ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА
© 2012 Камаева С.Ц.
Дагестанский государственный педагогический университет
Изложены составление обратной функции по отношению к данной и построение их графиков как один из вариантов изучения темы «Обратные тригонометрические функции» в общеобразовательных учреждениях.
The author of the article states making the arc function in relation to the given one and constructing their graphics as a way of studying the “Arc trigonometric functions ” topic.
Ключевые слова: обратная тригонометрическая функция, многозначная функция, график функции, доказательство.
Keywords: arc trigonometric function, multiple-valued function, function graph, proving.
В шестидесятые годы прошлого века из перечня предметов школьного образования была изъята
«Тригонометрия» - один из предметов математического цикла школьного образования. С тех пор
тригонометрический материал включен в программы геометрии и алгебры. В ходе анализа программ по математике для общеобразовательных учреждений, рекомендованных Министерством
образования Российской Федерации в последние 20 лет, мы обнаружили, что тема «Обратные тригонометрические функции» в программах
общеобразовательных школ вообще не значится. Только в классах и школах с углубленным изучением математики на изучение этой темы отводится 2-4 часа. Но в заданиях ЕГЭ встречаются примеры, содержащие обратные тригонометрические функции, а сдают ЕГЭ все выпускники
общеобразовательных учреждений.
При решении уравнений и неравенств, содержащих
тригонометрические функции, учащиеся приходят к понятию arccos, arctg, arcctg, поэтому изучение обратных
тригонометрических функций в школьном курсе алгебры и начал
анализа вполне актуально. Мы в своей практической деятельности учли это противоречие и изыскиваем
возможности выделить 4-6 часов на изучение темы «Обратные
тригонометрические функции».
Целесообразно это делать после
изучения темы «Обратная функция» и построения графика обратной функции.
В статье изложен один из возможных вариантов рассмотрения темы «Обратные тригонометрические
функции» в общеобразовательных учреждениях.
Функция у = атс8тх При изучении функции y=sinx было установлено, что:
1) каждому углу а из промежутка от
ж ж ж ж
— — до + — : — — <а< — соответствует
одно из определенных значений sinа, и это значение sinа по абсолютной величине меньше или равно единице;
2) двум любым различным значениям
угла а из этого промежутка соответствует два различных значения smа^; это следует из того, что на
указанном промежутке значения а функция sinа - возрастающая;
3) каково бы ни было число у, по
абсолютной величине меньшее единицы,
существует, и притом только один, угол
ж ж
а из указанного промежутка: — — <а< —,
синус которого равен у: $іпа=у.
Определение. Арксинусом числа у (arcsiny) называется угол а из
промежутка
Л Л 2’ 2
Л Л
----<а< —
2 2
синус которого равен у:
sina=y. (1)
Из сказанного следует, что любому
числу у (аргументу), по абсолютной
величине меньшему или равному
единице, всегда соответствует, и притом
только одно, значение arcsiny (функция).
Таким образом, имеем равенство
a=arcsiny, (2)
которое читается так: «а равно арксинус у».
Равенства (1) и (2) по-разному
выражают одну и ту же зависимость.
Приведенное определение можно кратко
записать так: arcsin(sina)=a (если
л л ч
---<а<—).
2 2
Из этого же определения следует и такое тождество sin(arcsiny)=y.
Примеры:
.1 л . л 1
1. arcsm— = —, так как sm — = — и
2 6 6 2
ллл
---< — < —
2 6 2'
т ■ л/2 л ■ л 42
2. arcsm-— = —, так как sm — =---- и
2 4 4 2
ллл
---< — < —
2 4 2'
_ .43 л .л 43
3. arcsm----= —, так как sin — = — и
2 3 3 2
ллл
---< — < —
2 3 2'
л л л л
4. arcsm1=—, так как sm —=1 и — не
2 2 2
выходит за границу промежутка
Л Л
2 ’ 2
- . ( 1 1 Л
5. arcsm I — I =-------так как
2
6
( Л 1 1 Л Л Л
sin I------------I = — и----------------------< — < —.
