CC BY
9
УДК 621.583
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ АНАЛИЗА ВЕРОЯТНОСТИ СВЯЗНОСТИ В ЧАСТИЧНО РАЗОМКНУТЫХ РАДИАЛЬНО-КОЛЬЦЕВЫХ СИСТЕМАХ ОПОВЕЩЕНИЯ НАСЕЛЕНИЯ
М.В. Носов
кандидат технических наук, профессор,
профессор кафедры инфокоммуникационных
технологий и систем связи
Академия гражданской защиты МЧС России
Адрес: 141435, Московская обл., г.о. Химки,
мкр. Новогорск
E-mail: rn.nosovQamchs.ru
A.JI. Сафронов
кандидат военных наук, доцент,
заведующий кафедрой инфокоммуникационных
технологий и систем связи
Академия гражданской защиты МЧС России
Адрес: 141435, Московская обл., г.о. Химки,
мкр. Новогорск
E-mail: а.safronovQamchs.ru
А.И. Мазаник
доктор военных наук, профессор,
главный научный сотрудник
научно-исследовательского центра
Академия гражданской защиты МЧС России
Адрес: 141435, Московская обл., г.о. Химки,
мкр. Новогорск
E-mail: а.mazanikQamchs.ru
Аннотация. В статье рассматривается методика решения задачи анализа вероятности связности в частично разомкнутых радиально-кольцевых системах оповещения населения на основе использования комбинаторного метода полного разложения кольцевых соединений в кольцевых системах оповещения. Приводятся численные примеры решения поставленной задачи. Ключевые слова: вероятность связности, комбинаторный метод полного разложения кольцевых соединений, случайный граф, система оповещения, радиально-кольцевая система оповещения, частично-разомкнутая радиально-кольцевая система оповещения населения. Цитирование: Носов М.В., Сафронов А.Л., Мазаник А.И. Методика решения комбинаторных задач анализа вероятности связности в частично разомкнутых радиально-кольцевых системах оповещения населения // Научные и образовательные проблемы гражданской защиты. 2021. № 4 (51). С. 63 - 70.
Общие положения и поставка, задачи Методика анализа связности исходного центра оповещения Уо с периферийными пунктами оповещения ы (г = 1,т), где т - мощность множества периферийных пунктов оповещения (рисунок 1) представлена для полностью замкнутых радиально-кольцевых систем оповещения населения в работах [1, 2, 3, 4].
Однако полносвязные модели радиально-кольцевых систем оповещения (далее — РКСО) не всегда могут быть использованы в практических целях. Значительный практический интерес имеют задачи оценки вероятности доведения сигнала до населения о чрезвычайной ситуации (далее — ЧС) через частично разомкнутые системы оповещения.
Частично разомкнутые (далее — ЧР) РКСО являются частным случаем замкнутых
РКСО и могут быть образованы вследствие отказа или повреждения одного кольцевого ребра ^ или некоторой совокупности кольцевых ребер Ьк = {I£}, (£ = 1,т*), где т* - число кольцевых ребер в частично разомкнутой РКСО.
Для оценки вероятности связности (далее — ВС) основного центра оповещения Уо с одним из периферийных центров Уг в частично-разомкнутой РКСО может быть рассмотрен случайный граф (далее — СГ), представленный на рисунке 1.
Общее число анализируемых вариантов ЧР СГ РКСО, относительно кольцевых ребер, равно числу возможных несовместных комбинаций К , которое можно будет получить из исходного СГ РКСО (рисунок 1), включающего т* кольцевых ребер
К = £ сц
(1)
п=о
*
где С^* = БКп - биноминальный коэффициент п-го порядка, в котором т* - параметр комбинации; п = 0,т* - переменная комбинации [1, 2, 31.
Основными структурными элементами ЧР СГ РКСО (рисунок 1) являются: вершины
графа У0 ~ 3,У4,У3,У2,У\ ~ совокупность радиальных ребер Ьр = Щ, 1Р&, Щ, совокупность кольцевых ребер Ьк = 1к, 1к0,1к2.
Множество простых цепей (далее ПЦ) для данного ЧР СГ РКСО может быть представлено в следующем виде
Ms,t = {м& = [ц£=1 = ; M°t = = (& lk), Ц.°=3 = lku), ц°=4 = (Ц, lk0, lk)] } , (2) где MS0t - обозначение подмножеств ПЦ, включающих радиальные и кольцевые ребра.
