CC BY
54
Литература
1. Потапов М.А., Нелюбин А.П., Соловьёв И.С., Павлов А.А. Решение задач управления производством с большим объемом спецификаций // Информационные технологии в науке, образовании и управлении: труды межд. конф. IT + S&E' 16 / под ред. проф. Е.Л. Глориозова. М.: ИНИТ, 2016. Весенняя сессия. С. 105-109.
2. http://www.hertwich.com/
3. Ruiz R., Maroto C. A comprehensive review and evaluation of permutation flowshop heuristics // European Journal of Operational Research, 2005, Vol. 165(2), pp. 479-494.
4. Garey M.R., Johnson D.S., Sethi R. The complexity of flowshop and jobshop scheduling // Mathematics of operations research, 1976, Vol. 1(2), pp. 117-129.
5. Gupta J.N. Optimal flowshop schedules with no intermediate storage space. Naval Research Logistics Quarterly, 1976, 23(2), pp. 235-243.
Modeling of product storages in optimization of complex technological processes of production
Nelyubin A.P., junior research scientist Mechanical Engineering Research Institute of the RAS
The report describes the features of technological processes for the production of aluminum alloys, taking into account the storages devices for intermediate products. The problems of modeling these processes within the framework of several approaches are considered with the purpose of constructing and optimizing the schedule of order production.
Key words: optimization, schedule theory, modeling of technological processes, flow shop scheduling problem.
УДК 519.816
МЕТОДЫ АНАЛИЗА НЕЧЕТКОЙ ИНФОРМАЦИИ ОБ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ВАЖНОСТИ КРИТЕРИЕВ
Михаил Андреевич Потапов, канд. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. E-mail: pmatarus@gmail.com Институт автоматизации проектирования РАН http://www.icad.org.ru Андрей Павлович Нелюбин, мл. науч. сотр. E-mail: nelubin@gmail.com Институт машиноведения РАН http://www.imash.ru Иван Сергеевич Соловьёв, мл. науч. сотр. E-mail: ivan.solovyev@phystech.edu Институт автоматизации проектирования РАН http://www.icad.org.ru
Аннотация. В докладе представлены новые нечеткие отношения превосходства в важности на множестве критериев. Предложены методы получения нечеткой информации об относительной важности критериев, согласующиеся с общим подходом теории важности критериев. Эта нечеткая информация использована в новых алгоритмах построения нечетких отношений предпочтения.
Ключевые слова: многокритериальный анализ, теория важности критериев, нечеткая относительная важность, нечеткие предпочтения.
Работа выполнена в рамках Госзадания ИАП РАН в ходе проведения исследований в 2016-2018 годах, при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 1601-00404 А).
1. Введение. Для решения многокритериальных задач привлекается в той или иной форме информация о предпочтениях лица, принимающего решение (ЛПР). От того, насколько достоверно будет выявлена эта информация, зависит качество принимаемых
решений. Зачастую на практике не удается получить точные оценки количественных параметров, реально отражающие предпочтения ЛПР. Поэтому наиболее перспективными представляются методы многокритериального анализа, позволяющие получать и корректно использовать неполную, неточную и нечеткую информацию о предпочтениях.
Теория важности критериев [1] учитывает качественную (нечисловую) информацию о предпочтениях ЛПР, в частности информацию об относительной важности критериев. В отличие от других подходов, теория важности критериев опирается на формальные определения понятий равенства и превосходства в важности одних критериев над другими. Имеются специальные методы выяснения такой информации о предпочтениях ЛПР. Однако эти методы предполагают отсутствие противоречивых сведений. Поэтому актуальной является разработка дополнительных методов учета противоречивой, недостоверной и слабодостоверной информации о предпочтениях ЛПР. С этой целью в докладе рассматриваются возможности использования аппарата нечетких отношений [2] для моделирования нечеткой относительной важности критериев и нечетких отношений предпочтения.
В работе [3] было введено нечеткое отношение равноценности (равноважности) критериев и на его основе построены отношения безразличия и предпочтения на множестве векторных оценок вариантов. В данном докладе дополнительно рассмотрим нечеткую информацию о превосходстве в важности одних критериев над другими. Эта информация позволяет построить новые нечеткие отношения предпочтения на множестве векторных оценок вариантов. Кроме того, будут предложены методы получе-Нелюбин A.n. ния такой нечеткой информации об относительной важности
критериев в рамках общего подхода теории важности критериев.