I 6 J 2 2 6 2
6. arcsin -
421 л
=-----, так как
4
2
J
( л1 ЛЛЛ
sin I-I =--и----< — < —
I 4 J 2 2 4 2
7. arcsin -
2
J
( л1 S
sin I-------I =-----------
I 3 J 2
ЛЛЛ
и--< — < —.
2 3 2
ЛЛ
8. arcsin(-1)=-, так как sin(-)=-1 и
22
Л
не выходит за границу сегмента
ЛЛ
2 2
Функция arccosx
При изучении функции y=cosx было установлено, что:
1) каждому углу а из промежутка [0; п]: 0<а<л соответствует одно определенное значение cosа, и это значение cosа по абсолютной величине меньше или равно единице;
2) двум любым различным значениям угла а из промежутка [0; п] соответствуют два различных значения cosа^; это следует из того, что в промежутке [0; п] функция cosа -убывающая;
3) каково бы ни было число х, по абсолютной величине меньшее единицы, существует, и притом только один, угол а из промежутка 0<а<п, косинус которого равен х: cosа=x.
Определение. Арккосинусом числа x(arccosx) называется угол а из промежутка [0; п]: 0<а<п, косинус
которого равен х: cosа=x.
Из сказанного следует, что любому числу х (аргументу), по абсолютной величине меньшему единицы, всегда соответствует, и притом только одно, значение arccosx (функция).
Равенство a=arccosx читается так: «а равно arccosx».
Примеры:
2
1 ж ж 1
1. arccos — = —, так как cos — = — и
2 3 3 2
ж
0< — <п.
3
42 ж
2. arccos-----= —, так как
2 4
ж 42 „ ж
cos — =--------- и 0< — <п.
4 2 4
„ 43 ж ж 43
3. arccos---= —, так как cos — =-
2 6 6 2
ж
и 0< — <п.
6
ж ж
4. arccos 0 = —, так как cos— = 0 и
2 2
ж
0< — <п.
2
Г 11 2ж
5. arccos I---I =-------, так как
I 2) 3
2ж 1 2ж
cos----=-------и 0<------<п.
3 2 3
6. arccos
л/2
2
Л
Зж
4
V “У
Зж 42 Зж
cos — =-------------и 0< — <п.
4 2 4
^ л/3 ^ 5ж
7. arccos
2
6
так как
V “У
5ж 43 п 5ж
cos — =----------и 0< — <п.
6 2 6
8. arccos(- 1)=п, так как cosn=-1 и
пе [0;п].
Функция y = arctgx
При изучении функции у = tgx было
установлено, что:
14 ( ж жЛ
1) каждому углу ае\— —I:
ж ж
----<а< —
2 2
соответствует одно
определенное значение tgа;
2) двум любым различным значениям угла из этого промежутка соответствуют два различных значения tgа, так как на
этом промежутке функция tgа -
возрастающая;
3) каково бы ни было число а, существует, и притом только один, угол
г ж ж
а из промежутка [ — — ; — ], тангенс
которого равен а.
Определение. Арктангенсом числа а(arctgа) называется угол а из
ж ж
промежутка [ — — ; — ]: тангенс которого равен а.
Из сказанного следует, что любому числу а - аргументу, всегда
соответствует, и притом только одно, значение arctgа - функция.
Примеры:
1 ж ж 1
1. arctg—;= = —, так как tg— = —^ и
%/з 6 6 43
жжж
— <—
2 6 2'
2. arctg43 = —, так как tg — = 43
3 3
жжж
-----< —
2 3 2'
1 ж ж л
3. arctgl = —, так как tg— = 1 и
4 4
жжж
-----
2 4 2'
4. arctg 0=0, так как tg0=0 и
жж
-----<0< —.
22
/ 1 N ж
5. arctg(—;=) =--, так как
43 6
, ж 1 ж ж ж
,g(“в) = -Тз и ^< 16. arctg (~43) = — —, так как
, ж, пт ж ж ж
tg (-) = —V 3 и----< — < —.
3 2 3 2
7. arctg (—1) = — —, так как
, жч ж ж ж
tg (--) = —1 и------< — <—.
