CC BY
72
УДК 620.17, 544.22, 54.03
Методы исследования упругих характеристик нанообъектов
(обзор)
В.М. Фомин1,2, А.А. Филиппов1
1 Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия 2 Новосибирский государственный университет, Новосибирск, 630090, Россия
В работе представлен обзор работ, опубликованных за последние 20 лет в рецензируемых журналах России в области определения упругих характеристик наноматериалов. Из литературы известно, что при изменении характерного размера наноматериалов их характеристики могут изменяться в несколько раз, что необходимо учитывать при создании конкретных конструкций, наполненных наночастицами.
Ключевые слова: аддитивные технологии, холодное газодинамическое напыление, лазерное воздействие, покрытие, микроструктура, шероховатость, морфология DOI 10.24411/1683-805X-2020-15001
A review of methods for studying the elastic characteristics of nanoobjects
V.M. Fomin1,2 and A.A. Filippov1
1 Khristianovich Institute of Theoretical and Applied Mechanics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia 2 Novosibirsk State University, Novosibirsk, 630090, Russia
This work is an overview of studies on the determination of the elastic characteristics of nanomaterials published over the past 20 years in peer-reviewed Russian journals. It is known from the literature that changes in the characteristic size of nanomaterials lead to multiple changes in their characteristics, which must be taken into account when creating specific nanoparticle-filled structures.
Keywords: additive technologies, cold gas dynamic spraying, laser irradiation, coating, microstructure, roughness, morphology
1. Введение
В обзоре рассматриваются работы, в которых за последние двадцать лет опубликованы современные методы, модели и экспериментальные подходы к определению упругих свойств материалов, характерный размер которых не превышает 100 нм. Определение зависимости упругих характеристик наноструктур рассматривается в трех направлениях [1]:
1) дискретно-континуальные подходы, учитывающие атомную структуру и ее влияние на упругие характеристики;
2) современные экспериментальные методы, позволяющие построить количественные зависимости деформации нанообъектов от приложенного на-гружения и определить оценку масштабного фактора при изменении упругих свойств;
3) экспериментально-теоретические подходы, где аналитически или численно решается задача, которая описывает заданный эксперимент, и затем осуществляется итерационный процесс, пока данные расчетов не совпадут с результатами экспериментов с заданной точностью.
Прежде чем переходить к анализу результатов работ по намеченным трем направлениям, следует остановиться на эмпирическом уравнении Холла-Петча [2-4]
с у =Со + КЛ-1/2, (1)
где су — предел текучести; с0 — напряжение трения, ниже которого дислокации не будут скользить в монокристалле; К — коэффициент Холла-Петча; Л — размер зерна. Зависимость (1) неоднократно проверялась экспериментально, и установ-
© Фомин В.М., Филиппов А.А., 2020
лено, что она хорошо выполняется при уменьшении размера зерна в материалах. Физика этого явления объясняется на основе рождения и перемещения дислокаций [5-10], хотя в этом случае имеются два подхода, которые еще требуют своего окончательного решения. Следует заметить, что в целом ряде работ, ссылки на которые приведены в [4-10], указано, что при уменьшении размера зерна ниже 100 нм имеет место обратная зависимость к соотношению Холла-Петча. Таким образом, в современной литературе имеются достаточно противоречивые результаты по физическому объяснению данного явления.
2. Дискретно-континуальные подходы
Будем рассматривать наночастицы, состоящие из атомов, упругие характеристики их связаны исключительно силами, действующими между атомами, и слабо зависят от температуры. Тепловые составляющие, связанные с нагреванием тела, в данном случае требуют особого исследования, см., например, [11, 12].
Если температура не слишком велика, атомы твердого тела в основном совершают колебания около своих положений равновесия. Для определения их перемещений в пространстве необходимо иметь модели атомов и силы или энергии взаимодействия между ними. Существующие математические модели Брэгга-Ная-Ломера, Дюлонга-Пти и другие с использованием «классического» ансамбля для уравнения состояния в форме Ми-Грюнайзена из данных экспериментов по положению адиабаты пористых образцов или модельных представлений, предложенных Слейтером и Ландау, позволили получить хорошие результаты для больших давлений и температур. Вопрос для умеренных температур и давлений остается пока открытым. «Классическая» модель одномерного осциллятора не позволяет получить необходимого результата, авторы обобщают модель, увеличивая число слоев в осцилляторах. Так, в работах [1317] для анализа упругости твердых тел используется модель двойного слоя. Взаимодействие атомов первого слоя 1 с атомами второго слоя 2 показано на рис. 1.
Процесс образования сдвига и пластических деформаций в модели двойного слоя следует рассматривать, учитывая изменения межатомных расстояний как в перпендикулярном, так и в поперечном направлении. В работах [13-17] авторы ограничиваются только растягивающими напряжениями. Силы отталкивания и притяжения меж-
Ш И
Рис. 1. Модель двойного слоя атомов (цветной в он-лайн-версии)
ду атомами, а следовательно, энергия притяжения Ж и отталкивания Ж определяются в виде
Ж =--, Ж = +4,
г гп
где А и В — параметры взаимодействия, зависящие от природы твердого тела; п — показатель степени; г — расстояние между атомами 1 и 2; следовательно, полная энергия взаимодействия Ж = -В/г+А/гп. Сила взаимодействия между атомами по определению равна ^ = ёЖ/ёг и легко может быть вычислена, если известна функция Ж(г). Устойчивое состояние системы определяется в точке г = г0, где функция ^ имеет минимум, т.е. г0 = (Ап/В)1/(п-1), а энергия взаимодействия Ж = 0 при А/ге0П - В/ге0 = 0, где ге0 = (А/В)1/(п-1), что позволяет связать величины г0 = ге0П1/(п-1) и Жтт = В(1 - п)/(г0п). С учетом полученных соотношений сила взаимодействия и полная энергия могут быть представлены в виде
- " 7
r0
n+1
n+1
,w=7
Ге0
re 0
re0
(2)
Если ввести смещение по отношению к равновесному расстоянию г0 по формулам х = (г - г0)/г0 и хе = (г - ге0)/ге0, то выражения (2) могут быть переписаны в виде
В 1 1
F =
Ч02(1 + x)
n+1
W =
7
1
(1 + x):
__1_
1 + x
(3)
г п(1 + х)п
Введение этих переменных удобно, т.к. они связаны непосредственно с относительной деформацией в = г/г0 следующим соотношением в = х + 1.
Таким образом, относительное смещение линейно связано с в, тогда ёв = ёх, и модуль Юнга Е можно найти как произведение дГ/дх при х = 0, умноженное на количество атомов М, приходящихся на единицу площади двойного слоя:
Е = N 4( п -1).
Если пересчитать коэффициент Ы£1го через объемную плотность атомов Ыу, то модуль Юнга будет иметь вид
Е = 2.3-10"29 Ыу(п -1).
Численные значения модуля упругости, вычисленные по формуле (3) для нулевой равнодействующей силы, дают результаты на порядок меньше экспериментальных данных для обычных по размерам многих материалов.
Чтобы исправить данную ситуацию, авторы [13-17] предположили вычислять Е при отрицательном смещении х от положения равновесия, т.е. в точке, где силы отталкивания превышают силы притяжения. Такой точкой может быть та, где Ж = 0, и тогда легко вычислить
Е = 2.3 • 10-29(Ыу)4/3<(п +1)(п+2)/(п-1) - 2п3(п-1)>.
Расчеты по полученной формуле дают хорошее совпадение с данными экспериментов для большинства элементов таблицы Менделеева, но определены они при нулевой энергии межатомного взаимодействия, что не имеет аналога в классической физике в рамках модели двойного слоя и может быть объяснено только с использованием квантовых механизмов взаимодействия.