2. Математическая модель и определения из теории важности критериев.
Дальнейшее изложение опирается на следующую математическую модель ситуации выбора в условиях определенности при многих критериях, которая используется в теории важности критериев:
= < X, Ki, ..., Km, Zo, Ш >,
где Х- множество альтернатив (вариантов), Ki, ..., Km - критерии (m > 2), т.е. функции К: X^ Zo, где Zo = {1, ..., q} - область значений критериев (множество шкальных оценок) (q > 2), Ш - модель предпочтений ЛПР. Предполагается, что каждый из критериев независим по предпочтению от остальных и его большие значения предпочтительнее меньших. Каждая альтернатива x из множества Xхарактеризуется её векторной оценкой y(x) = K(x) = (Ki(x), ..., Km(x)). Множество всех векторных оценок, как достижимых (соответствующих альтернативам из X), так и гипотетических, есть Z = Z™. Сравнение альтернатив по предпочтительности сводится к сопоставлению их векторных оценок.
Предпочтения ЛПР моделируются на 2 при помощи отношения нестрогого предпочтения К: запись уК означает, что векторная оценка у не менее предпочтительна, чем 2. Отношение К является (частичным) квазипорядком (т.е. оно рефлексивно и транзи-тивно) и порождает на 2 отношения безразличия I и (строгого) предпочтения Р:
уЬ о уКг л 2Ку; уР2 о уК л ^Ку.
Так как предпочтения ЛПР возрастают вдоль шкалы критериев 2о, то на множестве векторных оценок 2 определено отношение Парето К0:
уК^1 о у, > 1 = 1, ..., т.
Получить решение многокритериальной задачи выбора только при помощи отношения Парето, как правило, не удается. Поэтому его требуется расширить, привлекая дополнительную информацию о предпочтениях ЛПР.
В теории важности критериев используется информация об относительной важности критериев для ЛПР, которая формально вводится следующим образом [1]. Обозначим через у1 векторную оценку, полученную из векторной оценки у = (у1, ..., ут) перестановкой ее компонент у, и у/.
Определение 1. Критерии К, и К/ равноважны, или одинаково важны (такое сообщение обозначается /~у), когда любая векторная оценка у из 2 одинакова по предпочтительности с у1. Сообщение задает на множестве 2 отношение безразличия:
о (2 = у1, уг фу/). (1)
Определение 2. Критерий К, важнее критерия К/ (такое сообщение обозначается /> _/'), когда любая векторная оценка у из 2, в которой у, > у, предпочтительнее, чем у1. Сообщение /> } задает на множестве 2 отношение предпочтения:
уР1>^ о (2 = у1, у, > у/). (2)
Качественная информация о важности критериев О - совокупность сообщений вида и /> }. Отношение КО, порождаемое на 2 качественной информацией о важности критериев О, определяется как наименьшее транзитивное отношение, содержащее отношение Парето К0 и отношения Кю для всех сообщений ®еО:
дп = тга[(иыепкы)ид0],
где ТгС1 - символ операции транзитивного замыкания бинарного отношения, Ко = 11~]', если о = и Ко = Р1>]', если о = /> _/'.
Согласно этому определению, уК°г верно тогда и только тогда, когда существует цепочка вида:
уИ^и1, и^^и2, ..., (3)
в которой и1 - векторные оценки из 2, а в качестве выступают К0, или Р1>]'. Причем если хотя бы одно отношение является отношением строгого предпочтения Р0 или Р1>], то выполняется уРО2. В противном случае выполняется у/%.
3. О методах получения качественной информации о важности критериев
Информация О об относительной важности критериев получается в ходе специальной процедуры, в которой ЛПР взаимодействует с аналитиком или компьютерной системой [1]. Чтобы определить относительную важность 1-го и/-го критериев, ЛПР сравни-
вает, по предпочтительности, предъявляемые ему пары векторных оценок у и у']. Определения 1 и 2 подразумевают, что такое сравнение необходимо произвести для всех векторных оценок у из Z. Однако из-за большого их количества это, как правило, невозможно. Поэтому на практике используют лишь ограниченный набор специально подобранных векторных оценок [1]. Сначала берут векторные оценки, имеющие наилучшие и/или наихудшие значения по остальным критериям, кроме /-го и у'-го. Если результаты сравнений приводят к одному выводу, либо /> }, то далее, для закрепления этого результата, можно рассмотреть векторные оценки, имеющие средние значения по остальным критериям.