Рисунок 1 Структура: а) частично разомкнутого СГ РКСО; б) СГ РКСО, представленного в
виде ПЦ
Для заданного ЧР СГ РКСО (рисунок 1) может быть решена задача оценки связности основного центра оповещения Уо с одним из центров (пунктов) оповещения, например, У\.
Решение задачи
Вероятность связности вершин 5 и £
ЧР СГ РКСО может быть опре-
делена на основе комбинаторного метода полного разложения кольцевых соединений (далее КМПРКС), в соответствии с которым аналитическое выражение для оценки вероятности будет иметь следующий вид [3]
Р(Gs,t) = ¿ ¿ Р(Ga,t\KntU),
(3)
п=0 ш=1
где Р(Кп,ш) - вероятность нахождения исходного ЧР СГ РКСО в комбинации (состоянии) Кп,ш;
Р(С8}1(КП}Ш)) - вероятность связности вершин 5 и £ в ЧР СГ РКСО (рисунок 1) при условии, что анализируемый ЧР СГ РКСО находится в комбинации Кп ш\
п
циента п-го порядка, т.е. БКп, п = 0,3;
ш - обозначение порядкового номера комбинации Кп,ш в БКп, ш = 1,СП; т*
РКСО (рисунок 1).
Значения вероятностей Р (Кп,ш) и
Р(С3,г\Кп,ш) могут быть выражены через Ьк = {%}( £, = 9, 10, 11), которые определя-состояння кольцевых ребер (соединений) ются из выражения
I? = ^
, если ребро работоспособно; , если ребро неработоспособно.
Тогда полная группа несовместных комбинаций, которую можно получить из т* = 3
кольцевых соединений по переменной п = 0,3, определяется равенством
£
п=0
С? = 8,
где С
3!
число возможных комби-
п\(3 — п)!
наций, соответствующих биноминальному коэффициенту п-го порядка, т.е. БКп.
Отдельно взятая комбинация Кп,ш может быть выражена через состояния кольцевых ребер для общего случая следующим образом
Кщш = Л
(4)
где т^ - мощность множества кольцевых ребер в РКСО;
п - число неработоспособных кольцевых ребер I£ в РКСО.
Для расчета вероятностей Р(Кп>ш) комбинаций (состояний) Кп,ш необходимо в выражении (4) от алгебры событий перейти к соот-
ветствующим вероятностям, а логические операции заменить арифметическими в соответствии с правилами, предложенными в работе [4].
В результате такого перехода от логического равенства к вероятностному может быть получено выражение
Р(Кп,ш)= п р(^-»}) П р(1и
(тк —п} п
(5)
Для условия, когда Р(1^тк —п})= Р, & Р(^ега) = 1 - Р = Я, равенство (5) преобразу-
ется к виду
р (Кп,ш ) = рт —пдп
(6)
Все возможные комбинации Кп,ш опреде- ляются соответствующими БКп, п = 0,3:
БКга=о = С° = 1 ш = 1 : Ко,\ = 1д ¿10^12;
БКга=! = Со = 3
ш = 1,3 : К],о = ¡т^п^л,2 = ,з = I 101\2;
БК„,=2 = С2 =3
ш
= 1,3 : К2, 1 = 191\01\2,К2,2 = Щ 1\0^12,К233 = 1101 12;
(7)
БКга=з = С3 = 1 и = 1 : К3,о = Ш«2.
Согласно равенств (6) и (7), вероятности риваемого случайного графа (рисунок 1) бу-возможных комбинаций Р(Кп,ш) для рассмат- дут иметь следующие выражения:
Р (Ко,г) = р3; Р (Км) = Р (К1,2) = Р (Км) = р2д; Р (К2,г) = Р (К2,2) = Р (К2,з) = РЯ2; Р (Кз,г) = д3.