Однако предложенная упрощенная математическая модель двойного слоя позволила достаточно хорошо описать реальную прочность твердых тел, поверхностное натяжение расплавов неорганических веществ и предел прочности неорганических веществ и ждет своего обоснования.
Были выполнены работы по определению упругих характеристик нанообъектов на основе дискретной модели двумерного нанокристалла, обладающего гексагональной плотноупакованной решеткой [8]. Взаимодействие между атомами считается парным. Следуя работе [18], двумерный монокристалл, имеющий бесконечную длину в направлении оси х и N > 2 атомных слоев в направлении оси у, представим на рис. 2. Каждый атом взаимодействует с ближайшими соседями. На торцах кристалла к атомам приложены постоянные растягивающие силы Q. Деформированное состояние кристалла в данном случае полностью определяется расстоянием а между соседними атомами в каждом слое и расстоянием И между слоями (рис. 2). Обозначим расстояние между ближайшими атомами Ь (рис. 2) и тогда Ь2 = а2/4 + И2. В недеформи-рованном состоянии Q = 0 решетка атомов состоит из равносторонних треугольников с ребром а = Ь = а0. Проецируя на направление у уравнение равновесия атома, находящегося на поверхности крис-
Рис. 2. Двумерная монокристаллическая полоса (цветной в онлайн-версии)
талла, находим Q = 2ИДЬ)/Ь, где ДЬ) — сила взаимодействия между атомами в точке г = Ь. Если мысленно разрезать кристалл вертикальной прямой АВ (рис. 2) и рассчитать нормальные составляющие сил, действующие по оси х с двух сторон, получим
Нстх = №(а) + (N - (Ь), 2Ь
где а1 — нормальное напряжение в направлении х; Н — толщина кристалла в направлении у. Величина Н не может быть определена однозначно, т.к., с одной стороны, толщина кристалла равна Н = (Ы -1)И, а с другой стороны, Н=ЫИ. Поэтому, если обо-
def
значим Н = Ы*И, то N -1 < Ы* < N, где Ы* — величина, отражающая произвол в определении Н. Учитывая малые деформации кристалла в направлениях х и у, можем записать
ai = гТC(9N "1}81 + 3(N -!)82,
а, =
S
С&1 +8 2,
(4i)
(42)
где С — жесткость межатомной связи; 81 и 82 — деформации кристалла в направлениях х и у. Однако по данным экспериментов бесконечный кристалл с гексагональной плотноупакованной кристаллической решеткой изотропен, а из полученных формул (4) следует, что наноразмерный кристалл будет анизотропным. Таким образом, упругие характеристики нанокристалла зависят от числа атомарных слоев, формирующих нанокристалл. Указанная неоднозначность в определении модуля Юнга, очевидно, проявляется для всех механических характеристик, в определение которых входит понятие размера нанообъекта. Таким образом, как утверждают авторы [18], понятия классической механики сплошной среды должны исполь-
зоваться с большой осторожностью при применении их к нанообъектам. Особое внимание следует уделять величинам, неоднозначным на наноуровне (таким как модуль Юнга). Попытка преодолеть указанные выше противоречия была предпринята в работе [19]. При этом для анализа использовались энергия деформирования и соотношения Ко-ши-Грина, однако результаты вычислений практически полностью приводят к тем же значениям коэффициентов жесткости Сы, что и в работе [18]. Однако авторы [19] существенно усложнили математическую модель двухслойного кристалла, как показано на рис. 3.
Стрелками указана область взаимодействия атомов с соседями. Такой подход не только усложняет расчет, но и увеличивает произвол в определении размеров нанокристалла. Это приводит к дополнительной неоднозначности в определении всех величин, зависящих от размеров нанокрис-талла и, в первую очередь, модуля Юнга. При учете воздействия удаленных атомов механические характеристики существенно зависят от функционального вида потенциала взаимодействия. В общем виде получить аналитическое решение поставленной задачи затруднительно, но если допустить, что сила межфазного взаимодействия достаточно быстро убывает с расстоянием, возможно построить приближенное решение по аналогии с результатами [19]. В этом случае удается записать потенциальную энергию кристалла через потенциальную энергию взаимодействия атомов, которая представляется как функция квадрата расстояния. Из классического анализа полученных результатов следует, что коэффициент Пуассона не зависит от числа атомных слоев и в точности равен своему макроскопическому значению 1/3, а известный потенциал взаимодействия Леннарда-Джонса по энергии связи, полученной выше, будет отличаться всего на 0.5 %, что позволяет для исследования поведения кристалла при деформировании использовать метод молекулярной динамики [20, 21]. При этом для достижения погрешности в 1 % при одномерном моделировании требуется порядка 102 атомов, в двумерном случае 104, а в трехмер-
о
Рис. 3. Двухслойный кристалл (цветной в онлайн-вер-
сии)
ном 106. Расчет подобных систем вполне доступен на современных компьютерах, что позволяет для анализа таких систем использовать методы молекулярной динамики в макроскопической области.
Авторы [22] исследовали изгибную жесткость нанокристаллов. Для этого двумерный монокристалл, имеющий N> 2 слоев в направлении оси у и у > N слоев в направлении оси х, представим так, что атомы взаимодействуют только с ближайшими соседями (рис. 4). К атомам на боковых гранях кристалла приложены силы Qn, где индекс п означает номер слоя (п = 1, 2, ..., Щ. При переходе от одного слоя к другому силы изменяются по линейному закону, причем таким образом, что суммарная нагрузка, действующая на боковую грань кристалла, является моментной, т.е.
=0, ткап=м.
п=1 п=1
Как следует из данных, приведенных на рис. 4, деформированное состояние монокристаллов полностью определяется расстояниями между соседними атомами цп, между ближайшими атомами в соседних слоях Ьуп. Используя линейное приближение при взаимодействии сил ^(г) в атомной решетке кристалла, имеем
^ (ауп) = С^п, ^ (Ьуп) = САЬ]П,
где С — жесткость межатомной связи. Такой упрощенный вариант является вполне обоснованным, т.к. мы изучаем только упругие деформации. Разрезая мысленно кристалл вдоль вертикальной прямой АВ (рис. 4) и суммируя силы, действующие с одной стороны кристалла на другую, находим изгибающий момент, который равен величине М. В этом случае, как и в [19], возникает неоднозначность в определении толщины Н нанокри-сталла, что и приводит к неоднозначности определения модуля Юнга Е1 и, как следствие, к неоднозначности изгибной жесткости монокристаллической полосы Б. Было показано, что изгибная жесткость однослойной полосы в 25 раз меньше экспериментальных данных. Однако экспериментальные данные получены для макроскопической полосы. Альтернативным способом определения изгибной жесткости является решение задачи о деформировании монокристаллической полосы при ее изгибе в кольцо. Данная задача экспериментально решена в работах В.Я. Принца с коллегами [23-26]. Деформирование монокристаллической полосы, в данном случае в кольца, будет линейным по деформациям, но геометрически нелинейным по перемещениям, поэтому решение мо-
Рис. 4. Изгиб нанокристаллической полосы (цветной в онлайн-версии)
жет быть осуществлено методом молекулярной динамики [27]. Для моделирования системы 1пОаЛБ использовался потенциал в форме Терсофа [27] с набором констант, предложенных в [28]. Характерной особенностью данной параметризации является достаточно точное описание упругих свойств кристаллической решетки. Следуя результатам [29, 30], для моделирования взаимодействия с жертвенным слоем в процессе селективного травления в потенциальную энергию системы вводится внешний потенциал взаимодействия в виде
ж(Г, г) = к (г)(Г - тп )2,
где К() — линейно спадающая в процессе травления функция:
K (t) =
к о, t < t?