4 2 4 2
Функция y = arcctgx
и
При исследовании функции y = ctgx было установлено, что:
1) каждому углу а из промежутка от 0 до п (0<а<п) соответствует одно определенное значение ctga;
2) двум любым различным значениям а из этого промежутка соответствуют два различных значения ctga - это следует из того, что в промежутке (0; п) функция ctga - убывающая;
3) каково бы ни было число b, существует, и притом только один, угол из промежутка (0; п), котангенс которого равен b: ctga=b.
Определение. Арккотангенсом числа b(arcctgb) называется угол а из
промежутка (0; п): (0<а<п), котангенс которого равен b.
Из сказанного следует, что любому числу b (аргументу) всегда соответствует, и притом только одно, значение arcctgb (функция).
Примеры:
жж
1. arcctg1= —, так как ctg —=1 и
44
ж
(0< — <п).
4
2. arcctg43 = —, так как ctg — = V3 и
66
ж
(0< — <п).
6
1 ж ж 1
3. arcctg—j= = —, так как ctg—=—¡= и
л/э Г s3 V3
ж
(0<у<л).
. 1, 3ж 3ж
4. arcctg(-1)= —, так как ctg — =-1 и
4 4
3ж
(0< — <п).
4
1 2ж 2ж
5. arcctg(—¡= )=--, так как ctg-=-
S 3 3
1 2ж
—j= и (0<----<п).
■S 3 '
6. arcctg(-43 )= —, так как ctg— = V3
6 6
5ж
и (0< — <п).
6
В дальнейшем целесообразно придерживаться общепринятых
обозначений - аргумент обозначается через х, а значение массой функции через у. Таким образом, у = arcsinx будет обратной функцией по отношению к функции у = sinx. Аналогично - у = arccosx - обратная функция по
отношению к функции у = cosx; у = arctgx - это обратная функция по отношению к функции у = tgx и у = arcctgx - обратная функция по
отношению к функции у = ctgx.
Основные тождества про обратные тригонометрические функции
Приведем доказательства двух тождеств, которыми будем часто
пользоваться в дальнейшем при решении уравнений и неравенств.
Теорема 1. Каково бы ни было число х по абсолютной величине меньшее или равное единице, имеем: ж
arcsinx+arccosx= —.
2
ж
Доказательство arcsinx+arccosx= —
2
Пусть arcsinx=а. (1)
Из этого равенства на основании определения, приведенного выше, имеем:
ж ж
sina=x и-----<а< —
2 2
Но cos | ж — ,
а I =sina=x,
(2)
(3)
ж ж ж
а так как--<а< —, то 0<—-а<п. (4)
2 2 2
Из соотношений (3) и (4) следует, что
ж
arccosx=-----а.
2
(5)
Складывая почленно (1) и (5),
ж
получим: arcsmx+arccosx= —, что и
требовалось доказать.
Теорема 2. Каково бы ни было число х, имеет место тождество: ж
arctgx+arcctgx= —.
Доказательство Пусть arcctgx=a.
жж
Тогда имеем tga=x и------<а< —. Но
22
ctg I ж — а I также равен x, так как
1 2
ctg — а J =tga. Из неравенств
ж ж ж
----<а<— следует: 0<—-а<п, а так как
2 2 2
ж
тангенс угла "^"-а равен x, то по
приведенному выше определению ж
имеем: arcctgx=——а.
(7)
Складывая равенства (6) и (7), ж
получим arctgx+arcctgx= —.
Эти тождества можно было бы доказать иначе.
Докажем тождество arcsinx+ ж
arccosx=
2
Сначала вычислим синус левой части этого равенства, для чего воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: sin(a+ß)=sina-cosß+cosasinß.
Имеем
sin(arcsin x + arccos x) = = sin(arcsin x) • cos(arccosx) + + cos(arcsin x) • sin(arccos x) = = x • x + л/1 — x • 41 — x = x +1 — x = 1, при этом учли, что
cos а
sin а, тогда
cos(arcsin x) =
-y/l - sin2 (arcsin x) = Vl - x"
sin(arccos x) =
■Jl - cos2 (arccosx) = Vl
= V1 — х .