(8)
Для определения значений Р(С8^1Кп,ш), входящих в равенство (3), необходимо преобразовать структуру исходного ЧР СГ РКСО (рисунок 1) в совокупность структурно -
простых СГДС следующего вида: С8^\Кп,ш = Сп,ш, (рисунок 2) с учетом возможных комбинаций (состояний) Кп,ш, определяемых из выражения (7)
Рисунок 2 - Совокупность структурно - простых СГДС Сп
Для условия, когда р(1?) = р (£ = 5,8), Сп>ш(п = 0,3; ш = 1,С^Щ* будут иметь следу-вероятности связности вершин 5 и £ для ющие выражения: представленных на рисунке 2 СГ РКСО
Р(С0,г) = 1 - (1 - Р)4; Р(См) = 1 - (1 - р)2; Р(Сг,2) = 1 - (1 - р)3; Р(Сг,з) = 1 - (1 - р)3;
Р(С2,г) = 1 - (1 - Р)2;Р(С2,2)= р; (9)
Р(С2,3) = 1 - (1 - р)2;р(С3,г)= р.
Подставляя выражения (8) и (9) в равен-
р = 0,1, получим следующее значение полной вероятности связности вершин 5 и £ в ЧР СГ РКСО (рисунок 1): Р(С^) = 0,9978. При этом значение вероятности связности вер-
шин 5 и Ь для полносвязной модели СГ РКСО равно: Р^ = 0,9987 [2]. Следовательно, отсутствие одного кольцевого ребра Iкл в структуре ЧР СГ РКСО (рисунок 1) уменьшило вероятность связности на величину
А Р^ = Р^ - Р(вг8 ^ = 0,9987 - 0,9978 = 0,0021.
Необходимо отметить, что вероятность связности центра оповещения с периферийными пунктами оповещения в ЧР СГ РКСО зависит не только от работоспособности (неработоспособности) кольцевых Iк и радиальных I? ребер с различными индексами, но и от того, какое кольцевое ребро является неработоспо-
собным в структуре графа.
Справедливость данного утверждения может быть проиллюстрирована на ЧР СГ РКСО без кольцевого ребра Ьк (рисунок 3), для которого множество ПЦ может быть представлено в следующем виде
М8,1 = {
->мп=1 = II; =
М°п=2 = (%,1 к2),мп=3 = (Щ,1 кп,1 к2),мп=4 = (Око,1 кг,1 к2)] } (Ю)
К
а)
б)
Рисунок 3 Структура: а) частично разомкнутого СГ РКСО; б) СГ РКСО, представленного в
виде ПЦ
Вероятность связности вершин 5 и £ ЧР СГ РКСО может быть определена на основе выражения (3). Для этого необходимо найти:
1. Число биноминальных коэффициентов БКга {п = 0,3) и их всевозможные комбинации (состояния) Кп,ш (ш = 1,С^):
БКга=о = С° = 1 ш = 1 : Ко,1 = 1\01\г1\2;
БКга=о = С?° = 3 ш = 1,3 : К],1 = I\0112, К],2 = 1хо1^ ,з = ^10^1 Л2;
БКга=2 = С32 = 3 и = 1,3 : К2Л = I \о I & и, #2,2 = ¿У кц1 \2, #2,з = (И)
БКга=з = С'3 = 1 и = 1 : Кз,о =
2. Вероятность нахождения ЧР СГ РКСО Кп,ш, для исходных данных, аналогичных Сг31 (рисунок 3) в комбинации (состоянии) предыдущему примеру:
р (ЗД = рз; р (#1,1) = р (#1,2) = р (#1,з) = Р2д; (12)
р (#2,1) = р (#2,2) = р (#2,з) = рд2; Р (#зд) = дз.
3. Совокупность структурно - простых 4. Выражения для оценки вероятностей
СГДС СПуШ (рисунок 4), полученных из связности СГ РКСО Сп,ш в предположении, исходного ЧР СГ РКСО (рисунок 3) что Р(1^) = р, £ = 5,8:
Р(Сод) = 1 — (1 — р)4; Р(См) = 1 — (1 — р^; Р(^1,2) = 1 — (1 — р)2; Р(С1,з)= р;
р (^2,1) = 1 — (1 — р)2; р (^2,2)= Р; (13)
Р (С2,з) = р; р (Сз,1) = Р.
Для заданных исходных данных значение ЧР СГ РКСО (рисунок 3) примет значение -полной вероятности связности вершин 5 и ¿в Р= 0,9889.