K0(t? + At -1)/At, t? < t < t? + At, 0, t? +At < t,
г/ — начало и Аг — продолжительность травления атомов жертвенного слоя под атомом с номером /. Уравнения движения интегрировались с помощью скоростной модификации схемы Верле. Атомы расположены в узлах кристаллической решетки типа алмаза с константой решетки аоаЛ8. Для расчета синтеза достаточно длинных нанотрубок применялись периодические граничные условия в направлении вдоль оси у. В процессе отслоения от подложки потенциальная энергия бинарного слоя уменьшается линейно со временем, а кинетическая энергия растет, причем ее рост приостанавливается в момент замыкания нанотрубки. Данная картина сворачивания нанотрубки имеет место при достаточно малой скорости отслоения гетерострукту-ры от подложки, при большей скорости отслоения
сворачивания бинарного слоя в нанотрубку не происходит. Следует заметить, что измерить с хорошей точностью радиус R образовавшейся нано-трубки достаточно просто. Проводя сравнение радиусов, полученных из расчетов и данных экспериментов, можно сделать выводы о наноструктур-ных параметрах, заложенных в математическую модель, описывающую данный процесс.
Используя результаты работы [31] и молеку-лярно-динамического расчета [29], вычислены радиусы кривизны образующейся нанотрубки Rei и Rmd, см. таблицу (Rexp — данные эксперимента [23], ML — monolayer).
Результаты расчетов и экспериментов расходятся достаточно сильно, что связано, на наш взгляд, с неудовлетворительной оценкой влияния свободных поверхностей в гетероструктуре. Учет свободной поверхности в рамках континуальной механики осуществляется введением поверхностной энергии, зависящей от площади свободной поверхности, что приводит к изменению плотности потенциала энергии [31]. В результате проведенных уточнений модели [31] удается расхождение данных модели и экспериментов для указанных в таблице гетерогенных структур довести до <5 %.
Таким образом, на основе проведенных молеку-лярно-динамических расчетов и сравнения с континуальными моделями расчет геометрических параметров нанотрубок с толщиной слоев более двух монослоев можно с достаточной точностью вы-
Таблица
Гетероструктура
2 ML GaAs + 1 ML Tn As
2 ML GaAs + 1 ML Tno xGao 2
Rel, нм
6 5
8 2
Rmd, нм
44
5 2
1 5
5 0
Т-ГЛ/
полнять в рамках теории упругости при условии корректного учета поверхностной энергии.
Существование однослойных нанотрубок, как показывают эксперименты, возможно только при необходимости учета моментного взаимодействия между атомами, в противном случае однослойная нанотрубка не имела бы изгибной жесткости и была бы неустойчивой. Учет моментного взаимодействия атомов на наноуровне проведен в работах [32-34]. Показано, что парное моментное взаимодействие атомов для механической модели, описывающей двумерную гексагональную кристаллическую решетку, будет устойчиво, и найдены критерии, связывающие основные физические параметры. Однако расчеты показывают, что она дает сильно заниженное отношение поперечной жесткости связей к продольной.
Известно, что нанотрубки могут подвергаться большим деформациям, не теряя при этом упругих свойств [35]. Используя эту гипотезу и теорию упругих оболочек, авторы работы [34] построили мо-ментную теорию изгиба монокристаллической полосы, что позволило сформулировать методику проведения эксперимента, на основе которого может быть найдено значение изгибной жесткости нанооболочки. В ряде работ [36-38] сделана попытка устранить отмеченные выше недостатки по определению эффективной жесткости. Исследовался трехмерный нанокристалл, обладающий гра-нецентрированной кубической решеткой. Упругие свойства данной кристаллической решетки анизотропны. Сравнение, проведенное по напряженно-деформированному состоянию для нанобруса и на-нопластины, дало неплохие результаты, при этом имеются качественные совпадения.
В связи с интенсивным развитием вычислительной техники существенно расширились возможности дискретных подходов описания механического поведения твердых тел. Одним из таких подходов, основанных на первых принципах, является метод молекулярной динамики, позволяющий с помощью задания потенциала межатомного взаимодействия описывать различные физико-механические эффекты, сопровождающие деформирование твердых тел. При этом, чтобы провести численный эксперимент, необходимо задать потенциал взаимодействия, описывающий конкретный материал, и начальные и граничные условия, от которых существенно зависит конкретный результат [39-42]. Показано, что использование потенциала Леннарда-Джонса и его модификации дает
приемлемые результаты по модулю сдвига и модулю Юнга для меди и алюминия.
Заканчивая данный раздел, необходимо остановиться на важном вопросе, а что такое наночасти-ца? Прямого ответа на этот поставленный вопрос в современной литературе нет, хотя некоторые рассуждения имеются. Мы считаем, что этот вопрос будет интересен, т. к. конструктивное определение понятия нанообъекта позволит более строго подойти к математическому описанию его напряженно-деформированного состояния. В зависимости от способа определения размера нанообъекта его механические характеристики могут изменяться в несколько раз. При уменьшении размера нанообъ-екта доля поверхности существенно увеличивается и в некоторых случаях, для особо тонких кристаллов, где все атомы находятся на поверхности, поверхностные напряжения ответственны за упругие модули материала. Как показано в работе [43], учет только поверхностных явлений недостаточен для описания масштабного эффекта, присущего наноструктурам. Попытка получить универсальный линейный наномасштаб сделана в работах [44, 45], где на основе теории подобия и размерности в масштабах кристаллической решетки становятся существенными квантовые эффекты из трех управляющих параметров (р — плотность, Е — модуль Юнга и к — постоянная Планка) и можно составить единственную величину размерности длины
(
Х =
h
\V4
49е,
1/4
где с — скорость распространения продольных волн.
Анализ величины X для 27 различных веществ показал, что среднее значение равно X « 0.071 ± 0.016 нм, а если ввести безразмерный параметр подобия Р = г0/Х, где г0 — наименьшее расстояние между атомами в кристаллической решетке, то среднее значение равно Р « 3.13 ± 0.48.
Проведенные оценки в [44] позволяют сделать вывод, что параметр X универсален и его значение одинаково для всех кристаллических структур и равно 0.1 нм.
Масштаб X является пороговым размером, начиная с которого становятся существенными квантовые эффекты и модели механики сплошной среды для описания напряженно-деформированного состояния нанообъекта не должны применяться.
3. Экспериментальные методы определения механических свойств наноструктур
На сегодняшний день не разработан полный комплекс стандартов механических испытаний для нанообъектов. Тем не менее современные экспериментальные установки и технические приборы позволяют разрабатывать методики механических испытаний и определять те или иные физические свойства наноразмерных объектов, среди которых можно выделить основные: наноиндентирование, атомно-силовую микроскопию, определение частоты колебаний, растяжение-сжатие в просвечивающем электронном микроскопе.
3.1. Наноиндентирование
Наиболее распространенным методом определения механических свойств таких нанообъектов, как нанопленки, наночастицы и нановолокна, является наноиндентирование [46]. Под наноинден-тированием понимают совокупность методов ин-дентирования, применимых для малых объемов. Сущность данного метода для определения модуля упругости материала заключается в построении диаграммы усилия, прикладываемого к индентору, и глубины вдавливания индентора. Полученная экспериментальная зависимость моделируется решением Снеддона [47] с учетом упругой деформации индентора. Реализация этого метода описана в работе Оливера и Фарра [48] и принята за стандарт испытаний [49] (рис. 5).
