CC BY
8Вы доброй и строгой быть не устали Остались красивой и в 75. С наукой по жизни Вы в ногу шагали И мы Вам желаем такдальше держать!
р
Трунова Олена Василiвна,
старший викладач кафедри Економiчноl юбернетики Чершпвського державного шституту економши i управтння.
Працюе над дисертацйним досл1дженням тд кер1вництвом З.1.Слепканъ на тему: „Навчання початшв теорп ймов1рностей 7 вступу до статистики в лщеях 7 класах з поглибленим вивченням математики ".
МЕТОДИКА СТРУКТУРУВАННЯ I ВИВЧЕННЯ ТЕОРЕТИЧНОГО МАТЕР1АЛУ З ПОЧАТК1В ТЕОРП ЙМОВ1РНОСТЕЙ I ВСТУПУ ДО СТАТИСТИКИ В УМОВАХ ДИФЕРЕНЩАЦП НАВЧАННЯ
О.В. Трунова, викладач,
Чернтвський державний тститут економши i управлтня,
м.Чернтв, УКРАША
Розглядаетъся профшъна 7 ргвнева диференцгацгя як нерозривш елементи процесу навчання при вивченм теоретичного матер1алу початюв теорИ' ймов1рностей 7 вступу до статистики в лщеях 7 класах з поглибленим вивченням математики.
Одна з найочевидтших загальних тенденцш сучасно! математики та й засто-сування виявляеться в р1зкому тдвищент значення тих роздшв науки, яю анашзу-ють явища, що мають „випадковий" характер 1 базуються на теори ймов1рностей.
Сучасна реформа математично! освгш в школ1 привела до появи в навчальних програмах вщносно нових зм1сгових л1нш:
„Елементи теори множин. Комбшатори-ка", „Початки теори ймов1рностей 1 вступ до статистики".
У лщеях 1 класах з поглибленим вив-ченням математики програма передбачае таку кшьюсть годин: початки теори ймов1рностей - 25-30; елементи статистики 10-12. Постае питання: який змют вкласти в цей вщведений час? Тим бшьше,
в пояснюванш записщ до програми для класiв з поглибленим вивченням математики тдкреслено, що вчитель може варш-вати кшьюсть годин, яю вiдводяться на вивчення певно'1 теми, доповнити змют тем деякими додатковими теоретичними i практичними питаннями. Незважаючи на наявнють значно'1 кiлькостi публiкацiй, окремих дисертацшних дослiджень, тд-ручникiв, навчальних поабниюв, в яких у тiй чи шшш мiрi розглядаеться проблема навчання початюв теори ймовiрностей i вступу до статистики в класах i школах з поглибленим теоретичним i практичним вивченням математики i з урахуванням змiн, якi вiдбуваються в сучаснш школi, та бiльш високих вимог вищоi школи, щодо знань i умiнь iз стохастики, ряд аспектiв цiеi проблеми виявилися не в достатнш мiрi розкритими. Вони потребують по-дальшоi розробки. Так, наприклад, не виз-начена повною мiрою структура теоретичного матерiалу в умовах диференщаци навчання в школах нового типу.
Отже, завданнями даноi статп е: 1) сформулювати загальну концепцiю диференщаци навчання початюв теори ймовiрностей i вступу до статистики в лщеях i класах з поглибленим вивченням математики; 2)запропонувати втiлення цiеi концепци на прикладi вивчення понять математичного сподiвання i дисперси.
Було б по меншш мiрi дивно, якщо хтось-би став наполягати на вивченш у школ навiть у класах з поглибленим вивченням математики тих поглядiв на теорш ймовiрностей, яю пропонують сучаснi пiдручники, що використовуються для ви-щих закладiв осв^и, тим бiльше студентiв математичних спещальностей. Завдання полягае в тому, щоб на доступному учням рiвнi подати основи сучасно'1 науки.
При навчаннi початкiв теори ймовiр-ностей i вступу до статистики в школi будемо спиратися на вщоме положення педагопки про те, що тзнання наукове i пiзнання у процесi навчання - рiзнi речi.
Проблема спiввiдношення навчання i наукового пiзнання не нова. Вона за-гострилась в умовах науково-техтчно1' ре-волюци за рахунок об'ему наукових знань, високого темпу 1'х зростання, перетворен-ня науки у безпосередню виробничу силу,
значного пiдвищення теоретичного рiвня галузей науки. Ця обставина диктуе необхiднiсть проведення глибоко'1 „диференщаци" розкриття окремих питань, що входять у програми навчання [8].
На наш погляд диференщаци як про-фiльнiй так i рiвневiй повиннi пiдлягати рiзнi питання програми.