Помимо большого количества сравнений, другой практической проблемой может оказаться противоречивость ответов ЛПР при сравнении разных векторных оценок. В таком случае формально нельзя использовать определения 1 и 2 и критерии считаются несравнимыми по важности. Такая противоречивость может быть вызвана как зависимостью критериев по предпочтению, так и другими факторами. ЛПР может быть недостаточно уверено в том, какая из двух векторных оценок для него предпочтительнее. Кроме того, в ходе решения задачи предпочтения ЛПР могут меняться. Все это может привести к недостоверным и противоречивым сведениям. Для моделирования противоречивой, недостоверной и слабодостоверной информации о предпочтениях ЛПР воспользуемся аппаратом нечетких отношений [2]. Нечеткое отношение предпочтения позволяет учесть различную степень уверенности ЛПР в своих ответах.
4. Нечеткая относительная важность критериев
На множестве критериев введем следующие нечеткие отношения:
• Равноважности рТ;
• Превосходства в важности д>;
• Нестрогого превосходства в важности ид^.
Для выяснения нечеткой информации об относительной важности критериев предложим следующие два подхода.
1) Первый подход состоит в том, чтобы считать частоту ответов ЛПР, свидетельствующих в пользу каждого вывода об относительной важности рассматриваемых критериев. Например, в ходе выяснения относительной важности первого и второго критериев ЛПР сравнивает по предпочтительности предъявляемые ему пары векторных оценок: (2, 1, 1)7(1, 2, 1), (3, 1, 1)Д1, 3, 1), (2, 1, 3)#(1, 2, 3), (3, 1, 3)Д1, 3, 3). Тогда считаем, что со степенью уверенности д~(1, 2) = 0,25 критерии равноважны, со степенью уверенности ^>(1, 2) = 0,5 первый критерий важнее второго, со степенью уверенности 1) = 0 второй критерий важнее первого.
2) Второй подход состоит в том, чтобы позволить ЛПР указывать степень уверенности в своём ответе, вербально или с помощью числовой оценки в интервале (0; 1]. Затем эти полученные оценки можно усреднить.
5. Нечеткие отношения предпочтения
Рассмотрим теперь, как полученную нечеткую информацию об относительной важности критериев можно использовать для решения многокритериальной задачи. На множестве векторных оценок Z введем следующие нечеткие отношения:
• Безразличия д7;
• Предпочтения ;
• Нестрогого предпочтения ирьр.
В работе [3] предложен метод вычисления нечетких величин у1 {у, z) и Др(у, z) для любых векторных оценок у и z из Z при наличии информации о нечетком отношении равноважности д~(i,j) для каждой пары критериев Кг и Kj. Для этого вводятся следующие обозначения:
П(у) - множество всех векторных оценок, включая у, получающихся из y перестановкой компонент.
T(y, w) - совокупность транспозиций (г, j), применяя которые последовательно к векторной оценке y можно получить векторную оценку w 6 П(у). Транспозиция (г, j) - есть рассмотренное выше преобразование у ^ у1]'.
П(у, z) - множество всех векторных оценок w 6 П(у), которые предпочтительнее z по Па-рето: wP0z.
Если z 6 П(у), то полагается др(у, z) = ^p(z,y) = 0 и
M/(y,z) = rnax min u~(i,j). (4)
T(y,z) (i,j)6T(y,z)
Если z £ П(у), то полагается д7(у, z) = 0. При этом должно быть не пустым либо П(у, z), либо n(z, у). Пусть П(у, z) Ф 0, тогда полагается ¡ip(z, у) = 0 и
¡ip{y,z)= ma MJ(y,w). (5)
w 6 П(у)
Из (4) как частный случай следует:
ll1(y,yiJ)=V~(i,j). (6)
Очевидно, что T(y, z) представляет собой цепочку векторных оценок вида (3), в которой осуществляются только перестановки вида ul+1 = (ul)lJ и нет отношений превосходства по Парето ulP0ul+1. Поэтому расчет по формуле (4) можно интерпретировать следующим образом. Рассмотрим все возможные цепочки векторных оценок вида (3), соединяющие у и z. Найдем в каждой цепочке звено с минимальным значением по формуле (6). Среди всех рассматриваемых цепочек выберем ту, у которой это значение максимально и положим его в качестве д7 (у, z).