Рисунок 4 Совокупность структурно - простых СГДС
Сравнивая значения полных вероятностей связности для двух вариантов ЧР СГ РКСО, можно заметить, что первый вариант предпочтительнее второхх) но принятому показателю. Поэтому при модернизации действующих
или создании новых систем оповещения предложенный а;п'оритм может быть использован для обоснования рациональших) варианта построения ЧР СГ РКСО.
Литература
1. Войцеховский В.Ф.. Мазаник А.И., Мухин В.И.. Носов М.В. Расчет вероятности связности в се-тецентрических системах оповещения населения на основе использования биноминальных коэффициентов метода полного перебора простых разрезов. // Научные и образовательные проблемы гражданской защиты. 2017. № 3. С. 48 53.
2. Носов М.В.. Крылов Ю.И. Расчет вероятности связоности в сетецентрических системах оповещения населения на основе использования биноминальных коэффициентов метода полного перебора простых цепей. // Научные и образовательные проблемы гражданской защиты. 2017. № 4. С. 51 62.
3. Носов М.В. Метод полного разложения мостиковых соединений в задачах анализа связности структурно-сложных двухполюсных сетей. // Надежность. 2015. № 2. С. 68 79.
4. Носов M.B. Комбинаторные методы анализа качества функционирования и модернизации систем оповещения населения. АГЗ МЧС России. 2014. - 304 с.
5. Рябинин И.А. Надежность и безопасность структурно-сложных систем. СПБ: Политехника. 2000. - 218 с.
A METHOD FOR SOLVING COMBINATORIAL PROBLEMS OF ANALYZING THE PROBABILITY OF CONNECTIVITY IN PARTIALLY OPEN RADIAL-RING
PUBLIC NOTIFICATION SYSTEMS
Michael NOSOV
candidate of technical sciences, professor, professor of the Department of infocommunication technologies and communication systems Civil Defence Academy EMERCOM of Russia Address: 141435, Moscow region, city Khimki, md. Novogorsk E-mail: rn.nosovQamchs.ru
Andrey SAFRONOV
candidate of military sciences, assistant professor, head of the Department of infocommunication technologies and communication systems Civil Defence Academy EMERCOM of Russia Address: 141435, Moscow region, city Khimki, md. Novogorsk E-mail: a.safronovQamchs.ru
Alexander MAZANIK
doctor of military sciences, professor,
chief researcher research center
Civil Defence Academy EMERCOM of Russia
Address: 141435, Moscow region, city Khimki,
md. Novogorsk
E-mail: a.mazanikQamchs.ru
Abstract. The article discusses a technique for solving the problem of analyzing the probability of connectivity in partially open radial-ring warning systems of the population based on the use of the combinatorial method of complete decomposition of ring connections in ring warning systems. Numerical examples of solving the problem are given.
Keywords: probability of connectivity (BC), combinatorial method of complete decomposition of ring compounds (KMPRKS), random graph (SG), warning system (SO), radial ring warning system (RKSO), partially-open radial-ring public warning system (CR RKSO).
Citation: Nosov M.V., Safronov A.L., Mazanik A.I. A method for solving combinatorial problems of analyzing the probability of connectivity in partially open radial-ring public notification systems // Scientific and educational problems of civil protection. 2021. № 4 (51). S. 63 - 70.
References
1. Voitsekhovsky V.F., Mazanik A.I., Mukhin V.I., Nosov M.V. Calculation of the probability of connectivity in network-centric systems for alerting the population based on the use of binomial coefficients of the exhaustive search method for simple sections. // Scientific and educational problems of civil protection. 2017.No. 3. S. 48 - 53.
2. Nosov M.V., Krylov Yu.I. Calculation of the probability of connectivity in network-centric public warning systems based on the use of binomial coefficients of the brute force method for simple chains. // Scientific and educational problems of civil protection. 2017. No. 4. S. 51 - 62.
3. Nosov M.V. The method of complete decomposition of bridging connections in the problems of analyzing the connectivity of structurally complex two-pole networks. // Reliability. 2015. No. 2. S. 68 - 79.
4. Nosov M.V. Combinatorial methods for analyzing the quality of functioning and modernization of public warning systems. AGZ EMERCOM of Russia. 2014 . - 304 s.
5. Ryabinin I.A. Reliability and safety of structurally complex systems. SPB: Polytechnic. 2000 . - 218 s.