Найчастiше в пiдходах до диференщаци навчання враховуються властивосп особистосп, що вiдбивають iндивiдуально придбаний досвщ: знання, умiння, навич-ки, научувашсть як темп просування у навчанш, досвiд емоцiйно-оцiночних вiд-носин i рiзноманiтноi дiяльностi. Цi властивостi особистост1 легше вивчаються й дшсно визначають можливостi диферен-цiацii в навчанш, тому що вщбивають й актуальний рiвень i найближчий рiвень. Однак цi якост1 можуть тдказати рiвневу диференцiацiю в навчаннi на певному етат, але не завжди вiдбивають можли-востi школяра в профшьно1' диференцiацii.
Кожна дитина характеризуемся сво1-ми задатками, здiбностями i можливостя-ми, а також й iндивiдуальними особли-востями, що визначаються сощальним середовищем, навчанням, вихованням, дiяльнiстю. Звичайно, врахувати ва варiанти вiдмiнностей школярiв у псиичному i пiзнавальному планах неможливо, але видшивши найголовнiшi, характернi, можна подшити учнiв на типологiчнi групи, проте единого тдходу до такого подшу не iснуе.
Василенко 1.Я. видаляе два критер11 вивчення iндивiдуальностi учня для засто-сування iндивiдуального тдходу: рiвень математичних здiбностей i рiвень пiзна-вально!' активност1.
Слепкань З.1. i Забранський В.Я. роз-глядають здатнiсть до навчання, темп навчання i рiвень пiзнавального iнтересу.
Калмиковi З.1. в основу типолопчного групування школярiв пропонуе покласти рiвень научуваност1 i рiвень засвоення знань(навченють).
За „Концепцiею математично1 освiти 12^чно'1 школи" математична пiдготовка забезпечуеться двомрною моделлю диференцiацii навчання, основнi поняття яко1 - курс математики i рiвень вимог.
Тому початки теори ймов1рностей 1 вступу до статистики в школ можуть мати р1зну шформащйну 1 1нтелектуальну ем-нiсгь, даагностико-прогностичну спрямова-нiсгь та сощальну ефектившсть (обсяг стохастичних знань мае бути достатшм для устшно! майбутньо! трудово! та навчально! даяльносп, а також р1знитися способами упорядкування матер1алу, ступенем узагаль-нення знань, сшввщношенням мж теоре-тичними 1 емшричними знаннями.
Р1вень вимог до учшв, що вивчають початки теори ймов1рностей 1 вступу до статистики, включае перелжи опорних уявлень, знань, навичок, умшь, 1 способ1в математично! д1яльносп.
У диференцшованому навчанш ма-тематищ ми дотримуемося концепци ед-носп р1внево! 1 профшьно! диференщаци. Кожен 1з цих двох р1зновид1в диференщаци один без одного неповнощнний. Розкриемо внутршню еднють двох назва-них вид1в диференшаци.
По-перше, "високий" рiвень навчання математики в школi не може бути повною трою здшснимо, якщо вiн не спрямова-ний на профшьну диференцiацiю. Про-фшьна диференцiацiя е найважливiшим засобом здшснення рiвневоi диферен-цiацii. Не використати першу як важiль для приведення в дiю всiх можливостей друго! - означае заздалепдь запланувати занижену ефектившсть навчання в порiв-нянш з т1ею, якою вона могла б бути.
По-друге, профшьна диференщащя е ефективним засобом варiативностi рiвнiв навчання предмету, i незалежно вщ того, чи ведеться навчання математики в матема-тичному, технiчному, гуманитарному, при-родничо-бiологiчному або звичайному кла-сi, без профiльноi диференщаци неможлива ефективна рiвнева диференцiацiя.
По-трете, вибiр профiльностi навчання шскшьки не знижуе значимостi рiвневой диференщаци, а змшюе лише можливосп й здiйснення.
У реальности рiвнева i профiльна диференщаци - нерозривнi елементи единого процесу диференщаци навчання. Взагат, розчленовування диферентацй на два види корисно для того, що б бшьш рiзнобiчно й глибоко, детально й повно вивчити проблему диференцiйованого
навчання i забезпечити належний piBeHb навчання математики.
Застосування диферентацй навчання може бути використане на рiзних етапах уроку, а саме на етат введення нового матерiалу, на етат самосгiйноi роботи учнiв по вивченню нового й самостшно'1 роботи i3 застосуванням вивченоi теорй до розв'язання задач, можливостi подiлу самосгiйноi роботи за ступенями допо-моги з боку вчителя учням, на етат роботи з пщручником, диференцшований контроль пiдготовленостi до уроку, дифе-ренцiацiя домашнього завдання, дифе-ренщащя оцiнки знань.