Твердость H образца рассчитывается как отношение максимальной приложенной нагрузки Pmax к площади отпечатка A:
P
H — max
A '
Связь между площадью и глубиной отпечатка определена как A(h) = ahc2, где a — коэффициент, зависящий от формы и глубины вдавливания ин-дентора, а контактная глубина связана с прикладываемой нагрузкой соотношением
P
h — h -R-mx
flc max H '
s
где R — коэффициент формы индентора; s = dP/dh — угол наклона кривой разгрузки. Приве-
^ J-r*
денный модуль упругости E определяется по формуле
E* — s п
— 2 V A'
С учетом упругих постоянных индентора име-
Рис. 5. Отпечаток индентора на поверхности испытываемого образца (а) и фиксируемая диаграмма сила-глубина вдавливания (б) (цветной в онлайн-версии)
1
1 -V2 1 -V2 - +
(5)
ем
E E E ' где v, E и Vi, Ei — коэффициенты Пуассона и модули Юнга испытываемого материала и индентора соответственно. Измерение твердости материала как наиболее простой метод оценки механических свойств широко применяется в промышленных и лабораторных предприятиях. Использование небольших нагрузок вдавливания индентора и повышение точности измерения отпечатка дали возможность оценивать свойства в микродиапазоне [50-52]. Так, например, в работе [53] показан переход от значений макротвердости к значениям микротвердости. Метод микроиндентирования дал возможность оценивать локальные механические характеристики для гетерогенных материалов. Дальнейший прогресс в разработке приборов и методов для индентирования позволяет прикладывать сверхмалые нагрузки, оценивать нанометровое измерение перемещения, обеспечивать точность позиционирования образца [54]. В современных наноин-денторах используются алмазные наконечники индентора в виде четырехгранной пирамиды с радиусом закругления 10-200 нм. Нагрузка P max, прикладываемая к образцу, может составлять всего
Твердость по шкале Мартенса
Рис. 6. Диапазон усилий и глубин вдавливания, применяемый для различных методик индентирования
10-11 Н, а измеряемая площадь А может составлять менее 100 нм2 [46].
Как видно из рис. 6, область, соответствующая нанодиапазону измерений, хорошо пригодна для мягких материалов, таких как резина, пластмасса и цветные металлы. Для наноиндентирования стали и твердых сплавов, а также керамики измерение площади и глубины отпечатка требует большей аккуратности из-за возрастающих требований к оценке величины усилия и глубины индентирования. Многие исследователи отметили тенденцию материалов демонстрировать высокие значения твердости и модуля упругости при уменьшении глубины вдавливания индентора [46]. Данный феномен получил название размерный эффект [55] и связан с необходимостью определения корректной оценки площади отпечатка, учета эффекта упрочнения материала при преодолении предела пластичности, оценки скорости деформации материала. Особенности наноиндентирования связаны с предельными режимами работы определения кривой нагрузка-перемещение, высокими требованиями к точности исполнения формы индентора, радиуса закругления и геометрии наконечника индентора [56], возникновения «прилипания» материала образца к индентору из-за статических сил. Неучет всех этих поправок приводит к завышенным значениям модуля упругости.
Как отмечается в работах [52, 57], сопротивляемость малых объемов материала пластическим деформациям выше, чем для больших объемов вытесняемого материала. На практике затруднительно разделить упругую и пластическую деформацию при индентировании. В случае упругого материала образуется прогиб всей поверхности отпечатка по контуру, а в случае пластичного материала — выдавливание материала в навалы по краям. В работе [52] показано, что эффект становится су-
щественным, когда отношение остаточной глубины отпечатка индентора и максимальной глубины вдавливания больше 0.7.
При измерении упругих свойств нанообъектов радиус закругления индентора становится сопоставим с характерным размером исследуемого образца (толщина пленки, диаметр наночастиц и т.д.), подход Оливера-Фарра не может в полной мере описать деформационные процессы. Тем не менее разделить размерный эффект, вносимый используемым методом инструментального индентирования, и эффект изменения механических свойств исследуемых материалов с уменьшением характерного размера на практике крайне затруднительно. Поэтому для использования методики Оливера-Фарра характерный размер образцов должен быть в 10 раз больше отпечатка индентора. Другим вероятным подходом при инструментальном нано-индентировании является анализ экспериментальной кривой индентирования с помощью других решений.
3.2. Атомно-силовая микроскопия
Одним из широко используемых подходов к определению механических свойств нанообъектов являются методы атомно-силовой микроскопии. В то время как в колебательном режиме удается построить рельеф поверхности с атомным разрешением, контактные режимы атомно-силовой микроскопии предназначены для определения механических характеристик поверхности образца. Расчет модуля упругости может осуществляться по методике Оливера-Фарра, как и при инструментальном наноиндентировании. При этом на данных масштабах необходимо учитывать силы Ван-дер-Ва-альса, адгезионные и капиллярные силы. Модели, позволяющие описывать контактное взаимодействие наконечника кантилевера с образцом, учитывают работу адгезионного взаимодействия Ж, как показано на рис. 7.
Поэтому при условии точного значения упругих постоянных кантилевера для каждого значения нагрузки можно вычислить жесткость образца. Однако для того чтобы связать жесткость образца с модулем упругости, нужно знать радиус контакта, а следовательно, деформации образца. Это невозможно, т.к. деформация также зависит от поверхностной энергии Ж, а при выводе силы отталкивания необходимо иметь значения модуля Юнга, т.е. величину, которую нужно определить экспериментально. Достаточно точные значения Е по формуле (6) могут быть получены при условии,
Рис. 7. Схема работы атомно-силового микроскопа (цветной в онлайн-версии)
что исследуемые материалы или экспериментальные условия приближаются к пределу Герца-Снед-дона, и поэтому величина модуля Юнга обычно получена из высоконагруженной части кривой нагрузки с целью исключения влияния поверхностных энергий. В работах [58-60] представлены модели, учитывающие адгезию, а в работах [61, 62] определены границы применимости той или иной модели в зависимости от свойств материала, номера элемента, поверхностной энергии и параметров индентирования. Атомно-силовая микроскопия применима для материалов, упругие модули которых меньше модулей кремниевого индентора. В работе [63] выполнен расчет приведенного модуля упругости для широкого класса полимерных материалов согласно методике Оливера-Фарра и получено хорошее совпадение с табличными данными. В работе [64] построена зависимость модуля упругости от толщины стенки полых кремниевых микросфер.
3.3. Определение частоты колебаний
Кантилевер атомно-силовой микроскопии может быть использован для возбуждения колебаний для свободно опертой балки с поперечными размерами менее 100 нм [65]. Внешнее электрическое поле прикладывается между держателем образца и наконечником кантилевера, индуцируя колебания в зависимости от сил поляризации, действующих на кантилевер. Изменяя частоту электрического поля и интенсивность, возможно охарактеризовать спектр резонансных частот, когда кантилевер не касается образца. При контакте кантилевера с образцом резонансные частоты смещаются в соответствии с частотами балки. Такой метод может
быть использован для измерения модуля Юнга. В работе [65] проведены измерения резонансным методом модуля Юнга нанотрубок поликарбоната диаметром от 30 до 250 нм. Нанотрубки были осаждены на пористую поверхность полиэтилена с диаметром пор от 0.8 до 3 мкм. С помощью оптического микроскопа определялись участки, где на-нотрубка лежала над порой. Показано, что модуль Юнга возрастает на два порядка в измеряемом диапазоне диаметров нанотрубок. Авторами работ по акустической атомно-силовой микроскопии отмечены и недостатки метода. Неточности в измерении массы образца и кантилевера из-за адсорбции влаги на поверхности, вызывающий смещения по пикам частот. Кроме того, при моделировании колебаний балки необходимо иметь четкое представление о граничных условиях. В работах [65-67] нанотрубки не были закреплены на полимере, при этом граничные условия при решении уравнения о колебаниях балки рассматривались как свободные, так и жестко защемленные. Экспериментальные данные лучше описывались решением о колебаниях балки с жестко защемленными краями.