Этот подход можно обобщить на случай, когда на множестве критериев дополнительно к нечеткому отношению равноважности имеется нечеткое отношение превосходства в важности .
Формулу (6) можно рассматривать и как базовое предположение, сделанное на основе определения 1. Тогда на основе определения 2 будем полагать
^P(y,yi]')=fi>(i,j), Уг >yj. (7)
С учетом симметричности д~, отсюда следует
MR(y,yiy)=M~(U) =max{^~(i,j),^>(i,j)}, уг > у}. (8)
Для оценки (у, z) будем рассматривать произвольные цепочки векторных оценок вида (3) (в том числе и с превосходством по Парето), в которых значения в каждом звене оцениваются по формуле (8). А для оценки Др(у, z) дополнительно к этому потребуем, чтобы хотя бы одно из отношений в цепочке (3) было строгим. Это может быть либо отношение предпочтения по Парето, либо перестановка компонент, но тогда для нее значение должно оцениваться по формуле (7).
Перейдем к формальным выражениям. Для удобства записи обозначим через [г, j] транспозицию (г, j), в которой номера компонент упорядочены так, что в преобразуемой
векторной оценке u выполняется Ui > Uj.
Если z £ П(у), то z) вычисляется по формуле (4) без изменений,
MR(y,z) = rnax min (9)
T(y,z) [i,j]£T(y,z)
up(v,z) = max max min \a~(i,i),u>(v,r)\. (10)
Если z £ П(у), то ß1 (у, z) = 0. При этом должно быть не пустым либо П(у, z), либо n(z, y). Пусть П(у, z) Ф 0, тогда полагаем pLp{z, у) = 0 и
ßP(y,z) =ßR(y,z) = max,MR(y,w). (11)
w £ ПО)
6. Численный пример
Пусть получена нечеткая информация об относительной важности трех критериев: д~(1, 2) = 0,25; д>(1, 2) = 0,5; д>(2, 1) = 0; тогда 2) = 0,5; ^(2, 1) = 0,25. д~(1, 3) = 0; д>(1, 3) = 1; д>(3, 1) = 0; тогда р&(1, 3) = 1; ^(3, 1) = 0. д~(2, 3) = 0,33; д>(2, 3) = 0,33; д>(3, 2) = 0,33; тогда д~(2, 3) = 0,33; д~(3, 2) = 0,33. Рассмотрим векторные оценки y = (3, 1, 2) и z = (1, 2, 3).
Заметим, что z £ П(у). Возможные цепочки векторных оценок:
1.(3, 1, 2), (1, 3, 2), (1, 2, 3);
2. (3, 1, 2), (3, 2, 1), (1, 2, 3);
3. (3, 1, 2), (2, 1, 3), (1, 2, 3);
Посчитаем сначала ^'(у,г) по Холодкову [3].
Каждая цепочка имеет по 2 звена (преобразования векторных оценок). Перечислим их, используя обозначение «номер цепочки. номер звена в цепочке»:
1.1. (3, 1, 2) - (1, 3, 2). ^1.1 = д~(1, 2) = 0,25.
1.2. (1, 3, 2) - (1, 2, 3). И1.2 = д~(2, 3) = 0,33.
2.1. (3, 1, 2) - (3, 2, 1). И2.1 = Г(2, 3) = 0,33.
2.2. (3, 2, 1) - (1, 2, 3). И2.2 = д~(1, 3) = 0.
3.1. (3, 1, 2) - (2, 1, 3). ^э.1 = д~(1, 3) = 0.