Зупинимося на стиш навчання теоре-тичних питань з початюв теори ймовiр-ностей i вступу до статистики в класах рiзних профiлiв. Вибiр цього стилю е досить iстотним. Тут треба йти шляхом розумного компромiсу мiж стропстю, доступнiстю й прикладною спрямова-нiстю, не забуваючи про жодну. Якого рiвня строгостi дотримуватися, що i як доводити?
У техшчних, економiчних, природни-чих класах доцшьно акцентувати увагу на прикладнiй i практичнiй спрямованостi змiстовоi rami. Методика навчання повинна бути спрямована на формування вмшь моделювати реальш ймовiрнiснi процеси, розвиток умiнь, iмовiрнiсного мислення, посилення мiжпредметних зв'язкiв.
У математичних класах виклад мате-рiалу носить досить абстрактний характер з високим ступенем формальних доведень, залишаючи бiльшу частину матерiалу, що вивчаеться, для самостийно!' роботи. Бiльшу ефектившсть дае лекцшна форма роботи з наступними семiнарськими заняттями.
Для реатзаци основних цiлей диферен-цiйованого навчання в штт необхiднi яюсно iншi тдходи до вивчення теоретичного матерiалу i системи задач i вправ, яю й повиннi виступати як засiб ^еграцй рiзних тем початюв теори ймовiрностей i вступу до статистики, що буде сприяти лжвщацй перевантажень учшв навчальним мат^алом.
Коли йде мова про принципи вiдбору змiсту початюв теорй ймовiрностей i вступу до статистики вщзначимо, що найваж-ливiшою особливiстю сучасного етапу роз-витку школи, е розвиток i широке впровад-
ження рiвневоi i профiльноi диференщацл, що припускае максимальну гнучюсть як у визначеннi самого обсягу навчального ма-терiалу, так й у вимогах до рiвня оволо-дiння ним iнформацiею рiзними учнями.
Одним з основних компоненпв проце-су навчання е учбове пояснення, яке формуе знання, навички, умшня, навички, мотиви дiяльностi. Учбове пояснення на вщмну вiд пояснення при науковому пiзнаннi перш за все вiдрiзняеться „необхщнютю одночасного розкриття категорiальноi сiтки (мови науки), i сут-
носп того, що пояснюють" [8]. Тому,
Х\
говорячи про методику введення поняття математичного сподiвання, ми маемо на увазi, як означення цього поняття, так i розкриття iмовiрнiсного, механiчного, еко-номiчного змiсту математичного сподiван-ня вщповщно до профiлiв навчання.
Формальним означенням математичного сподiвання i дисперсй передуе евристич-на бесща, що мстить наочш приклади як у [3] або розгляд певноi прикладно'1' задачi.
Задача. Вiдомi закони розподшу випадкових величин Х i У - числа очок, що вибиваються 1-м i 2-м лiцеiстом пщ час проведена польових стршьб.
X,. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Л 0.15 0.11 0.04 0.05 0.04 0.10 0.10 0.04 0.05 0.12 0.20
У:
У, 0 1 2 3 4 5 б 7 8 9 10
Рз 0.01 0.03 0.05 0.09 0.11 0.24 0.21 0.10 0.10 0.04 0.02
Необидно з'ясувати, хто з двох лщеюпв стрiляе краще. Розглядаючи ряди розподшв випадкових величин Х i У вiдповiсти на це запитання далеко не просто через безлiч числових значень. До того ж у першого лщеюта достатньо велию ймовiрностi (наприклад, бiльше 0,1) мають крайи значення числа очок, яю вибиваються (Х = 0, 1 i Х = 9, 10), а у другого лщеста - промжш значення (У = 4, 5, 6).
Хто на вашу думку стрляе краще?
Очевидно, що з двох лще'спв краще стрляе той, хто в середньому вибивае бшьшу кiлькiсть очок. Таким середшм значенням випадково!' величини е й математичне сподiвання.
Назва термша пов'язана з початковим перюдом виникнення теорй ймовiрностей, коли 11 область застосування обмежувалась азартними iграми. Гравця щкавило середне значення виграшу, на який вiн сподiвався.
Означення. Математичним сподiван-ням дискрегноi вишдково' величини Х називаеться сума добутюв всiх й значень на вiдповiднi 1м ймовiрностi:
з явилось т1 раз, х2 - т2 раз, значення хк
з' явилось
т,г
М (X ) = £ хр .