3.4. Одноосное нагружение в наномасштабе
Сочетание высокоточных систем измерения нагрузок и перемещений дает возможность разработки различных методов механических испытаний на наномасштабе. Реализуя напряженно-деформированное состояние в образце, атомно-силовой микроскоп или наноиндентор используется как испытательная машина, фиксирующая диаграмму «напряжение - деформация». В совокупности с современными методами подготовки образцов для наномеханических испытаний и визуализацией в наномасштабе наноиндентирование и атомно-си-ловая микроскопия дают возможность проводить испытания образцов на одноосное сжатие и растяжение, трехточечный изгиб или кручение.
Так, например, реализация сжатия наночастиц на подложке с помощью наноиндентора с достаточно большим радиусом закругления описана в [67-71]. Радиус закругления индентора был много больше радиуса частицы Я >> г (рис. 8). С помощью атомно-силовой микроскопии в полуконтактном режиме определены форма и размер наноча-стиц, а затем, используя наноиндентор, выполнено одноосное нагружение частиц. Затем с помощью кантилевера измерены форма и размеры деформированных частиц. Для оценки модуля упругости аналитически решались две задачи: сжатие цилиндра высотой и диаметром 2г между двумя жестки-
2 г
Рис. 8. Схема одноосного сжатия для наночастицы с помощью сферического индентора с большим радиусом закругления: модель для нижней оценки модуля Юнга (а), модель для верхней оценки (б) (цветной в онлайн-версии)
ми плоскостями. Для нижней оценки наночастица представлялась в виде цилиндра, лежащего на образующей, а при больших деформациях наноча-стица становится бочкообразной и представляется в виде цилиндра, сжатого между двумя плитами, как показано на рис. 8.
Деформация образца определялась как
h - h „и _ "max nc
8 E - ~ .
2r
Для нижней и верхней оценки модуля Юнга имеем
E- - ЗРМ2, eupp -J2*-. (6)
4пггиЕ 3л2 a8uE
Даже по нижней оценке рассматриваемые наноча-стицы показали рост модуля Юнга при уменьшении диаметра частиц: для диоксида кремния со 100 до 40 нм в 3 раза, для частиц оксида титана со 150 до 35 нм в 2.5 раза.
Использование фокусированного пучка ионов в совокупности со сканирующим электронным микроскопом дает возможность подготовки столбиков из интересующей части образца для последующего нагружения. Таким образом, можно избирательно испытывать фазы гетерогенного материала: включения, неоднородности, кристаллы [72-75]. Большое количество исследователей отмечают изменение предела прочности с уменьшением диаметра столбика, однако данные по упругому модулю приведены как для объемного материала. В то же время исследователи подчеркивают трудности при проведении испытаний на сжатие для реализации одноосного напряженного состояния. Для макроиспытаний цилиндров на сжатие зачастую обеспечивают свободное смещение торцов цилиндра, покрывая места контакта образца со сжимающими
пластинами смазкой. В представленных испытаниях столбиков после ионного травления образец жестко закреплен на подложке с одной стороны, тем самым отсутствует поперечная деформация в месте контакта.
Для реализации одноосного растяжения серебряных нановолокон в работе [76] использовали кантилевер атомно-силового микроскопа, установленный в камере сканирующего электронного микроскопа. Сила прикладывалась с помощью микроманипулятора, а усилие оценивалось по изгибу кантилевера. Длина образцов составляла от 3 до 5 мкм. Перемещение оценивалось с помощью детектора сканирующего электронного микроскопа. Показано, что модуль упругости нановолокон при диаметре большем 80 нм соответствует модулю объемного материала. При уменьшении диаметра с 80 до 35 нм модуль возрастает в 2 раза. В работе [77] приведены оригинальные микроэлектромеханические системы, которые могут быть установлены в камеру сканирующего электронного микроскопа для приложения нагрузки к образцу. Перемещение образца контролируется с помощью цифровой корреляции изображения. В такой постановке модуль Юнга образца размерами 810 х 13 х 0.1 мкм соответствовал модулю объемного материала.
Использование просвечивающего электронного микроскопа может позволить провести измерение перемещения между атомами, что реализовано в работе [78] для образцов кремния, которые выращены между наконечником кантилевера атомно-силовой микроскопии и подложкой. Размеры сечения образца составляли менее 10 нм, а измеренный модуль 20 ГПа, что меньше модуля объемного материала. Приведенные эксперименты требу-
ют высочайшей точности, крайне трудоемки и требуют уникальных комплексов по пробоподготов-ке, закреплению образцов, тщательному измерению сил и перемещений. Проведенные эксперименты позволяют получить только одну из двух упругих констант материала.
4. Экспериментально-теоретические подходы
Как показали вышеприведенные исследования, до сих пор нет четко поставленных методик определения модуля Юнга Е и коэффициента Пуассона V наноструктур. Все существующие способы имеют целый ряд недостатков, на которые указано в первых двух разделах. Прямое экспериментальное измерение упругих характеристик наноструктур является технически сложной, а в некоторых случаях невыполнимой задачей. Чисто вычислительные методы также не дают необходимых для практики результатов. Поэтому в последнее время стали предприниматься попытки сочетать теоретические методы с экспериментальными. В работе [79] все способы определения механических свойств наноструктур условно представлены в виде схемы, которую упрощенно можно описать следующим образом:
- выбирается задача (или образец) для исследования;
- экспериментально определяются некоторые, в зависимости от выбранного метода, механические характеристики наноструктуры, например наноин-дентирование (методика Оливера-Фарра) или методы с применением атомно-силовой микроскопии
и др.;
- решается данная задача на основе методов компьютерного моделирования;
- формируется итерационный процесс по совпадению данных экспериментов и расчетов, что позволяет уточнить механические характеристики нанообъекта, заложенные в компьютерные коды.
Результаты этого способа опубликованы [7988] и оформлены в виде патентов [90, 91]. Проведенные исследования [79-91] не позволяют прийти к однозначному заключению о влиянии размеров наночастиц на их механические характеристики, для разных материалов они имеют противоположные результаты. Это еще раз говорит о том, что физика этого явления пока не выяснена.
Существует еще один подход к определению механических характеристик нанообъектов, основанный на классическом подходе, который с успехом используется в классической теории упругости, где используются стандартные образцы на од-
номерное растяжение, сжатие, кручение и др. Для этой цели используют гетерогенный материал, состоящий из нанофазы и связующего с заданными объемными или массовыми концентрациями т;, при этом считается, что механические характеристики фаз А; и известны, где А и д — параметры Ламе, ; = 1, 2. В данном случае для простоты рассматриваем две фазы. Таким образом, мы имеем гетерогенную систему и для простоты ее исследования, как принято в современной литературе, с помощью методов осреднения сведем ее к гомогенной с новыми параметрами Ламе А = /¡(Аг-, , тЛ) и Д = /2(А;, , mi). Для гомогенной среды с параметрами А, Д изготавливаются стандартные образцы для классических экспериментов. Таким образом, будем иметь два уравнения
а = /1(х1, д, т х д = /2(А1, д, т X; =1 2
из которых могут быть определены А1, д1, т.к. параметры А2, д2 и концентрации т1, т2 известны, А, Д определены из данных экспериментов, а т1 + т2 = 1 по определению. Следует заметить, что близкая идея такого подхода была впервые высказана в работе А.Н. Дремина и И. А. Карпухина [92]. Составляется однородная монолитная смесь из двух веществ, вещества с известной ударной адиабатой 1 и исследуемого вещества 2. В этом случае для плотности смеси р12 имеем соотношение
И12 _ N ' у >
ХР2 + (1 - х)р1 где р1 — плотность вещества с известной адиабатой; р2 — плотность исследуемого вещества; х — концентрация компонента с известной ударной адиабатой. Соотношение (9) справедливо при любой степени сжатия с учетом сжимаемости фаз.