3.2. (2, 1, 3) - (1, 2, 3). И3.2 = д~(1, 2) = 0,25. /Л1 = min(/W1.1; ^1.2} = min{0,25; 0,33} = 0,25; /Л2 = min{^2.1; р.2.2} = min{0,33; 0} = 0;
= тт{шл; ^3.2} = min{0; 0,25} = 0;
/(y,z) = max{iuj = max{0,25; 0; 0} = 0,25.
i
Теперь посчитаем дк(у, z) по новому методу. Звенья цепочек:
1.1. (3, 1, 2) - (1, 3, 2). Так как 3 > 1, то ^1.1 = д~(1, 2) = 0,5.
1.2. (1, 3, 2) - (1, 2, 3). Так как 3 > 2, то ^1.2 = д~(2, 3) = 0,33.
2.1. (3, 1, 2) - (3, 2, 1). Так как 1 < 2, то ^2.1 = д~(3, 2) = 0,33.
2.2. (3, 2, 1) - (1, 2, 3). Так как 3 > 1, то ^2.2 = д~(1, 3) = 1.
3.1. (3, 1, 2) - (2, 1, 3). Так как 3 > 2, то /лъл = д~(1, 3) = 1.
3.2. (2, 1, 3) - (1, 2, 3). Так как 2 > 1, то ^3.2 = д~(1, 2) = 0,5.
Ц1 = min{0,5; 0,33} = 0,33; /Л2 = min{0,33; 1} = 0,33; ^3 = min{1; 0,5} = 0,5; ßR(y,z) =max{^j} = max{0,33; 0,33; 0,5} = 0,5.
Теперь посчитаем по новому методу.
Звенья цепочек:
1.1. (1, 2, 3) - (1, 3, 2). Так как 2 < 3, то /1.1 = д~(3, 2) = 0,33.
1.2. (1, 3, 2) - (3, 1, 2). Так как 1 < 3, то /1.2 = д~(2, 1) = 0,25.
2.1. (1, 2, 3) - (3, 2, 1). Так как 1 < 3, то /2.1 = д~(3, 1) = 0.
2.2. (3, 2, 1) - (3, 1, 2). Так как 2 > 1, то /2.2 = д~(2, 3) = 0,33.
3.1. (1, 2, 3) - (2, 1, 3). Так как 1 < 2, то /3.1 = д~(2, 1) = 0,25.
3.2. (2, 1, 3) - (3, 1, 2). Так как 2 < 3, то /3.2 = д~(3, 1) = 0.
/1 = тт{0,33; 0,25} = 0,25; /2 = тт{0; 0,33} = 0; / = тт{0,25; 0} = 0; = тах{^} = тах{0,25; 0; 0} = 0,25.
1
Теперь посчитаем Др(у, г) по новому методу.
Возможные цепочки векторных оценок вида (3), содержащие по одному строгому отношению предпочтения:
1.(3, 1, 2) Я (1, 3, 2) Р (1, 2, 3);
2. (3, 1, 2) Р (1, 3, 2) Я (1, 2, 3);
3.(3, 1, 2) Я (3, 2, 1) Р (1, 2, 3);
4. (3, 1, 2) Р (3, 2, 1) Я (1, 2, 3);
5.(3, 1, 2) Я (2, 1, 3) Р (1, 2, 3);
6. (3, 1, 2) Р (2, 1, 3) Я (1, 2, 3).
Звенья этих цепочек:
1.1. (3, 1, 2) - (1, 3, 2) Так как 3 > 1, то /1.1 = М~(1, 2) = 0,5.
1.2. (1, 3, 2) - (1, 2, 3) Так как 3 > 2, то /1.2 = ^(2, 3) = 0,33.
2.1. (3, 1, 2) - (1, 3, 2) Так как 3 > 1, то /2.1 = ^(1, 2) = 0,5.
2.2. (1, 3, 2) - (1, 2, 3) Так как 3 > 2, то /2.2 = М~(2, 3) = 0,33.
3.1. (3, 1, 2) - (3, 2, 1) Так как 1 < 2, то /3.1 = М~(3, 2) = 0,33.
3.2. (3, 2, 1) - (1, 2, 3) Так как 3 > 1, то /3.2 = ^(1, 3) = 1.
4.1. (3, 1, 2) - (3, 2, 1) Так как 1 < 2, то /4.1 = ^(3, 2) = 0,33.
4.2. (3, 2, 1) - (1, 2, 3) Так как 3 > 1, то /4.2 = М~(1, 3) = 1.
