3

3

18 3

18

18

л 5п л 1п 11п 2п 13п 11п .

, 18, 18, з, 18, 18, Т, 18, 18

Список литературы/References

[1] Дятлов В.Н., Как научить решать задачи с параметрами?, лекции 1-4, Педагогический университет "Первое сентября", М., 2014, 80 с. [Dyatlov V. N., Kak nauchit' reshat' zadachi s parametrami [How to teach problem solving with parameters?], lekcii 1-4, Pedagogicheskij universitet "Pervoe sentyabrya", M., 2014 (in Russia), 80 pp.]

[2] Дятлов В. Н., Как научить решать задачи с параметрами?, лекции 5-8, Педагогический университет "Первое сентября", М., 2014, 80 с. [Dyatlov V. N., Kak nauchit' reshat' zadachi s parametrami [How to teach problem solving with parameters?], lekcii 5-8, Pedagogicheskij universitet "Pervoe sentyabrya", M., 2014 (in Russia), 80 pp.]

[3] Ященко И. В., Подготовка к ЕГЭ по математике в 2015 году, Базовый и профильный уровни. Методические указания, МНЦМО, М., 2015, 288 с. [Yashchenko I.V., Podgotovka k EGEH po matematike v 2015 godu [Preparing for the exam in mathematics in 2015], Bazovyj i profil'nyj urovni. Metodicheskie ukazaniya, MNCMO, M., 2015 (in Russia), 288 pp.]

Список литературы (ГОСТ)

[1] Дятлов В. Н. Как научить решать задачи с параметрами: лекции 1-4. М.: Педагогический университет "Первое сентября 2014. 80 с.

[2] Дятлов В. Н. Как научить решать задачи с параметрами: лекции 5-8. М.: Педагогический университет "Первое сентября 2014. 80 с.

[3] Ященко И. В. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2015 году. Базовый и профильный уровни. Методические указания. М.: МНЦМО, 2015. 288 с.

Для цитирования: Островерхая Л. Д., Жданова О. К. Отбор корней тригонометрических уравнений методом спирали // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2019. Т. 26. № 1. C. 100109. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-26-1-100-109

For citation: Ostroverkhaya L. D., Zhdanova O.K. Selection of roots of trigonometric equations by the spiral method, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2019, 26: 1, 100-109. DOI: 10.26117/2079-6641-2019-26-1-100-109

Поступила в редакцию / Original article submitted: 10.10.2018