Очевидно, что за фронтом ударной волны давление Р в обеих фазах будет одинаковым. По давлению Р рассчитывается плотность ударного сжатия первой фазы, т.к. его ударная адиабата предполагается известной. Измеряя плотность ударного сжатия смеси р12, можно по выражению (9) вычислить р2. Проведенные экспериментальные данные и расчеты для смеси (парафин + кварц), (парафин + мрамор) дали хорошие результаты, соответствующие физике изучаемого явления.
Данная идея была обобщена для получения механических характеристик (параметров Ламе) для наноматериалов, входящих в различные гетерогенные материалы [93, 94]. В целом, предложенный метод определения упругих характеристик
наночастиц через модели гомогенизации позволяет определять значения упругих характеристик на-номатериалов в зависимости от размера на основе экспериментальных данных. Установлено, что для нанопорошков одного типа, таркосил или аэросил, с уменьшением среднего размера наночастиц параметры Ламе X и ц возрастают.
5. Заключение
Разработка и промышленное внедрение конструкционных нанокристаллических материалов представляют собой обширную область современного материаловедения. Производство новых нанопродуктов требует новых средств для их использования, аттестации и стандартизации, чтобы их осмысленно использовать в конструкциях. Как показал приведенный анализ современной литературы, в определении механических характеристик остается еще много нерешенных вопросов:
- определение конструктивного понятия нано-частицы в механике;
- критериальные пределы применения математических моделей механики сплошных сред для описания напряженно-деформированного состояния наночастиц;
- определение причинно-следственных связей изменения механических свойств наночастиц при изменении их размера;
- создание теории, которая позволит обобщить существующие различные взгляды на механику деформирования наноматериалов.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 1911-50040.
Литература
1. Goldstein R.V., Morozov N.F. Mechanics of deformation and fracture of nanomaterials and nanotechnology ff Phys. Mesomech. - 2007. - V. 10. - No. 5-6. -P. 2З5-246.
2. Hall E.O. The deformation and ageing of mild steel: II. Characteristics of the Lüders deformation ff Proc. Phys. Soc. B. - 1951. - V. 64. - No. 9. - P. 742-747.
3. Petch N.J. The cleavage strength of polycrystals ff J. Iron Steel Inst. - 195З. - V. 174. - P. 25-28.
4. Koch C.C., Ovid'ko I.A., Seal S., Veprek S. Structural Nanocrystalline Materials. - Cambridge: Cambridge University Press, 2007.
5. Головин Ю.И., Дуб С.Н., Иволгин В.И., Корен-ков В.В., Тюрин А.И. Кинетические особенности деформации твердых тел в нано- и микрообъемах ff ФТТ. - 2005. - Т. 47. - № 6. - С. 961-97З.
6. Malygin G.A. Strength and plasticity of nanocrystalline materials and nanosized crystals // Phys.-Usp. - 2011. -V. 54. - No. 11. - P. 1091-1116.
7. Малыгин Г.А. Пластичность и прочность микро- и нанокристаллических материалов (обзор) // ФТТ. -2007. - Т. 49. - № 6. - С. 961-982.
8. Andrievski R.A., Glezer A.M. Strength of nanostruc-tures // Phys.-Usp. - 2009. - V. 52. - No. 4. - P. 315334.
9. Глезер А.М. Структурная классификация наномате-риалов // Деформация и разрушение материалов. -2010. - № 2. - C. 1-8.
10. Kozlov G.V. Structure and properties of particulate-filled polymer nanocomposites // Phys.-Usp. - 2015. -V. 58. - No. 1. - P. 33-60.
11. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. - М.: Наука, 1966.
12. Трунин Р.Ф. ИФВ на страницах УФН: сборник статей. - Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2012.
13. Кустов Е.Ф., Кустов М.Е., Мирошниченко А.Ю., Шеметова В.К. Упругость твердых тел в модели двойного слоя // Вестник МЭИ. - 2013. - № 5. -С. 162-168.
14. Кустов Е.Ф., Кустов Д.М., Антонов В.А. Об идеальной и реальной прочности твердых тел // Инженерная физика. - 2018. - № 2. - C. 21-24.
15. Кустов Е.Ф., Кустов М.Е. Поверхностное натяжение расплавов неорганических веществ // Вестник МЭИ. - 2013. - № 4. - С. 216-221.
16. Кустов М.Е., Солинов В.Ф. Модуль упругости и предел прочности неорганических веществ // Изв. академии инженерных наук им. А.М. Прохорова. -2013. - № 3. - С. 19-25.
17. Кустов М.Е. Поверхностное натяжение и адгезия неорганических веществ // Изв. академии инж. наук им. А.М. Прохорова. - 2013. - № 3. - С. 93-105.
18. Кривцов А.М., Морозов Н.Ф. Аномалии механических характеристик наноразмерных объектов // ДАН. - 2001. - Т. 381. - № 3. - С. 345-347.
19. Кривцов А.М., Морозов Н.Ф. О механических характеристиках наноразмерных объектов // ФТТ. -2002. - Т. 44. - № 12. - С. 2158.
20. Головнев И.Ф., Головнева Е.И., Конев А.А., Фомин В. М. Физическая мезомеханика и молекулярно-динамическое моделирование // Физ. мезомех. -1998. - Т. 1. - № 2. - С. 21-33.
21. Головнева Е.И., Головнев И.Ф., Фомин В.М. Моле-кулярно-динамический анализ динамического разрушения наноструктур // Физ. мезомех. - 2003. -Т. 6. - № 2. - С. 37-46.
22. Кривцов А., Морозов Н.Ф., Иванова Е.А. Особенности расчета изгибной жесткости нанокристаллов // ДАН. - 2002. - Т. 385. - № 4. - С. 494-496.
23. Prinz V.Y., Seleznev V.A., Gutakovsky A.K., Chehos-kiyA.V., Probrazhenskii V.V., Putyato M.A., Gavrilo-va T.A. Free-standing and overgrown InGaAs/GaAs na-
notubes, nanohelices and their arrays // Phys. E. Low-Dimensional Syst. Nanostructures. - 2000. - V. 6. -No. 1. - P. 828-831.
24. Prinz V.Y., Grutzmacher D, Beyer A., David C. Kette-rer B., Deckardt E. A new technique for fabricating three-dimensional micro- and nanostructures of various shapes // Nanotechnology. - 2001. - V. 12. - No. 4. -P. 399-402.
25. Golod S.V., Prinz V.Ya., Mashanov V.I., Gutakovs-kyA.K. Fabrication of conducting GeSi/Si micro- and nanotubes and helical microcoils // Semicond. Sci. Technol. - 2001. - V. 16. - No. 3. - P. 181-185.
26. Vorob'ev A.B., Prinz V.Y. Directional rolling of strained heterofilms // Semicond. Sci. Technol. -
2002. - V. 17. - No. 6. - P. 614-616.
27. Tersoff J. Modeling solid-state chemistry: Interatomic potentials for multicomponent systems // Phys. Rev. B. - 1989. - V. 39. - No. 8. - P. 5566-5568.
28. Nordlund K., Nord J., Frantz J., Keinonen J. Strain-induced Kirkendall mixing at semiconductor interfaces // Comput. Mater. Sci. - 2000. - V. 18. - No. 3-4. -P. 283-294.
29. Bolesta A.V., Golovnev I.F., Fomin V.M. Molecular dynamics simulations of InGaAs/GaAs nanotubes synthesis // Физ. мезомех. - 2004. - Т. 7. - Спец. вып. - Ч. 2. - С. 8-10.