х-
Розглянемо його iмовiрнiсний змiст i основнi властивосп.
Нехай проведено п послiдовних випро-бувань, в яких випадкова величина Х набуде значення х1, х2,..., хк, до того ж значення х1
раз. Зрозумiло,
т1 + т2 +... + тк = п. Знайдемо середне арифметичне всiх цих значень i позначимо його х, маемо:
_ х1т1 + х2 т2 +... + хктк
т1 + т2 +... + тк
п т
або х = V х1 —'-.
¿=1 п
Зауважимо, що дрiб —е не що шше, п
як вщносна частота того значення х-, що з'явиться в п випробуваннях, тобто статистична ймовiрнiсть. Позначимо цей
•б т- •
дрiб —- ~ pi i запишемо тепер середне п
к
арифметичне таким чином: х ~ £ х-р- .
¿=1
Тобто iмовiрнiсний змiст одержаного результату такий: математичне сподiвання наближено дорiвнюе (чим бшьше випро-бувань, тим точшше) середньому арифме-тичному спостережних значень випадко-во'1 величини.
Обчислимо М (X) i М (У) в задачi про стрiльцiв: М (X ) = 0 • 0.15 +1 • 0.10 +
+ 2 • 0.04 +... + 9 • 0.12 +10 • 0.20 = 5.36;
M (Y ) = 0 • 0.01 +1-0.03 +
+ 2 • 0.05 +... + 9 • 0.04 +10 • 0.02 = 5.36.
Тобто математичне сподiвання числа очок, яю вибивають два лщасти однакове.
Отже, математичне сподiвання теж не може в достатнш мiрi характеризувати дискретну випадкову величину. Але, як говорилося вище, у 1-го лщесга значнi ймовiрностi мають крайнi значения, яю сильно вщмшш вiд M (X), а у другого навпаки. - значення близью до M (Y).
Хто з них стрiляе краще?
Очевидно, краще стршяе той лiцеiст, у кого при однакових математичних сподь ваннях числа вибитих очок менше вдаи-ления (розсiювания) цього числа вщносно математичного сподiвання.
У якосгi тако!' характеристики розгля-дають дисперсiю. Слово дисперая означае „розаювання".
Означення. Диспераею D(X) випад-ково! величини Х називаеться математичне сподiвання квадрата ii вiдхиления вiд математичного сподiвання:
D(X ) = M[X - M(X )]2.
У якосп характеристики розсiювання неможливо брати математичне сподiвання вiдхиления випадково1 величини вщ й математичного сподiвания, осюльки за властивостями математичного сподiвания ця величина дорiвнюе нулю для будь-яюй випадковоi величини.
Для обчисления значення дисперсй користуються такою теоремою.
Теорема. Дисперая вишдково!' величини дорiвнюе рiзницi мiж математичним сподiванням квадрату випадково1 величини та квадратом математичного сподiван-
ня, тобто D(X) = M (X2)- [M (X )]2.
Доведения дано1 теореми для вах профiлiв обов'язкове.
М(х)
—©
Обчислимо диспераю i середне квад-ратичне вiдхиления для задачi про сгршь-би. Зручно буде спочатку визначити мате-матичнi сподiвания квадрат1в випадкових величин:
M(X2)= 02 • 0.15 +12 • 0.10 +
+ 22 • 0.04 +... + 92 • 0.12 +102 • 0.20 = 42.34. Тодi за формулою
D(X ) = 42.34 - 5.362 = 13.61, а a(X) = 3,69.
Аналопчно: D(Y) = 4.17, а o(Y) = 2.04.
Отже, при рiвносгi середшх значень числа очок, яю вибивають лiцеiсти (M (X ) = M (Y)), 1х дисперс11, тобто характеристики розсшвання вiдносно середнього значення вiдрiзняються. У другого лщехста менше: D(X)< D(Y). Зрозумшо, що для отримання бiльш високих результат1в с^льби у порiвняннi з першим лiцеiсгом, необх1дно змiстити „цеитр" розподiлу числа очок, яю вибиваються, тобто збшьшить M (Y) , навчиться краще цiлитись у мiшень.
Розглянемо приклади необхiднi для роз'яснения зм^у математичного сподi-вания як середнього значения випадково1 величини i дисперсй як мiри „розсiюван-ня" вщносно середнього.
У клаа технiчного профiлю залучаеть-ся механiчна аналог1я. У цш аналог11 математичне сподiвания вщповщае абсци-сi центра мас.
Математичному сподiваиию можиа нада-ти дуже наглядну мехаи1чиу iитерпретацiю.