5.1. (3, 1, 2) - (2, 1, 3) Так как 3 > 2, то /5.1 = М~(1, 3) = 1.
5.2. (2, 1, 3) - (1, 2, 3) Так как 2 > 1, то /5.2 = ^(1, 2) = 0,5.
6.1. (3, 1, 2) - (2, 1, 3) Так как 3 > 2, то /6.1 = ^(1, 3) = 1.
6.2. (2, 1, 3) - (1, 2, 3) Так как 2 > 1, то /6.2 = М~(1, 2) = 0,5.
/1 = тт{0,5; 0,33} = 0,33; /2 = тт{0,5; 0,33} = 0,33; /3 = тт{0,33; 1} = 0,33;
/4 = тт{0,33; 1} = 0,33; /5 = тт{1; 0,5} = 0,5; /6 = тт{1; 0,5} = 0,5;
др(у,2) =тах{^} = тах{0,33; 0,33; 0,33; 0,33; 0,5; 0,5} = 0,5.
I
Заметим, что по методу из [3], то есть с учетом только нечеткого отношения Др(у, г) = 0, поскольку векторная оценка 2 может быть получена перестановкой компонент векторной оценки у.
7. Выводы. Авторы считают, что в данной работе новыми являются описание методов выяснения нечеткой информации об относительной важности критериев, а также алгоритмы построения на основе этой информации нечетких отношений предпочтения на множестве векторных оценок вариантов.
Авторы благодарны проф. Владиславу Владимировичу Подиновскому за постановку проблемы для исследований и указание на работу [3].
Литература
1. Подиновский В.В. Введение в теорию важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений: Учебное пособие. М.: Физматлит, 2007.
2. Orlovsky S.A. Decision-Making with a Fuzzy Preference Relations // Fuzzy Sets and Systems, 1978, № 1.
3. Холодков А.В. Задача векторной оптимизации с нечеткой информацией о равноценности критериев // Известия академии наук Узбекской ССР. Серия технических наук, 1979, № 5, С. 6 - 11.
Methods of analysis of fuzzy information on relative criteria importance
Potapov M.A., leading research scientist Institute of Computer Aided Design of the RAS Nelyubin A.P., junior research scientist Mechanical Engineering Research Institute of the RAS Solovyev I.S., junior research scientist Institute of Computer Aided Design of the RAS
We present new fuzzy relations of superiority in importance on a set of criteria. Methods are proposed for obtaining fuzzy information about the relative importance of criteria, consistent with the general approach of the criteria importance theory. This fuzzy information is used in new algorithms for constructing fuzzy preference relations on a set of vector estimates of variants.
Key words: multicriteria analysis, criteria importance theory, fuzzy relative importance, fuzzy preferences.
УДК 330.4
ФАБРИКА БУДУЩЕГО ПО РАЗРАБОТКЕ И ПРОИЗВОДСТВУ КАСТОМИЗИ-РОВАННОЙ ВАКУУМНОЙ ТЕХНИКИ ДЛЯ НАУЧНОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ И ВЫСОКОТЕХНОЛОГИЧНЫХ ОТРАСЛЕЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ
Владимир Алексеевич Бородин, д-р техн. наук, рук. Проектного офиса ФГУП ЭЗАН при
ФАНО России,
Владимир Алексеевич Бородин, чл.-корр. РАН, зам. председателя Совета по научному
приборостроению ФАНО России, А.В. Веретенников, канд. физ.-мат. наук, руководитель Инжинирингового центра, С.В. Котов, нач. отдела информационных технологий Д.Н. Кузьмин, канд. физ.-мат. наук, нач. КБ аналитического приборостроения Д. О. Новиков, канд. техн. наук, нач. Бюро перспективных проектов
E-mail: bor@ezan.ac.ru ФГУП ЭЗАН
142432, Московская область, г. Черноголовка, проспект Академика Семенова, д. 9.
В статье представлены научно-технический задел и работы Экспериментального завода научного приборостроения со Специальным конструкторским бюро РАН (ФГУП ЭЗАН) по компьютерному инжинирингу, разработке и производству высоковакуумной техники, приборам и технологическому оборудованию на ее основе. Рассматривается