Но из одного того факта, что sin(arcsinx+arccosx) = 1, еще не можем
ж
заключить, что arcsinx+arccosx= —, так
2
как существует бесконечное множество различных углов, синус которых равен 1.
Чтобы удостовериться в том, что сумма
ж
arcsinx+arccosx равняется именно —,
п п
---<arcsinx<—.
2 2
необходимо найти границы этой суммы. По определению
Складывая эти неравенства, получим:
ж 3ж
----<агсніпх+агссо8х< —. Но среди
2 2
чисел, больших или равных — — и
3ж
меньших или равных , имеется лишь
ж 1 одно число —, синус которого равен 1.
„ ж
Поэтому агс8іпх+агссо$х= —,
что и требовалось доказать. Аналогично докажем и тождество
ж
arctgx+arcctgx= —.
Воспользовавшись формулой
тангенса суммы двух углов:
tg (а + р) =------------, сначала
1— ^а■
вычислим тангенс левой части доказываемого равенства
tg (arctgx+ аге^Х) = tg (arctgХ) + tg (аге^Х) 1 — tg (аг^Х) ■ tg (аге^Х) 1
x + -
l - x •
l
= да.
х
Но из одного того факта, что tg(arctgx+arcctgx) не существует, еще нельзя заключить, что arctgx+ ж
arcctgx= —, так как существует
бесконечное множество различных углов, тангенс которых не существует. Чтобы убедиться в том, что сумма
ж
arctgx+arcctgx равна именно —,
необходимо найти границы этой суммы. По определениям, приведенным выше,
x
а
жж
— — <arctgx<— и 0<arcctgx<ж.
Складывая эти неравенства, получим
ж 3ж
— — <arctgx+arcctgx< . Но среди
ж Зж
чисел больших-------и меньших —,
2 2
ж
имеется лишь одно число —, тангенс
2
которого не существует. Поэтому arctgx+arcctgx= —, что и требовалось доказать.
Примеры с обратными
тригонометрическими функциями 1. Вычислить sin(arccosx).
Так как 0<arccos<п, то sin(arccosx)>0. Поэтому, пользуясь формулой
sinа= + 41 — соб2 а , получим, что
Бт(агссоБ х) = 1 — соБ2(агссоБх) =
=VT—x2.
2. Вычислить cos(arcsinx).
лл
Так как----<arcsin< —, то
22
cos(arcsinx)>0. Поэтому, пользуясь
формулой cosa= + 41 — sin2 а , получим
cos(arcsin x) = +д/1 — sin2 (arcsin x) =
= V1 — x2.
3. Вычислить tg(arcctgx).
Так как 0<arcctgx<n, то
tg(arcctgx) e R. Пользуясь формулой
1
tga =------, получим, что
ctga
tg (arcctgx) =
1
1
ctg(arcctgx) x 4. Упростить выражение tg(arcsinx).
sin а
Пользуясь формулой tga =
cosa
получим, что tg (arcsin x) =
sin(arcsin x) _ x
cos(arcsin x) 41 — x2
5. Упростить выражение sin(arctgx).
л
Пусть x>0, тогда 0<arctgx< —.
Пользуясь формулой tga
sin а = +
Vi
, получим, что
+ tg а tg (arctgx)
■ = +-
Бт( arctgX) = +■ -----------= + -------
д/1 + tg 2(arctgX) л/1 + х2
Но из этих двух знаков годным является только знак плюс. Действительно, sin(arctgx)>0, так как при ж
х>0 0<ог^х< — . Правая часть будет
положительным числом или нулем, если из двух знаков, стоящих перед ней, выбрать только знак плюс (по условию х>0). Итак, окончательно имеем
sin(arctgx) =
лЯ
+ x
Пусть
теперь
x<0.
Тогда
л
— — <arctgx<0.
Имеем: sin( arctgx) = +-
tg (arctgx)
■ = +-
д/Г+tg2(arctgX) ■Л+х2
Но из этих двух знаков годным является только знак плюс, потому что sin(arctgx)<0, так как при х<0 будет ж
— — ^г^х<0.