30. Bolesta A.V., Golovnev I.F., Fomin V.M. In GaAs/GaAs nanotubes simulation: Comparison between continual and molecular dynamics approaches // Comput. Mater. Sci. - 2006. - V. 36. - No. 1-2. - P. 147-151.
31. Морозов Н.Ф., Семенов Б.Н., Товстик П.Е. Моделирование методами механики сплошных сред процесса формирования нанообъектов // Физ. мезомех. - 2002. - Т. 5. - № 3. - С. 5-8.
32. Иванова Е.А., Кривцов А.М., Морозов Н.Ф., Фир-сова А.Д. Учет моментного взаимодействия при расчете изгибной жесткости наноструктур // ДАН. -
2003. - Т. 391. - № 6. - С. 764-768.
33. Беринский И.Е., Иванова Е.А., Кривцов А.М., Морозов Н. Ф. Применение моментного взаимодействия к построению устойчивой модели кристаллической решетки графита // МТТ. - 2007. - № 5. - С. 6-16.
34. Иванова Е.А., Морозов Н.Ф., Семенов Б.Н., Фирсо-ва А.Д. Об определении упругих модулей наноструктур: теоретические расчеты и методика экспериментов // Изв. РАН. МТТ. - 2005. - № 4. - С. 7585.
35. Kizuka T. Direct atomistic observation of deformation in multiwalled carbon nanotubes // Phys. Rev. B. Condens. Matter Mater. Phys. - 1999. - V. 59. -No. 7. - P. 4646-4649.
36. Еремеев В.А., Морозов Н.Ф. Об эффективной жесткости нанопористого стержня // ДАН. - 2010. -Т. 432. - № 4. - С. 473-476.
37. Лобода О.С., Кривцов А.М. Влияние масштабного фактора на модули упругости трехмерного нано-кристалла // МТТ. - 2005. - № 4. - С. 27-41.
38. Golovneva E.I., Golovnev I.F., Fomin V.M. Research of nanoclusters size effect on the molecular-dynamic modeling results // Физ. мезомех. - 2004. - Т. 7. -Спец. вып. - Ч. 2. - С. 11-13.
39. Зубко И.Ю., Трусов П.В. Определение упругих постоянных ГЦК-монокристаллов с помощью потенциала межатомного взаимодействия // Вестник Пермского университета. Физика. - 2011. - Т. 17. -№ 2. - С. 147-169.
40. Сандитов Д.С. Поперечная деформация и нелинейность силы межатомного взаимодействия твердых тел // ДАН. - 2019. - Т. 486. - № 1. - С. 34-38.
41. Галашев А.Е., Полухин В.А., Измоденов И.А., Гала-шева О.А. Упругие свойства и устойчивость кристаллических наночастиц кремния. Компьютерный эксперимент // Поверхность. Рентгеновские, синх-ротронные и нейтронные исследования. - 2007. -№ 10. - С. 60-67.
42. Уткин А.В., Фомин В.М. Молекулярно-динамичес-кое определение объемного модуля упругости для кремния и карбида кремния // ДАН. Физика, технические науки. - 2020. - Т. 492. - № 1. - С. 68-72.
43. Кривцов А.М., Морозов Н.Ф. Две причины появления масштабного фактора при описании механических свойств наноструктур // Проблемы механики. - М.: Физматлит, 2003. - С. 485-488.
44. Баренблатт Г.И., Голицын Г.С., Еремин Н.Н., Урусов В.С. Универсальность линейного наномасштаба // ДАН. - 2014. - Т. 458. - № 5. - С. 528-530.
45. Баренблатт Г.И., Монтейро П. Законы скейлинга в наномеханике // Физ. мезомех. - 2010. - Т. 13. -№ 5. - С. 41-45.
46. Головин Ю.И. Наноиндентирование и еш возможности. - М.: Машиностроение, 2009.
47. Sneddon I.N. The relation between load and penetration in the axisymmetric Boussinesq problem for a punch of arbitrary profile // Int. J. Eng. Sci. Pergamon. - 1965. -V. 3. - No. 1. - P. 47-57.
48. Oliver W.C., Pharr G.M. An improved technique for determining hardness and elastic modulus using load and displacement sensing indentation experiments // J. Mater. Res. - 1992. - V. 7. - No. 6. - P. 1564-1583.
49. ГОСТ Р 8.748-2011. Металлы и сплавы. Измерение твердости и других характеристик материалов при инструментальном индентировании.
50. Федосов С.А., Пешек Л. Определение механических свойств материалов микроиндентированием. - М.: Физический факультет, 2004.
51. Булычев С.И., Алехин В.П. Испытание материалов непрерывным вдавливанием индентора. - М.: Машиностроение, 1990.
52. Pharr G.M. Measurement of mechanical properties by ultra-low load indentation // Mater. Sci. Eng. A. -1998. - V. 253. - No. 1-2. - P. 151-159.
53. Адаскин А.М., Сапронов И.Ю. Взаимосвязь макро-и микротвердости материалов при индентировании
пирамидой Виккерса // Упрочняющие покрытия. -2018. - № 11. - С. 489-495.
54. Усеинов С., Соловьев В., Гоголинский К., Усеи-нов А., Львова Н. Измерение механических свойств материалов с нанометровым пространственным разрешением // Наноиндустрия. - 2010. - Т. 2. - С. 30-35.
55. Diez-Pascual A.M., Gomez-Fatou M.A., Ania F., Flores A. Nanoindentation in polymer nanocomposites // Prog. Mater. Sci. - 2015. - V. 67. - P. 1-94.
56. Poon B., Rittel D., Ravichandran G. An analysis of nanoindentation in linearly elastic solids // Int. J. Solids Struct. - 2008. - V. 45. - No. 24. - P. 6018-6033.
57. Гольдштейн Р.В. Механика микро- и наноструктур. Наноиндентирование. - М.: МПК, 2011.
58. Derjaguin B.V., Muller V.M., Toporov Y.P. Effect of contact deformation on the adhesion of elastic solids // J. Colloid Interface Sci. - 1975. - V. 53. - No. 2. -P. 314-326.
59. Maugis D. Adhesion of spheres: The JKR-DMT transition using a Dugdale model // J. Colloid Interface Sci. - 1992. - V. 150. - No. 1. - P. 243-269.
60. Johnson K.L., Kendall K., Roberts A.D. Surface energy and the contact of elastic solids // Proc. R. Soc. London. A. Math. Phys. Sci. - 1971. - V. 324. -No. 1558. - P. 301-313.
61. Cappella B., Dietler G. Force-distance curves by atomic force microscopy // Surf. Sci. Rep. - 1999. -V. 34. - P. 1-104.
62. Butt H.J., Cappella B., Kappl M. Force measurements with the atomic force microscope: Technique, interpretation and applications // Surf. Sci. Rep. - 2005. -V. 59. - No. 1-6. - P. 1-152.
63. Jee A.Y., Lee M. Comparative analysis on the nanoin-dentation of polymers using atomic force microscopy // Polym. Test. - 2010. - V. 29. - No. 1. - P. 95-99.
64. Wang Y., Dou S., Shang L., Zhang P., Yan X.,Zhang K., Zhao J., Li Y. Effects of microsphere size on the mechanical properties of photonic crystals // Crystals. 2018. - V. 8. - No. 12. - P. 1-11.
65. Cuenot S., Fretigny C., Demoustier-Champagne S., Ny-sten B. Measurement of elastic modulus of nanotubes by resonant contact atomic force microscopy // J. Appl. Phys. - 2003. - V. 93. - No. 9. - P. 5650-5655.
66. Nysten B., Fretigny C., Cuenot S. Elastic Modulus of Nanomaterials: Resonant Contact-AFM Measurement and Reduced-Size Effects (Invited Paper) // Testing, Reliability, and Application of Micro- and Nano-Mate-rial Systems III / Ed. by R.E. Geer et al. - 2005. -V. 5766. - P. 78.