Уявимо собi стержень (вiдрiзок осi абсцис), на якому в точках хi нанизаш кулi масою рi (рис. 1). Викорисговуючи шкiльнi знаиня з фiзики можиа вивести, формулу центра мас такоi системи, що знаходиться у точщ з координатою, i дорiвиюе М(Х).
Якщо уявити, що кожна матерiальна точка з абсцисою xi мае масу, яка дорiв-
Рис.1
нюе pi (i = 1,2,...,n), а вся одинична маса
© Trunova O.
(^ pi = 1) розподшена мiж цими точка-
i=1
ми, то математичне сподiвання це абсциса центра мас системи матерiальних точок, що вщповщають розподiлам X i Y у задачi 1. Центри мас спiвпадають M(X) = M(Y) = 5.36 (див. рис.1). Якщо використати мехашчну iнтерпретацiю розподiлу випадково! величини, то й дисперсiя це момент шерцй розподiлу мас вiдносно центру мас (математичного сподiвання).
M(X)= *„.= x'p' + x-p- + ■ +*-p-.
Pi + p- +...+pm В клаа економiчного профiлю розгля-немо числовi характеристики з економiч-но! точки зору. Розглянемо будь-яку операщю, прибуток вiд яко! буде випад-ковою величиною Х, тодi середнш очжу-ваний прибуток - це математичне сподь вання. А середне квадратичне вiдхилення ((Х) - це мiра розсiювання можливих значень прибутку, який вважають мiрою ризику. Умова прикладно! задачi для економiчного класу може бути такою.
Задача. Два банки А i Б мають такi прогнози щодо прибутку на наступний рiк:
А Б
При буто к, $ ИмОВ1рН1СТЪ Прибуток, $ ИмОВ1рН1СТЪ
0 0,1 100 0,2
200 0,1 500 0,2
1000 0,2 2000 0,25
2000 0,5 4000 0,3
10000 0,1 8000 0,05
Пщрахувати середнш очшуваний прибуток (математичне сподiвання) та економiчний ризик (середне квадратичне вдаилення) для вкладниюв у банки А та Б.
Ми вважаемо, що саме завдяки диференщацй навчання можна створити умови для досягнення пщвищеного i поглибленого рiвня з початюв теорй ймовiрностей i вступу до статистики в учшв лщев i класiв з поглибленим вивченням математики, яю мають для цього бажання i можливосп.
1. Алгебра 7 початки анал1зу: Шдруч. для 11 кл. з поглибл. вивч. математики в серед. закл. осв1ти. /М1.Шшлъ, Т.В.Колесник, Т.М.Хмара. -К. : Осв1та, 2001. - 311с.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Изд. 4-е, доп. Учеб. пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 1972. - 368с.
3. Гнеденко Б.В. Математика в современном мире. - М. : Просвещение, 1980. - 128с.
4. Калмыкова З.И. Продуктивное мышление как основа обучаемости. - М.: Педагогика, 1981.
5. Концепщя загалъног середнъог освти як базовог в единт систем1 неперервног осв1ти. - К: МО Украгни, 1992. -177с.
6. Крамер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Ученик для вузов. - М.: ЮНИТА-ДАНА, 2000. - 543с.
7. Слепканъ З.1. Ще раз про диферен-цгацт навчання математики г роль в нш ос-втнъого стандарту.// Математика в школ1, 2002, №2. - С. 29-30.
8. Шакоринский С.А. Обучение и научное познание. - М. : Педагогика, 1981. - 208с.
Резюме. Трунова Е.В. МЕТОДИКА СТРУКТУРИРОВАНИЯ И ИЗУЧЕНИЯ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА ПО НАЧАЛАМ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ВСТУПЛЕНИЯ В СТАТИСТИКУ В УСЛОВИЯХ ДИФФЕРЕНЦИАЦИИ ОБУЧЕНИЯ. Рассматривается профильная и уровневая дифференциация как неразрывные элементы процесса обучения при изучении теоретического материала начал теории вероятностей и вступления в статистику в лицеях и классах с углубленным изучением математики.
Summary. Trunova O. THE METHODS OF STRUCTURIZATION AND STUDYING THE THEORETICAL MATERIAL OF THE BEGINNINGS OF THEORY OF PROBABILITY AND INTRODUCTION INTO STATISTICS IN THE CONDITIONS OF THE DEFFERENTIATION OF TRAINING. The author considers the profile and level differentiation as an integral element of the process of studying theoretical material of the beginnings of Theory of probability and introduction into Statistics in lyceums and classes with the profound studying of Mathematics.
Надшшла до редакцп 2.02.2006р.