Правая же часть будет отрицательным числом лишь тогда, когда из двух знаков, стоящих перед дробью, выберем только плюс (по условию х< 0). Итак, при х<0 формула имеет тот же знак, как при х>0, то есть
sin(arctgx)=+—. . Таким образом,
+ x
равенство
sin(arctgx)-
x
лЯ
справедливо при всяком значении x.
/ •
6. Вычислить tg2 arcsin -
Решение.
x
43
Обозначим угол (дугу) arcsin---
2
и ^
через а. Имеем a=arcsm , тогда
43 43
sina=sin(arcsin-); sin а-. Так как
22
ж
тогда а= —.
3
ж
sina>0, то 0<а<—,
2
Следовательно,
. 43. „ж 2ж /-
g 2(arcsin—) = tg2—tg— = -43.
7. Вычислить sin
Решение.
2 arccosI - —
Обозначим arccos I - — I =а, тогда
cosa= |-^J и 0<а<п. Теперь требуется найти sin2x, но sin2a=2sinacosa.
Находим sina: sina=
Значение sina взято положительным, так
Г 3 J „
как arccos I — — I - угол второй четверти.
Итак:
sin
2 arccos - —
= sin 2а =
о 4 ( 3 J 24
= 2sin а■ cosa = 2 — I — I =------------.
5 L 5) 25
8. Вычислить
cos
■ -12 R
arcsm-------+ arcctgl 3
2
42
Решение. Положим arcsin--------= a ,
2
откуда а = Ж; и arcctg 43 = ß, откуда
ж
ß = —. Следовательно, 6
cos
arcsin + arcctg 43
/
(ж ж Л ( _ 3ж = 2ж Л
= cos 21 —I— I = cosl 2-------I =
V 4 6 У V 12 У
5ж 43
= cos— =-------.
62
9. Вычислить tg (arctg — + arctg —). Решение.
Воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:
tga + tgP
tg (a + ß) =
Имеем:
1 + tga■ tgß
1 1J
tg | arctg — + arcctg — I =
tg | arctg 1J + tg (arcctg 1
1 - tg | arctg 1 V tg( arcctg 1
11
--1-
2__3
1+
= 1.
10. Доказать справедливость равенства
, 1 , 1 , 1 , 1 ж
arctg —+ arctg — + arctg —+ arctg — = —. 4 5 7 84
Доказательство.
Сначала вычислим тангенс суммы
левой части:
1 1 1 1ч
tg (arctg — + arctg — + arctg — + arctg —) =
= tg
1 1 J ( 1 1
arctg — + arctg — I + I arctg — + arctg —
^ | сг^ 1 + сг^ 1 j + ^ ( сг^ 1 + сг^ 1 , ( 1 П ( 1 1
1— ^ I - I • /£ I — -
Для краткости записей вычислим значение тангенсов, участвующих в записи дроби:
2
2
tg I arctg 1 + arctg 1 j =
tg I arctg 11 + tg ^ arctg 1 1 — tg I arctg 1 j - tg I arctg 1
1 1 8
---------1- --------------
3 5 _ 1S
1 —
84
11 14 14 і
з s
1S
Найдем также, что
1 1 3
tg (arctg — + arctg —) = —.
7 8 11
Теперь
1111, tg (arctg — + arctg — + arctg — + arctg—):
4 _ 7 44 = 65 = 1
Ц 65 .
7' 44
Заметим, что
_ 1 л
0 < arctg — < —
3 4 •
1 —
_ 1 л
0 < arctg — < —
5 4 •
1 л ’
0 < arctg — < —
7 4 •
1 л- ’
0 < arctg — < —
8 4 .
Складывая эти неравенства, получим:
1111 0 < arctg — + arctg — + arctg — + arctg — < л.
Итак, установлено два факта:
1)
1 1 1 1ч 1
tg (arctg — + arctg — + arctg — + arctg—) = 1.
2) 0.
Из этих двух фактов следует:
1 1 1 1 л
arctg — + arctg — + arctg — + arctg — = -
4 5 і
что и требовалось доказать.
84
Примечания
1. Бермант А. Ф., Люстерник Л. А. Тригонометрия. М. : ГТТИ, 1957. 2. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницин Ю. П. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. М. : Просвещение, 2004.
Статья поступила в редакцию 14.02.2012 г.