67. Beilstein J., Maharaj D., Bhushan B. Scale effects of nanomechanical properties and deformation behavior of Au nanoparticle and thin film using depth sensing nanoindentation // Nanotechnology. - 2014. - V. 5. -No. 1. - P. 822-836.
68. Mook W.M., Nowak J.D., Perrey C.R., Carter C.B., Mukherjee R., Girshick S.L., McMurry P.H., Gerberich W.W. Compressive stress effects on nanoparticle
modulus and fracture // Phys. Rev. B. Condens. Matter Mater. Phys. - 2007. - V. 75. - No. 21. - P. 1-10.
69. Gerberich W.W., Mook W.M., Perrey C.R., Carter C.B., Baskes M.I., Mukherjee R., Gidwani A., Heberlein J., McMurry P.H., Girshick S.L. Superhard silicon nanospheres // J. Mech. Phys. Solids. - 2003. -V. 51. - No. 6. - P. 979-992.
70. Mordehai D., Kazakevich M., Srolovitz D.J., Rabkin E. Nanoindentation size effect in single-crystal nanopar-ticles and thin films: A comparative experimental and simulation study // Acta Mater. Inc. - 2011. - V. 59. -No. 6. - P. 2309-2321.
71. Nowak J.D., Mook W.M., Minor A.M., Gerberich W.W., Carter C.B. Fracturing a nanoparticle // Philos. Mag. -2007. - V. 87. - No. 1. - P. 29-37.
72. Taloni A., Vodret M., Costantini G., Zapperi S. Size effects on the fracture of microscale and nanoscale materials // Nat. Rev. Mater. - 2018. - V. 3. - No. 7. -P. 211-224.
73. Jang D., Gross C.T., Greer J.R. Effects of size on the strength and deformation mechanism in Zr-based metallic glasses // Int. J. Plasticity. - 2011. - V. 27. -No. 6. - P. 858-867.
74. Dimiduk D.M., Uchic M.D., Parthasarathy T.A. Size-affected single-slip behavior of pure nickel microcrys-tals // Acta Mater. - 2005. - V. 53. - No. 15. -P. 4065-4077.
75. Chen C.Q., Pei Y.T., De Hosson J.T.M. Effects of size on the mechanical response of metallic glasses investigated through in situ TEM bending and compression experiments // Acta Mater. - 2010. - V. 58. - No. 1. -P. 189-200.
76. Zhu Y., Qin Q., Xu F., Fan F., Ding Y., Zhang T., Wiley B.J., Wag Z.L. Size effects on elasticity, yielding, and fracture of silver nanowires: In situ experiments // Phys. Rev. B. - 2012. - V. 85. - No. 4. - P. 045443.
77. Han J.H., Saif M.T.A. In situ microtensile stage for electromechanical characterization of nanoscale freestanding films // Rev. Sci. Instrum. - 2006. - V. 77. -No. 4. - P. 045102.
78. Kizuka T., Takatani Y., Asaka K., Yoshizaki R. Measurements of the atomistic mechanics of single crystalline silicon wires of nanometer width // Phys. Rev. B. -2005. - V. 72. - No. 3. - P. 035333.
79. Шушков А.А., Вахрушев А.В. Методы определения механических свойств наноструктур // Химическая физика и мезоскопия. - 2018. - Т. 20. - № 1. -С. 57-71.
80. Вахрушев А.В., Вахрушева Л.Л., Шушков А.А. Численный анализ изменения модуля упругости кристаллических наночастиц металлов под действием разных типов нагрузки // Изв. ТулГУ. Естеств. науки. - 2011. - № 3. - С. 137-150.
81. Вахрушев АЛ., Федотов А.Ю., Шушков А.А., Шуш-ков А. В. Моделирование формирования наночастиц металлов, исследование структурных, физико-механических свойств наночастиц и нанокомпозитов //
Изв. ТулГУ. Естеств. науки. - 2011. - № 2. - С. 241253.
82. Андриевский Р.А., Калинников Г.В., Hellgren N., Sandstorm P., Штанский Д.В. Наноиндентирование и деформационные характеристики наноструктурных боридонитридных пленок // ФТТ. - 2000. - Т. 42. -№ 9. - С. 1624-1627.
83. Гоголинский К.В. Средства и методы контроля геометрических параметров и механических свойств твердых тел с микро- и нанометровым пространственным разрешением. - 2015.
84. Вахрушев А.В., Шушков А.А. Методика расчета упругих параметров наноэлементов // Химическая физика и мезоскопия. - 2007. - Т. 7. - № 3. -С. 277-285.
85. Вахрушев А.В., Федотов А.Ю., Вахрушев А.А., Шушков А.А., Шушков А.В. Исследование механизмов формирования наночастиц металлов, определение механических и структурных характеристик на-нообъектов и композиционных материалов на их основе // Химическая физика и мезоскопия. -2010. - Т. 12. - № 4. - С. 486-495.
86. Липанов А.М., Вахрушев А.В., Тененев В.А., Федотов А.Ю. Математическое моделирование динамического взаимодействия твердых тел. Часть 1. Теоретические основы // Химическая физика и мезо-скопия. - 2014. - Т. 16. - № 4. - С. 513-523.
87. Вахрушев А.В., Шушков А.А., Зыков С.Н., Клеков-кин В.С. Определение модуля упругости Юнга на-ночастиц на основе численного моделирования и экспериментальных исследований. Часть 1. Методологические основы численного моделирования // Химическая физика и мезоскопия. - 2014. - Т. 16. -№ 3. - С. 381-387.
88. Вахрушев А.В., Шушков А.А., Зыков С.Н., Вахруше-ва Л.Л., Клековкин В.С. Определение модуля упругости Юнга наночастиц на основе численного моделирования и экспериментальных исследований. Часть 2. Методика согласования результатов упругого эксперимента и численного расчета // Химическая физика и мезоскопия. - 2015. - Т. 17. -№ 2. - P. 214-218.
89. Пат. С1 2296972 USA, Россия. Способ определения модуля Юнга материалов / А.В. Вахрушев, А.М. Липанов, А.А. Шушков. - БИ. - 2007. - С. 1-6.
90. Пат. С1 2494038 USA. Способ определения модуля упругости Юнга микро- и наночастиц / А.В. Вахрушев, А.А. Шушков, С.Н. Зыков. - БИ. - 2012. -С. 1-7.
91. Пат. С1 2292029 USA, Россия. Способ определения модуля упругости Юнга материалов / А.В. Вахрушев, А.М. Липанов, А.А. Шушков. - БИ. - 2007. -С. 1-7.
92. Дремин А.Н., Карпухин И.А. Метод определения ударных адиабат дисперсных веществ // ПМТФ. -1960. - № 3. - С. 184-188.
93. Torquato S., Yeong C.L.Y., Rintoul M.D., Milius D.L., Aksay I.A. Elastic properties and structure of interpenetrating boron carbide/aluminum multiphase composites // J. Am. Ceram. Soc. - 2004. - V. 82. - No. 5. -P. 1263-1268.
94. Фомин В.М., Филиппов А.А. Теоретико-экспериментальный метод определения упругих характеристик наноматериалов // ДАН. - 2019. - Т. 489. - № 5. -С. 469-472.
Поступила в редакцию 28.08.2020 г., после доработки 10.09.2020 г., принята к публикации 10.09.2020 г.
Сведения об авторах
Фомин Василий Михайлович, д.ф.-м.н., проф., акад. РАН, зав. лаб. ИТПМ СО РАН, зав. каф. НГУ, fomin@itam.nsc.ru Филиппов Артем Александрович, мнс ИТПМ СО РАН, filippov@itam.nsc.ru
